fundamentos da matemática

Prévia do material em texto

Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 1
MÓDULO DE: 
FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA ELEMENTAR 
AUTORIA: 
WALDEK NOBRE 
REVISÃO: 
FREDERICO GOMES CARVALHAES 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 2
Módulo de: Fundamentos da Matemática Elementar 
Autoria: Waldek Nobre 
Revisão: Frederico Gomes Carvalhaes 
Segunda edição: 2011 
CITAÇÃO DE MARCAS NOTÓRIAS 
Várias marcas registradas são citadas no conteúdo deste Módulo. Mais do que simplesmente listar esses nomes 
e informar quem possui seus direitos de exploração ou ainda imprimir logotipos, o autor declara estar utilizando 
tais nomes apenas para fins editoriais acadêmicos. 
Declara ainda, que sua utilização tem como objetivo, exclusivamente a aplicação didática, beneficiando e 
divulgando a marca do detentor, sem a intenção de infringir as regras básicas de autenticidade de sua utilização 
e direitos autorais. 
E por fim, declara estar utilizando parte de alguns circuitos eletrônicos, os quais foram analisados em pesquisas 
de laboratório e de literaturas já editadas, que se encontram expostas ao comércio livre editorial. 
Todos os direitos desta edição reservados à 
ESAB – ESCOLA SUPERIOR ABERTA DO BRASIL LTDA 
http://www.esab.edu.br 
Av. Santa Leopoldina, nº 840/07 
Bairro Itaparica – Vila Velha, ES 
CEP: 29102-040 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 3
Apresentação 
Apesar do título do Módulo, ele não se destina apenas à apresentação do estudo da 
Matemática de das séries iniciais do Ensino Fundamental. Ele vai além e apresenta 
conteúdos de Lógica Matemática, da Teoria dos Conjuntos e Funções. 
A Lógica constante neste trabalho tem como objetivo embasar o raciocínio matemático e 
apresentar elementos necessários ao desenvolvimento dos demais conteúdos. A presença 
dos temas da Teoria dos Conjuntos se deve à necessidade de criar elementos de 
organização da escrita em Matemática. 
Por último, a presença do Estudo de Funções se justifica pelo fato desse tema matemático 
ser o esteio de toda a Matemática a partir da sua revisão de fundamentos no século XIX. 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 4
Objetivos 
Ao fim do curso o aluno deverá: 
 Ter desenvolvido as capacidades de dedução, de raciocinar logicamente de forma
organizada, de formular e interpretar situações matemáticas e o espírito crítico e criativo
em relação à Matemática.
 Perceber e compreender as relações entre diversas áreas da matemática apresentadas.
 Organizar, comparar e aplicar os saberes aprendidos.
 Compreender os fundamentos da Lógica, da Teoria dos Conjuntos e do estudo de
Funções, assim como analisar estruturas e relações discretas e contínuas.
 Resolver problemas usados da Lógica, Conjuntos, Conjuntos numéricos e Funções.
Ementa 
Lógica: Lógica Proposicional e Lógica de Predicados. Elementos da Teoria dos Conjuntos. 
Conjuntos Numéricos: naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. Funções: exponencial, 
afim, quadrática e Logaritmo. 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 5
Sobre o Autor 
Licenciado em Matemática – pela Faculdade de Humanidades Pedro II – RJ. 
Pós-Graduação em Matemática para Professores do Ensino Fundamental e Médio – pela 
Universidade Federal Fluminense. 
Sobre o Revisor 
Frederico Gomes Carvalhaes é mineiro, natural de Belo Horizonte, residente em Vitória, 
Espírito Santo. Graduado em: Administração de Empresas, Ciências Contábeis, Engenharia 
Elétrica e Matemática. Pós-graduado em Gestão de Negócios e Tecnologia da Informação, 
Formação Docente para a Atuação em Educação a Distância e Mestre em Ciências 
Contábeis (Área Administração Estratégica / Finanças). 
Possui vasta experiência no Setor Elétrico, tendo trabalhado em empresas como CEMIG, 
ESCELSA e ECOCEL. É consultor em energia, atuando na gestão da energia elétrica para 
grandes indústrias, buscando otimizar seu uso e reduzir custos para as empresas. É 
professor de Matemática no Ensino Médio, tutor de Educação à Distância, Professor 
Universitário e Coordenador de Curso de Pós-Graduação, responsável por ministrar 
disciplinas como Matemática Aplicada, Matemática Financeira, Estatística, Cálculo Atuarial, 
Métodos Quantitativos e Gestão de Energia Elétrica. Também atua desenvolvendo projetos 
educacionais e ministrando palestras e cursos relacionados à Educação, Ciências Exatas e 
Energia. 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 6
SUMÁRIO 
UNIDADE 1 .............................................................................................................................. 8
Introdução à Lógica. .............................................................................................................. 8
UNIDADE 2 ............................................................................................................................ 12
Proposição Simples............................................................................................................. 12
UNIDADE 3 ............................................................................................................................ 16
Tabela Verdade ................................................................................................................... 16
UNIDADE 4 ............................................................................................................................ 19
UNIDADE 5 ............................................................................................................................ 24
Inferência, Tautologia e Demonstrações. ............................................................................ 24
UNIDADE 6 ............................................................................................................................ 28
Teoria dos Conjuntos .......................................................................................................... 28
UNIDADE 7 ............................................................................................................................ 36
UNIDADE 8 ............................................................................................................................ 38
Operações com conjuntos ................................................................................................... 38
UNIDADE 9 ............................................................................................................................ 41
UNIDADE 10 .......................................................................................................................... 47
Conjunto dos Números Naturais. ........................................................................................ 47
UNIDADE 11 .......................................................................................................................... 54
Múltiplos e Divisores ........................................................................................................... 54
UNIDADE 12 .......................................................................................................................... 59
UNIDADE 13 .......................................................................................................................... 63
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS .......................................................................... 63
UNIDADE 14 .......................................................................................................................... 70
UNIDADE 15 .......................................................................................................................... 73
Conjunto dos Racionais ...................................................................................................... 73
UNIDADE 16 ..........................................................................................................................81
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 7
UNIDADE 17 .......................................................................................................................... 87
UNIDADE 18 .......................................................................................................................... 91
Conjunto dos Reais ............................................................................................................. 91
UNIDADE 19 .......................................................................................................................... 99
O Plano Cartesiano ............................................................................................................. 99
UNIDADE 20 ........................................................................................................................ 103
Função Afim ...................................................................................................................... 103
UNIDADE 21 ........................................................................................................................ 109
UNIDADE 22 ........................................................................................................................ 113
Estudo do Sinal da Imagem da Função Afim .................................................................... 113
UNIDADE 23 ........................................................................................................................ 120
Função Quadrática e a Equação do 2º Grau..................................................................... 120
UNIDADE 24 ........................................................................................................................ 123
UNIDADE 25 ........................................................................................................................ 129
UNIDADE 26 ........................................................................................................................ 134
Estudo do Sinal da Imagem da Função Quadrática .......................................................... 134
UNIDADE 27 ........................................................................................................................ 141
Função Exponencial I ........................................................................................................ 141
UNIDADE 28 ........................................................................................................................ 147
Função Exponencial II ....................................................................................................... 147
UNIDADE 29 ........................................................................................................................ 152
Função Logarítmica........................................................................................................... 152
UNIDADE 30 ........................................................................................................................ 160
Funções Logarítmicas ....................................................................................................... 160
Gabarito ................................................................................................................................ 168
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
8
UNIDADE 1 
Objetivo: Entender a origem, o que é e a aplicabilidade da Lógica. 
Introdução à Lógica. 
 
A Lógica tem origem bem remota, talvez na Índia, mas foram os gregos que deram um 
tratamento formal à Lógica. Aristóteles é tido como o verdadeiro criador e sistematizador da 
Lógica Formal, Clássica. 
O aprendizado da Lógica auxilia os estudantes no raciocínio, na compreensão de conceitos 
básicos, na verificação formal de programas, dando base ao entendimento do conteúdo e de 
tópicos mais avançados. 
A Lógica pode ser dividida em três períodos: 
 PERÍODO ARISTOTÉLICO (390 a.C. a; 1840 d.C.) 
 PERÍODO BOOLEANO: (1840 a; 1910) 
 PERÍODO ATUAL: (1910 -......) 
 
Nesse estudo será abordado a Lógica Matemática que teve origem nos fins do século XIX 
com Lulla, Leibniz, Boole, Peano e outros. 
 
Expressão X Sentença 
Lógica é o estudo das relações entre afirmações, mas não da verdade dessas afirmações. A 
Lógica está intimamente ligada à linguagem. Quando se enuncia “o quadrado de um 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
9
número”, não cabe julgar se é uma verdade ou uma falsidade, pois é uma expressão. Mas 
quando se enuncia “o quadrado de sete é quarenta e nove”, cabe o julgamento se é 
verdadeiro ou falso, pois é uma sentença declarativa. 
 
Veja o exemplo abaixo: 
(FCC) Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a respeito do qual se 
declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação seguinte há 
expressões e sentenças: 
1. Três mais nove, é igual a doze. 
2. Pelé é brasileiro. 
3. O jogador de futebol. 
4. A idade de Maria. 
5. A metade de um número. 
6. O triplo de 15 é maior do que 10. 
 
