Integrais_08_Exs_Resolvidos

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Lista do https://www.passeidireto.com/ Professor Paulo R.A. Nacaratti 
pnacaratti@hotmail.com 
Integrais que envolvem 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
Estas integrais podem ser calculadas reescrevendo a expressão, como por exemplo: 
𝑥2 − 2𝑥 + 5 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 4 = (𝑥 − 1)2 + 4 
1) ∫
𝑑𝑥
𝑥2 − 2𝑥 + 5
 
𝑅𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟: 𝑥2 − 2𝑥 + 5 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 4 = (𝑥 − 1)2 + 4 
1) ∫
𝑑𝑥
𝑥2 − 2𝑥 + 5
= ∫
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)2 + 4
 
Como já vimos, podemos fazer a seguinte substituição: 
𝑢 = 𝑎𝑡𝑔𝜃 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖 𝑎2 + 𝑢2 𝑝𝑜𝑟 𝑎2𝑠𝑒𝑐2𝜃 
A substituição para esse exercício deve ser: 
𝑎 = 2 𝑒 𝑥 − 1 = 2𝑡𝑔𝜃 ⇒ 𝑑𝑥 = 2𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃 
1) ∫
𝑑𝑥
𝑥2 − 2𝑥 + 5
= ∫
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)2 + 4
= ∫
2𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃
(2𝑡𝑔𝜃)2 + 4
= ∫
2𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃
4𝑡𝑔2𝜃 + 4
= ∫
2𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃
4(𝑡𝑔2𝜃 + 1)
= ∫
2𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃
4𝑠𝑒𝑐2𝜃
= ∫
2𝑑𝜃
4
=
1
2
∫ 𝑑𝜃 =
1
2
𝜃 + 𝐶 
Desfazendo a substituição: 
𝑥 − 1 = 2𝑡𝑔𝜃 ⇒ 𝑡𝑔𝜃 =
𝑥 − 1
2
⇒ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
𝑥 − 1
2
 
∫
𝑑𝑥
𝑥2 − 2𝑥 + 5
=
1
2
∫ 𝑑𝜃 =
1
2
𝜃 + 𝐶 =
1
2
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
𝑥 − 1
2
+ 𝐶 
 
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2) ∫
𝑥 + 1
√2𝑥 − 𝑥2
𝑑𝑥 
Reescrevendo a expressão: 
2𝑥 − 𝑥2 = −𝑥2 + 2𝑥 + 0 = −𝑥2 + 2𝑥 + (1 − 1) = −𝑥2 + 2𝑥 + 1 − 1
= −𝑥2 + 2𝑥 − 1 + 1 = −(𝑥2 − 2𝑥 + 1) + 1 = 1 − (𝑥 − 1)2 
2) ∫
𝑥 + 1
√2𝑥 − 𝑥2
𝑑𝑥 = ∫
𝑥 + 1
√1 − (𝑥 − 1)2
𝑑𝑥 
Substituição: 
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑗á 𝑣𝑖𝑚𝑜𝑠: 𝑢 = 𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖 𝑎2 − 𝑢2 𝑝𝑜𝑟 𝑎2𝑐𝑜𝑠2𝜃 
𝑎 = 1 𝑒 𝑥 − 1 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 ⇒ 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 
𝑇𝑎𝑚𝑏é𝑚 é 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑜 𝑟𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟 𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟: 𝑥 + 1 = 𝑥 − 1 + 2 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 2 
2) ∫
𝑥 + 1
√2𝑥 − 𝑥2
𝑑𝑥
= ∫
𝑥 + 1
√1 − (𝑥 − 1)2
𝑑𝑥
= ∫
(𝑠𝑒𝑛𝜃 + 2)𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
√1 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃
= ∫
(𝑠𝑒𝑛𝜃 + 2)𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
√𝑐𝑜𝑠2𝜃
= ∫
(𝑠𝑒𝑛𝜃 + 2)𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
= ∫(𝑠𝑒𝑛𝜃 + 2)𝑑𝜃 = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 + ∫ 2𝑑𝜃 
2) ∫
𝑥 + 1
√2𝑥 − 𝑥2
𝑑𝑥 = ∫
𝑥 + 1
√1 − (𝑥 − 1)2
𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 + 2 ∫ 𝑑𝜃 = −𝑐𝑜𝑠𝜃 + 2𝜃 + 𝐶 
Desfazendo a substituição: 
𝑐𝑜𝑠𝜃 = √1 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = √1 − (𝑥 − 1)2 
𝑥 − 1 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 ⇒ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 − 1) 
Concluindo: 
2) ∫
𝑥 + 1
√2𝑥 − 𝑥2
𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 + 2 ∫ 𝑑𝜃 = −𝑐𝑜𝑠𝜃 + 2𝜃 + 𝐶
= −√1 − (𝑥 − 1)2 + 2𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 1) + 𝐶 
 
