Series numericas

Prévia do material em texto

Análise Matemática IIC
Ficha 6 - Séries numéricas.
1. Estude a natureza das séries seguintes e, no caso de estas serem con-
vergentes, calcule o valor da respectiva soma:
(a)
∞∑
n=1
n+1
√
n + 1− n
√
n;
(b)
∞∑
n=1
5n+1 2−2n−1;
(c)
∞∑
n=1
sin(
nπ
2
);
(d)
∞∑
n=1
n + 1
n2(n + 2)2
;
(e)
∞∑
n=1
(−1)n
3n
+
2
3n−1
.
2. Recorrendo ao critério do integral, estude a natureza das séries:
(a)
∞∑
n=1
1
(1 + n2) arctan(n)
;
(b)
∞∑
n=3
1
n
√
log n− 1
.
3. Determine a natureza das seguintes séries, por um critério de com-
paração:
(a)
∞∑
n=1
sin4
(
1
n
)
;
(b)
∞∑
n=1
√
n + 1
n3 +
√
n
.
4. Estude a natureza das seguintes séries:
(a)
∞∑
n=1
(−1)n
2n + sin(n)
;
1
(b)
∞∑
n=2
(−1)n
(log n)n
.
5. Sendo
∑
an e
∑
bn séries convergentes de termos positivos, indique, jus-
tificando, quais das séries são necessariamente convergentes ou neces-
sariamente divergentes, e quais podem ser convergentes ou divergentes
consoante as séries
∑
an e
∑
bn consideradas.
(a)
∞∑
n=1
(
1
an
+
1
bn
)
;
(b)
∞∑
n=1
(
1
an
− 1
bn
)
;
(c)
∞∑
n=1
anbn.
6. Considere a série de termos positivos
∑
an e seja α um número real tal
que lim
n→∞
nαan = c (c finito e diferente de zero). Prove que se α > 1 a
série é convergente e se α ≤ 1 a série é divergente.
7. Determine a natureza das seguintes séries:
(a)
∞∑
n=1
2 + (−1)n
n3
;
(b)
∞∑
n=1
log(n) + 3
√
n√
n3 + 1
;
(c)
∞∑
n=1
2nnn
(7n + 1)n
;
(d)
∞∑
n=1
sin(n) cos(n2)
n3 + n + 1
;
(e)
∞∑
n=1
(−1)n 1
1− (−1)nn2
;
(f)
∞∑
n=1
(−1)n+1 tan
(
1√
n
)
;
(g)
∞∑
n=1
en
1 + e2n
;
2