Unidade I

Prévia do material em texto

Autora: Profa. Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa
Colaboradores: Profa. Valéria de Carvalho
 Prof. José Carlos Morilla
Matemática
Professora conteudista: Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa
Mestra em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica (PUC–SP), graduada em Matemática pela 
Faculdade Oswaldo Cruz, leciona no ensino superior desde 1981.
Foi professora nos cursos de licenciatura em Matemática e de pós-graduação lato sensu em Educação Matemática 
das Faculdades Oswaldo Cruz.
Atualmente dá aulas na Universidade Paulista (UNIP) nas modalidades presencial e EaD (Educação a Distância).
É coautora dos seguintes livros: Geometria Analítica para Computação; Álgebra Linear para Computação; 
Matemática: complementos e aplicações nas áreas de Ciências Contábeis, Administração e Economia; Cálculo 
Diferencial de uma Variável; Cálculo Integral de uma Variável.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
E77m Espinosa, Isabel Cristina de Oliveira Navarro.
Matemática / Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa. - São 
Paulo: Editora Sol, 2020.
208 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ISSN 1517-9230.
1. Funções do 1º e 2º grau. 2. Função exponencial. 3. Funções 
trigonométricas. I. Título.
CDU 51
U504.73 – 20
Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Kleber Nascimento
 Aline Ricciardi
 Elaine Pires
Sumário
Matemática
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................7
Unidade I
1 CONCEITOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA .....................................................................................................9
1.1 Conjuntos numéricos .............................................................................................................................9
1.2 Equação do 1º grau ............................................................................................................................. 12
1.3 Porcentagem .......................................................................................................................................... 13
1.4 Equação do 2º grau ............................................................................................................................. 17
1.5 Sistemas lineares .................................................................................................................................. 24
1.5.1 Equação linear.......................................................................................................................................... 24
1.5.2 Sistema linear ........................................................................................................................................... 26
1.6 Ampliando seu leque de exemplos................................................................................................ 34
2 FUNÇÕES ............................................................................................................................................................ 39
2.1 Plano cartesiano ................................................................................................................................... 39
2.2 Produto cartesiano .............................................................................................................................. 41
2.3 Função....................................................................................................................................................... 43
2.3.1 Elementos da função ............................................................................................................................. 45
2.4 Modelagem matemática ................................................................................................................... 47
2.5 Ampliando seu leque de exemplos................................................................................................ 49
Unidade II
3 FUNÇÃO DO 1º GRAU .................................................................................................................................... 56
3.1 Gráfico ...................................................................................................................................................... 56
3.2 Reta definida por dois pontos ......................................................................................................... 62
4 FUNÇÃO DO 2º GRAU (FUNÇÃO QUADRÁTICA) .................................................................................. 76
4.1 Gráfico ...................................................................................................................................................... 77
4.2 Sinais da função ................................................................................................................................... 84
4.3 Ampliando seu leque de exemplos................................................................................................ 89
Unidade III
5 FUNÇÃO EXPONENCIAL ..............................................................................................................................118
5.1 Potenciação – definição e propriedades ...................................................................................118
5.2 Função exponencial ...........................................................................................................................120
5.2.1 Gráfico .......................................................................................................................................................121
5.3 Ampliando seu leque de exemplos..............................................................................................129
6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA ..............................................................................................................................136
6.1 Logaritmo – definição e propriedades .......................................................................................137
6.2 Função logarítmica ............................................................................................................................141
6.2.1 Gráfico ...................................................................................................................................................... 142
6.3 Ampliando seu leque de exemplos..............................................................................................147
Unidade IV
7 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS .................................................................................................................1607.1 Função seno ..........................................................................................................................................160
7.2 Função cosseno ...................................................................................................................................165
7.3 Função tangente .................................................................................................................................170
7.4 Ampliando seu leque de exemplos..............................................................................................174
8 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ...............................................................................................................179
8.1 Relações métricas no triângulo retângulo ...............................................................................179
8.2 Trigonometria no triângulo retângulo ......................................................................................183
8.3 Relação trigonométrica em um triângulo qualquer ............................................................187
8.3.1 Lei dos senos .......................................................................................................................................... 187
8.3.2 Lei dos cossenos ................................................................................................................................... 190
8.4 Ampliando seu leque de exemplos..............................................................................................192
7
APRESENTAÇÃO
O objetivo do presente conteúdo é oferecer material de apoio ao aluno para acompanhamento da 
disciplina Matemática.
Estudaremos, neste livro-texto, alguns conceitos já vistos no Ensino Médio com o objetivo de 
consolidação dos conteúdos, contextualização e aplicação das várias áreas de conhecimento.
Ao longo do estudo, serão apresentados exemplos com aplicações em várias áreas.
Observaremos conceitos matemáticos básicos, sistemas lineares com aplicações e daremos início ao 
estudo das funções. Veremos também modelagem matemática.
Trataremos das funções polinomiais de 1º e de 2º grau, estudando a interpretação de seus gráficos e 
aplicações em física, economia, entre outras áreas.
Abordaremos as funções reais, exponencial e logarítmica, analisando seu domínio, gráfico e aplicações 
em problemas nas áreas da saúde, economia etc.
Discutiremos as funções trigonométricas, seno, cosseno e tangente e as relações trigonométricas no 
triângulo retângulo e em triângulos quaisquer, explorando seus gráficos e usos em diversos segmentos.
Ao final dos assuntos principais, teremos o item “Ampliando seu leque de exemplos”, no qual serão 
encontrados mais exemplos sobre o tema abordado. Trata-se de um espaço que, após a leitura detalhada, 
ajudará na fixação de seu aprendizado.
Bom estudo!
INTRODUÇÃO
Neste livro-texto, estudaremos alguns conceitos básicos de matemática que servirão de base ao 
aprofundamento nas demais disciplinas a serem estudadas no curso.
Os pensamentos vistos podem ser aplicados a várias áreas além da matemática. Por exemplo, em 
Economia, temos o conceito de ponto de equilíbrio, que iguala as funções oferta e demanda e é uma 
aplicação de resolução de sistemas, de construção e análise de gráficos.
Algumas dessas aplicações serão ora encontradas, no entanto é importante notar que dá para 
adaptar os enunciados estudados a problemas ligados à realidade de seus educandos.
Não serão feitas demonstrações, porém elas podem ser encontradas na bibliografia indicada.
O aprendizado da Matemática requer muito empenho e dedicação, é essencial que além do presente 
material, exista a utilização de elementos complementares.
9
MATEMÁTICA
Unidade I
1 CONCEITOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA
Faremos a revisão de alguns conceitos básicos já estudados nos ensinos Fundamental e Médio. Tal 
procedimento será útil para relembrarmos como trabalhar com estes dados conhecidos e observarmos 
novas aplicações.
1.1 Conjuntos numéricos
O conjunto dos números naturais tem origem na necessidade de se contar objetos. Representamos 
este conjunto por IN.
IN = {0, 1, 2, . . . , }
Para representar o conjunto dos números naturais sem o zero, utilizaremos a notação IN*.
IN* = {1, 2, 3, . . . }
O conjunto dos números inteiros inclui os naturais e o oposto de cada um deles. Sua representação 
se dará por Z.
{ } . . . . , 3, 2, 1, 0,1 , 2, 3, . . . = − − −
Temos ainda outras notações importantes sobre o conjunto dos inteiros.
{ } 0,1 , 2, 3, . . . + = conjunto dos inteiros não negativos
{ }. . . , 3, 2, 1, 0 − = − − − conjunto dos inteiros não positivos
{ }* . . . , 3, 2, 1 − = − − − conjunto dos inteiros negativos
O conjunto dos racionais, representado por Q, surgiu da necessidade de se dividir, pois nem sempre 
a divisão é exata.
