ERON_ALG_LIN_PARTE_3_2011

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ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 1 
 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
 
 
 
 
 
Parte III – Conteúdos 
 Transformações lineares: definições, exemplos e propriedades 
 Núcleo e Imagem 
 Matriz de uma aplicação linear 
 Operações com transformações lineares 
 Composição de transformações lineares 
 Inversa de uma transformação linear 
 Autovalores, autovetores e polinômio característico 
 Diagonalização de operadores lineares 
 Exercícios de Fixação 
 Geometria das transformações lineares (no plano e no espaço) 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 2 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
Em geral um tipo especial de função onde o conjunto de partida e o de chegada são 
espaços vetoriais, isto é, onde tanto as variáveis independentes e dependentes são vetores 
chamaremos de “transformações”. Em particular, nosso interesse está em certas aplicações 
vetoriais que tem propriedades de linearidade, que chamaremos de “transformações lineares”. 
 
Transformação linear. Sejam e espaços vetoriais. Uma aplicação :T é 
chamada transformação linear de em se , e u v k satisfaz às seguintes 
condições: 
i) ( ) ( ) ( )T u v T u T v 
ii) ( ) ( )T ku kT u 
Em particular, uma transformação linear de em (ou seja, se ) é chamada 
operador linear sobre . 
 
Exemplos de transformações que são lineares 
1 – A transformação nula (ou zero) é linear: 0T definida por 
0 :
 0( ) 0v v
 
De fato, 
i) 0( ) 0 0 0( ) 0( )u v u v 
ii) 0( ) 0 0 0( )ku k k u 
 
2 – A transformação identidade é linear. T I , definida por 
:
( )
I
v I v v
 
De fato, 
i) ( ) ( ) ( )I u v u v I u I v 
ii) ( ) ( )I ku ku kI u 
 
3 – Uma transformação do tipo projeção de 3 2 é linear. Por exemplo, definida por 
3 2:
( , , ) ( , , ) ,2
T
x y z T x y z x y x z
 
De fato, sejam 1 1 1( , , )u x y z e 2 2 2( , , )v x y z vetores genéricos de 
3 , então 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 3 
i) 1 1 1 2 2 2( ) ( , , ) ( , , )T u v T x y z x y z 
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 2 1 1 2 2
, ,
,2
,2 2
T x x y y z z
x x y y x x z z
x y x y x z x z
 
1 1 1 1 2 2 2 2,2 ,2
( ) ( )
x y x z x y x z
T u T v
 
ii) ( ) ( , , ) ,2 ,2 ( )T ku T kx kv kz kx ky kx kz k x y x z kT u 
 
4 – A transformação derivada é linear. Considere, por exemplo, o espaço ( )n dos 
polinômios reais de grau n e ( ), ( ) ( )nf t g t . Definimos 
: ( ) ( )
 ( ) ( ) ( )
n n
d
dt
d df
f t f t t
dt dt
 
De fato, 
i) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d df dg d d
f t g t t t f t g t
dt dt dt dt dt
 
ii) 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
d d kf df d
kf t t k t k f t
dt dt dt dt
 
 
Exemplos de aplicações não lineares 
1 – det : n , det( )A A é não linear. 
Se tivermos , nA B , em geral, det( ) det detA B A B . 
 
2 – A função real :F , tal que 2( )F x x não é uma transformação linear. 
De fato, 
i) 2 22 2 ( ) ( )F u v u v u v uv F u F v 
ii) 2 2 2 ( )F ku ku k v kF u 
 
Exercício de Aprendizagem 1 – Verifique se são lineares as seguintes aplicações. 
 
a) 3 2:T definida por ( , , ) , 2T x y z x y x z . 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 4 
b) 32: ( )T definida por 
2
0 1 2 0 1 2, 1, 2T a a t a t a a a . 
 
c) 2 2: ( )T definida por ( , ) 1 0
x y
T x y . 
 
d) Considere a transformação linear 2 2:T definida por ( , ) ( , )T x y x y . Seja K o 
triângulo de vértices ( 1,4)A , (3,1)B e (2,6)C . Faça a representação gráfica de K e de sua 
imagem por T . 
 
PROPRIEDADES DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
1. Se :T é uma transformação linear, então 0 0T . 
 
Equivalentemente, se 0 0T , então :T não é uma transformação linear. 
 
Podemos usar esta propriedade para justificar que a transformação do exercício (b) anterior 
não é linear, pois 0 0, 1, 2T . 
 
2. Teorema 1. Sejam e espaços vetoriais tal que dim n , 1, , nA v v uma base 
ordenada de e 1 2, , , nw w w elementos arbitrários de . Então, existe uma única 
transformação linear :T tal que ( )i iT v w para 1,2,...,i n . 
 
Dem Existência de T . Dado um elemento u , podemos escrever, de maneira única 
1 1 2 2 n nu a v a v a v 
Para este elemento u definimos então 
1 1 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
( )
 
n n
n n n n
T u T a v a v a v
a T v a T v a T v a w a w a w
 
Verifique que essa transformação, definida dessa forma, é realmente linear e que ( )i iT v w . 
Unicidade de T . Suponha que existe outra transformação linear :S tal que 
( )i iS v w para 1,2,...,i n . Mostramos que 
1 1 1
( ) ( )
n n n
j j j j j j
j j j
S u S a v a S v a w que é 
a mesma definição de T . 
 
Exemplos 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 5 
1 – Qual a lei da transformação linear 2 3:T tal que (1,0) (2, 1,0)T e 
(0,1) (0,0,2)T ? 
 
2 – Sejam 3 2:T uma transformação linear e 0,1,0 , 1,0,1 , 1,1,0B uma base 
do 3 . Sabe-se que 0,1,0 1, 2 , 1,0,1 3,1 e 1,1,0 0,2T T T . 
Determine: 
a) , ,T x y z 
b) 5,3, 2T . 
Solução. Em primeiro lugar vamos expressar o vetor , ,x y z como combinação linear dos 
vetores da base. No caso, resolvendo o sistema, determinamos que 
, , 0,1,0 1,0,1 ( ) 1,1,0x y z y z x z x z 
Aplicando a transformação T e usando a propriedade (2), temos 
, , 0,1,0 1,0,1 ( ) 1,1,0
 0,1,0 1,0,1 ( ) 1,1,0
 1, 2 3,1 ( ) 0,2
T x y z T y z x z x z
y z x T z T x z T
y z x z x z
 
Portanto, 
a) , , 4 ,4 2 3T x y z x y z x y z 
b) aplicando ao vetor dado, 5,3, 2 10,20T . 
 
3 – Determine a transformação linear 2 3: ( )T tal que (1,1)T t e 
3( 1,1)T t t . 
 
 
NÚCLEO DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 
 
Núcleo. Chama-se núcleo de uma transformação linear :T ao conjunto de todos os 
vetores v que são transformados em 0 . Indica-se este conjunto por ( )N T ou 
ker( )T . 
( ) ; ( ) 0N T v T v 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 6 
Exemplos 
 
Exemplo 1 – Considere 2:T definida 
por ( , )T x y y x . O núcleo são os 
elementos 2( , )x y tais que ( , ) 0T x y . 
Logo, o núcleo é a reta y x (figura). 
 