É correto afirmar que, na relação dada, são sentenças apenas os itens de números: 
a) 1, 2 e 6. 
b) 2, 3 e 4. 
c) 3, 4 e 5. 
d) 1, 2, 5 e 6. 
e) 2, 3, 4 e 5. 
Solução: 
São expressões, por não possuírem verbo, as de número 3, 4 e 5, e são sentenças, por 
possuírem verbo, as de número 1, 2 e 6. 
A resposta, portanto, é letra (A). 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
10
 
SENTENÇAS ABERTAS E FECHADAS 
As sentenças podem ser abertas ou fechadas. 
Sentenças abertas são aquelas que possuem uma indeterminação: 
I. x + 2 > 6 
Não há como julgar se é verdadeira ou falsa, pois se atribuirmos a x o valor 3 ela será 
falsa, mas se atribuirmos a x o valor 8, ela será verdadeira. 
 
II. x é um famoso jogador de futebol. 
Da mesma forma, se x for substituído por Zico, a sentença torna-se verdadeira, mas se x 
substituído por Jô Soares, a sentença torna-se falsa. Logo, é uma sentença aberta. 
 
III. Jogaram lixo no chão. 
É indeterminado quem jogou lixo no chão, logo a sentença é aberta. Não se pode julgar 
se ela é verdadeira ou falsa. 
 
São sentenças fechadas aquelas que não possuem indeterminação: 
I. Caetano Veloso é um grande cantor. 
II. 10 + 2 < 6 
 
QUANTIFICADORES 
São elementos lógicos que transformam sentenças abertas em sentenças fechadas. 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
11
 
1. Quantificador Universal: () “para todo” ou “qualquer que seja”. 
Ex.: x, (2 + x = 10) (proposição falsa). 
 
2. Quantificador Existencial: () “existe”. 
Ex.: x tal que 2 + x = 10 (proposição verdadeira) 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
12
UNIDADE 2 
Objetivo: Apresentar os primeiros elementos de Lógica. 
 
Proposição Simples 
É toda sentença fechada declarativa que exprime um pensamento que pode ser verdadeiro 
ou falso. Normalmente é designada pelas letras minúsculas p, q, r, s, ... , chamadas 
variáveis proposicionais. 
 
Exemplos: 
(p): O número 3 é impar. 
(q): 12 ≠ 7 
(r): 8 > 4 
(s): Todo torcedor do Cruzeiro é inteligente. 
(t): A Ferrari é mais rápida que a Mac Laren. 
 
Importante: As expressões matemáticas que não podem ser chamadas de verdadeiras ou 
de falsas, não formam uma proposição, mas sim uma sentença aberta. 
 
Exemplos: 
(u): O dobro de um número mais 5 é igual a onze. 
(v): x ≠ 14 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
13
Exercício resolvido 
Sabendo que somente as sentenças declarativas (proposições) possuem valor lógico 
verdadeiro (V) ou falso (F) e, por conseguinte, as sentenças interrogativas, imperativas ou 
exclamativas não possuem valor lógico; assinale abaixo as sentenças que são proposições: 
1. Fernanda Montenegro é uma artista premiada. 
2. César Cielo é um campeão. 
3. Uma tonelada tem1000 gramas. 
4. Messi é craque ? 
5. Feliz aniversário ! 
6. Vá embora agora. 
 
Solução: 
As sentenças 1, 2 e 3 são proposições (sentenças declarativas) e as de número 4 
(interrogativa), 5 (exclamativa) e 6 (imperativa) não são proposições. 
 
PROPOSIÇÃO COMPOSTA 
A proposição composta é formada por duas ou mais proposições simples e normalmente são 
representadas pelas letras maiúsculas P, Q, R, ... 
 
Exemplo: 
(P): Paulo vai trabalhar e está de terno. 
 
Onde (p): Paulo vai trabalhar e (q): Paulo está de terno, são as proposições simples que 
compõem essa proposição composta. 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
14
CONECTIVOS 
Conectivos são expressões que se usam para formar novas proposições, sendo 
representados pelos sinais lógicos abaixo: 
 
: e (conjunção) 
 : ou (disjunção) 
: então, somente se (implicação) 
: se e somente se (bi-implicação) 
 
Esses conectivos são operadores usados para formação de proposições compostas, ligando 
duas ou mais proposições simples. 
 
Exemplos: 
Marta foi nadar e Cíntia foi à escola. 
Nove é menor que três ou maior que quinze. 
Se Pedro é engenheiro, então sabe matemática. 
Um triângulo é isósceles se, e somente se, possuir dois lados iguais. 
 
No entanto, é bom notar que há uma diferença sutil nas proposições seguintes: “Cristina e 
Roberta são colegas de trabalho” e “Clara é professora de História e dona de casa”. A 
primeira é uma proposição simples com sujeito composto (o “e” vem antes do verbo). A 
segunda é uma proposição composta (o “e” vem depois do verbo), sendo o mesmo que 
“Clara é professora de História e Clara é dona de casa”. 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
15
Exercício resolvido 
Determine quais proposições abaixo são simples e quais são compostas: 
a) O dia está chuvoso. 
b) Lia está de vestido e Rogério está de bermuda. 
c) O triângulo é isósceles ou retângulo. 
d) A História não é mentirosa. 
e) Se correr, o bicho pega. 
f) O esporte é saudável se, e somente se, for bem praticado. 
 
Solução: 
As proposições simples são as letras a e d e as proposições compostas são as letras b, c, e, 
f. 
 
PRINCÍPIOS BÁSICOS DA LÓGICA 
 
 Princípio da identidade: Toda proposição é idêntica a si mesmo. 
 Princípio do terceiro excluído: Toda proposição só pode ser falsa ou verdadeira, 
excluindo-se qualquer outro. 
 Princípio da não contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao 
mesmo tempo. 
Atribuir um valor lógico a uma proposição é atribuir um valor verdade ou um valor 
falso. 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
16
UNIDADE 3 
Objetivo: Apresentar os conceitos envolvendo Tabelas Verdade. 
 
Tabela Verdade 
É a maneira de se registrar os valores lógicos das proposições. Para determinar o valor 
(verdade ou falsidade) das proposições compostas, conhecidos os valores das proposições 
simples que as compõem usa-se a Tabela Verdade: 
 
1. Tabela verdade da "negação”: ~ p é verdadeira (falsa) se e somente se p é falsa 
(verdadeira). 
p ~p 
V F 
F V 
 
OBS.: A negação do quantificador  (para todo) acarreta o quantificador  (existe) e vice-
versa. De maneira geral: 
Proposição: x, “p” Negação: x tal que “~p” 
Proposição: x tal que “p” Negação: x,”~p” 
Ex.: x, x  , 2x é par. 
A negação é: x, x tal que 2x não é par. 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
17
2. Tabela verdade da "conjunção": a conjunção é verdadeira se, e somente, os 
conjuntos forem verdadeiros. 
p q pq 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
3. Tabela verdade da "disjunção": a disjunção é falsa se, e somente, os disjuntos são 
falsos. 
p q p q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
4. Tabela verdade da "implicação": a implicação é falsa se, e somente se, o 
antecedente é verdadeiro e o consequente é falso. 
p q pq 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
18
 
5. Tabela verdade da "bi-implicação": a bi-implicação é verdadeira se, e somente se, 
seus componentes são ou ambos verdadeiros ou ambos falsos. 
p q pq 
v v V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
19
UNIDADE 4 
Objetivo: Resolver os primeiros exercícios de Lógica. 
Nessa unidade serão propostos exercícios para verificação dos conhecimentos adquiridos 
até aqui. As atividades estão em diversos níveis de dificuldade e algumas serão 
desafiadoras. Faça os exercícios e confira as respostas disponibilizadas no campo “Estudo 
Complementar”, no ambiente virtual do curso. 
Caso tenha dificuldades, entre em contato através do campo “Dúvidas ao Tutor”, 
apresentando em cada exercício todos os passos que desenvolveu. 
Bom trabalho e bons estudos! 
Exercícios 
1. Formalize os seguintes enunciados: 
a. Todo número racional é um número real. 
b. Alguns números reais são números racionais. 
c. Nem todo número real é um número racional. 
d. Todos os peixes são ciprinídeos. 
e. Para quaisquer três objetos, se o primeiro é mais alto que o segundo e o 
segundo é mais alto do que o terceiro, então o primeiro é mais alto que o 
terceiro. 
2. Assinale a forma correta da negação da seguinte frase: 
“Algumas pessoas gostam de matemática.” 
a) Algumas pessoas não gostam de matemática. 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
20
b) Todas as pessoas não gostam de matemática. 
c) Existe uma pessoa que gosta de matemática. 
d) Existe uma pessoa que não gosta de matemática. 
e) Todas as pessoas gostam de matemática. 
 
3. Sendo p a proposição Paulo é paulista e q a proposição Ronaldo é carioca, traduzir 
para a linguagem corrente as seguintes proposições: 
a. ~q 
b. pq 
c. p v q 
d. p  q 
e. p  (~q) 
 
4. Sendo p a proposição Roberto fala inglês e q a proposição Ricardo fala italiano traduzir 
para a linguagem simbólica as seguintes proposições: 
a. Roberto fala inglês e Ricardo fala italiano. 
b. Roberto não fala inglês ou Ricardo fala italiano. 
c. Se Ricardo fala italiano então Roberto fala inglês. 
d. Roberto não fala inglês e Ricardo não fala italiano. 
5. (UFB) Se p é uma proposição verdadeira, então: 
a. pq é verdadeira, qualquer que seja q; 
b. p v q é verdadeira, qualquer que seja q; 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
21
c. pq é verdadeira só se q for falsa; 
d. p =>q é falsa, qualquer que seja q. 
 