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3) ∫
𝑥 − 1
√𝑥2 − 4𝑥 + 3
𝑑𝑥 
Reescrevendo: 
𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 + 1 − 1 = 𝑥2 − 4𝑥 + 4 − 1 = (𝑥 − 2)2 − 1 
3) ∫
𝑥 − 1
√𝑥2 − 4𝑥 + 3
𝑑𝑥 = ∫
𝑥 − 1
√(𝑥 − 2)2 − 1
𝑑𝑥 
Substituição: 
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑗á 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑎𝑚𝑜𝑠, 𝑢 = 𝑎𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖 𝑢2 − 𝑎2 𝑝𝑜𝑟 𝑎2𝑡𝑔2𝜃 
𝑎 = 1 𝑒 𝑥 − 2 = 𝑠𝑒𝑐𝜃 
𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑔𝜃𝑑𝜃 
𝑥 − 1 = 𝑥 − 2 + 1 = 𝑠𝑒𝑐𝜃 + 1 
𝑇𝑎𝑚𝑏é𝑚 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 1 + 𝑡𝑔2𝜃 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃 
Substituindo 
3) ∫
𝑥 − 1
√𝑥2 − 4𝑥 + 3
𝑑𝑥 = ∫
𝑥 − 1
√(𝑥 − 2)2 − 1
𝑑𝑥 = ∫
(𝑠𝑒𝑐𝜃 + 1)𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑔𝜃𝑑𝜃
√𝑠𝑒𝑐2𝜃 − 1
= ∫
(𝑠𝑒𝑐𝜃 + 1)𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑔𝜃𝑑𝜃
√𝑡𝑔2𝜃
= ∫
(𝑠𝑒𝑐𝜃 + 1)𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑔𝜃𝑑𝜃
𝑡𝑔𝜃
= ∫(𝑠𝑒𝑐𝜃 + 1)𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃
= ∫ 𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃 + ∫ 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃 = 𝑡𝑔𝜃 + 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑡𝑔𝜃| + 𝐶 
Desfazendo a substituição: 
1 + 𝑡𝑔2𝜃 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃 ⇒ 𝑡𝑔2𝜃 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃 − 1 = (𝑥 − 2)2 − 1 ⇒ 𝑡𝑔𝜃 = √(𝑥 − 2)2 − 1 
Concluindo 
3) ∫
𝑥 − 1
√𝑥2 − 4𝑥 + 3
𝑑𝑥 = 𝑡𝑔𝜃 + 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑡𝑔𝜃| + 𝐶
= √(𝑥 − 2)2 − 1 + 𝑙𝑛 |𝑥 − 2 + √(𝑥 − 2)2 − 1| + 𝐶 
 
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4) ∫
𝑥𝑑𝑥
√5 + 4𝑥 − 𝑥2
 
Reescrevendo 
5 + 4𝑥 − 𝑥2 = −(𝑥2 − 4𝑥 − 5) = −(𝑥2 − 4𝑥 + 4 − 9) = −((𝑥 − 2)2 − 9) = 9 − (𝑥 − 2)2 
 