Exemplo 2 – 3 3:f definida por ( , , ) ( , ,0)f x y z x y . O núcleo desta transformação é o 
eixo dos z , pois 
0
( , , ) (0,0,0) ( , , 0) (0,0,0) 
0
x
f x y z x y
y
 
Portanto, ( ) {(0,0, ); }N f z z . 
 
Exemplo 3 – Determinar o núcleo da transformação linear 3 2:T definida por 
( , , ) ( 4 ,3 8 )T x y z x y z x y z . 
 
Solução. Por definição sabemos que ( , , ) ( )x y z N T se, e somente se ( , , ) (0,0)T x y z , ou 
seja, ( 4 , 3 8 ) (0,0)x y z x y z . De outro modo, 
4 0
3 8 0
x y z
x y z
. Como este sistema 
tem solução 3x z e y z , temos 3( ) ( 3 , , ) ; N T z z z z . 
 
Observações 
1. ( )N T , pois no mínimo o núcleo contém o vetor nulo de . Observe que (0 ) 0T , 
logo, 0 ( )N T . 
 
2. O núcleo de uma transformação linear :T é um subespaço vetorial de . 
 
Dem Exercício. 
 
Aplicação injetora. Dizemos que uma aplicação :T é injetora se 1 2 , v v 
1 2 1 2 T v T v v v . 
 
Teorema 2. Uma transformação linear :T é injetora, se e somente se, ( ) 0N T . 
 
Dem Exercício. 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 7 
Exemplo – Determine o núcleo de cada transformação linear e verifique se são injetoras. 
a) 3 1: ( )T definida por , ,T x y z x y zt . 
 
b) 2 3: ( ) ( )T definida por 0
( ( )) ( ) ( )
x
T p x p x p t dt . 
 
IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 
Imagem. Chama-se imagem de uma transformação linear :T ao conjunto dos 
vetores w que são imagem de vetores v . 
Im ; ( ) para algum T w T v w v 
 
Observações 
1. Im T , pois no mínimo o conjunto imagem contém o vetor nulo. (0 ImT ) 
 
2. A imagem de uma transformação linear :T é um subespaço vetorial de . 
 
Dem Exercício. 
 
Exemplos 
Exemplo 1 – Seja 3 3:f definida por 
( , , ) ( , ,0)f x y z x y representa uma projeção 
ortogonal do 3 sobre o plano xy . A 
imagem de f é o próprio plano xy . 
 
3Im ( , ,0) ; ,f x y x y 
 
 
 
Exemplo 2 – Determine um conjunto gerador para a imagemde cada transformação. 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 8 
a) 3 2:T definida por ( , , ) , 2T x y z x y x z . 
 
 
b) 2 2: ( )T definida por 
0
,
x y
T x y
x y
. 
 
 
c) 2 3: ( ) ( )T definida por 0
( ( )) ( ) ( )
x
T p x p x p t dt . 
 
 
Aplicação sobrejetora. Dizemos uma aplicação :T é sobrejetora se ImT , isto 
é, se , tal que ( ) .w v T v w 
 
TEOREMA DO NÚCLEO E DA IMAGEM. Se é um espaço vetorial de dimensão finita e 
:T uma transformação linear, então 
 
dim dim ( ) dimIm( )N T T . 
 
Dem Suponha que é um espaço de dimensão finita e seja ( ) 1 2, , ,N T nu u u base do 
núcleo ( )N T . Como ( )N T é subespaço de , 1 2 1 2, , , , , , ,n mu u u v v v representa 
uma base de . 
Queremos mostrar dois resultados: 
i) 1 2Im( ) ( ), ( ), , ( )mT T v T v T v (Exercício) 
ii) 1 2( ), ( ), , ( )mT v T v T v é L.I. 
1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0 0m m m ma T v a T v a T v T a v a v a v 
Isto significa que 1 1 2 2 ( )m ma v a v a v N T 
Logo 1 1 2 2 1 1 2 2m m n na v a v a v b u b u b u . 
Então 1 1 2 2 1 1 2 2 0m m n na v a v a v b u b u b u 
Como 1 2 1 2, , , , , , ,n mu u u v v v é base de , temos que 1 2 0ma a a , que mostra 
que o conjunto em ii) é L.I., então dim dim ( ) dimIm( )n m N T T . 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 9 
Corolário 1. Seja :T uma transformação linear. Se dim dim , então T é 
sobrejetora se, e somente se, T é injetora. 
 
Dem 
 
Teorema 3. Sejam e espaços vetoriais, com dim n e :T transformação 
linear. As seguintes afirmações são equivalentes: 
 
a. T é injetora. 
b. Seja 1 2, , , kv v v LI em então 1 2( ), ( ), , ( )kT v T v T v é LI em ImT . 
c. dim(Im )T n . 
d. Seja 1 2, , , nv v v uma base de então 1 2( ), ( ), , ( )nT v T v T v é base para ImT . 
 
Exercício de Aprendizagem 2 – Determine o núcleo, a imagem, uma base para o núcleo, uma 
base para a imagem e a dimensão de cada um deles para as seguintes transformações 
lineares. 
 
1. 3 3:T definida por ( , , ) 2 , 2 , 3T x y z x y z y z x y z . 
 
2. 3 1: ( )T definida por , ,T x y z x y zt . 
 
3. 3 2:T tal que 1 2 3( ) 1,2 , ( ) 0,1 e ( ) 1,3T e T e T e , sendo 1 2 3, ,e e e a 
base canônica do 3 . 
 
Isomorfismo. Chama-se isomorfismo do espaço vetorial no espaço vetorial a uma 
transformação linear :T bijetora (injetora e sobrejetora). 
 
Neste caso, e são ditos espaços isomorfos. 
 
Exemplos – Para cada aplicação linear dada mostre que T é isomorfismo. 
Exemplo 1 – 3 3:T , definida por ( , , ) ( 2 , , )T x y z x y z x y . 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 10 
Exemplo 2 – 32: ( )T , definida por 
2 , ,T a bt ct c b c b a . 
Determinando ( )N T : 
2
0 0
0,0,0 0 0 0
0 0
c c
T a bt ct b c b N T
b a a
 
Isto implica que T é injetora. Como T é injetora e 32dim ( ) dim , pelo Corolário 1 
podemos afirmar que T também é sobrejetora, provando o isomorfismo. 
 
Teorema 4. Seja um espaço vetorial sobre com dim n . Então, é isomorfo ao 
espaço vetorial n . 
 
Dem Seja 1 2, , , nA v v v uma base ordenada de . Definimos uma aplicação 
1 2
:
 ( ) , , ,
n
n
T
T v a a a
 
onde 1 2, , , na a a são as coordenadas do elemento v em relação à base A . Verifique que 
essa aplicação T é linear e bijetora, logo, isomorfismo. 
 
Teorema 5. Sejam e espaços vetoriais de dimensão finita. Então, e são 
isomorfos se, e somente se, dim dim . 
 
Dem Exercício. 
 
Automorfismo. Chama-se automorfismo o operador linear :T que é bijetor. 
 
Proposição 1. Se :T é um isomorfismo, então existe uma transformação inversa 
1 :T que é linear e que também é um isomorfismo. 
 