6. (MACK) Duas grandezas x e y são tais que "se x = 3 então y = 7". Pode-se concluir 
que: 
a. se x ≠ 3 então y ≠ 7 
b. se y = 7 então x = 3 
c. se y ≠ 7 então x ≠ 3 
d. se x = 5 então y = 5 
 
7. (ABC) Assinale a proposição, composta logicamente, verdadeira: 
a. (2 = 3)  (2 . 3 = 5) 
b. (2 = 2)  (2 . 3 = 5) 
c. (2 = 3) e (2 . 3 = 5) 
d. (2 = 3) ou (2 . 3 = 5) 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
22
8. (UGF) A negação de x > -2 é: 
a. x > 2 
b. x ≠ -2 
c. x < -2 
d. x < 2 
 
9. (ABC) A negação de todos os gatos são pardos é: 
a. nenhum gato é pardo; 
b. existe gato pardo; 
c. existe gato não pardo 
d. existe um e um só gato pardo; 
 
10. (ABC) A negação de “o gato mia e o rato chia” é: 
a. o gato não mia e o rato não chia; 
b. o gato mia ou o rato chia; 
c. o gato não mia ou o rato não chia; 
d. o gato e o rato não chiam nem miam; 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
23
11. Duas grandezas A e B são tais que "se A = 2 então B = 5". Pode-se concluir que: 
a. se A ≠ 2 então B ≠ 5 
b. se A = 5 então B = 2 
c.se B ≠ 5 então A ≠ 2 
d. se A = 5 então B ≠ 2 
 
12. (VUNESP) Um jantar reúne 13 pessoas de uma mesma família. Das afirmações a 
seguir, referentes às pessoas reunidas, a única necessariamente verdadeira é: 
a. Pelo menos uma delas tem altura superior a 1,90m; 
b. Pelo menos duas delas são do sexo feminino; 
c. Pelo menos duas delas faz aniversário no mesmo mês; 
d. Pelo menos uma delas nasceu num dia par; 
 
13. Estabeleça a negação de cada uma das seguintes proposições: 
a. Todas as casas têm janelas. 
b. Nenhuma casa é barata 
c. Alguns homens são espertos 
d. 2 = 5 
e. 3  4 
f. p  ~ q 
g. João estuda e trabalha. 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
24
UNIDADE 5 
Objetivo: Apresentar as primeiras regras de inferência. 
Inferência, Tautologia e Demonstrações. 
 
Regras de Inferência 
São necessárias para as demonstrações de teoremas. 
OBS.: As mais usadas são: Modus Ponens; Modus Tollens e Silogismo Hipotético. 
 
Regras Proposições Nomes alternativos 
Modus Ponens MP p  (p  q)  q 
Modus Tollens MT  q  ( p  q )   p 
Silogismo Hipotético SH (p q)  ( q  r)  (p  r) 
Silogismo Disjuntivo SD (p  q)   p  q 
Simplificação SM p  q  p Eliminação do “e” 
Adição AD p  p  q Inclusão do “ou” 
Eliminação EL (p  (q  r) )  q  p r 
Prova por Casos CS (p  r)  ( q  r)  (p  q)  r 
 
Equivalências Tautológicas 
 (p  q)  p   q 
 (p  q)  p   q 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
25
3) p  q  ~p  q 
4) p  q   ( p  q) 
5) p  q   q  p 
 ( p)  p 
 
OBS.: As equivalências tautológicas podem ser concluídas ou demonstradas a partir da 
construção da tabela-verdade das proposições. 
Ex.:  (p  q)  p   q 
 p q p q ~ (p  q) ~p ~q ~p  ~q 
 v v V f f f f 
 v f F v f v v 
 f v F v v f v 
 f f F v v v v 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
26
 
 
2. DEMONSTRAÇÃO INDIRETA - CONDICIONAL 
Para demonstrar a validade de argumentos cuja conclusão é uma fórmula condicional do tipo 
B  C , considera-se o antecedente B, como uma hipótese adicional e o consequente C 
será a conclusão a ser demonstrada. 
Exemplo: Demonstrar a validade do argumento p  q , q  r , r  s;  s  p 
hip 1. p  q 
hip 2. q   r 
hip 3. r  s 
hip. adicional 4. s 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
27
3, 4 e silog. Disj. 5. r 
1, 2 e silog. Hip. 6. p  r 
6 e contraposição 7. r  p 
5, 7 e Modus Ponens 8. ~ s  p 
 
3. DEMONSTRAÇÃO INDIRETA - POR ABSURDO 
Para demonstrar, por absurdo, um argumento A1, A2, A3,..., An, B considera-se a negação 
da conclusão B como hipótese adicional e conclui-se uma fórmula F (fórmula falsa do tipo 
). 
Exemplo: Demonstrar, por absurdo, a validade do argumento : 
p  q , q  r , r  s;  s  p 
Hip. 1.p  q 
hip. 2. q   r 
hip. 3. r  s 
hip. Adicional 4. ( s  p) 
1, 2 e silog. Hip. 5. p  r 
3 e def. implicação 6. r  s 
5, 6 e silog. Hip. 7. p  s 
7 e contraposição 8. s  p 
4, 8 e conjunção 9. ( s  p)  ( s  p) 
9 e simplificação 10. ~s  p 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
28
UNIDADE 6 
Objetivo: Apresentar elementos de Teoria dos Conjuntos. 
Teoria dos Conjuntos 
“Teoria dos Conjuntos é a ciência matemática do infinito.” 
(Stanford Encyclopedia of Philosophy). 
 
Breve Histórico: 
Bernard Bolzano (1781–1848). Joseph Liouville (1809–1882). 
Richard Dedekind (1831–1916). Georg Cantor (1845–1918). 
 
Georg Cantor 
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. 
 Georg Cantor 
 
 
Nascimento 3 de Março de 1845, São 
Petersburgo, Rússia. 
Falecimento 6 de Janeiro de 1918, 
Halle, Alemanha. 
Nacionalidade Russo 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
29
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (São Petersburgo, 3 de Março de 1845 - Halle, 
Alemanha, 6 de Janeiro de 1918) foi um matemático alemão, de origem russa, conhecido por 
ter criado a moderna Teoria dos Conjuntos. Foi a partir desta teoria que se chegou ao 
conceito de Número Transfinito, incluindo as classes numéricas dos cardinais e ordinais, 
estabelecendo a diferença entre estes dois conceitos que colocam novos problemas quando 
se referem a conjuntos infinitos. 
Nasceu em São Petersburgo (Rússia), filho de um comerciante dinamarquês, Geor 
Waldemar Cantor, e de uma música russa, Maria Anna Böhm. Em 1856 a sua família mudou-
se para a Alemanha, continuando aí os seus estudos. Estudou na Escola Politécnica de 
Zurique. Doutorou-se na Universidade de Berlim em 1867. Teve como professores Ernst 
Kummer, Karl Weierstrass e Leopold Kronecker. 
Em 1872 foi docente na Universidade alemã de Halle, onde obtém o título de professor em 
1879. Toda a sua vida irá tentar em vão deixar Halle, tendo acabado por pensar que era 
vítima de uma conspiração. 
Cantor provou que os conjuntos infinitos não têm, todos, a mesma potência (potência 
significando "tamanho"). Fez a distinção entre conjuntos numeráveis (ou enumeráveis) (em 
inglês chamam-se countable - que se podem contar) e conjuntos contínuos (ou não 
enumeráveis) (em inglês uncountable - que não se podem contar). Provou que o conjunto 
dos números racionais é (e)numerável, enquanto que o conjunto dos números reais é 
contínuo (logo, maior que o anterior). 
Na demonstração foi utilizado o célebre argumento da diagonal de Cantor ou Método 
Diagonal. Nos últimos anos de vida tentou provar, sem o conseguir, a "hipótese do contínuo", 
ou seja, que não existem conjuntos de potência intermédia entre os numeráveis e os 
contínuos - em 1963, Paul Cohen demonstrou a indemonstrabilidade desta hipótese. Em 
1897, Cantor descobriu vários paradoxos suscitados pela Teoria dos Conjuntos. Foi ele que 
utilizou pela primeira vez o símbolo para representar o conjunto dos números reais. 
Durante a última metade da sua vida sofreu, repetidamente, ataques de depressão, o que 
comprometeu a sua capacidade de trabalho e o forçou a ficar hospitalizado várias vezes. 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
30
Provavelmente ser-lhe-ia diagnosticado, hoje em dia, um transtorno bipolar - vulgo maníaco-
depressivo. A descoberta do Paradoxo de Russell conduziu-o a um esgotamento nervoso do 
qual não chegou a se recuperar. Começou, então, a se interessar por literatura e religião. 
Desenvolveu o seu conceito de Infinito Absoluto, que identificava a Deus. Ficou na penúria 
durante a Primeira Guerra Mundial, morrendo num hospital psiquiátrico em Halle. 
Os conceitos matemáticos inovadores propostos por Cantor enfrentaram uma resistência 
significativa por parte da comunidade matemática da época. Os matemáticos modernos, por 
seu lado, aceitam plenamente o trabalho desenvolvido por Cantor na sua Teoria dos 
Conjuntos, reconhecendo-a como uma mudança de paradigma da maior importância. 
Nas palavras de David Hilbert: "Ninguém nos poderá expulsar do Paraíso que Cantor criou." 
 