4) ∫
𝑥𝑑𝑥
√5 + 4𝑥 − 𝑥2
= ∫
𝑥𝑑𝑥
√9 − (𝑥 − 2)2
 
Substituição: 
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑗á 𝑣𝑖𝑚𝑜𝑠: 𝑢 = 𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖 𝑎2 − 𝑢2 𝑝𝑜𝑟 𝑎2𝑐𝑜𝑠2𝜃 
𝑎 = 3 𝑒 𝑥 − 2 = 3𝑠𝑒𝑛𝜃 ⇒ 𝑑𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 
𝑇𝑎𝑚𝑏é𝑚 é 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑜 𝑟𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟 𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟: 𝑥 − 2 = 3𝑠𝑒𝑛𝜃 ⇒ 𝑥 = 3𝑠𝑒𝑛𝜃 + 2 
√9 − (𝑥 − 2)2 = √9 − (3𝑠𝑒𝑛𝜃)2 = √9 − 9𝑠𝑒𝑛2𝜃 = √9(1 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃) = √9𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 3𝑐𝑜𝑠𝜃 
Substituindo 
4) ∫
𝑥𝑑𝑥
√5 + 4𝑥 − 𝑥2
= ∫
𝑥𝑑𝑥
√9 − (𝑥 − 2)2
= ∫
(3𝑠𝑒𝑛𝜃 + 2)3𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
3𝑐𝑜𝑠𝜃
= ∫(3𝑠𝑒𝑛𝜃 + 2)𝑑𝜃 = ∫ 3𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 + ∫ 2𝑑𝜃 = 3 ∫ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 + 2 ∫ 𝑑𝜃 = 
4) ∫
𝑥𝑑𝑥
√5 + 4𝑥 − 𝑥2
= 3(−𝑐𝑜𝑠𝜃) + 2𝜃 + 𝐶 = −3𝑐𝑜𝑠𝜃 + 2𝜃 + 𝐶 
Desfazendo a substituição 
𝑥 − 2 = 3𝑠𝑒𝑛𝜃 ⇒ 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑥 − 2
3
⇒ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥 − 2
3
) 
𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 ⇒ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃 ⇒ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 − (
𝑥 − 2
3
)
2
=
9 − (𝑥 − 2)2
9
 
⇒ 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
√9 − (𝑥 − 2)2
3
 
Concluindo 
4) ∫
𝑥𝑑𝑥
√5 + 4𝑥 − 𝑥2
= −3𝑐𝑜𝑠𝜃 + 2𝜃 + 𝐶 = −3 (
√9 − (𝑥 − 2)2
3
) + 2𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥 − 2
3
) + 𝐶
= −√9 − (𝑥 − 2)2 + 2𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥 − 2
3
) + 𝐶 
 
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5) ∫
(1 − 𝑥)𝑑𝑥
√8 + 2𝑥 − 𝑥2
 
Reescrevendo 
8 + 2𝑥 − 𝑥2 = −(𝑥2 − 2𝑥 − 8) = −(𝑥2 − 2𝑥 − 8 + 9 − 9) = −(𝑥2 − 2𝑥 + 1 − 9)
= −((𝑥 − 1)2 − 9) = 9 − (𝑥 − 1)2 
 