Racional vem de razão, assim podemos representar os números racionais como a razão entre 
2 números inteiros a e b, sendo que b ≠ 0, isto é,
10
Unidade I
a
Q a e b *
b
 
= ∈ ∈ 
 
 
Note que neste conjunto dos números racionais:
• sempre que o racional tiver o denominador igual a 1, teremos um número inteiro, todos os 
números inteiros. Por exemplo, o racional 4
1
 é igual ao inteiro 4;
• os decimais são finitos. Por exemplo, 
2
0,4
5
= ;
• as dízimas são periódicas (decimais infinitas, com repetição de sequencias). Por exemplo: 
10
3,33333...
3
=
O conjunto dos irracionais possui números decimais, infinitos, não periódicos e não é possível 
representá-lo na forma de fração irredutível.
São irracionais:
• os decimais infinitos não periódicos;
• as raízes não exatas;
• os números transcendentes. Por exemplo: π = 3,14159265 (Pi – usado em fórmulas 
geométricas) e = 2,71828182 (número de Euler, base do logaritmo neperiano, utilizado em 
cálculo com logaritmos).
O conjunto dos números reais é formado pela união do conjunto dos racionais e dos irracionais. É 
representado por IR.
Em geral, representamos o conjunto dos irracionais por IR - .
Podemos retratar os conjuntos numéricos através de um diagrama, como demonstrado a seguir.
IR
IR – Q
INQ
Z
Figura 1
11
MATEMÁTICA
Note que existem situações nas quais a solução não será um número real, neste caso, será necessário 
utilizar outro conjunto numérico, o conjunto dos números complexos. Neste texto, não trabalharemos 
tais números.
 Saiba mais
Para informações a respeito dos números complexos, leia:
SÓ MATEMÁTICA. Números complexos. Virtuous Tecnologia da 
Informação, 1998-2019. Disponível em: <https://www.somatematica.com.
br/emedio/complexos/complexos.php>. Acesso em: 7 jan. 2019.
Constam na sequência alguns exercícios para auxiliar no entendimento do conteúdo apresentado.
Exemplo 1
A construtora de um prédio dá acesso, em seu site, aos proprietários das etapas já concluídas. Em 
um determinado mês, informou que 1/5 da obra estava concluída. No outro mês, disse que tinha sido 
concluído mais 1/4 da obra e, no último mês, mais 2/5.
Quanto ainda falta a ser feito no prédio?
Solução
Para determinar a parcela que ainda falta ser feita, devemos inicialmente somar todas as parcelas 
informadas pela construtora.
1 1 2 17
5 4 5 20
+ + =
Se já foram concluídos 17
20
 restam ainda 3
20
.
Exemplo 2
A expressão x2 + 1 = 0 tem solução no conjunto dos reais?
Solução
Não conseguimos um número real que ao quadrado mais 1 torne-se igual a zero. Logo, tal expressão 
não tem solução real.
http://189.28.128.100/dab/docs/publicacoes/cadernos_ab/caderno_33.pdf
http://189.28.128.100/dab/docs/publicacoes/cadernos_ab/caderno_33.pdf
12
Unidade I
1.2 Equação do 1º grau
Equações são utilizadas em vários momentos do nosso curso. Neste item, veremos a noção de 
equação do 1º grau e algumas aplicações simples. Nos próximos itens, voltaremos a esse assunto com 
outras aplicações.
São equações do tipo ax + b = 0, com a, b ∈ IR e a ≠ 0.
Determinar a solução de uma equação de 1º grau é encontrar o valor de x que tornaverdadeira a 
expressão ax + b = 0.
Os valores de x podem ser reais, racionais, inteiros ou naturais dependendo da situação estudada.
Constam na sequência alguns exercícios para auxiliar no entendimento do conteúdo apresentado.
Exemplo 1
O sucessor do quádruplo de um número excede o seu triplo em 6 unidades. Escreva a equação que 
representa o problema e determine sua solução.
Solução
Vamos inicialmente chamar de x o número procurado. Na sequência devemos traduzir cada 
informação do enunciado em uma expressão matemática.
• Quádruplo do número: 4x
• Sucessor do quádruplo de um número: 4x + 1
• Triplo do número: 3x
Lendo novamente o enunciado, podemos montar a equação que corresponde ao problema,
4x + 1 = 3x + 6
Para resolver a equação, separaremos as expressões com x do lado esquerdo da expressão e os 
termos independentes do lado direito.
Assim, temos:
4x - 3x = 6 - 1
x = 5
13
MATEMÁTICA
Logo, o número procurado é 5.
Exemplo 2
Determinar 3 números inteiros consecutivos tais que o quíntuplo do maior seja igual à soma dos 2 
primeiros. Escreva a equação que representa o problema e determine sua solução.
Solução
Inicialmente, representaremos os 3 números consecutivos: n, n + 1, n + 2.
Traduzindo os dados do enunciado para expressões matemáticas temos:
• Quíntuplo do maior: 5 (n + 2)
• Soma dos 2 primeiros: n + (n + 1)
Lendo novamente o enunciado, temos a equação que corresponde ao problema,
5 (n + 2) = n + (n + 1)
5n + 10 = n + n + 1
Separando as expressões com n do lado esquerdo e os termos independentes do lado direito, temos:
5n - 2n = 1 - 10
3n = - 9
n = -3
Assim, os 3 números consecutivos pedidos serão -3, -2 e -1.
1.3 Porcentagem
Chegamos ao posto de combustível para abastecer e queremos saber o que é mais vantajoso, 
colocar etanol ou gasolina. Com o etanol, fazemos menos km por litro de combustível e, para 
compensar o preço dele, deve ser menos de 70% do valor da gasolina. Para decidir, precisaremos 
do conceito de porcentagem.
Porcentagem indica a razão entre um determinado número de elementos e 100 elementos de uma 
mesma grandeza.
14
Unidade I
Podemos representar pelo percentual ou pelo decimal correspondente, por exemplo:
• 10 por cento é o mesmo que 10% ou 10/100 = 0,10
• 5 por cento é o mesmo que 5% ou 5/100 = 0,05
Em nosso dia a dia, utilizamos porcentagem em vários momentos.
Constam na sequência alguns exercícios para auxiliar no entendimento do conteúdo apresentado.
Exemplo 1
Em um escritório com 120 funcionários, se 45 deles são mulheres, qual o percentual de homens?
Solução
45 são mulheres
120 - 45 = 75 são homens
Para determinar o percentual de homens, devemos dividir 75 por 120 e encontramos 0,625 ou 62,5%.
 Observação
Note que a soma do percentual de homens e de mulheres deve ser 
igual a 100%, se estiver utilizando percentuais, ou igual a 1 em caso de 
decimal correspondente.
Exemplo 2
João fez uma prova com 30 testes, acertou 20 deles. Qual sua porcentagem de acerto?
Solução
Utilizaremos regra de três para fazer nosso cálculo.
Tabela 1
Testes Percentual
30 100
20 x
15
MATEMÁTICA
Multiplicando em cruz, temos
30 * x = 20 * 100
20 *100
x 66,666666
30
= =
Assim, João acertou 66,67% dos testes.
 Lembrete
Para o resultado final, consideramos 2 casas decimais com 
arredondamento, isto é, como a 3ª casa é 6, e como 6 > 5, aumentamos um 
dígito na 2ª casa decimal.
Exemplo 3
Em contabilidade temos o conceito de depreciação, a perda de valor de um ativo devido ao desgaste 
ou ao uso. Por exemplo, imóveis, máquinas e veículos sofrem depreciação.
Dentre os vários métodos de cálculo para a depreciação, temos a depreciação linear, na qual a 
parcela de depreciação é constante durante a vida útil do ativo.