Dem 
 
Exemplo – Seja a transformação linear 3 3: ( ) ( )T definida por 
2( ( )) ( )T p x x p x . 
Determine o núcleo de T e verifique se T é isomorfismo. 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 11 
MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 
Considere :T uma transformação linear, 1 2, , , nA v v v uma base de e 
1 2, , , mB w w w uma base de . Como 1 2( ), ( ), , ( )nT v T v T v são vetores de 
podemos escrevê-los como combinação linear dos vetores da base B . 
 
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
 
m m
m m
n n n mn m
T v a w a w a w
T v a w a w a w
T v a w a w a w
 (*) 
A matriz 
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
A
B
m m mn
a a a
a a a
T
a a a
 
Transposta da matriz dos coeficientes no sistema (*) é chamada de matriz de T em relação 
às bases A e B . 
 
Como 
A
B
T depende das bases A e B , uma transformação linear poderá ter uma infinidade 
de matrizes para representá-la. No entanto, uma vez fixadas bases, a matriz é única. 
 
Exemplos – 
Exemplo 1 – Considere 3 2:T definida por ( , , ) ( , )T x y z x y y z e as bases 
1,1,1 , 0,1,1 , 0,0,1A do 3 e (1,1),(0,2)B do 2 , temos 
11 21
12 22
13 23
1,1,1 2,0 1,1 0,2
0,1,1 1,0 1,1 0,2
0,0,1 0, 1 1,1 0,2
T a a
T a a
T a a
 
Gerando os sistemas: 
11
11 21
2
2 0
a
a a
 , 
12
12 22
1
2 0
a
a a
 e 
13
13 23
0
2 1
a
a a
 
cujas soluções são 11 21 12 22 13 23
1 1
2, 1, 1, , 0, 
2 2
a a a a a a . Logo, 
2 1 0
1 1
1
2 2
A
B
T 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 12 
Exemplo 2 – Considere a expansão ( , ) (2 ,2 )T x y x y e a transformação cisalhamento 
( , ) ( 2 , )S x y x y y . Na base canônica do 2 , determine a matriz de T e S . 
 
(1,0) (2,0) 2 0
 
(0,1) (0,2) 0 2
T
T
T
 
(1,0) (1,0) 1 2
 
(0,1) (2,1) 0 1
S
S
T
 
 
Teorema 6. Sejam :T uma transformação linear e A e B bases (fixas) de e , 
respectivamente. Então, para todo v tem-se que 
( )
A
B B A
T v T v . 
 
Dem Faremos para o caso em que dim 2 e dim 3 . Vamos colocar 1 2,A v v e 
1 2 3, ,B w w w bases ordenadas (fixadas) de e , respectivamente. 
11 12
21 22
31 12
A
B
a a
T a a
a a
 ; 1
2
A
x
v
x
 ; 
1
2
3
( )
B
y
T v y
y
 
De 1
2
A
x
v
x
 temos que 1 1 2 2v x v x v 
Da matriz 
A
B
T temos que 1 11 1 21 2 31 3
2 12 1 22 2 32 3
( )
( )
T v a w a w a w
T v a w a w a w
 
Como 1 1 2 2 1 11 1 21 2 31 3 2 12 1 22 2 32 3( ) ( ) ( )T v x T v x T v x a w a w a w x a w a w a w 
1 11 2 12 1 1 21 2 22 2 1 31 2 32 3( )T v x a x a w x a x a w x a x a w 
Então, 
1 1 11 2 12
2 1 21 2 22
3 1 31 2 32
y x a x a
y x a x a
y x a x a
 e, assim, 
1 11 12
1
2 21 22
2
3 31 12
y a a
x
y a a
x
y a a
. 
Mostrando que ( )
A
B B A
T v T v . 
O mesmo procedimento “de arrumação” pode ser utilizado para mostrar o resultado quando 
dim n e dim m . 
 
Exemplos 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 13 
Exemplo 1 – Considerando a mesma transformação do exemplo anterior com as bases 
canônicas 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1A do 3 e 1,0 , 0,1B do 2 . 
 
1,0,0 1,0 1 1,0 0 0,1
0,1,0 1,1 1 1,0 1 0,1
0,0,1 0, 1 0 1,0 1 0,1
T
T
T
 
Logo, 
1 1 0
0 1 1
A
BT . 
 
No caso de serem A e B bases canônicas, representa-se a matriz simplesmente por T , que 
é chamada matriz canônica de T . 
 
Então, ( )T v T v . 
 
Observação. Note que calcular ( )T v pela matriz T é o mesmo que fazê-lo pela expressão 
analítica que define T . Por exemplo, 
Seja (2,1,3)v , ( , , ) ( , )T x y z x y y z e 
1 1 0
0 1 1
T . Temos que 
Calcular (2,1,3) (2 1,1 3) (3, 2)T é o mesmo que 
2
1 1 0 3
( ) 1
0 1 1 2
3
T v . 
 
Exemplo 2 – Dadas as bases 1,1 , 0,1B do 2 e 0,3,0 , 1,0,0 , 0,1,1B do 
3 , encontremos a transformação linear cuja matriz é 
0 2
1 0
1 3
B
BT . 
No caso, desejamos determinar a transformação 2 3:T tal que , , ,T x y a b c . Pelo 
modo como é determinada a matriz BBT , sabemos que 
1,1 0 0,3,0 1 1,0,0 1 0,1,1 1, 1, 1
0,1 2 0,3,0 0 1,0,0 3 0,1,1 0,9,3
T
T
 
Escrevendo ( , )x y como combinação linear dos vetores da base B , temos 
, 1,1 0,1x y x y x 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 14 
, 1,1 0,1
 1, 1, 1 0,9,3
 , 10 9 , 4 3
T x y x T y x T
x y x
x x y x y
 
 
Do exemplo acima, observamosque dada uma matriz e fixada duas bases em e em 
esta matriz representa uma transformação linear. Esta mesma matriz numa outra dupla de 
bases representará uma transformação linear diferente. 
 
Exemplo 3 – Considerando que a matriz 
0 2
1 0
1 3
T é a matriz canônica de uma 
transformação linear T , temos que 
 
1,0 0 1,0,0 1 0,1,0 1 0,0,1 0, 1, 1
0,1 2 1,0,0 0 0,1,0 3 0,0,1 2,0,3
T
T
 
E, portanto, 
, 1,0 0,1x y x y 
, 1,0 0,1T x y xT yT 
, 0, 1, 1 2,0,3T x y x y 
, 2 , , 3T x y y x x y 
 
Comentário. As matrizes das transformações lineares são importantes, pois: 
 Muitas vezes respostas a questões teóricas sobre a estrutura de uma transformação 
linear podem ser obtidas estudando as características da matriz da transformação; 
 Essas matrizes tornam possível calcular as imagens de vetores usando a multiplicação 
matricial. Estes cálculos podem ser efetuados rapidamente em computadores. 
 