5) ∫
(1 − 𝑥)𝑑𝑥
√8 + 2𝑥 − 𝑥2
= ∫
(1 − 𝑥)𝑑𝑥
√9 − (𝑥 − 1)2
 
Substituição 
𝑢 = 𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖 𝑎2 − 𝑢2 𝑝𝑜𝑟 𝑎2𝑐𝑜𝑠2𝜃 
𝑎 = 3 𝑒 𝑢 = 𝑥 − 1 ⇒ 𝑢 = 𝑥 − 1 = 3𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑒 𝑑𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 
1 − 𝑥 = −(1 + 𝑥) = −(𝑥 − 1) = −3𝑠𝑒𝑛𝜃 
9 − (𝑥 − 1)2 = 9 − (3𝑠𝑒𝑛𝜃)2 = 9 − 9𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 9(1 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃) = 9𝑐𝑜𝑠2𝜃 
Substituindo 
5) ∫
(1 − 𝑥)𝑑𝑥
√8 + 2𝑥 − 𝑥2
= ∫
(1 − 𝑥)𝑑𝑥
√9 − (𝑥 − 1)2
= ∫
(−3𝑠𝑒𝑛𝜃)3𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
√9𝑐𝑜𝑠2𝜃
= ∫
(−3𝑠𝑒𝑛𝜃)3𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
3𝑐𝑜𝑠𝜃
= −3 ∫ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 = −3(−𝑐𝑜𝑠𝜃) + 𝐶 = 3𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐶 
𝑥 − 1 = 3𝑠𝑒𝑛𝜃 ⇒ 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑥 − 1
3
 
𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 ⇒ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃 ⇒ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 − (
𝑥 − 1
3
)
2
=
9 − (𝑥 − 1)2
9
 
⇒ 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
√9 − (𝑥 − 1)2
3
 
Desfazendo a substituição 
5) ∫
(1 − 𝑥)𝑑𝑥
√8 + 2𝑥 − 𝑥2
= 3𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐶 = 3 (
√9 − (𝑥 − 1)2
3
) + 𝐶 = √9 − (𝑥 − 1)2 + 𝐶 
 
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6) ∫
𝑥𝑑𝑥
√𝑥2 + 4𝑥 + 5
 
Reescrevendo 
𝑥2 + 4𝑥 + 5 = 𝑥2 + 4𝑥 + 4 + 1 = (𝑥 + 2)2 + 1 
6) ∫
𝑥𝑑𝑥
√𝑥2 + 4𝑥 + 5
= ∫
𝑥𝑑𝑥
√(𝑥 + 2)2 + 1
 
Substituição 
𝑢 = 𝑎𝑡𝑔𝜃 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖 𝑎2 + 𝑢2 𝑝𝑜𝑟 𝑎2𝑠𝑒𝑐2𝜃 
𝑎 = 1 𝑒 𝑢 = 𝑥 + 2 ⇒ 𝑢 = 𝑥 + 2 = 𝑡𝑔𝜃 𝑒 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃 
𝑥 + 2 = 𝑡𝑔𝜃 ⇒ 𝑥 = 𝑡𝑔𝜃 − 2 
Substituindo 
6) ∫
𝑥𝑑𝑥
√𝑥2 + 4𝑥 + 5
= ∫
𝑥𝑑𝑥
√(𝑥 + 2)2 + 1
= ∫
(𝑡𝑔𝜃 − 2)𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃
√𝑡𝑔2𝜃 + 1
 
𝐶𝑜𝑚𝑜 1 + 𝑡𝑔2𝜃 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃 
6) ∫
𝑥𝑑𝑥
√𝑥2 + 4𝑥 + 5
= ∫
𝑥𝑑𝑥
√(𝑥 + 2)2 + 1
= ∫
(𝑡𝑔𝜃 − 2)𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃
√𝑡𝑔2𝜃 + 1
= ∫
(𝑡𝑔𝜃 − 2)𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃
√𝑠𝑒𝑐2𝜃
= ∫
(𝑡𝑔𝜃 − 2)𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃
𝑠𝑒𝑐𝜃
= ∫(𝑡𝑔𝜃 − 2)𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃
= ∫ 𝑡𝑔𝜃 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃 − 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃 = 𝑠𝑒𝑐𝜃 − 2𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑡𝑔𝜃| + 𝐶 
Desfazendo a substituição 
𝑥 + 2 = 𝑡𝑔𝜃 
𝐶𝑜𝑚𝑜 1 + 𝑡𝑔2𝜃 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃 ⇒ 𝑠𝑒𝑐𝜃 = √1 + 𝑡𝑔2𝜃 = √1 + (𝑥 + 2)2 
Concluindo 
6) ∫
𝑥𝑑𝑥
√𝑥2 + 4𝑥 + 5
= 𝑠𝑒𝑐𝜃 − 2𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑡𝑔𝜃| + 𝐶
= √1 + (𝑥 + 2)2 − 2𝑙𝑛 |√1 + (𝑥 + 2)2 + 𝑥 + 2| + 𝐶 
 