Geralmente, temos a vida útil utilizada em depreciação dada por:
Imóveis – 25 anos
Máquinas e equipamentos – 10 anos
Veículos – 5 anos
Baseado nesses dados, determine a taxa anual de depreciação de cada um dos ativos citados.
Solução
Utilizar regra de três novamente.
Imóveis:
Tabela 2
Vida útil (anos) Percentual (%)
25 100
1 x
16
Unidade I
1*100
x 4% ao ano
25
= =
Máquinas/equipamentos
Tabela 3
Vida útil (anos) Percentual (%)
10 100
1 x
1*100
x 10% ao ano
10
= =
Veículos
Tabela 4
Vida útil (anos) Percentual (%)
5 100
1 X
1*100
x 20% ao ano
5
= =
Exemplo 4
O preço de venda de certo produto é 15% a mais que o preço de custo. Se o valor de venda foi de 
R$ 5.497,00, qual o valor do preço de custo deste bem?
Solução
Usaremos as notações pv (preço de venda) e pc preço de custo.
Segundo o enunciado pv = pc + 15% pc , utilizando a notação de decimais para o percentual temos:
pv = pc + 0,15 pc
pv = 1,15 pc
5.497,00 = 1,15 pc
17
MATEMÁTICA
Devemos isolar pc, assim:
pc = 4.780,00
O preço de custo do produto é R$ 4.780,00.
1.4 Equação do 2º grau
Há várias situações práticas em que a solução recai em uma equação do 2º grau.
Constam na sequência alguns exercícios para auxiliar no entendimento do conteúdo apresentado.
Temos um terreno retangular de área total 200 m2. Se um dos lados tem medida igual ao dobro do 
outro, podemos determinar a medida de cada lado escrevendo a equação correspondente.
Solução
x
2x
Figura 2 
A área de um retângulo é dada por: A = x*2x
Como A = 200 m², teremos
2x2 = 200
x2 = 100
x = ± √100
x = ± 10
Como trata-se de medida do terreno, não podemos utilizar o valor negativo.
Assim, teremos x = 10 m e y = 20 m.
 Observação
Note que, neste exemplo, o cálculo do valor de x foi feito por radiciação, não 
utilizamos método específico para determinar as raízes da equação quadrática.
18
Unidade I
Equação do 2º grau é toda equação que possui o seguinte modelo:
ax2 + bx + c = 0, com a, b, c ∈ IR e a ≠ 0
 Observação
Podemos ter b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, e ainda assim haverá uma 
equação do 2º grau.
Para resolver uma equação do 2º grau, podemos utilizar fatoração, soma e produto das raízes ou a 
fórmula de Báskara. Neste texto faremos o cálculo das raízes da equação por meio de Báskara, mas é 
possível empregar o método que achar mais prático.
Fórmula de Báskara
ax2 + bx + c = 0
Δ = b2 - 4*a*c
b
x
2 * a
− ± Δ
=
Dependendo do valor de Δ, teremos:
• Δ > 0 – a equação terá 2 raízes reais
• Δ = 0 – a equação terá 1 raiz real
• Δ < 0 – a equação não terá raiz real
 Saiba mais
Para informações adicionais sobre Báskara, acesse:
CELESTINO, K. G. PACHECO, E. R. Bhaskara: algumas evidências. In: ENCONTRO 
REGIONAL DE ESTUDANTES DE MATEMÁTICA DO SUL, 16., 2010, Porto Alegre. 
Anais... Porto Alegre: PUC, 2010. Disponível em: <http://www.pucrs.br/edipucrs/
erematsul/comunicacoes/26kamilacelestino.pdf>. Acesso em: 7 jan. 2019.
Constam na sequência alguns exercícios para auxiliar no entendimento do conteúdo apresentado.
19
MATEMÁTICA
Exemplo 1
Determinar a solução das seguintes equações de 2º grau:
a) 2x2 - x - 1 = 0
Solução
Inicialmente, separaremos os valores dos coeficientes da equação,
• a = 2
• b = -1
• c = -1
Determinar a solução da equação é encontrar suas raízes, faremos isso utilizando a fórmula de Báskara.
Δ = b2 - 4*a*c
Δ = (-1)2 - 4*2*(-1)
Δ = 1 + 8 = 9
b
x
2 * a
− ± Δ
=
( 1) 9 1 3
x
2 * 2 4
− − ± ±
= =
1
2
1 3
x 1
4
1 3 1
x
4 2
+
= =
−
= = −
A equação tem 2 raízes reais, 1 2
1
x 1 e x
2
= = −
b) x² - 6x + 9 = 0
Solução
Inicialmente, separaremos os valores dos coeficientes da equação,
• a = 1
20
Unidade I
• b = -6
• c = 9
Determinar a solução da equação é encontrar suas raízes, faremos isso utilizando a fórmula de Báskara.
Δ = b² - 4*a*c
Δ = (-6)2 - 4*1*9
Δ = 36 - 36 = 0 (1 raiz real)
b
x
2 * a
− ± Δ
=
( 6) 0 6 0
x 3
2 2
− − ± ±
= = =
A equação tem solução única x = 3.
c) x2 + 3x + 7 = 0
Solução
Inicialmente, separaremos os valores dos coeficientes da equação,
• a = 1
• b = 3
• c = 7
Determinar a solução da equação é encontrar as suas raízes, faremos isso utilizando a fórmula de Báskara.
Δ = b2 - 4*a*c
Δ = 32 - 4*1*7
Δ = 9 - 28 = -19 < 0, não tem raiz real
A equaçãonão tem solução.
21
MATEMÁTICA
Exemplo 2
A área de um retângulo é de 300 m2, o comprimento é 5 m maior que a largura. Escreva a equação 
correspondente ao problema e depois determine o valor da largura e do comprimento do retângulo.
Solução
Segundo os dados do enunciado, temos:
• A = 300 m2
• Largura: L
• Comprimento: C = L + 5
Sabemos que a área do retângulo é dada por A = C.L, assim 300 = L*(L + 5)
L*(L + 5) = 300
L2 + 5L = 300
L2 + 5L - 300 = 0
Δ = b2 - 4*a*c
Δ = 5²- - 4*1* (-300)
Δ = 1.225
b
L
2 * a
− ± Δ
=
5 1225 5 35
L
2 *1 2
− ± − ±
= =
1
2
5 35
L 15
2
5 35
L 20 0
2
− +
= =
− −
= = − <
Logo, temos L = 15 m e como C = L + 5 teremos C = 20 m.
22
Unidade I
 Observação
Não utilizamos o valor de L = - 20 pois trata-se de uma medida e fica 
subentendido que L > 0.
Exemplo 3
Um grupo de colegas foi a um restaurante e gastou R$ 630,00. Dois dos indivíduos esqueceram a 
carteira, obrigando os demais a pagar, além da sua parte, mais R$ 20,00 cada. Quantos eram os colegas?
Solução
Inicialmente, traduziremos os dados do enunciado para expressões matemáticas:
• número de colegas: x
• valor original a ser pago por cada colega: 630
x
• valor pago por cada um dos (x - 2) colegas: 630 20
x
+
Assim, temos:
630
(x 2) * 20 630
x
 − + =  
Pela propriedade distributiva:
630 630
x * 20 2 * 20 630
x x
   + − + =      
Utilizando novamente a propriedade distributiva:
630 630
x * x * 20 2 * 2 * 20 630
x x
+ − − =
Simplificando ficamos com:
1260
630 20x 40 630
x
+ − − =
23
MATEMÁTICA
1260
20x 40 0
x
− − =
Fazendo o MMC (mínimo múltiplo comum), temos:
20x2 - 1260 - 40x = 0
Organizando a expressão:
20x2 - 40 x - 1260 = 0
Chegamos a uma equação do 2º grau que podemos simplificar, dividindo todos os termos por 20:
x2 - 2x - 63 = 0
Resolvendo a equação, temos:
Δ = b² - 4*a*c
Δ = (-2)² - 4*1*(-63)
Δ = 256
b
x
2 * a
− ± Δ
=
( 2) 256 2 16
x
2 *1 2
− − ± ±
= =
1
2
2 16
x 9
2
2 16
x 7
2
+
= =
−
= = −
 Observação
Note que embora o enunciado não afirme diretamente, está 
subentendido que a solução só pode ser um valor inteiro positivo, (x > 0).