Núcleo e imagem (via matriz da transformação). Considere A matriz de uma transformação 
linear T , como determinar uma base para o núcleo e para a imagem de T através de A ? 
Considere a matriz representada por 1( ) ( )nA T v T v 
 Para o núcleo temos que resolver o sistema homogêneo 0AX , o que é feito 
escalonando a matriz A e resolvendo o sistema homogêneo. 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 15 
 Para a imagem, o conjunto ( )j jT v w (colunas de A ) gera a imagem. Concluímos 
que as colunas de A geram Im( )T . Uma base da imagem é obtida tomando um 
subconjunto LI das colunas de A . Podemos fazer isso escalonando 
1( )
( )
t
n
T v
A
T v
 
 
Exemplos – Determine uma base e dimensão do núcleo e da imagem das transformações 
lineares T cujas matrizes são dadas por: 
 
a) 
1 0 1 0
1 1 1 1
0 1 0 1
A 
Para o núcleo temos que resolver o sistema 0AX . Assim, ou seja, resolver o sistema 
1 0 1 0 0
1 1 1 1 0
0 1 0 1 0
x
y
z
w
 
 
Para o a imagem, as colunas da matriz formam o conjunto gerador da imagem da 
transformação. Para saber a dimensão, basta verificar a independência linear de tA . 
 
 
b) 
2 2 1 0 1
1 1 2 0 1
1 1 2 0 1
0 0 1 0 1
B 
 
 
ÁLGEBRA DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
Definição. Sejam e espaços vetoriais reais. Denotamos por ( , ) o conjunto de 
todas as transformações lineares de em , isto é, 
 
( , ) : ; é transformação linearT T . 
 
Operações em ( , ) 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 16 
 Dadas , ( , )T S . A adição de transformações lineares, :T S , é 
definida por 
( ) ( ) ( )T S v T v S v , v . 
T S é também uma transformação linear. 
 
 Dados ( , )T e um escalar . A multiplicação de um escalar por uma 
transformação linear, :T , é definida por 
( ) ( )T v T v , v . 
T é também uma transformação linear. 
Com essas operações ( , ) é um espaço vetorial real, possuindo as propriedades: 
 
Em relação à adição: , , ( , )R S T . 
1A ) ( ) ( )R S T R S T 
2A ) R S S R 
3A ) 0 ( , ) tal que 0T T 
4A ) ( , )T tal que ( ) 0T T 
 
Em relação à multiplicação por escalar: , ( , )T S e , . 
1M ) ( )T T 
2M ) ( )T T T 
3M ) ( )T S T S 
4M ) 1T T 
 
Teorema 7. Sejam e espaços vetoriais reais de dimensão finita com dim n e 
dim m , respectivamente. Então, dim ( , ) nm . 
 
Dem Veja referência [6]. 
 
Composição de Transformações lineares. Sejam , e espaços vetoriais sobre um corpo 
qualquer (em nosso caso, ) e as transformações lineares :T e :S . 
Podemos obter outra transformação de chamada transformação composta de S 
com T , denotada por S T e definida por 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 17 
 
:
 ( ) ( ) , 
S T
u S T u S T u u
 
 
 
 
Teorema 8. Sejam , e espaços vetoriais sobre um corpo ( , por exemplo), 
:T e :S transformações lineares. Então a composta :S T é uma 
transformação linear. 
 
Dem Exercício. 
 
Assim, podemos compor um operador :T consigo mesmo dando origem à notação: 
2T T T 
3T T T T 
 
 vezes
n
n
T T T T 
Exemplos 
Exemplo 1 – Sejam S e T operadores no 2 definidos por ( , ) (5 ,3 )S x y x y e 
( , ) ( , )T x y x y y x . Determine 
 
a) S T 
b) T S 
c) S S 
d) T T 
 
Exemplo 2 – Sejam a expansão ( , ) (2 ,2 )T x y x y e a transformação cisalhamento 
( , ) ( 2 , )S x y x y y . Determine S T e T S . 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 18 
Propriedades da composição de transformações lineares. Considere , e R S T transformações 
lineares definidas em espaços vetoriais apropriados para que as transformações abaixo façam 
sentido. 
a) ( )R S T R T S T 
b) ( ) ( ) ( )R kS k R S kR S 
c) Em geral, S T T S 
 
Dem Exercício. 
 
Teorema 9 (Transformação inversa). Sejam e espaços vetoriais sobre um corpo ( , 
por exemplo) e :T isomorfismo. Então, 
a) Existe a aplicação :S , chamada de aplicação inversa de T , escrevemos 
1S T , tal que S T T S I . 
b) 1 :T é uma aplicação linear e é isomorfismo. 
 
Dem 
 
Exemplo – Determine a transformação inversa de 32: ( )T , definida por 
2 , ,T a bt ct c b c b a . 
 
Resposta: 1 3 2: ( )T dada por 
1 2( , , ) ( ) ( )T x y z x z y x z t xt . 
 
 
Teorema 10. Sejam , e A B C bases dos espaços vetoriais , e respectivamente. 
:T e :S transformações lineares. Então, a matriz da transformação 
:S T é dada por 
A B A
C C B
S T S T 
Dem Exercício. 
 
Corolário 2. Sejam os espaços vetoriais e com bases ordenadas A e B , 
respectivamente. :T isomorfismo. Então, 
1
1
A B
AB
T T . 
 
Dem Temos que 1 1
A BA A
A BA A
I T T T T 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 19 
 1 1
B BB A
B BB A
I T T T T 
Como 
A B
nA B
I I I é a matriz identidade de ordem n e dim dim . 
 
Corolário 3. Sejam A e B bases dos espaços vetoriais e , respectivamente. 
 Uma transformação linear :T é inversível se, e somente se, ABT é inversível. 
 Além disso, se T é inversível, então 
11 B A
BA
T T . 
 
Corolário 4. Sejam A e B bases dos espaços vetoriais e , respectivamente e 
:T uma transformação linear. T é inversível se, e somente se, det 0ABT . 
 
Teorema 11. Sejam :T uma transformação linear e A e B bases de e , 
respectivamente. Então 
dim Im( ) posto de 
dim ( ) nulidade de nº de colunas de posto de 
A
B
A A A
B B B
T T
N T T T T
 
 
Exemplos de Aprendizagem 
1 – Sejam a expansão ( , ) (2 ,2 )T x y x y e a transformação cisalhamento ( , ) ( 2 , )S x y x y y . 
Na base canônica, determine a matriz de T , S e S T . 
 
2 – Seja 2 2:T uma transformação linear dada pela matriz canônica 
3 4
2 3
T . 
Verifique se T é inversível. Caso o seja, determine 1( , )T x y . 
 
3 – Sejam as matrizes das transformações lineares 2 3:A e 3 3:B em relação 
às bases canônicas dadas por 
0 1
0 2
0 1
A e 
0 0 0
1 2 0
1 0 0
B . Determine um conjunto gerador, 
base e dimensão do núcleo e da imagem das transformações A e B . 
 
Respostas: 3Nuc( ) ( , , ) ; 0, 2B x y z x z y , Nuc( ) (1,0)A 
Im( ) (0,1,0),(0,1, 1)B e Im( ) (1,2,1)A . 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 20 
AUTOVALORES E AUTOVETORES 
Autovetor. Seja :T um operador linear. Um vetor v , 0v , é um autovetor 
(ou vetor próprio) do operador T se existe tal que ( )T v v . 
 
Autovalor. é denominado autovalor (ou valor próprio, valor característico, valor 
espectral) associado ao autovetor v . 
 