O mais próximo de uma definição 
Um conjunto é qualquer coleção, dentro de um todo de objetos definidos e distinguíveis, 
chamados elementos, da intuição ou pensamento. Essa definição intuitiva de um conjunto foi 
dada, primeiramente, por Georg Cantor (1845-1918), que criou a Teoria dos Conjuntos em 
1895. Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C,..., Z. 
 
Elemento: é um dos componentes de um conjunto. 
a. José da Silva é um elemento doconjunto dos brasileiros. 
b. 1 é um elemento do conjunto dos números naturais. 
c. -2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x² - 4 = 0. 
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, 
b, c,..., z. 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
31
Noção de Pertinência: 
É a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. 
a. José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros. 
b. 1 pertence ao conjunto dos números naturais. 
c. -2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x² - 4 = 0. 
 
Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utiliza-se o símbolo  que 
se lê: "pertence". 
Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao conjunto dos números 
naturais, escrevemos: 1IN. 
Para afirmar que 0 não é um número natural ou que 0 não pertence ao conjunto dos números 
naturais, escrevemos: 0 IN. 
Um símbolo matemático muito usado para a negação é a barra / traçada sobre o símbolo. 
Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves 
{ } . 
Forma explícita: Os elementos do conjunto são enumerados. 
Deve ser usada quando os conjuntos são finitos, com poucos elementos, ou quando os 
elementos são estabelecidos por uma Lógica de formação simples. 
Recomendo usá-la nas séries iniciais do Ensino Fundamental. 
a. A = { a, e, i, o, u } 
b. B = { 1, 2, 3, 4,... } 
c. M = { João, Maria, José } 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
32
 
Forma implícita: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades. 
É uma forma mais abrangente e completa (introduz a variável), razão pela qual seu uso é 
sugerido nas séries finais do Ensino Fundamental e durante todo Ensino Médio. 
a. A = {x / x é uma vogal} 
b. B = {x / x é um número natural} 
c. M = {x / x é uma pessoa da família de Maria} 
 
Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-Óiler") Os conjuntos são mostrados graficamente. 
Essa forma visual é muito útil na resolução de alguns problemas com até três variáveis. 
 
Exemplo resolvido: 
(UF-BH) Um colégio ofereceu cursos de inglês e francês, devendo o aluno matricular-se em 
pelo menos um deles. Dos 45 alunos de uma classe, 13 resolveram estudar tanto inglês 
quanto francês; em francês, matricularam-se 22 alunos. Quantos alunos se matricularam em 
inglês ? 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
33
Solução: 
Inicia-se o preenchimento do diagrama pela interseção, no caso 13 alunos. Se em francês 
matricularam-se 22 alunos e já temos 13 matriculados, restam apenas 9 alunos que se 
matricularam SOMENTE em francês. Como temos um total de 45 alunos, 9 estão 
matriculados somente em francês e 13 estão matriculados em ambas disciplinas, restam 23 
alunos que estão matriculados SOMENTE em inglês. Observe que a pergunta não diz 
“somente em inglês”. Logo, temos um total de 36 alunos matriculados em inglês (dos quais 
23 somente em inglês e 13 em inglês e francês). 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 36 alunos se matricularam em inglês. 
 
Para a solução desses problemas são necessários: 
1. Enfatizar os conectivos (“e” e “ou”) juntos aos alunos, assim como as palavras 
“apenas”, “somente” que aparecem nos problemas. 
2. Iniciar o preenchimento do diagrama pela interseção mesmo que não tenha sido 
fornecida. 
 
Inglês Francês 
13 9 23 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
34
Noção de inclusão: Subconjuntos 
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A ⊂ B, se todos os 
elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está 
propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém 
também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o 
superconjunto que contém A. 
Alguns autores usam o símbolo “ ” para diferenciar a simbologia dos conjuntos 
propriamente contidos “ ”. 
A expressão abaixo pode ser usada para a definição de INCLUSÃO. 
 x, x  A → xB; AB 
A noção de inclusão se confunde com a de pertinência porque o aluno entende que estar 
contido é estar “dentro”. O professor deve sempre reiterar a definição. 
Definição: Se A está contido em B (AB) → B contém A (B A). 
 
Igualdade de conjuntos: 
Definição: A = B (AB) (BA) 
Se A = B, A está contido em B (AB) e B contém A (B A). 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
35
Alguns conjuntos especiais 
 
Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. 
O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos. 
Esse conjunto é conflitante com a “definição” de conjuntos apresentada nas séries iniciais do 
Ensino Fundamental, por isso é bom ter cuidado. 
 
Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto aqui 
trabalhado e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é 
representado pela letra U. 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
36
UNIDADE 7 
Objetivo: Resolver os primeiros exercícios de Teoria dos conjuntos. 
 
Nessa unidade serão propostos exercícios para verificação dos conhecimentos adquiridos. 
As atividades estão em diversos níveis de dificuldade e algumas serão desafiadoras. Faça os 
exercícios e confira as respostas disponibilizadas no campo “Estudo Complementar”, no 
ambiente virtual do curso. 
Caso tenha dificuldades, entre em contato através do campo “Dúvidas ao Tutor”, 
apresentando, em cada exercício, todos os passos que você desenvolveu. Seu trabalho será 
corrigido e o contato, retornado. 
Bom trabalho e bons estudos! 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. (UESPI-2003) Seja o conjunto A = {0, {0}, 1, {1}, {0,1}}. É correto afirmar que: 
 
a. {0,1} A 
b. {0,1} ∈ A 
c. Os elementos de A são 0 e 1 
d. O número de subconjuntos de A é 2² = 4 
e. 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
37
2. (UESPI-2003) Os conjuntos A e B, não vazios, têm, respectivamente, x - 1 e x + 1 
elementos. Se o conjunto A x B tem 6x - 6 elementos, então é verdade que o 
conjunto: 
a. A tem mais de 6 elementos 
b. B tem mais de 6 elementos 
c. B tem 4 elementos 
d. A tem um único elemento 
e. A tem 4 elementos 
 
3. Considere os conjuntos A = {–1,0,1,2}; B = {–1,1} e C = {0,1,2}. Qual das afirmações 
abaixo é verdadeira? 
a. –1    C 
b. B  C 
c. 0  A  B  C 
d. B  A 
e. B = C 
 
4. (LUMEN) Para que o conjunto A = {2, 4, 4} e B = {2, 4, k} sejam iguais, o número de 
valores distintos que k pode assumir é: 
a. 1 
b. 2 
c. 3 
d. 4 
e. zero. 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
38
UNIDADE 8 
Objetivo: Apresentar operações entre conjuntos. 
Operações com conjuntos 
 
Cada operação deve ser representada, também, pelo diagrama correspondente. 
1- União de conjuntos 
A união dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto 
A ou ao conjunto B. 
É importante mostrar a diferença entre o conectivo matemático “ou” (inclusivo) e a conjunção 
“ou” (exclusiva). 
AB = { x/ xA ou xB ) 
Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então AB={a,e,i,o,3,4}. 
 
2- Interseção de conjuntos 
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao 
conjunto A e ao conjunto B. 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
39
A ∩ B = { x/xA e xB} 
Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então A ∩ B = Ø. 
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes 
conjuntos são disjuntos. 
 
3- Diferença de conjuntos 
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao 
conjunto A e não pertencem ao conjunto B. 
A - B = {x / xA e xB}4- Complemento de um conjunto 
O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, é a diferença entre 
os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto 
A e não pertencem ao conjunto B. 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
40
CAB = A - B = {x/ xA e xB} 
Quando não há dúvida sobre o universo U em que se está trabalhando, simplesmente utiliza-
se a letra C posta como expoente no conjunto ou uma apóstrofe (‘), para indicar o 
complemento deste conjunto. Muitas vezes usa-se a palavra complementar no lugar de 
complemento. 
Obs.: Øc=U e Uc=Ø. 
Leis de Augustus De Morgan 
1. O complementar da união de dois conjuntos A e B é a interseção dos complementares 
desses conjuntos. 
(AB)c = Ac ∩ Bc 
2. O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a união dos complementares 
desses conjuntos. 
(A ∩ B)c = Ac  Bc 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
41
UNIDADE 9 
Objetivo: Resolver exercícios envolvendo operações entre conjuntos. 
 
Nessa unidade serão propostos exercícios para verificação dos conhecimentos adquiridos. 
As atividades estão em diversos níveis de dificuldade e algumas serão desafiadoras. Faça os 
exercícios e confira as respostas disponibilizadas no campo “Estudo Complementar”, no 
ambiente virtual do curso. 
Caso tenha dificuldades, entre em contato, através do espaço “Dúvidas ao Tutor,” 
apresentando, em cada exercício, todos os passos que você desenvolveu. 
Bom trabalho e bons estudos! 
 