Assim, a solução para nosso exercício será 9 colegas.
24
Unidade I
1.5 Sistemas lineares
1.5.1 Equação linear
Chamamos de equação linear toda equação do tipo:
• a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + . . . + an xn = b
• a1 ,a2, a3, . . ., an são denominados coeficientes
• x1 ,x2, x3, . . ., xn são denominados variáveis
• o número b é o termo independente
Veja que a equação será linear se todas as variáveis tiverem expoente igual a 1.
Uma solução para a equação linear é uma n-upla (lê-se, enupla), isto é, uma sequência ordenada 
(x1, x2, x3, . . ., xn), que quando substituídos os valores das variáveis na equação transforma a expressão 
em um resultado verdadeiro.
Constam na sequência alguns exercícios para auxiliar no entendimento do conteúdo apresentado.
Exemplo 1
Verifique se (1, -1, -1) é solução da equação 2x1 + 3x2 - x3 = 0.
Solução
2x1 + 3x2 - x3 = 0 é uma equação linear.
Uma solução para esta equação é uma terna (x1, x2, x3).
Verificaremos se (x1, x2, x3) = (1, -1, -1) é solução da nossa equação.
Para isso, é necessário substituir os valores das variáveis na equação e observar o resultado.
2*1 + 3*(-1) - (-1) = 0
2 - 3 + 1 = 0
0 = 0 (V)
O resultado obtido é verdadeiro, logo a terna (1, -1, -1) é solução da equação.
25
MATEMÁTICA
Vejamos agora se (x1, x2, x3) = (1, 2, -1) é solução da nossa equação.
Para isso, é necessário substituir os valores das variáveis na equação e observar o resultado.
2*1+3*2 -(-1) = 0
2 + 6 + 1 = 0
7 = 0 (F)
O resultado obtido é falso, logo a terna (1, 2, -1) não é solução da equação.
Nem sempre as equações terão as variáveis com a notação x1 ,x2, x3, . . ., xn , é mais comum que elas 
sejam escritas com as variáveis x, y, z.
Exemplo 2
Verifique se (1, 1, 0) é solução da equação 4x - y + 2z = 3.
Solução
4x - y + 2z = 3 é uma equação linear.
Uma solução para esta equação é uma terna (x, y, z).
Verificaremos se (x, y, z) = (1, 1, 0) é solução da nossa equação.
Para isso, é necessário substituir os valores das variáveis na equação e observar o resultado.
4*1 - 1 + 2*0 = 3
4 - 1 + 0 = 3
3 = 3 (V)
O resultado obtido é verdadeiro, logo a terna (1, 1, 0) é solução da equação.
Exemplo 3
Verifique se (1, -4) é solução da equação 2 x + y = - 2.
Solução
2 x + y = - 2 é uma equação linear
26
Unidade I
Uma solução para esta equação é um par ordenado (x, y).
Verificaremos se (x, y) = (1, -4) é solução da nossa equação.
Para isso, é necessário substituir os valores das variáveis na equação e observar o resultado.
2*1 - 4 = -2
2 - 4 = -2
-2 = -2 (V)
O resultado obtido é verdadeiro, logo o par ordenado (1, -4) é solução da equação.
1.5.2 Sistema linear
Um conjunto com várias equações lineares é chamado de sistema de equações lineares, ou 
simplesmente sistema linear.
É possível escrever um sistema linear com m equações e n incógnitas da seguinte forma:
11 1 12 2 1n n 1
21 1 22 2 2n n 2
m1 1 m2 2 mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
S
a x a x a x b
+ + + =
 + + + =


 + + + =




 Observação
Atente-se que para os escalares das equações lineares, utilizamos a 
notação de matrizes, aij, onde “i” indica a equação e “j” indica a variável 
associada. Assim, a23 indica coeficiente da variável x3 na equação 2.
A solução de um sistema de equações lineares é uma n-upla ordenada (x1, x2, ..., xn) que torna todas 
as equações verdadeiras.
Quando os termos independentes forem todos nulos, isto é, b1 = b2 = ... = bn = 0 chamaremos o 
sistema de homogêneo. Caso contrário, será dito não homogêneo.
Constam na sequência alguns exercícios para auxiliar no entendimento do conteúdo apresentado.
27
MATEMÁTICA
Exemplo 1
Verifique se o par ordenado (1, 2) é solução do sistema linear
x 3y 7
S
2x y 0
+ =
 − =
Solução
Para saber se (1, 2) é solução do sistema, devemos substituir os valores de x=1 e y=2 nas duas 
equações do sistema e observar o resultado.
Na 1ª equação, temos:
1 + 3 * 2 = 7
7 = 7 (V)
Na 2ª equação, temos:
2*1 - 2 = 0
0 = 0 (V)
Logo o par (1, 2) é solução do sistema de equação S.
Exemplo 2
Verifique se a terna ordenada (1, -1, -2) é solução do sistema linear
x y 2z 1
S 2x y z 3
4x y z 1
− + =
 + − =
 + + =
Solução
Para saber se (1, -1, -2) é solução do sistema, devemos substituir os valores de x = 1, y = -1 e z = -2 
nas três equações do sistema e observar o resultado.
Na 1ª equação, temos:
1 -(-1) + 2*(-2) = 1
28
Unidade I
1 + 1 - 4 = 1
-2 = 1 (F)
Na 2ª equação, temos:
2*1 +(-1) -(-2) = 3
2 - 1 + 2 = 3
3 = 3 (V)
Na 3ª equação, temos:
4*1 + (-1) + (-2) = 1
4 - 1 - 2 = 1
1 = 1 (V)
Logo, a terna (1, -1, -2) não é solução do sistema, pois não é solução da sua 1ª equação.
Sistemas lineares podem ser classificados segundo suas soluções. Um sistema que tem solução é 
chamado de possível e, se não tiver solução, será chamado de impossível. As soluções podem ser únicas 
ou infinitas.
Assim, teremos:
• SPD – sistema possível determinado, “solução única”.
• SPI – sistema possível e indeterminado, “infinitas soluções”.
• SI – sistema impossível, “não tem solução”.
 Lembrete
Note que se o sistema tem solução, só pode haver uma ou infinitas 
delas, não existirão sistemas com outro número.
Até agora só verificamos se é solução do sistema, falta determinar a solução de um sistema linear. 
Para fazê-lo, existem vários processos: adição, substituição, escalonamento, cramer, gauss etc.
Neste livro-texto, utilizaremos os métodos de substituição e adição.
29
MATEMÁTICA
Agora resolveremos alguns sistemas lineares e determinaremos sua classificação conforme a solução 
encontrada.