Exemplos 
Exemplo 1 – Seja 2 2:T tal que , , , T x y x y . Este operador tem como 
autovalor e qualquer , 0,0x y como autovetor correspondente. 
Se 
i. 0 , T inverte o sentido do vetor; 
ii. 1, T dilata o vetor; 
iii. 1, T contrai o vetor; 
iv. 1, T é a transformação identidade. 
 
 
Exemplo 2 – Seja 2 2:T definida por , ,T x y x y , a transformação reflexão no 
eixo x . 
 
Os vetores da forma (0, )y , são tais que 0, 0,T y y , ou seja, 
0, 1 0,T y y . 
 
Assim, todo vetor (0, )y é autovetor de T com autovalor 1 . 
Também para todo vetor ( ,0)xtemos que ,0 ,0 1 ,0T x x x . 
Daí, dizemos que todo vetor ( ,0)x é autovetor de T com autovalor 
1. 
 v
 ( )T v
 u
 ( )T u
 
 
Exemplo 3 – Seja 2 2:T definida por , ,T x y y x , a transformação rotação de 
90°. 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 21 
 
 x
 y
 u
 ( )T u
 
Notemos que nenhum outro vetor diferente 
do vetor nulo é levado por T num múltiplo 
de si mesmo. Logo, este operador T não tem 
autovalores nem autovetores. 
 
Determinação dos autovalores e autovetores. Seja o operador : n nT cuja matriz 
matriz canônica é 
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
, ou seja, A T . 
Se v e são, respectivamente, autovetor e autovalor associado, temos 
 0A v v A v v (v é a matriz coluna 1n e 0 é a matriz nula 1n ) 
Tendo em vista que v I v , onde I é a matriz identidade de ordem n , podemos escrever 
0
0
A v I v
A I v
 
Para que o sistema homogêneo admita soluções não nulas, isto é 
0
0
0
x
v y
z
, este deve ser 
indeterminado e, portanto, devemos ter det 0A I . 
11 12 1
21 22 2
1 2
det 0
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
 
 
 A equação det 0A I é denominada equação característica do operador T ou da 
matriz A e suas raízes são os autovalores do operador T ou da matriz A . 
 
 O det A I é um polinômio na variável denominado polinômio característico. 
 Determinamos os autovetores correspondentes substituindo os autovalores encontrados 
no sistema homogêneo de equações lineares. 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 22 
Exemplo – Determinar os autovalores e autovetores do operador linear 3 3:T definido 
por , , 3 4 ,3 5 ,T x y z x z y z z . 
Matriz canônica de T : 
3 0 4
0 3 5
0 0 1
A 
3 0 4
0 3 5
0 0 1
A I 
Equação característica 
1
2
3
det 0 3 3 1 0 
1
A I 
Cálculo dos autovetores associados: 
Para 1 3 , temos o sistema 
3 3 0 4 0 4 0
0 3 3 5 0 5 0 , e 0
00 0 1 3 4 0
zx
y z x y z
z z
 
Portanto temos os autovetores ( , ,0)x y associados ao autovalor 3 . 
Para 2 1, temos 
4 0 4 0
4 4 0
0 4 5 0 , 5
4 5 0
40 0 0 0
x zx x z
y z
y z y z
z
. 
Portanto temos os autovetores 
5
, ,
4
z z z associados ao autovalor 1 . 
 
Autoespaço. ; ( ) 0V v T v v é chamado de autoespaço associado ao 
autovalor . 
 
Teorema 12. Dado um operador linear :T , o conjunto formado pelos autovetores 
associados a um autovalor e o vetor nulo é subespaço vetorial de , isto é, 
; ( ) 0V v T v v é subespaço de . 
 
Dem Exercício. 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 23 
Multiplicidade de autovalores. Considere um operador linear :T e um autovalor de 
T , i com 1 dimi . O número de vezes que i aparece como um fator do 
polinômio característico de T é denominado de multiplicidade algébrica de i , que 
indicaremos por ( )a im . 
A dimensão do autoespaço 
i
V é denominada a multiplicidade geométrica de i , que 
indicaremos por ( )g im . 
 
Exemplos – Considerando a base canônica do 3 . 
 
Exemplo 1 – 3 3:T , tal que ( , , ) (4 2 2 ,2 4 2 ,2 2 4 )T x y z x y z x y z x y z . 
Então 
4 2 2
2 4 2
2 2 4
T . 
O polinômio característico deste operador é 23det ( 2) ( 8)T I . Assim, temos 
1 2 é autovalor e 2 , , ; ,V y z y z y z é autoespaço. 
2 8 é autovalor e 8 , , ; V z z z z é autoespaço. 
 
Exemplo 2 – 3 3:T , tal que ( , , ) (3 ,2 , 2 )T x y z x y y z . 
Então 
3 0 0
0 2 0
0 1 2
T . 
O polinômio característico deste operador é 23det ( 2) ( 3)T I . Assim, temos 
1 2 é autovalor e 2 0,0, ; V z z é autoespaço. 
2 3 é autovalor e 3 ,0,0 ; V x x é autoespaço. 
 
 
DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES LINEARES 
Dado um operador linear :T existem representações matriciais de T relativas às 
bases de . Dentre estas representações, a considerada mais simples é uma matriz diagonal. 
Como a cada base corresponde uma matriz, a questão se resume na obtenção de uma base, 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 24 
cuja representação matricial do operador linear T em relação a esta base é uma matriz 
diagonal. Assim, esta base diagonaliza o operador linear T . 
 
Diagonalização de operadores lineares. Seja um espaço vetorial n -dimensional e 
:T um operador linear. T é diagonalizável se existir um base de tal que T 
é uma matriz diagonal. Esta base é composta pelos autovetores do operador linear T . 
 
Seja um espaço vetorial n -dimensional e :T um operador linear. Se existem n 
autovalores distintos 1 2, ,..., n então o operador linear T é diagonalizável. 
 
Exemplos 
Exemplo 1 – Seja 3 3:T tal que ( , , ) (4 , 2 , 2 )T x y z x z x y x z e a base 
canônica do 3 , então 
4 0 1
2 1 0
2 0 1
T 
1 1 , 1 0, ,0 ; V y y e podemos escolher 1 (0,1,0)v . 
2 2 , 2 , , ; 2
z
V z z z e podemos escolher 2 ( 1,2,2)v . 
3 3 , 3 , , ; V z z z z e podemos escolher 3 ( 1,1,1)v . 
Sendo assim, (0,1,0),( 1,2,2),( 1,1,1) é uma base de autovetores, 
1 0 0
0 2 0
0 0 3
T . 
 
Alguns teoremas relativos a autovetores, autovalores e diagonalização de operadores. 
Consulte as referências para ver a demonstração. 
 
Teorema 13. Considere um operador linear T que tem autovetores 1 2, ,..., rv v v associados a 
autovalores 1 2, ,..., r todos distintos entre si. Então 1 2, ,..., rv v v é linearmente 
independente. 
 
Dem 
 
Corolário. Seja um espaço vetorial n -dimensional e :T um operador linear. Se T 
possui n autovalores 1 2, ,..., n todos distintos então existe uma base de constituída de 
autovetores de T . 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 25 
Dem 
 
Teorema 14. Se existem r n autovalores distintos 1 2, ,..., r e suas multiplicidades 
algébricas e geométricas forem iguais, isto é, para todo 1,2,...,i r , ( ) ( )a i g im m , então 
o operador linear T é diagonalizável. 
 