Exercícios 
1. (OSEC) Em uma escola de 360 alunos, onde as únicas matérias dadas são 
matemática e português, 240 alunos estudam matemática e 180 alunos estudam 
português. O número de alunos que estudam matemática e português é: 
a. 120 
b. 60 
c. 90 
d. 180 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
42
2. (PUC-CAMPINAS) Em uma indústria, 120 operários trabalham de manhã, 130 
trabalham à tarde, 80 trabalham à noite; 60 trabalham de manhã e à tarde, 50 
trabalham de manhã e a noite, 40 trabalham à tarde e à noite e 20 trabalham nos três 
períodos. Assim: 
a. 150 operários trabalham em 2 períodos; 
b. Há 500 operários na indústria; 
c. 300 operários não trabalham à tarde; 
d. Há 30 operários que trabalham só de manhã; 
 
3. (UNIV. FED. PARÁ) Em um colégio foi realizada uma pesquisa para saber quais os 
esportes praticados pelos alunos. Sabe-se que A = {alunos que jogam basquete}, 
B={alunos que jogam futebol} e C={alunos que jogam vôlei}, e o resultado está 
resumido na tabela abaixo. 
n(A) n(B) n(C) n(A∩B) n(A∩C) n(C∩B) n(A∩B∩C) Nenhuma modalidade 
150 180 100 30 40 25 20 245 
 
O número total de alunos da escola é: 
a. 790 
b. 600 
c. 675 
d. 570 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
43
4. (NUNO LISBOA) Um subconjunto X de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 
múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números ímpares. O número de elementos de X 
é: 
a. 22 
b. 27 
c. 24 
d. 32 
 
5. (CESGRANRIO) Em uma universidade são lidos dois jornais A e B; exatamente 80% 
dos alunos lêem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo-se que todo aluno é leitor de 
pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que lêem ambos é: 
a. 48% 
b. 60% 
c. 40% 
d. 140% 
 
6. (MED. RIO PRETO) Em um almoço, foram servidos, entre outros pratos, frangos e 
leitões. Sabendo-se que, das 94 pessoas presente, 56 comeram frango, 41 comeram 
leitão e 21 comeram dos dois, o número de pessoas que não comeram nem frango 
nem leitão é: 
a. 10 
b. 12 
c. 15 
d. 18 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
44
7. (UNIV. FED. PARÁ) Uma escola tem 20 professores, dos quais 10 ensinam 
Matemática, 9 ensinam Física, 7 Química e 4 ensinam Matemática e Física. Nenhum 
deles ensina Matemática e Química. Quantos professores ensinam Química e Física e 
quantos ensinam somente Física? 
a. 3 e 2 
b. 2 e 5 
c. 2 e 3 
d. 5 e 2 
 
8. (UFMG) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes dados: 
40 % dos entrevistados lêem o jornal A. 
55 % dos entrevistados lêem o jornal B. 
35% dos entrevistados lêem o jornal C. 
12% dos entrevistados lêem os jornais A e B. 
15% dos entrevistados lêem os jornais A e C. 
19% dos entrevistados lêem os jornais B e C. 
7% dos entrevistados lêem os três jornais. 
135 pessoas entrevistadas não lêem nenhum dos três jornais. 
 
Considerando-se esses dados, é correto afirmar que o número total de entrevistados 
foi de: 
 
a. 1200 
b. 1350 
c. 1500 
d. 1250. 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
45
9. (UFPB) Numa pesquisa em que foram entrevistadas 150 pessoas para verificar a 
audiência dos canais de televisão JVM, HPA e SAS, o resultado obtido foi o seguinte: 
85 pessoas assistem ao canal JVM, 62 ao canal HPA e 52 ao canal SAS. Sabe-se 
também que 30 assistem aos canais JVM e HPA e 17 aos canais HPA e SAS, 25 aos 
canais JVM e SAS e 10 aos três canais. Pode-se afirmar que, das pessoas 
entrevistadas: 
I. 53 assistem somente ao canal J 
II. 13 não assistem a nenhum dos canais 
III. 38 não assistem ao canal JVM e nem ao SAS 
 
Está (ão) correta(s) apenas: 
a. I 
b. II e III 
c. I e II 
d. I e III 
e. II 
 
10. (UFF) Os muçulmanos sequer se limitam aos países de etnia árabe, como muitos 
imaginam. Por exemplo, a maior concentração de muçulmanos do mundo encontra-
se na Indonésia, que não é um país de etnia árabe. Adaptado da Superinteressante, 
Ed. 169 – out. 2001. Considere T o conjunto de todas as pessoas do mundo; M o 
conjunto de todas aquelas que são muçulmanas e A o conjunto de todas aquelas que 
são árabes. Sabendo que nem toda pessoa que é muçulmana é árabe, pode-se 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
46
representar o conjunto de pessoas do mundo que não são muçulmanas nem árabes 
por: 
a. T – A 
b. M – A 
c. T – (AM) 
d. T – (A ∩ M) 
e. (A – M) (M – A) 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
47
UNIDADE 10 
Objetivo: Apresentar Conjunto dos Números Naturais. 
Conjunto dos Números Naturais. 
 
A História dos Números Naturais e o Estado do Zero 
Os números naturais tiveram suas origens nas palavras utilizadas para a contagem de 
objetos, começando com o número um. 
O primeiro grande avanço na abstração foi o uso de numerais para representar os números. 
Isso permitiu o desenvolvimento de sistemas para o armazenamento de grandes números. 
Por exemplo, os babilônicos desenvolveram um poderoso sistema de atribuição de valor 
baseado essencialmente nos numerais de 1 a 10. Os egípcios antigos possuiam um sistema 
de numerais com hieróglifos distintos para 1, 10, e todas as potências de 10 até um milhão. 
Uma gravação em pedra encontrada em Karnak, datando de cerca de 1500 a.C. e 
atualmente no Louvre, em Paris, representa 276 como 2 centenas, 7 dezenas e 6 unidades; 
e uma representação similar para o número 4 622. 
Um avanço muito posterior na abstração foi o desenvolvimento da ideia do zero com um 
número com seu próprio numeral. Um dígito zero tem sido utilizado como notação de posição 
desde cerca de 700 a.C. pelos babilônicos, porém ele nunca foi utilizado como elemento 
final. Os Olmecas e a civilização maia utilizaram o zero com um número separado desde o 
século I AC, aparentemente desenvolvido independentemente, porém seu uso não se 
difundiu na Mesoamérica. O conceito da forma que ele é utilizado atualmente se originou 
com o matemático indiano Brahmagupta em 628. Contudo, o zero foi utilizado como um 
número por todos os computus (calculadoras da idade média) começando com DionysiusCopyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
48
Exiguus em 525, porém no geral nenhum numeral romano foi utilizado para escrevê-lo. Ao 
invés disto, a palavra latina para "nenhum", "nullae", foi empregada. 
O primeiro estudo esquemático dos números como abstração (ou seja, como entidades 
abstratas) é comummente atribuído aos filósofos gregos Pitágoras e Arquimedes. Entretanto, 
estudos independentes também ocorreram por volta do mesmo período na Índia, China, e 
Mesoamérica. 
No século XIX, uma definição do conjunto teórico dos números naturais foi desenvolvida. 
Com essa definição, era mais conveniente incluir o zero (correspondente ao conjunto vazio) 
como um número natural. Esta convenção é seguida pelos teorizadores de conjuntos, 
logicistas, e cientistas da computação. Outros matemáticos, principalmente os teorizadores 
dos números, comummente, preferem seguir a tradição antiga e excluir o zero dos números 
naturais. 
Uma construção consistente do Conjunto dos Números Naturais foi desenvolvida no séc. XIX 
por Giuseppe Peano. Essa construção chamada de Axiomas de Peano é uma estrutura 
simples e elegante, servindo como um bom exemplo, de construção de conjuntos numéricos. 
 
O mais próximo de uma definição 
Um número natural é um número inteiro não negativo (0, 1, 2, 3, ...). Em alguns contextos, 
número natural é definido como um número inteiro positivo, i.e., o zero não é considerado 
como um número natural. 
IN = {0, 1, 2, 3, ...} ou IN = {1, 2, 3, ...} 
Os números naturais formam um conjunto infinito contável. 
O uso mais comum deles é a contagem ("Há 4 quadros na parede") ou a ordenação ("Esta é 
a 2ª maior cidade do país"). Propriedades dos números naturais como, por exemplo, 
divisibilidade e a distribuição dos números primos, são estudadas na Teoria dos Números. 
Propriedades que dizem respeito a contagens e combinações são estudadas pela 
combinatória. 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
49
Uma construção do conjunto dos números naturais que não depende do conjunto dos 
números inteiros foi desenvolvida por Giuseppe Peano no séc. XIX e costuma ser chamada 
de Axiomas de Peano. 
 