Exemplo 1
Resolver os sistemas:
a) 
x 3y z 2
S 2x y 3z 4
x 2y 2z 6
− + =
 + − = −
− + + =
Solução
Solucionaremos este sistema por adição. Para isso, multiplicaremos a 1ª equação por (-2) e somaremos 
com a 2ª equação, assim eliminando a variável x na segunda equação.2x 6y 2z 4
 2x y 3z 4
 0 7y 5z 8 (I)
− + − = −
+ − = −
+ − = −
Substituiremos a 2ª equação no sistema por (I),
x 3y z 2
S 7y 5z 8
x 2y 2z 6
− + =
 − = −
− + + =
Agora devemos eliminar o x na 3ª equação, somando a 1ª equação e a 3ª equação, no sistema anterior.
 x 3y z 2
 x 2y 2z 6
 0 y 3z 8 (II)
− + =
− + + =
− + =
Trocaremos a 3ª equação no sistema por (II),
x 3y z 2
S 7y 5z 8
 y 3z 8
− + =
 − = −
 − + =
Excluiremos y na 3ª equação, para isso devemos multiplicar a 3ª equação por 7 e somar com a 2ª.
30
Unidade I
 7y 5z 8
 -7y 21z 56
 0 16z 48 (III)
− = −
+ =
+ =
Mudaremos a 3ª equação no sistema por (III),
 x 3y z 2
S 7y 5z 8
 16z 48
− + =
 − = −
 =
Na terceira equação, temos que z = 3.
Substituindo na segunda equação temos:
7y - 5*3 = -8
7y = -8 + 15
7y = 7
y = 1
Trocando z = 3 e y = 1 na primeira equação, temos:
x - 3*1 + 3 = 2
x - 3 + 3 = 2
x = 2
Assim, o sistema é possível e determinado (SPD), isto é, tem solução única, (2, 1, 3).
b) 
2x y 3z 5
S x 2y z 0
x 3y 4z 5
− + =
 + − =
 − + =
Solução
Resolveremos este sistema por adição. Para isso, multiplicaremos a 2ª equação por (-2) e somaremos 
com a 1ª, assim eliminaremos a variável x na segunda equação.
31
MATEMÁTICA
2x 4y 2z 0
 2x y 3z 5
 0 5y 5z 5 (I)
− − + =
− + =
− + =
Substituiremos a segunda equação no sistema por (I),
2x y 3z 5
S 5y 5z 5
x 3y 4z 5
− + =
 − + =
 − + =
Agora devemos eliminar o x na 3ª equação, multiplicaremos a 3ª equação por (-2) e somaremos com 
a 1ª equação, no sistema anterior
 2x y 3z 5
 2x 6y 8z 10
 0 5y 5z 5 (II)
− + =
− + − = −
+ − = −
Trocaremos a 3ª equação no sistema por (II),
2x y 3z 5
S 5y 5z 5
 5y 5z 5
− + =
 − + =
 − = −
Excluiremos y na 3ª equação, para isso devemos somar a 3ª equação com a 2ª equação.
-5y 5z 5
5y 5z 5
 0 = 0 (III)
+ =
− = −
Mudaremos a 3ª equação no sistema por (III),
2x y 3z 5
S 5y 5z 5
 0 0
− + =
 − + =
 =
Na 3ª equação, temos 0 = 0, isto significa que o sistema é possível e indeterminado (SPI). Ele tem 
infinitas soluções.
32
Unidade I
Para determinar as soluções, utilizaremos as duas equações que sobraram no sistema.
Isolando y na 2ª equação, temos:
-5y = 5 -5z
5 5z
y
5
y 1 z
−
=
−
= − +
Substituindo y = -1 + z na 1ª equação, temos:
2x - (-1 + z) + 3z = 5
2x + 1 – z + 3z = 5
2x = 5 - 1 - 2z
2x = 4 - 2 z
4 2z
x
2
x 2 z
−
=
= −
O sistema é possível e indeterminado (SPI), isto é, tem infinitas soluções. Assim, a solução do sistema 
é (2 - z, -1 + z, z) com z ∈ IR.
 Observação
Teremos infinitas soluções, pois cada vez que colocamos um valor para 
z, obtemos uma nova solução.
Daria para isolar y e z em função de x e daí a solução seria (x, 1 -x, 2-x) com x qualquer ou x e z em 
função de y e daí a solução seria (1 - y, y, y + 1) com y qualquer.
c) 
x y z 2
S x 2z 5
y z 2
+ − = −
 − = −
 + =
33
MATEMÁTICA
Solução
Resolveremos este sistema por substituição. Observando as duas últimas equações, notamos que z é 
comum às duas, isolaremos x e y em função de z.
• Isolando x na 2ª equação, temos: x = -5 + 2z
• Isolando y na 3ª equação, temos: y = 2 - z.
Substituindo x e y na 1ª equação:
(-5 + 2z) + (2 - z) - z = - 2
- 5 + 2 z + 2 - z - z = - 2
- 3 = - 2 (F)
Sistema impossível (SI), não tem solução.
Exemplo 2
O professor de matemática preparou uma prova de múltipla escolha com 20 questões, e disse que, 
para cada resposta correta, teríamos um ponto, enquanto que perderíamos 0,5 ponto a cada resposta 
incorreta. Um aluno tirou 6,5, monte um sistema de equações que represente o problema e calcule 
quantas questões ele acertou.
Solução
Lendo o enunciado, devemos traduzir as informações em expressões matemáticas.
• Número de acertos: x
• Números de erros: y
• 20 questões: x + y = 20
• Valor das questões certas: 1*x
• Valor das questões erradas: 0,5*y
• Nota 6,5: 1*x – 0,5*y = 6,5
34
Unidade I
Temos então o sistema:
x y 20
x 0,5y 6,5
+ =
 − =
x y 20
x 0,5y 6,5
0 1,5y 13,5
 + =
− + = −
+ =
Resolveremos o sistema por adição, multiplicando a 1ª equação por (-1) e somando com a 2ª equação.
Temos então, 
13,5
y
1,5
= , logo y = 9.
Sabemos que houve 9 erros, logo acertaram 11 delas.
1.6 Ampliando seu leque de exemplos
Exemplo 1
Em Economia, temos conceitos de oferta, demanda e ponto de equilíbrio, que ocorre quando a 
oferta for igual à demanda.
Demanda é a quantidade que os compradores estão dispostos a obter por determinado preço em 
um dado período.
Oferta é a quantidade que os vendedores estão dispostos a oferecer a um determinado preço em 
um dado período.
O sistema 
p q 8
S
p q 2
+ =
 − = −
 representa as funções oferta (p - q = -2) e demanda (p + q = 8). Determine 
o ponto de equilíbrio resolvendo o sistema, sendo p preço e q quantidade.
Solução
O ponto de equilíbrio será a solução do sistema.
Resolveremos o sistema por substituição, isolando p na primeira equação
p = 8 - q
agora trocando na 2ª equação, temos:
35
MATEMÁTICA
8 - q - q = -2
-2 q = -10
q = 5
Como p = 8 - q, substituindo q = 5, temos: p = 8 - 5 = 3
Logo, PE (ponto de equilíbrio) ocorre para q = 5 e p = 3, PE = (q, p) = (5, 3).
É possível determinar o PE graficamente, construindo o gráfico das funções e encontrando o ponto 
onde os gráficos se cortam. Retornaremos a este exemplo no próximo assunto a ser estudado ao 
construirmos o gráfico das funções.
Observe a figura a seguir, nela, temos a representação desta situação.
p + q = 8
p
8
3
2 5 8 q
p - q = - 2
Figura 3
Exemplo 2
Uma empresa que fabrica fogões nos modelos 1 e 2, tem 2 setores: “montagem” e “acabamento”. 
Em determinada semana, o setor de montagem trabalhou 40 horas, e o setor de acabamento, 
45 horas. O fogão do modelo 1 fica 2 horas na montagem e 1 hora no acabamento, já o fogão do 
modelo 2 fica 1 hora na montagem e 3 horas no acabamento. Nesta semana, quantos fogões foram 
fabricados pela empresa?
Solução
A primeira providência a ser tomada para realizar a resolução do problema é traduzir todas 
as informações do enunciado em expressões matemáticas. Colocaremos a variável x para indicar a 
quantidade de fogões do tipo 1 e a variável y para indicar o número de fogões do tipo 2.