Dem 
 
Exemplo – Seja 3 3:T tal que ( , , ) ( , , )T x y z x y z x y z x y z e a base 
canônica do 3 . 
Então 
1 1 1
1 1 1
1 1 1
T 
1 0 , 0 , , ; ,V y z y z y z e podemos ter 1 ( 1,1,0),( 1,0,1) . 
2 3 , 3 , , ; V z z z z e podemos ter 2 (1,1,1) . 
Assim, 1 2 ( 1,1,0),( 1,0,1),(1,1,1) é base de autovetores e 
0 0 0
0 0 0
0 0 3
T . 
 
Veja outros exemplos e resultados nas referências. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 26 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
 
1 – Verifique quais das seguintes aplicações são lineares: 
a) 3 2:T , definida por ( , , ) ,T x y z x y . 
b) 2:T , definida por ( , )T x y xy . 
c) :T , definida por ( )T x x . 
d) 3 2:T , definida por ( , , ) 2 , 3T x y z x y z . 
e) 2 2: ( )T , definida por 
2 0
( , )
0
x y
T x y
y
. 
f) 22 3: ( )T , definida por 
11 12 13
11 22 13 23
21 22 23
, 
a a a
T a a a a
a a a
. 
g) :T , definida por ( ) senT x x . 
 
2 – Determine a transformação linear para cada uma das aplicações abaixo: 
a) 2 3:T tal que 1,2 3, 1,5 e 0,1 2,1, 4T T . 
b) 3 2:T tal que 1,0,0 2,0 , 0,1,0 1,1 e 0,0,1 0, 1T T T . 
c) 3 3:T tal que 1,2,1 1,2,3 , 0,1,0 2,1,5 e 0,4,1 0,3,2T T T . 
d) 22: ( )T tal que 
21 0,1 , ( ) 0,5 e 5,7T T x T x . 
e) 3 2 3:T tal que 
1 0 0 2 0 0 0 0 11
(1,0,0) , 0,1,2 e 0,0,
3 4 5 6 8 10 0 0 53
T T T 
 
3 – Resolva os problemas: 
a) Qual a transformação linear 2 3:T tal que 1,1 3,2,1 e 0, 2 0,1,0T T ? 
b) Determine 1,0 e 0,1T T , usando o ítem (a); 
c) Qual a transformação linear 3 2:S tal que 3,2,1 1,1S , 0,1,0 0, 2S e 
0,0,1 0,0S ? 
d) Determine a transformação linear 2 2:S T , usando os itens (a) e (c). 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 27 
 
4 – Determine a dimensão do núcleo e da imagem e suas respectivas bases da aplicação linear 
do 
a) Exercício 1, itens (a), (d) e (e). 
b) Exercício 2, itens (b), (d) e (e). 
 
5 – Sendo 3 5:T definida por , , ,2 ,0,3 ,0T x y z x y x y z x z , determine 
uma base de ( )N T e Im( )T . 
 
6 – Determine uma transformaçãolinear: 
a) 3 3:T cuja imagem seja gerada por 1,2,3 , 4,5,6 . 
b) 3 2:T tal que ( ) 1,0,0 , 0,2,0N T e Im( ) (2,4)T , considere 
1,0,0 , 0,2,0 , 0,0,1 base do 3 . 
 
c) 3 4:T tal que Im 1,1,2,1 , 2,1,0,1T . 
 
7 – Escreva, se possível, os exemplos pedidos abaixo. Caso não existam, justifique. 
a) Uma aplicação linear injetora 3 2:T . 
b) Uma aplicação linear sobrejetora 2 3:T . 
c) Uma aplicação linear 2 2:T , tal que 0,1 , 1,0T T seja uma base para 2 . 
d) Uma aplicação linear :T tal que Im( ) 0T . 
e) Uma aplicação linear 5 5:T , tal que seja injetora, mas não sobrejetora. 
f) 2 2: ( ) ( )T linear tal que 
1 0
( )
1 0
N T e 2Im( ) , 2, 1T t t . 
g) Um subespaço de 2( ) tal que a aplicação linear injetora 2: ( )T seja um 
isomorfismo. 
 
8 – Seja :T uma transformação linear. Sabendo-se que dim 5 e 
dim Im 2N T T . 
a) Determine, justificando, a dim ImN T T . 
b) T pode ser injetora? Justifique. 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 28 
 
9 – Mostre que a aplicação 2 1: ( )T , definida por , ( ) 1T x y x y t x é um 
isomorfismo linear. 
 
10 – Determine a transformação linear 3 4:T tal que 0,0,1 0,0,0,1T e 
3( ) ( , , ) ; N T x y z z x y . 
 
11 – Consideremos a transformação linear 3 2:T definida por 
( , , ) (2 , 2 )T x y z x y z x y e as bases 1,0,0 , 2, 1,0 , 0,1,1A do 3 e 
( 1,1),(0,1)B do 2 . Determine a matriz ABT . 
 
12 – Seja a transformação linear 2 3: , ( , ) 2 , 3 , 2T T x y x y x y y e as bases 
1,1 , 2,1A e 0,0,1 , 0,1, 1 , 1,1,0B . 
a) Determine ABT . 
b) Qual a matriz ACT , onde C é a base canônica do 
3 ? 
 
(rever.....) 13 – Sabendo que a matriz de uma transformação linear 2 3:T nas bases 
( 1,1),(0,1)A do 2 e 1,1, 1 , 2,1,0 , 3,0,1B do 3 é 
3 1
2 5
1 1
A
BT . Obtenha 
a) a expressão de ,T x y 
b) a matriz T . 
 
14 – Seja 
1 2
2 0
1 3
T a matriz canônica de uma transformação linear 2 3:T . Se 
( ) 2,4, 2T v , calcule v . 
 
15 – Seja T o operador linear dado pela matriz 
1 2 1
2 0 1
1 2 2
. Determine: 
a. ( )N T e dim ( )N T ; 
b. Im( )T e dimIm( )T . 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 29 
16 – Seja 2 2: ( ) ( )T , definida por 
 2 0
 
x y x
T
z w z y w
. Determine: ( )N T , 
Im( )T , ( ) Im( )N T T e dim ( ) Im( )N T T . 
 
17 – Determine a matriz associada à transformação linear T com relação as bases e 
dadas. 
a) 32: ( )T , 
 
( , 3 , )
 
x y
T x x y w z w
z w
 
(1,1,0),(0,1,0),(0,0, 2) e 
 1 0 0 1 0 0 0 0
, , ,
1 0 1 0 1 0 0 1
. 
 
b) 2 2: ( ) ( )T , 
2 
 
x y
T xt yt z
z x y z
, 21, 2,t t t e é a base 
canônica de 2( ). 
 
 c) :T , 1 2 3, ,v v v , onde 1 1( ) 2T v v , 2 2( ) 3T v v e 3 3( )T v v . 
 