Notação 
Os matemáticos usam para se referir ao conjunto de todos os números naturais. Este 
conjunto é infinito e contável por definição. Para ser explícito quanto ao zero não estar 
incluído no conjunto, algumas vezes uma notação específica é utilizada: A* 
 
Sistema de numeração 
O sistema usado no cotidiano é o decimal (Base 10), que proporciona exercícios sobre a 
quantidade de algarismos utilizados para escrever uma sequência numérica qualquer de 
naturais (ver exercícios). Outros sistemas usados, normalmente na informática, são os 
binários (Base 2) e o hexadecimal (Base 16). 
É interessante que o professor pesquise sobre as transformações entre os números nessas 
bases. 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
50
Números pares e ímpares: 
Os números naturais podem ser classificados em pares ou ímpares em quantidades iguais, 
ou seja, o conjunto dos números pares e o conjunto dos números ímpares têm a mesma 
cardinalidade (quantidade de elementos). 
Representação do conjunto dos números Pares: P = {0, 2, 4, 6, 8,...} 
- É importante ressaltar que o zero é par. 
Representação do conjunto dos números Ímpares: I = {1, 3, 5, 7. 9,...} 
Note que: 
1) n(P) = n(I) 2) P I = IN 3) P ∩ I =  
Independente do valor do nº natural k, (2k) é par e (2k + 1) é ímpar, daí afirmamos que são 
expressões gerais dos números pares e ímpares. 
 
Propriedades Algébricas dos Naturais 
 Adição Multiplicação 
Fechamento 
a + b é um número 
natural 
a × b é um número natural 
Associatividade: a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c 
Comutatividade: a + b = b + a a × b = b × a 
Elemento Neutro: a + 0 = a a × 1 = a 
Distributividade: a × (b + c) = (a × b) + (a × c) 
Nenhum divisor nulo: Se ab = 0, então ou a = 0 ou b = 0 (ou os dois) 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
51
As propriedades algébricas auxiliam como suporte na resolução de expressões aritméticas e 
simplificações de maneira geral. 
 
Faça agora os exercícios a seguir e confira as respostas disponibilizadas no campo “Estudo 
Complementar”, no ambiente virtual do curso. 
Caso tenha dificuldades, entre em contato, através do campo “Dúvidas ao Tutor”, 
apresentando em cada exercício todos os passos que desenvolveu. 
Bom trabalho e bons estudos! 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Se n é um número natural diferente de zero, diga se são números pares ou ímpares, 
as expressões abaixo: 2n +1; 8n – 6; 6n – 1; 5n + 3 
2. A diferença entre o valor absoluto e o valor relativo de um algarismo em um número é 
396. Que algarismo é esse? Que ordem ele ocupa nesse número? 
3. Quantas dezenas possui o número cujo triplo da soma dos valores relativos de seus 
algarismos é 873 ? 
4. Quantos algarismos utilizo para escrever os 150 primeiros números naturais? 
5. Quantos algarismos serão necessários para escrevermos de 33 até 1.498? 
6. Quantos algarismos são necessários para se escrever os números pares situados 
entre 63 e 709? 
7. Quantos algarismos utilizo ao escrever todos os múltiplos de 3 compreendidos entre 
23 e 314? 
8. Foram gastos para paginar um livro 792 tipos de um algarismo. Quantas páginas têm 
esse livro? 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
52
9. ( Colégio Naval) – Determinar o números de algarismos necessários para escrever os 
números ímpares de 5 até 175 inclusive. 
10. (Colégio Naval) – Um aluno escreveu todos os números naturais de 1 até 2.850. 
Quantas vezes ele escreveu o algarismo 7 ? 
11. (Colégio Naval) – Um número de seis algarismos começa, à esquerda, pelo 
algarismo 1. Levando-se esse algarismo 1, para o último lugar, à direita, conservando 
a sequência dois demais algarismos, o novo número é o triplo do número primitivo. O 
número primitivo é: 
a. 100.006 
b. Múltiplo de 11 
c. Múltiplo de 4 
d. Maior que 180 000 
e. Divisível por 5 
 
12. ( EFEI – 2000 ) Qual é o número natural de dois algarismos que fica aumentado de 
178 unidades quando acrescentamos, à sua direita, o algarismo 7? 
 
 
Antes de dar continuidade aos seus estudos é fundamental que você acesse sua 
SALA DE AULA e faça a Atividade 1 no “link” ATIVIDADES. 
 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
53
 
 As fórmulas são instrumentos de abreviação de trabalho matemático. Porém, para o pleno 
uso desse instrumento, é necessário compreender o que se está manipulando. Como 
capacitar um estudante de Ensino Fundamental a manipular fórmulas com consciência do 
que faz? 
 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
54
UNIDADE 11 
Objetivo: Apresentar os conceitos de múltiplos e divisores. 
Múltiplos e Divisores 
 
Considere x, y e k naturais, x ≠ 0 e k.x = y. Podemos afirmar que: y é múltiplo de x e x é 
divisor de y. 
 Enfatizar que zero não pode ser divisor. 
 Nesse momento é necessário apresentar os critérios de divisibilidade por 2, 3, 5 e 11. 
 
Critérios de divisibilidade poucos conhecidos: 
É interessante o professor pesquisar as demonstrações dos critérios de divisibilidade. Eles 
são estudados no curso de Teoria dos Números (congruência linear módulo “m”). 
 
Divisibilidade por 7 
Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o 
último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, 
repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7. 
Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois: 
16592 Número sem o último algarismo 
-16 Dobro de 8 (último algarismo) 
16576 Diferença 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
55
 
Repete-se o processo com este último número.1657 Número sem o último algarismo 
-12 Dobro de 6 (último algarismo) 
1645 Diferença 
Repete-se o processo com este último número. 
164 Número sem o último algarismo 
-10 Dobro de 5 (último algarismo) 
154 Diferença 
Repete-se o processo com este último número. 
15 Número sem o último algarismo 
-8 Dobro de 4 (último algarismo) 
7 Diferença 
A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7. 
 
Divisibilidade por 13 
Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao 
número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 13. Se o número obtido 
ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este 
critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente 
caso utilizamos a soma no lugar de subtração. 
Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar. 
1656 Número sem o último algarismo 
+8 Quatro vezes o último algarismo 
1664 Soma 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
56
Repete-se o processo com esse último número. 
166 Número sem o último algarismo 
+16 Quatro vezes o último algarismo 
182 Soma 
 
Repete-se o processo com este último número. 
18 Número sem o último algarismo 
+8 Quatro vezes o último algarismo 
26 Soma 
 
Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível 
por 13. 
- É fácil perceber que esses critérios são complicados, por isso não são muito divulgados e 
aplicados nas escolas. 
 
Número primo 
É um número natural com exatamente dois divisores naturais. Por exemplo, o número 3 é um 
número primo, pois seus dois únicos divisores naturais são 1 e 3. Se um número natural é 
maior que 1 e não é primo, diz-se que é composto. Os números 0 e 1 não são 
considerados primos nem compostos. 
 
Entatizar que o número 1 não é Primo. 
O conceito de Número Primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados 
da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer 
número natural diferente de 1 pode ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
57
como um produto de números primos (chamados fatores primos): este processo se chama 
decomposição em fatores primos (fatoração). 
 
Teorema dos números primos 
Todo inteiro maior que 1 pode ser representado de maneira única como o produto de fatores 
primos. 
Aplicações da decomposição em fatores primos de um número 
1. Determinar a quantidade de divisores de um número (a explicação do método é feito 
pela análise combinatória). 
2. Cálculo do M.D.C. e do M.D.C.entre dois números (que também podem ser calculados 
pela fatoração simultânea dos números). 
Grupos e sequências de números primos 
Pierre de Fermat (1601-1665) descobriu que todo número primo da forma 4n + 1, tal como 
5,13,17,29,37,41, etc., é a soma de dois quadrados. Por exemplo: 
5 = 12 + 22, 
13 = 22 + 32, 
17 = 12 + 42, 
29 = 22 + 52, 
37 = 12 + 62, 
41 = 42 + 52. 
 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
58
Hoje são conhecidos dois grupos de números primos: 
 (4n + 1) que podem sempre ser escritos na forma (x2 + y2) 
 (4n − 1) nunca podem ser escritos na forma (x2 + y2). 
 
CURIOSIDADE: Atualmente o maior Número Primo encontrado é 243.112.609 - 1 descoberto 
no dia 23 de agosto de 2008 num projeto de computação distribuída pela Internet, o GIMPS - 
Great Internet Mersenne Prime Search, que usa o tempo ocioso do processador de 
computadores pessoais, procurando por números primos específicos, do tipo 2p − 1, em que 
p é primo, chamados primos de Mersenne. Este último primo encontrado é o primo de 
Mersenne de número 46 e tem 12.978.189 dígitos. 
Para se ter ideia da magnitude, vale dizer, do "tamanho" do primo de Mersenne M46, para 
representá-lo em base decimal seriam necessárias 3.461 páginas com 50 linhas por página e 
75 dígitos por linha (12.978.189 dígitos = 3460,8504 páginas x 50 linhas/página x 75 
dígitos/linha). 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
59
UNIDADE 12 
Objetivo: Resolver exercícios sobre números naturais. 
 