Para facilitar a montagem das equações, em primeiro lugar, montaremos uma tabela:
36
Unidade I
Tabela 5 
Tipo 1 Tipo 2 Horas na semana
Montagem 2x 1y 40
Acabamento 1x 3y 45
 Observação
Os valores que aparecem na tabela indicam as informações do 
enunciado para cada tipo e setor. Por exemplo, “2x” indica que x fogões 
tipo 1 passaram “2x” horas no setor de acabamento.
Na sequência, transforme cada linha da tabela em uma equação, assim teremos o sistema
2x y 40
x 3y 45
+ =
 + =
Devemos resolver o sistema para determinar as quantidades produzidas. Utilizaremos o método de 
adição, multiplicando a 2ª equação por (-2) e somando com a 1ª.
 2x y 40
 
2x 6y 90
 5y 50 (I)
+ =
− − = −
− = −
Substituindo a equação (I) no sistema, ficamos com
2x y 40
 5y 50
+ =
 − = −
Da 2ª equação, temos y = 10.
Mudando na 1ª equação, obtemos o valor de x
2x + 10 = 40
2x = 40 - 10
2x = 30
x = 15
37
MATEMÁTICA
Portanto, na semana, foram produzidos 15 fogões tipo 1 e 10 fogões tipo 2.
Exemplo 3
Para determinar a nova concentração de uma solução quando adicionamos água a ela, utilizamos 
a equação:
C1*V1 = C2*V2
sendo:
• C1 – concentração inicial
• C2 – concentração final
• V1 – volume inicial
• V2 – volume final
Se tivermos 200 ml de solução de H2SO4 (ácido sulfúrico) a 20g/l e adicionarmos 50 ml de água, qual 
a nova concentração (g/l) da solução diluída?
Solução
Segundo o enunciado temos:
• C1 = 20 g/l
• C2?
• V1 = 200 ml = 0,2 L
• V2 = 200 + 50 = 250 ml = 0,25 L
Substituindo na equação:
C1*V1 = C2*V2 temos:
20*0,2 = C2*0,25
C2 = 16 g/l
A concentração da solução diluída é de 16 g/l.
38
Unidade I
Exemplo 4
Em Química, noestudo das transformações físicas dos gases, vemos transformações isotérmicas, isto 
é, quando ocorrem mudanças de volume e pressão sob temperatura constante.
Em 1660, Boyle e Mariotte enunciaram uma lei para esta transformação, que é dada pela equação:
P1*V1 = P2*V2
sendo:
• P1 – pressão inicial
• P2 – pressão final
• V1 – volume inicial
• V2 – volume final
Certa massa de um gás que inicialmente ocupa um volume de 30 L, à pressão de 3 atm (atmosferas), 
sofre uma transformação isotérmica, passando a um volume de 10 L. Qual a nova pressão?
Solução
Segundo o enunciado, temos:
• P1 = 3 atm
• P2?
• V1 = 30 L
• V2 = 10 L
Substituindo na equação P1*V1 = P2*V2, temos:
30*3 = P2*10
P2 = 9 atm
A nova pressão é de 9 atm.
39
MATEMÁTICA
2 FUNÇÕES
Antes de iniciarmos o estudo de funções, precisamos de alguns conceitos os quais veremos a seguir.
2.1 Plano cartesiano
Desde a Antiguidade, temos a ideia de localizar pontos em um plano.
O sistema que utilizaremos neste texto é o cartesiano. Outro sistema de coordenadas também 
empregado, que não será objeto de nosso estudo, é o de coordenadas polares, em que a localização é 
obtida utilizando-se ângulos e distância de um ponto fixo.
 Saiba mais
A fim de obter informações adicionais sobre coordenadas polares, leia:
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. Cap. 11. São Paulo: 
Harbra, 1994.
O sistema cartesiano é baseado no método criado pelo matemático e filósofo francês René Descartes 
(1596 – 1650). Ele é formado por 2 retas perpendiculares, que se encontram no ponto “0” (zero), chamado 
de origem do sistema ou simplesmente origem.
0
Figura 4 
 Observação
O símbolo indica que as retas são perpendiculares, algumas vezes 
usamos somente o símbolo para indicar retas perpendiculares.
O eixo horizontal “x” recebe o nome de eixo das abscissas, já o eixo vertical “y” é denominado eixo 
das ordenadas. O plano fica assim dividido em 4 partes, às quais chamamos de quadrantes.
Os quadrantes são fixados nas posições a seguir.
40
Unidade I
0
2º Q
3º Q
1º Q
4º Q
x (abscissas)
y (ordenadas)
Figura 5 
Note que o eixo x (abscissas) é positivo à direta do “0” (origem) e negativo à esquerda do “0” (origem), 
já o eixo y (ordenadas) é positivo acima da origem “0” e negativo abaixo da origem “0”.
Para localizar um ponto no plano, utilizamos as suas coordenadas, isto é, o par ordenado (x,y).
Assim, se quisermos localizar por exemplo o ponto A (3,-1) no plano cartesiano, devemos marcar 
3 no eixo x e -1 no eixo y, a seguir traçaremos retas paralelas aos eixos x e y passando pelos valores 
marcados. O ponto de encontro dessas retas será a localização do ponto A.
Veja na sequência como fica a posição do ponto A.
0
-1 A
3 x
y
Figura 6 
 Observação
No plano cartesiano, as retas auxiliares, retas pontilhadas, serão sempre 
paralelas aos eixos coordenados.
É necessário observar que em cada eixo devemos estabelecer uma escala, dependendo da unidade 
de cada um dele.
Por exemplo, caso queira representar no eixo x valores que estão expressos em milhões, poderemos 
utilizar a notação conforme a figura a seguir, nela, indicamos os valores 1 milhão e 2 milhões.
41
MATEMÁTICA
0 1 2 x (em milhões)
Figura 7 
2.2 Produto cartesiano
Consideraremos dois conjuntos não vazios A e B, um formado pelos pares ordenados (x,y), onde 
x é elemento de A e outro é elemento de B, o qual chamamos de produto cartesiano de A por B, 
representado por AxB.
Podemos escrever AxB = {(x,y)/x∈A e y∈B}.
Por exemplo, sendo A = {1,3,4} e B = {0,2}, determine o produto cartesiano de A por B (AxB) e de 
B por A (BxA).
Para AxB, deve-se representar todos os pares nos quais o primeiro elemento seja do conjunto A e o 
segundo elemento seja do conjunto B, assim
AxB = {(1,0), (1,2), (3,0), (3,2), (4,0), (4,2)}
Para BxA, deve-se representar todos os pares nos quais o primeiro elemento seja do conjunto B e o 
segundo elemento seja do conjunto A, assim
BxA = {(0,1), (0,3), (0,4), (2,1), (2,3), (2,4)}
Observe na sequência a representação dos 2 conjuntos no plano cartesiano.
B
2
0 A
1
1
3 4
2 B
a) b)
3
4
A
Figura 8 – (a) AxB e (b) BxA
 Observação
Note que na representação de AxB, no eixo horizontal, temos o 
conjunto A e no eixo vertical, o conjunto B. Já na representação de BxA, 
42
Unidade I
no eixo horizontal, temos o conjunto B e no vertical, o conjunto A. Assim, 
a representação do ponto (1,2) é diferente do ponto (2,1), é importante 
utilizar sempre pares ordenados.
Relação binária de A em B é um subconjunto do produto cartesiano, AxB.
Por exemplo, sendo A = {1,3,4} e B = {0,2} considere as relações:
a) R1, de A em B, definida pela expressão x = y - 1. Escreva os elementos do conjunto R1.