18 – Determine a transformação linear T nos seguintes casos: 
a) 3 2:T , 
1 0 0
2 0 1
T sendo (1,1,0),(0,0,1),(1,2,3) e 2,1 , 1,1 . 
b) 2 2: ( ) ( )T , 
1 1 0
0 1 0
0 0 1
0 0 1
T ; 
1 1 0 1 0 0 0 0
, , , 
0 0 1 0 1 1 0 2
e 
2, 2,t t t . 
 
19 – Considere a transformação linear :T dada por 
1 0 1 1
0 1 2 2
0 2 4 4
1 0 1 1
T , onde 
e são bases de e , respectivamente. Determine: 
 
a) dim b) dim 
c) dim Im( )T d) dim ( )N T 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 30 
20 – Verifique, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores das 
correspondentes matrizes: 
a) 
2 2
( 2,1), 
1 3
v b) 
1 1 0
( 2,1,3), 2 3 2
1 2 1
v 
21 – Determine os autovalores e os autovetores dos seguintes operadores lineares: 
a) 2 2:T ; , 2 , 4T x y x y x y . 
b) 2 2: ; , 2 2 , 3T T x y x y x y . 
c) 2 2:T ; , 5 , 3T x y x y x y . 
d) 2 2:T ; , ,T x y y x . 
e) 3 3:T ; , , ,2 ,2 3T x y z x y z y z y z . 
f) 3 3:T ; , , , 2 ,2 2T x y z x x y x y z . 
g) 3 3:T ; , , , ,T x y z x y y z . 
 
22 – Os vetores 1 (1,1)v e 2 (2, 1)v são autovetores de um operador linear 
2 2:T , 
associados a 1 5 e 2 1, respectivamente. Determine: 
a) A imagem do vetor (4,1)v por esse operador; 
b) Obtenha uma lei para T . 
 
23 – Resolva os problemas: 
a) Determine o operador linear 2 2:T cujos autovalores são 1 21 e 3 
associados aos autovetores 1 2, e (0, )v y y v y , respectivamente. 
 
b) Mesmo enunciado para 1 23, 2 e 1 2,2 , ( ,0)v x x v x . 
 
c) Se 1 4 e 2 2 , são autovalores de 
2 2:T , associados aos autovetores (2,1)u 
e ( 1,3)v , respectivamente, determine (3 )T u v . 
 
24 – Seja um operador linear 2 2:T , tal que ( )T u u e 
1
( )
2
T v v para algum vetor 
2 (e )u v . Determine ( )T w se (0,2), (2,6) e (3,7)u v w . 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 31 
25 – Determinar o operador linear 2 2:T cujos autovalores são 1 1 2 3 
associados aos autoespaços 1 , ; V y y y e 3 0, ; V y y . 
 
26 – Dado o operador linear 2 2:T definido por ( , ) ( 3 5 ,2 )T x y x y y , obter uma 
base de autovetores. 
 
27 – Verificar se existe uma base de autovetores para as transformações lineares abaixo. 
a) 3 3:T tal que ( , , ) ( ,2 ,2 3 )T x y z x y z y z y z 
b) 3 3:T tal que ( , , ) ( , 2 ,2 2 )T x y z x x y x y z 
c) 3 3:T tal que ( , , ) ( , 2 3 , 4 3 )T x y z x x y z y z 
 
28 – Seja 2 2:T tal que ( , ) (4 5 ,2 )T x y x y x y . Determinar uma base que 
diagonalize este operador. 
 
29 – Verifique se 4 4:T tal que ( , , , ) ( , , , )T x y z t x y z t x y z y z t x y 
é diagonalizável. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 32 
GEOMETRIA DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARES NO PLANO E NO ESPAÇO 
 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES NO PLANO 
Entenderemos por transformações planas as transformações de 2 2 . Estudaremos 
algumas de especial importância e suas correspondentes interpretações geométricas. 
 
REFLEXÕES 
 
I – Reflexão em torno do eixo X . 
2 2:T definida por ( , ) ( , )T x y x y 
A matriz canônica é dada por 
1 0
0 1
T . 
II – Reflexão em torno do eixo Y . 
2 2:T definida por ( , ) ( , )T x y x y 
1 0
0 1
T . 
 ( , )x y
 ( , )x y
 
 ( , )x y ( , )x y
 
 
 
III – Reflexão em torno da origem. 
2 2:T definida por ( , ) ( , )T x y x y 
1 0
0 1
T . 
 ( , )x y
 ( , )x y
 
 
IV – Reflexão em torno da reta y x . 
2 2:T definida por ( , ) ( , )T x y y x 
0 1
1 0
T . 
V – Reflexão em torno da reta y x . 
2 2:T definida por ( , ) ( , )T x y y x 
0 1
1 0
T . 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 33 
 ( , )x y
 ( , )y x
 y x
 
 ( , )x y
 ( , )y x
 y x
 
 
 
CONTRAÇÕES E DILATAÇÕES (HOMOTETIA) 
Contração (ou dilatação) na direção do vetor 
2 2:T definida por ( , ) ( , ) ( , )T x y x y x y ou 
0
0
T . 
Observe que 
 0 , T inverte o sentido do vetor; 
 1, T dilata o vetor; 
 1, T contrai o vetor; 
 1, T é a transformação identidade. 
 ( , )x y
 ( , )x yl
 1l
 
 ( , )x y
 ( , )x yl
 1l
 
 
I – Contração (ou dilatação) na direção do eixo X . 
2 2:T definida por ( , ) ( , )T x y x y ou 
0
0 1
T . 
 
II – Contração (ou dilatação) na direção do eixo Y . 
2 2:T definida por ( , ) ( , )T x y x y ou 
1 0
0
T . 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 34 
CISALHAMENTO 
I – Cisalhamento de fator na direção do eixo X . 
2 2:T definida por 
( , ) ( , )T x y x y y 
1
0 1
T . 
 ( , )x y ( , )x y yl
 
 
Observe na figura abaixo que o efeito cisalhamento é transformar o retângulo ABCD no 
paralelogramo A B C D de mesma base e altura que do retângulo. 
 A B
 C D
 
 A B
 C D
 
 
 
II – Cisalhamento de fator na direção do eixo Y . 
2 2:T definida por ( , ) ( , )T x y x y x ou 
1 0
1
T . 
 
 
ROTAÇÃO. A rotação do plano em torno da origem, que faz cada ponto descrever um ângulo 
, determina uma transformação linear 2 2:T cuja matriz canônica é 
cos sen
sen cos
T 
Geometricamente, 
3 3:
( , ) ,
T
T x y x y
 
Vamos determinar a matriz transformação linear rotação de um ângulo e a expressão de 
T em função de x e y . 
Quando rotacionamos um vetorv , pela própria definição de rotação, o comprimento 
(módulo) do vetor não se altera. Seja r v , onde ( , )v x y . 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 35 
 a
 q
 r
 r
 v
 x
 y
 x
 y ( )T vq
 
Da figura, temos que 
cos( ) cos cos sen sen
sen( ) sen cos cos sen
x r r r
y r r r
 
Como 
cos
sen
x r
y r temos 
cos sen
sen cos
x x y
y x y
 
( , ) cos sen , sen cosT x y x y x y 
Na forma matricial, 
cos sen
sen cos
x x
y y 
cos sen
sen cos
T . 
 