Nessa unidade serão propostos exercícios para verificação dos conhecimentos adquiridos. 
As atividades estão em diversos níveis de dificuldade e algumas serão desafiadoras. Faça os 
exercícios e confira as respostas disponibilizadas no campo “Estudo Complementar”, no 
ambiente virtual do curso. 
Caso tenha dificuldades, entre em contato, através do campo “Dúvidas ao Tutor”, 
apresentando em cada exercício todos os passos que desenvolveu. 
Bom trabalho e bons estudos! 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. (OBM-2000) Escrevem-se, em ordem crescente, os números inteiros e positivos que 
sejam múltiplos de 7 ou de 8 (ou de ambos), obtendo-se 7, 8, 14, 16, …. O 100o 
número escrito é 
a. 406 
b. 376 
c. 392 
d. 384 
e. 400 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
60
2. (XXIII Olimpíada Brasileira de Matemática) – São escolhidos dois números inteiros 
entre 1 e 100 inclusive, tais que a diferença é 7 e o produto é múltiplo de 5. De 
quantas maneiras pode ser feita a escolha? 
 
3. (Olimpíada Brasileira de Matemática) – O número 10 pode ser escrito de duas 
formas como soma de dois números primos: 10 = 5 + 5 e 10 = 7 + 3. De quantas 
maneiras se pode expressar o número 25 como uma soma de dois números primos? 
a. 4 
b. 1 
c. 2 
d. 3 
e. Nenhum 
 
4. Se a diferença entre dois números naturais é 126 e o máximo divisor comum entre 
eles é 18, quais são esses números? 
 
5. Se a soma de dois números naturais é 420 e o máximo divisor comum entre eles é 60, 
quais são esses números? 
 
6. Se a divisão entre dois números naturais é igual a 6/5 e o máximo divisor comum entre 
eles é 15, quais são esses números? 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
61
7. Tenho quatro números primos positivos distintos. Um deles é um número par. O 
segundo é um divisor de 100 e é ímpar. O terceiro e o quarto são fatores de 1870. 
A soma e o produto desses quatro números primos são, respectivamente: 
a. 35 e 1870 
b. 43 e 3230 
c. 32 e 2145 
d. 35 e 1326 
e. 44 e 1870 
 
8. No ponto de ônibus passa um ônibus para Caixa Prego de 15 em 15 minutos e um 
ônibus para Tão Longe de 25 em 25 minutos. Se os dois passaram juntos às 8h 30 
min, a que horas vão passar juntos de novo? 
a. 8h 55min 
b. 9h 15min 
c. 9h 30min 
d. 9h 45min 
 
9. Qual é a sentença verdadeira? 
a. Todo múltiplo de 3 termina em 3 
b. Todo múltiplo de 4 termina em 4 ou 8 
c. Todo múltiplo de 5 termina em 0 ou 5 
d. Todo múltiplo de 6 termina em 6 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
62
10. Determine a sentença falsa: 
a. 770 é divisível por 7 
b. 13 é divisor de 260 
c. O maior múltiplo de 9, menor que 100 é 99 
d. 204 é divisível por 24 
 
11. O número 13 tem apenas dois divisores, que são 1 e 13. Entre 20 e 30, quantos são 
os números que têm só dois divisores? 
a. 2 
b. 3 
c. 4 
d. 5 
 
12. Sabendo que 9 x 8 654 321 = 77 888 889, pode-se concluir que é divisível por 9 o 
número: 
a. 77 888 890 
b. 77 888 898 
c. 77 888 899 
d. 77 888 900 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
63
UNIDADE 13 
Objetivo: Apresentar os números inteiros. 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 
 
Números Negativos 
O número é um conceito fundamental em Matemática que tomou forma num longo 
desenvolvimento histórico. A origem e formulação deste conceito ocorreram com o 
nascimento, e desenvolvimento da Matemática. 
As atividades práticas do homem, por um lado, e as exigências internas da Matemática poroutro determinaram o desenvolvimento do conceito de número. A necessidade de contar 
objetos levou ao aparecimento do conceito de número Natural. Todas as nações que 
desenvolveram formas de escrita introduziram o conceito de número Natural e 
desenvolveram um sistema de contagem. O desenvolvimento subsequente do conceito de 
número prosseguiu principalmente devido ao próprio desenvolvimento da Matemática. 
Os números negativos aparecem pela primeira vez na China antiga - aproximadamente 
4.000 atrás. - Os chineses estavam acostumados a calcular com duas coleções de barras – 
vermelhas para os números positivos e pretas para os números negativos. 
Os Matemáticos indianos descobriram os números negativos quando tentavam formular um 
algoritmo para a resolução de equações quadráticas. 
São exemplos disso as contribuições de Brahomagupta, pois a aritmética sistematizada dos 
números negativos encontra-se pela primeira vez na sua obra. As regras sobre grandezas já 
eram conhecidas através dos teoremas gregos sobre subtração, como por exemplo, 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
64
(a -b).(c -d) = ac +bd - ad - bc, mas os hindus converteram-nas em regras numéricas sobre 
números negativos e positivos. 
Diofanto (Séc. III) operou facilmente com os números negativos. Eles apareciam 
constantemente em cálculos intermédios em muitos problemas do seu "Aritmetika", no 
entanto havia certos problemas para o qual as soluções eram valores inteiros negativos 
como, por exemplo: 4 = 4x +20 
Nessas situações Diofanto limitava-se a classificar o problema de absurdo. Nos séculos XVI 
e XVII, muitos matemáticos europeus não apreciavam os números negativos e, se esses 
números apareciam nos seus cálculos, eles consideravam-nos falsos ou impossíveis. 
Exemplo deste fato seria Michael Stifel (1487- 1567) que se recusou a admitir números 
negativos como raízes de uma equação, chamando-lhes de "numeri absurdi”. Cardano usou 
os números negativos embora os chamando de "numeri ficti". A situação mudou a partir do 
(Séc.XVIII) quando foi descoberta uma interpretação geométrica dos números positivos e 
negativos como sendo segmentos de direções opostas. 
 
O mais próximo de uma definição 
O conjunto dos números inteiros é a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto 
dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen = 
número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por: 
Z = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} 
 
Representações dos subconjuntos do conjunto Z 
a) Conjunto dos números inteiros, excluído o número zero: Z * 
b) Conjunto dos números inteiros não negativos: Z + 
c) Conjunto dos números inteiros não positivos: Z - 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
65
É importante alertar que o zero pertence a Z + e Z - 
Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, 
considerar o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de 
medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira: 
 
A representação geométrica é necessária para a solidificação dos conceitos de módulo e 
elemento oposto (simetria em relação à origem). 
Ao observar a reta numerada nota-se que a ordem que os números inteiros obedecem é 
crescente da esquerda para a direita, razão pela qual se indica com uma seta para a direita. 
Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar que se fosse adotada 
outra forma, não haveria qualquer problema. 
Baseando-se ainda na reta numerada pode-se afirmar que todos os números inteiros 
possuem um, somente um, antecessor e também um; somente um sucessor. 
 
Sucessor e Antecessor 
O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta e 
o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na 
reta. 
Exemplo: 3 é sucessor de 2 ou 2 é antecessor de 3. 
 
 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
66
Simétrico 
Todo número inteiro “x” exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto 
“-x” e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto x como –“-x” estão à mesma 
distância da origem do conjunto ℤ que é 0. 
 
Módulo 
O módulo ou valor absoluto de um número inteiro é definido como sendo a distância entre 
este número e o zero (independente de estar à direita ou esquerda) e pode ser denotado 
pelo uso de duas barras verticais | |. 
Outra forma de definir módulo de um nº é |x| = 
 
x, se x ≥ 0 
-x, se x < 0 
 
Essa forma é necessária para representar gráfico de funções modulares. 
Exemplos: (a) |0| = 0 
 (b) |8| = 8 
 (c) |-6| = 6 
Algumas operações com números inteiros causam muitas dúvidas. Abaixo apresento 
sugestões para melhor entendimento dos alunos. 
 
Adição 
Deve-se associar aos números inteiros positivos a ideia de ganhar e aos números inteiros 
negativos a ideia de perder. 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
67
Multiplicação com dois fatores negativos: Resultado positivo. 
Observe as multiplicações: 
(3).(-3) = (-3) + (-3) + (-3) = -9 
(2).(-3) = (-3) + (-3) = -6 
(1).(-3) = -3 
(0).(-3) = 0 
 
OBS: Os resultados apresentam um aumento de 3 unidades a cada redução de uma unidade 
do multiplicador, continuando o processo percebe-se que: 
(-1).(-3) = 3 
(-2).(-3) = 6 
Pode-se concluir que o produto de números negativos é positivo. 
 
Propriedades Algébricas da adição e multiplicação de Inteiros. 
 Adição Multiplicação 
Fechamento 
a + b é um número 
inteiro. 
a × b é um número inteiro 
Associativa a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c 
Comutativa a + b = b + a a × b = b × a 
Elemento Neutro a + 0 = a a × 1 = a 
Distributiva a × (b + c) = (a × b) + (a × c) 
Elemento Oposto a, -a | a + (-a) = 0 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
68
Potenciação 
A potência “na”, do número inteiro “a”, é definida como um produto de n fatores iguais. O 
número a é denominado a base e o número n é o expoente. 
an = a × a × a × a × ... × a, a é multiplicado por a n vezes 
Exemplos: 
a. 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 
b. (-2)³ = (-2) x (-2) x (-2) = -8 
c. (-5)² = (-5) x (-5) = 25 
d. (+5)² = (+5) x (+5) = 25 
 
Com os exemplos acima, pode-se observar que a potência de todo número inteiro elevado a 
um expoente par é um número positivo e, a potência de todo número inteiro elevado a um 
expoente ímpar é um número que conserva o seu sinal. 
Quando o expoente é n = 2, a potência x² pode ser lida como: "x elevado ao quadrado" e 
quando o expoente é n = 3, a potência x³ pode ser lida como: "x elevado ao cubo". Tais 
leituras são provenientes do fato que área do quadrado pode ser obtida por A = x² onde x é a 
medida do lado e o volume do cubo pode ser obtido por V = x³ onde x é a medida do lado do 
cubo. 
 