Inicialmente determinaremos os elementos de AxB
AxB = {(1,0), (1,2), (3,0), (3,2), (4,0), (4,2)}
Observando a expressão de R1 e os elementos de AxB notamos que somente o par (1,2) de AxB 
satisfaz a condição x = y - 1.
Assim R1 = {(1,2)}.
 Lembrete
R1 é subconjunto de AxB, isto é, R1 ⊂ AxB.
b) R2, de A em B, definida pela expressão y < x. Escreva os elementos do conjunto R2.
Inicialmente determinaremos os elementos de AxB,
AxB = {(1,0), (1,2), (3,0), (3,2), (4,0), (4,2)}
Observando a expressão de R2 e os elementos de AxB notamos que os pares de AxB que satisfazem 
a condição y < x são (1,0), (3,0), (3,2), (4,0), (4,2).
Assim, R2 = {(1,0), (3,0), (3,2), (4,0), (4,2)}.
Uma relação pode ser representada na forma de conjuntos como fizemos nas relações anteriores, R1 
e R2, na forma de diagramas ou ainda no plano cartesiano.
Na representação por diagramas, cada par ordenado é indicado por uma seta indo do valor de x para 
o valor de y do par ordenado (x,y).
43
MATEMÁTICA
1 0 1 0
4
3
2 2
A
a) b)
AB B
3
4
Figura 9 – (a) R1 e (b) R2
Na representação no plano cartesiano, devemos lembrar que nos dois casos estamos trabalhando 
com subconjuntos de AxB, assim os elementos de A ficam no eixo x e os elementos de B no eixo y.
0
a)
A1
2
B
3 4 0
b)
A1
2
B
3 4
Figura 10 – (a) R1 e (b) R2
2.3 Função
Um carro está em uma estrada com velocidade constante de 80 km/h. É possível saber quantos 
quilômetros ele andou, caso ele não pare no meio do caminho?
Como saber a sua posição, se ela depende do tempo?
O conceito de função que veremos agora nos ajudará a responder a estas questões.
Função é uma relação de A em B que obedece às seguintes condições:
• Não há elemento em A sem representante em B;
• Todo elemento de A tem um único representante em B.
Para representar uma função de A em B, usamos frequentemente a notação:
f: A → B
 Observação
Verificando a definição de função de A em B, notamos que no conjunto 
B podemos ter elementos sem correspondentes e elementos com mais de 
um correspondente.
44
Unidade I
À expressão que representa a função, chamamos de lei da função, y = f(x) relaciona os elementos 
de A e B.
Constam na sequência alguns exercícios para auxiliar no entendimento do conteúdo apresentado.
Exemplo 1
Considere os conjuntos A = {1,2,3} e B = {2,4,6,8} e a função F dada pela relação representada pela 
relação R = {(1,2), (2,4), (3,6)}, determine a lei da função f: A → B.
Solução
Devemos procurar um padrão nos elementos que formam os pares ordenados de R. Comparando os 
valores de x e y, notamos que o valor de y é sempre igual ao dobro do valor de x.
Assim, podemos escrever y = 2x ou f(x) = 2x.
 Observação
Os elementos da relação R satisfazem as duas condições para ser 
uma função.
Apesar de passar a impressão de que todas as funções têm sua lei de formação tão fáceis de serem 
encontradas, isso nem sempre acontece.
Exemplo 2
Considere os conjuntos A = {1,2,3,4,5} e B = {1,3,4,5,7} e a função F dada pela relação representada 
por R = {(1,1), (2,3), (3,4), (4,5), (5,7)}, determine a lei da função f: A → B.
Solução
Devemos procurar um padrão nos elementos que formam os pares ordenados de R. Comparando os 
valores de x e y com os pares da relação R, não encontramos uma expressão para a função, nestecaso, 
a função será representada pelos pares ordenados ou, se preferir, por um diagrama.
Retornaremos ao problema do carro no início do item 2.3 e responderemos às perguntas.
Exemplo 3
Um carro está em uma estrada com velocidade constante de 80 km/h. Determine a expressão que dá 
sua posição em função do tempo? Informe quantos quilômetros ele andou após 3 horas?
45
MATEMÁTICA
Solução
Dá para notar que a distância percorrida (S) depende do tempo (t), temos então que S é função do 
tempo, isto é, S(t).
Para escrever a expressão de S, inicialmente, faremos algumas observações em casos específicos,
• t = 0 h posição inicial S(0) = 0 km
• t = 1 h posição S(1) = 80 km
• t = 2 h posição 80 + 80 = 160 km
Observando os dados, percebemos que existe um padrão, uma relação entre a posição e o tempo.
A lei para esta relação é dada pela expressão S(t) = 80 t.
Portanto, se quisermos saber quanto ele andou após 3 horas, por exemplo, basta calcular o valor 
de S(3).
S(3) = 80*3 = 240 km
Logo, ele terá percorrido 240 km.
2.3.1 Elementos da função
Quando estudamos funções, muitas vezes, precisamos saber para quais valores podemos fazer os 
cálculos ou qual o conjunto que encontraremos quando fizermos tais operações.
Considere a função f: A → B
Estes conjuntos são chamamos de:
• domínio (Df): conjunto dos valores possíveis para x, neste caso, Df = A;
• contradomínio (CDf): neste caso, CDf = B;
• imagem: elementos de B que são correspondentes de algum elemento de A.
Constam na sequência alguns exercícios para auxiliar no entendimento do conteúdo apresentado.
46
Unidade I
Exemplo 1
Considere a função f: A → B representada pelo diagrama a seguir. Determine os conjuntos Df, 
CDf e Imf.
0 1
2 2
1
3
3
Figura 11 
Solução
Observando o diagrama, notamos que:
Df = {0,1,2,3}, isto é, Df = A
CDf = {1,2,3}, isto é, CDf = B
Imf = {1,2}
 Observação
O elemento 3 ∈ B está no CDf, mas não é da imagem de nenhum 
elemento de A, logo não está na Imf.
Exemplo 2
Considere a função f: A → B representada pelo diagrama a seguir. Determine os conjuntos Df, 
CDf e Imf.
47
MATEMÁTICA
0 1
2
3
1
2
3
Figura 12 
Solução
Observando o diagrama, notamos que:
Df = {0,1,2,3}, isto é, Df = A
CDf = {1,2,3}, isto é, CDf = B
Imf = {1,2,3}
2.4 Modelagem matemática
Modelagem é área do conhecimento que estuda a simulação de sistemas reais com o propósito 
de prever o seu comportamento. É empregada em várias áreas, entre elas: educação básica, física, 
economia, engenharia.
A modelagem matemática procura traduzir uma situação-problema para um modelo matemático 
que permita a solução do problema inicial.
Constam na sequência alguns exercícios para auxiliar no entendimento do conteúdo apresentado.
Exemplo 1
Considere a seguinte sentença em português: “o dobro de um número mais 3 é igual ao triplo deste 
número. Determine esse número”
Solução
Para resolver o problema, inicialmente, traduziremos os dados a uma expressão matemática, 
estabelecendo um modelo matemático ao problema inicial.
48
Unidade I
• Número: x
• Dobro do número: 2x
• Triplo do número: 3x
Assim, segundo o enunciado, teremos a expressão 2x + 3 = 3x, que traduz matematicamente a 
sentença dada.
Resolvendo a equação (modelo matemático), vem:
2x + 3 = 3x
2x - 3x = -3
-x = –3
x = 3
Logo, o número procurado é 3.
Exemplo 2
Fomos ao mercado comprar frutas. Chegando em casa, usamos 1
3
 delas para fazer um doce e 1
5
 do 
que sobrou estragou. Se ainda temos 8 frutas, quantas compramos no mercado?