 
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7) ∫
(2𝑥 + 3)𝑑𝑥
4𝑥2 + 4𝑥 + 5
 
Reescrevendo 
4𝑥2 + 4𝑥 + 5 = 4𝑥2 + 4𝑥 + 1 + 4 = (2𝑥 + 1)2 + 4 
7) ∫
(2𝑥 + 3)𝑑𝑥
4𝑥2 + 4𝑥 + 5
= ∫
(2𝑥 + 3)𝑑𝑥
(2𝑥 + 1)2 + 4
 
Substituição 
𝑢 = 𝑎𝑡𝑔𝜃 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖 𝑎2 + 𝑢2 𝑝𝑜𝑟 𝑎2𝑠𝑒𝑐2𝜃 
𝑎 = 2 𝑒 𝑢 = 2𝑥 + 1 ⇒ 𝑢 = 2𝑥 + 1 = 2𝑡𝑔𝜃 𝑒 2𝑑𝑥 = 2𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃 ⇒ 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃 
2𝑥 + 3 = 2𝑥 + 1 + 2 = (2𝑥 + 1) + 2 ⇒ 2𝑥 + 3 = 2𝑡𝑔𝜃 + 2 = 2(𝑡𝑔𝜃 + 1) 
(2𝑥 + 1)2 + 4 = (2𝑡𝑔𝜃)2 + 4 = 4𝑡𝑔2𝜃 + 4 = 4(𝑡𝑔2𝜃 + 1) = 4𝑠𝑒𝑐2𝜃 
1 + 𝑡𝑔2𝜃 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃 
Substituindo 
7) ∫
(2𝑥 + 3)𝑑𝑥
4𝑥2 + 4𝑥 + 5
= ∫
(2𝑥 + 3)𝑑𝑥
(2𝑥 + 1)2+ 4
= ∫
2(𝑡𝑔𝜃 + 1)𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃
4𝑡𝑔2𝜃 + 4
= ∫
2(𝑡𝑔𝜃 + 1)𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃
4(𝑡𝑔2𝜃 + 1)
= ∫
2(𝑡𝑔𝜃 + 1)𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃
4𝑠𝑒𝑐2𝜃
= ∫
2(𝑡𝑔𝜃 + 1)𝑑𝜃
4
=
1
2
∫(𝑡𝑔𝜃 + 1)𝑑𝜃
=
1
2
(∫ 𝑡𝑔𝜃𝑑𝜃 + ∫ 𝑑𝜃) =
1
2
(𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝜃| + 𝜃) + 𝐶 
Desfazendo a substituição 
2𝑥 + 1 = 2𝑡𝑔𝜃 ⇒ 
2𝑥 + 1
2
= 𝑡𝑔𝜃 ⇒ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (
2𝑥 + 1
2
) 
𝑇𝑎𝑚𝑏é𝑚 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 (2𝑥 + 1)2 + 4 = 4𝑠𝑒𝑐2𝜃 ⇒ 𝑠𝑒𝑐2𝜃 =
(2𝑥 + 1)2 + 4
4
⇒ 𝑠𝑒𝑐𝜃
= √
(2𝑥 + 1)2 + 4
4
=
√(2𝑥 + 1)2 + 4
2
 
Concluindo 
7) ∫
(2𝑥 + 3)𝑑𝑥
4𝑥2 + 4𝑥 + 5
= =
1
2
(𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝜃| + 𝜃) + 𝐶 =
1
2
𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝜃| +
1
2
𝜃 + 𝐶
=
1
2
𝑙𝑛 |
√(2𝑥 + 1)2 + 4
2
| +
1
2
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (
2𝑥 + 1
2
) + 𝐶