Equações Diofantinas Lineares 
O tipo mais simples de equações diofantinas é a equação diofantina linear com duas 
incógnitas x e y. Onde ax + by = c sendo a, b e c são inteiros dados, sendo ab ≠ 0. 
Ex.: 2x + 3y = 10 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
69
A equação diofantina linear ax+by = c tem solução se, e somente se, d divide c, sendo d = 
mdc (a,b). 
TEOREMA: Se d divide c, sendo d = mdc (a,b) e se o par de inteiros (x0,y0)é uma solução 
particular da equação diofantina linear ax + by = c, então todas as outras soluções desta 
equação são dadas pelas fórmulas: 
x = x0 + t 
 y = y0 - t 
Onde t é um inteiro arbitrário. 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
70
UNIDADE 14 
Objetivo: Resolver exercícios sobre números inteiros. 
 
Nessa unidade serão propostos exercícios para verificação dos conhecimentos adquiridos. 
As atividades estãoem diversos níveis de dificuldade e algumas serão desafiadoras. Faça os 
exercícios e confira as respostas disponibilizadas no campo “Estudo Complementar”, no 
ambiente virtual do curso. 
Caso tenha dificuldades, entre em contato, através do campo “Dúvidas ao Tutor”, 
apresentando em cada exercício todos os passos que desenvolveu. 
Bom trabalho e bons estudos! 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Resolva as equações: 
a. |x| = 10 
b. |2x + 3| = 7 
c. |x + 1| = -4 
d. |2x – 5| = x + 3 
2) (Ceará-1999) Encontre todos os inteiros a e b tais que ab = a+b. 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
71
3) (OBM-1999) Quantos são os possíveis valores inteiros de x para que 19+x
99+x
 seja um 
número inteiro? 
a. 5 
b. 10 
c. 20 
d. 30 
e. 40 
 
4) (OBM-1999) Quantos são os pares (x, y) de inteiros positivos que satisfazem a 
equação 2x +3y = 101? 
a. 13 
b. 14 
c. 15 
d. 16 
e. 17. 
5) 
6) (OBM-1998) Qual é o dígito das unidades do número 31998 ? 
a. 1 
b. 3 
c. 5 
d. 7 
e. 9 
 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
72
7) (OBM-1999) O quociente de 5050 por 2525 é igual a: 
a. 2525 
b. 1025 
c. 10025 
d. 225 
e. 2 x 225 
 
8) Resolver a equação diofantina linear 39x + 26y = 105. 
9) Escrevemos abaixo os números naturais de 1 a 10. 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. 
Antes de cada um deles, coloque sinais “+” ou “–” de forma que a soma de todos seja 
zero. Justifique sua resposta. 
 
10) Simplificando a expressão n2
1+n2
 , obtemos: 
a. n
1+n
 
b. 1 
c. 2 
d. n 
e. 2n 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
73
UNIDADE 15 
Objetivo: Apresentar o conjunto dos números racionais. 
Conjunto dos Racionais 
 
Frações 
Por volta do ano 3.000 a.C., um antigo faraó de nome Sesóstris... “... repartiu o solo do Egito 
às margens do rio Nilo entre seus habitantes. Se o rio levava qualquer parte do lote de um 
homem, o faraó mandava funcionários examinarem e determinarem por medida a extensão 
exata da perda.” Estas palavras foram escritas pelo historiador grego Heródoto, há cerca de 
2.300 anos. 
O rio Nilo atravessa uma vasta planície. Uma vez por ano, na época das cheias, as águas do 
Nilo sobem muitos metros acima de seu leito normal, inundando uma vasta região ao longo 
de suas margens. Quando as águas baixam, deixam descobertas uma estreita faixa de terras 
férteis, prontas para o cultivo. Desde a Antiguidade, as águas do Nilo fertilizam os campos, 
beneficiando a agricultura do Egito. Foi nas terras férteis do vale desse rio que se 
desenvolveu a civilização egípcia. Cada metro de terra era precioso e tinha de ser muito bem 
cuidado. 
Sesóstris repartiu estas preciosas terras entre uns poucos agricultores privilegiados. Todos 
os anos, durante o mês de junho, o nível das águas do Nilo começava a subir. Era o início da 
inundação, que durava até setembro. Ao avançar sobre as margens, o rio derrubava as 
cercas de pedra que cada agricultor usava par marcar os limites do terreno de cada 
agricultor. 
Usavam cordas para fazer a medição. Havia uma unidade de medida assinada na própria 
corda. As pessoas encarregadas de medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
74
aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Daí, serem conhecidas como 
estiradores de cordas. No entanto, por mais adequada que fosse a unidade de medida 
escolhida, dificilmente cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno. Foi por essa 
razão que os egípcios criaram um novo tipo de número: o número fracionário. Para 
representar os números fracionários, usavam frações. 
 
As complicadas frações egípcias 
Os egípcios interpretavam a fração somente como uma parte da unidade. Por isso, 
utilizavam apenas as frações unitárias, isto é, com numerador igual a 1. Para escrever as 
frações unitárias, colocavam um sinal oval alongado sobre o denominador. As outras frações 
eram expressas através de uma soma de frações de numerador 1. Os egípcios não 
colocavam o sinal de adição - + - entre as frações, porque os símbolos das operações ainda 
não tinham sido inventados. No sistema de numeração egípcio, os símbolos repetiam-se com 
muita frequência. Por isso, tanto os cálculos com números inteiros quanto aqueles que 
envolviam números fracionários eram muito complicados. Assim como os egípcios, outros 
povos também criaram o seu próprio sistema de numeração. Porém, na hora de efetuar os 
cálculos, em qualquer um dos sistemas empregados, as pessoas sempre esbarravam em 
alguma dificuldade. Apenas por volta do século III a.C. começou a se formar um sistema de 
numeração bem mais prático e eficiente do que os outros criados até então: o sistema de 
numeração romano. 
 
Fração 
A fração como uma classe de equivalência 
A classe de equivalência de uma fração é o conjunto de todas as frações equivalentes à 
fração dada. Ao invés de trabalhar com todos os elementos deste conjunto infinito, 
simplesmente poderemos tomar a fração mais simples deste conjunto que será a 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
75
representante desta classe. Esta fração será denominada um número racional. Pode-se 
escrever o conjunto das frações equivalentes a 1/3, como: 
C(1/3) = {1/3; 2/6; 3/9; 4/12; ..} 
 
Um número racional é o que pode ser escrito na forma onde m e n são números inteiros, 
sendo que n deve ser não nulo, isto é, n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos 
m/n para significar a divisão de m por n. 
Como se pode observar, números racionais podem ser obtidos através da razão (em Latim: 
ratio = razão = divisão = quociente) entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto 
de todos os números racionais é denotado por ℚ. Assim, é comum se encontrar a notação: 
ℚ = {m/n | mZ e nZ*} 
 
O conjunto dos números racionais pode ser desmembrado em 3 subconjuntos: 
 Inteiros 
 Decimais exatas 
Exemplo: 0,435 
 Dízimas periódicas: São classificadas em simples ou compostas. (Em algumas 
situações escreve-se o período entre colchetes) 
Ex.: Simples: 3,4747...= 3,[47] → 3: parte inteira; 47: período 
o Composta: 1,3222...= 1,3[2] → 1: parte inteira; 3: parte não periódica; 2: período 
 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
76
Transformação de dízimas periódicas em frações 
A regra dos “noves” e “zeros” é explicada pela transformação da dízima em soma dos termos 
de uma P.G. infinita e decrescente (limite da soma) 
Ex.: 0,4747... = 0,47 + 0,0047 + ... = 
100
47
+ 
10000
47
 + ... = = 
99
47
 
 
Potenciação em Q: 
 (p/q)n = pn / qn, q≠ 0 
 
Operações com potências de mesma base 
 
1. Multiplicação: pn x pm = pn + m 
O aluno deve ser alertado que em alguns exercícios a igualdade deve ser usada ao 
contrário. 
 
2. Divisão: pn : pm = pn – m 
Esta operação explica porque todo nº (exceto o zero) elevado a zero é igual a 1 e 
expoente negativo inverte a base. 
 
3. Potenciação: (pn)m = pn.m 
 
 
 
Copyright © 2011, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
77
Para testar seus conhecimentos, faça os exercícios a seguir e confira as respostas 
disponibilizadas no campo “Estudo Complementar”, no ambiente virtual do curso. 
Caso tenha dificuldades, entre em contato, através do campo “Dúvidas ao Tutor”, 
apresentando em cada exercício todos os passos que desenvolveu. 
Bom trabalho e bons estudos 
 
EXERCÍCOS 
1. Encontre as frações (simplificadas) relativas aos números racionais: 
a. 1,01 
b. 0,444... 
c. 1,282828... 
d. 0,35666... 
e. 1,0010101... 
 
2. (UFRJ) O número 0,999... é maior,