Solução
Inicialmente traduziremos cada informação para uma expressão matemática:
• frutas compradas: x
• usadas no doce: 1 x
3
• sobraram: 2 x
3
• estragadas: 1
5
 do que sobrou, isto é, 1
5
 de 2 x
3
 = 2 x
15
• restam: 8
49
MATEMÁTICA
O modelo matemático que traduz a situação-problema é:
1 2
x x 8 x
3 15
+ + =
Resolvendo a equação, temos:
5x 2x 120 15x
15
15x 7x 120
8x 120
120
x
8
x 15
+ + =
− + = −
− = −
=
=
Compramos 15 frutas no mercado.
Algumas situações-problema apresentam modelo matemático diferente dos exemplos anteriores, 
como, na situação a seguir, em que ele será um sistema linear.
2.5 Ampliando seu leque de exemplos
Constam na sequência alguns exercícios para auxiliar no entendimento do conteúdo apresentado.
Exemplo 1
Um número acrescido de 8 unidades é igual à terça parte deste número. Qual é ele?
Solução
Segundo o enunciado, temos:
• Número procurado: x
• Acrescido de 8 unidades: x + 8
• Terça parte do número: 1 x
3
50
Unidade I
1
x 8 x
3
1
x x 8
3
+ =
− = −
2
x 8
3
= −
2x = -8*3
2x = -24
x = - 12
O número procurado é –12.
Exemplo 2
O triplo de um número mais dois é igual ao próprio número menos quatro. Qual é esse número?
Solução
Segundo o enunciado, temos:
• Número procurado: x
• Triplo do número mais 2: 3x + 2
• Número menos 4: x - 4
Assim:
3x + 2 = x - 4
3x - x = - 4 - 2
2x = - 6
x = - 3
O número procurado é -3.
51
MATEMÁTICA
Exemplo 3
Um restaurante compra por mês sacos de 30 kg de arroz e 15 kg de feijão. Sendo que são comprados 
2 vezes mais arroz do que feijão.
Em um determinado mês, foram comprados 450 kg entre arroz e feijão. Estabeleça a quantidade de 
sacos da 30 kg de arroz e sacos de 12 kg de feijão que foram comprados neste mês?
Solução
Devemos traduzir cada informação para uma expressão matemática,
• x: sacos de 30 kg de arroz
• y: sacos de 15 kg de feijão
• no mês: 30x + 15 y = 450
• 2 vezes mais arroz que feijão: x = 2y
Temos então o sistema linear com 2 equações e 2 variáveis:
30x 15y 450
 x 2y
+ =
 =
Da 2ª equação consta o valor de y substituído na primeira 1ª equação, temos:
30*(2y) + 15 y = 450
60y + 15y = 450
75y = 450
y = 6
Substituindo na 2ª equação do sistema, temos x = 2*6 = 12.
Consequentemente, no mês, serão comprados 6 sacos de 15 kg de feijão e 12 sacos de 
30 kg de arroz.
52
Unidade I
 Resumo
Estudamos os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, 
irracionais e reais.
Vimos também equações do 1º grau, 2º grau e porcentagem, 
notamos, nos vários exemplos estudados, que esses conceitos estão em 
nosso cotidiano.
Lembramos que para a resolução de uma equação do tipo: ax2 + bx + c = 0, 
com a, b, c ∈ IR e a ≠ 0, equação do 2º grau, uma das formas é por meio do 
uso da fórmula de Báskara, que consta a seguir:
Δ = b2 – 4*a*c
b
x
2 * a
− ± Δ
=
Observamos ainda que a existência de raízes em uma equação do 
2º grau depende do valor do discriminante da fórmula de Báskara.
Δ > 0 – a equação terá 2 raízes reais; Δ = 0 – a equação terá 1 raiz real 
e Δ < 0 – a equação não terá raiz real.
Estudamos sistemas de equações lineares e sua classificação quanto 
ao número de soluções que apresenta. Foram demonstrados exemplos de 
situações que geram sistemas lineares e aplicações em economia, ponto de 
equilíbrio entre oferta e demanda.
Classificação de um sistema linear: SPD – sistema possível determinado, 
“solução única”; SPI – sistema possível e indeterminado, “infinitas soluções”; 
SI – sistema impossível, “não tem solução”.
Tratamos do conceito de funções e de seus elementos domínio, imagem 
e contradomínio. Notamos, por meio de exemplos, que o conceito de função 
aparece em várias situações de nosso cotidiano, mesmo que nem sempre 
tenhamos uma expressão matemática associada a ela.
Por fim, abordamos modelagem matemática, traduzindo uma 
situação-problema para um modelo matemático, tornando assim possível 
determinar a solução do problema apresentado.
53
MATEMÁTICA
 Exercícios
Questão 1. Uma empresa de confecção está em processo de ampliação e resolveu comprar um novo 
conjunto de 3 máquinas por um total de R$ 150.000,00. Estas máquinas serão usadas durante quatro 
anos e ao final deste período o valor residual de cada máquina será igual a R$ 14.000,00. A depreciação 
anual de cada máquina é:
A) R$ 27.000,00.
B) R$ 37.500,00.
C) R$ 9.000,00.
D) R$ 75.000,00.
E) 0.
Resposta correta: alternativa C.
Resolução da questão
Como foram compradas três máquinaspor um total de R$ 150.000,00, cada uma delas foi adquirida 
por (C) R$ 50.000,00.
Considerando que o valor residual (R) no final de quatro anos será de R$ 14.000,00, a depreciação 
total (D) foi de:
D C R D R$ 50.000,00 R$1 4.000,00 
D R$ 36.000,00 
= − = −
=
Na depreciação linear o valor a ser depreciado anualmente é o mesmo. Assim, para determinar a 
depreciação anual de cada máquina (DA) é igual a
A
D
D
n
=
em que n é o número de anos.
A A
R$ 36.000,00
D D R$ 9.000,00 
4
= =
54
Unidade I
Análise das alternativas
A) Alternativa incorreta.
Justificativa: esse é o valor anual da depreciação das três máquinas.
B) Alternativa incorreta.
Justificativa: esse é o valor anual da depreciação das três máquinas caso o valor residual fosse nulo.
C) Alternativa correta.
Justificativa: veja a resolução.
D) Alternativa incorreta.
Justificativa: esse é o valor anual da depreciação das três máquinas caso o valor residual fosse nulo 
e o tempo total de depreciação fosse igual a dois anos.
E) Alternativa incorreta.
Justificativa: o resultado indica que não há depreciação das máquinas.
Questão 2. Uma empresa fabricante de carteiras escolares está dimensionando seu almoxarifado 
e buscando um local que comporte a massa de um mês de estoque dos componentes que compõem a 
carteira. São eles:
Tabela
Componente Massa (kg)
Assento 0,3
Encosto 0,2
Estrutura do assento 0,6
Estrutura do encosto 0,5
Elementos de fixação 0,1
Sabe-se que a empresa produz 500 carteiras por dia e que trabalha, em média, 22 dias por mês.
Existem três locais que estão sendo estudados pela empresa, cujas capacidades de carga são:
55
MATEMÁTICA
Tabela
Local Capacidade (kg)
A 20.000
B 15.000
C 28.500
Para essa situação, foram feitas as seguintes afirmativas:
I – A massa total necessária é maior que 12.000 kg.
II – Os três locais são passíveis de utilização, pois comportam a massa total a ser aplicada.
III – Apenas o local C comporta a massa total a ser aplicada.
IV – O local C tem capacidade maior que 1,5 vez a massa total a ser aplicada.
V – Apenas o local B não comporta a massa total a ser aplicada.
É correto apenas o que se afirma em:
A) I, IV e V.
B) I e III.
C) II e IV.
D) I, III e V.
E) II, III e IV.
Resolução desta questão na plataforma.