 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES NO ESPAÇO 
REFLEXÕES 
 
Em relação aos planos coordenados. 
Em relação ao plano xOy : 3 3:T , definida por ( , , ) ( , , )T x y z x y z 
Matriz canônica 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
T . 
Assim, de modo análogo temos as reflexões em relação aos planos xOz e yOz , 
respectivamente: ( , , ) ( , , )T x y z x y z e ( , , ) ( , , )T x y z x y z . 
 
 
Em relação aos eixos coordenados. 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 36 
Em relação ao eixo Ox : 3 3:T , definida por ( , , ) ( , , )T x y z x y z 
Matriz canônica 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
T . 
De modo análogo ( , , ) ( , , )T x y z x y z e ( , , ) ( , , )T x y z x y z definem as reflexões em 
torno dos eixos Oy e Oz respectivamente. 
 
Em relação à origem. 
3 3:T , definida por ( , , ) ( , , )T x y z x y z 
Matriz canônica dada por 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
T . 
ROTAÇÕES NO ESPAÇO 
 
Em torno do eixo Oz . 3 3:T , definida por 
( , , ) cos sen , sen cos ,T x y z x y x y z 
Matriz canônica dada por 
cos sen 0
sen cos 0
0 0 1
T . 
Propriedades da rotação em torno de Oz : 
 T não altera os pontos do eixo Oz ; 
 T gira um ângulo em torno da origem (0,0,0) os pontos do plano 0z ; 
 O ângulo corresponde ao ângulo central cujos lados interceptam na circunferência 
de centro O , um arco de medida . Esse ângulo não é o ângulo formado pelos 
vetores u e ( )T u . 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 37 
 
 
1 0 0
0 cos sen
0 sen cos
T 
cos 0 sen
0 1 0
sen 0 cos
T 
cos sen 0
sen cos 0
0 0 1
T 
 
Exercícios Resolvidos 
1 – Determinar a matriz da transformação linear 2 2:T que representa um 
cisalhamento de fator 2 na direção horizontal seguida de uma reflexão em relação aos eixo y . 
 
Solução. Matriz canônica do cisalhamento de fator 2 na direção horizontal: 1
1 2
0 1
T e a 
matriz canônica da reflexão em relação ao eixo y : 2
1 0
0 1
T . 
Então, a matriz canônica de T é dada por 2 1
1 0 1 2 1 2
0 1 0 1 0 1
T T T . 
 
2 – Os pontos (2, 1), (6,1) e ( , )A B C x y são vértices de um triângulo eqüilátero. Calcular as 
coordenadas do vértice C utilizando uma matriz de rotação do plano. 
 
Solução. Temos (4,2)AB e 
( 2, 1)AC x y . O vetor AC pode ser 
considerado a imagem do vetor AB pela 
rotação do plano de um ângulo de 60º em 
torno de A (no triângulo eqüilátero 
AB AC ) 
Então, temos o seguinte 
        








x
y
 A
 B
 C
 60º
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 38 
2 cos60º sen60º 4 2 2 3 4 3
 
1 sen60º cos60º 2 1 2 3 1 2 3
x x x
y y y
. 
 
Logo, 4 3,2 3C . O Problema tem outra solução que seria obtida fazendo uma rotação 
de 60º do vetor AB em torno do vértice A . 
 
Exemplo 3 – Seja 2 2:T a transformação que é rotação de um ângulo rad
4
 e 
2 2:S a transformação que é uma reflexão em torno da reta 2y x . Determine a 
transformação R S T . 
 
Solução. R S T R S T 
2 2
cos sen
4 4 2 2
2 2sen cos
4 4 2 2
T 
( , ) (1, 2) 3 4 4 3
( ) 2 ( , ) 2 (1, 2) ( , ) ,
(1, 2) (1, 2) 5 5
x y x y x y
S v p v S x y x y 
3 4
5 5
4 3
5 5
S 
Logo, 
7 2 2 2 7 2
( , ) ,
10 10 10 10
R x y x y x y . 
 
 
Exemplo 4 – Considere a base canônica e os seguintes operadores lineares no 3 : 
rfl( , , ) ( , , )T x y z x y z reflexão em relação ao plano xy , rot
3 3
( , , ) , ,
2 2
x y x y
T x y z z 
a rotação de 120° em torno do eixo z e a expansão linear exp( , , ) (3 ,3 ,3 )T x y z x y z . 
 
a) Determine a matriz da transformação exp rot rflT T T ; 
b) Seja ABC o triângulo de vértices (4,1,3)A , (0,1,3)B e (0,3,1)C . Calcule o perímetro e a 
área do triângulo exp rot rflT T T ABC . 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 39 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM – GEOMETRIA DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
 
1 – Os pontos (4, 1)A e ( 2, 1)B são vértices consecutivos de um quadrado. Calcular os 
outros dois vértices fazendo uso da matriz rotação. 
 
2 – Os pontos (4,1)A , ( 1, 1)B e ( , )C a b são vértices de um triângulo isósceles reto em A . 
Determinar as coordenadas de C fazendo uso da matriz rotação. 
 
3 – Em um triângulo ABC , os ângulos em B e C medem 30º e 60º respectivamente. Sendo 
(3,4)A e (8,2)B determinar as coordenadas do vértice C . 
 
4 – Determine em cada caso, uma matriz da transformação linear de 2 2 que 
representa a seqüência de transformações dadas. 
a) Reflexão em torno do eixo dos x , seguida de um cisalhamento de fator 3 na direção 
horizontal. 
b) Rotação de 45º no sentido horário, seguido de uma duplicação dos módulos e inversão 
de sentidos. 
c) Rotação de 90º, seguida de uma reflexão em relação ao eixo dos y . 
d) Rotação de um ângulo , seguida de uma reflexão em relação à origem. 
e) Reflexão em torno da reta y x , seguida de uma dilatação de fator 4 na direção Ox 
e finalmente um cisalhamento de fator 2 na direção vertical. 
 
5 – Determinar o ângulo formado pelos vetores u e ( )T u quando o espaço gira em torno do 
eixo Oz de um ângulo , nos seguintes casos: 
a) 
1 32 2
, ,
2 2 2
u e 120º . 
b) 
3 1 1
, ,
3 3 3
u e 80º . 
c) 
2 2
, ,1
2 2
u e 60º . 
 
6 – A matriz 
1 0 3
0 1 3
0 0 2
T transforma a o cubo da Figura 1 no sólido da Figura 2 (dizemos 
que a matriz T representa uma transformação de cisalhamento). Determine as coordenadas 
do ponto da Figura 1 cuja imagem (na figura 2) é (5,5,2)t . Justifique seu procedimento. 
 
ÁLGEBRA LINEAR: TRANSFORMAÇÕES LINEARES – ERON 40 
 
 
7 – Determine a transformação T do plano no plano que é uma reflexão em torno da reta 
6y x . Escreva em forma matricial. 
 
8 – No plano, uma rotação anti-horária de 45º é seguida por uma dilatação de fator 3 . 
Determine a aplicação linear A que representa esta transformação no plano. 
 
9 – Obter a lei da transformação linear 3 3:T : 
a) projeção de vetor v no plano 0x y z . 
b) reflexão através do plano 0x y z . 
c) composição de uma rotação de rad
2
 em torno do eixo z com uma rotação de rad
3
 em 
torno do eixo y .