Progressão Aritmética: Conceitos e Propriedades

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PA:
Progressã� aritmétic�
Sequências:
É todo grupo, agrupamento ou coleção em
que a ordem ou a repetição são levadas em
consideração
(1,2) ≠ (2,1) ≠ (1,2,1,2)
Representação:
Toda sequência será representada por uma
letra maiúscula e seus termo serão
representados pela letra minúscula
acompanhada do seu índice que indicará a
sua ordem
A = (a1, a2, a3 … , an)
B = (b1, b2, b3 … , bp)
(1,4,9,16,25)
a1 = 1
a2 = 4
a3 = 9
a4 = 16
a5 = 25
an = n
2
a10 = 10
2 = 100
a50 = 50
2 = 2500
Progressão aritmética: (PA)
É toda a sequência na qual um termo
qualquer subtraído pelo seu antecedente
fora uma constante chamada razão
representada pela letra “r”
(1,3,5,7,9,11,13,15)
15-13 = 13-11 = 11-9… = 2
r = 2
(a,b,c).PA → c-b = b-a = r
OBS:
(1,5,9,13,17…) r = 4
(2,2,2,2,2,2…) r = 0
(5,2,-1,-4,-7…) r = -3
PA crescente (r>0)
PA constante (r=0)
PA decrescente (r<0)
Termo geral da PA:
É a lei que nos permite calcular um termo
qualquer em função do seu índice
an = an-1 + r
a10 = a9 + r
a8 = a8 + r
a10 = a8 + 2r
a10 = a7 + 3r
Logo, an = ap + (n-p)r
Ex: a2 = -1 an = 63 r = 4 n = ?
63 = -1 + (n-2)4
72 = 4n → n = 18
Ex: Determine quantos múltiplos de 7
estão compreendidos entre 100 e mil
a1 = 105 an = 994 r = 7 n = ?
100 = 14 e sobra 2 = 98
7
Logo 98 + 7 é o primeiro múltiplo de 7
1000 = 142 e sobra 6 = 98
7
Logo 994 + 7 é o último múltiplo de 7
PA:
Progressã� aritmétic�
an = ap + (n-p)r
994 = 105 + (n-1)7
994 = 7n + 98
7n = 896 → n = 128
Propriedades da PA:
1ª propriedade:
Em uma PA podemos colocar um termo
qualquer em função de outro termo
qualquer e da razão
|a2 + a4 = 40
|a3 + a6 = 55
a4 = a2 + 2r
a2 = a2 + r
a2 = a2 + 4r
|a2 + a2 + 2r = 40
|a2 + r + a2 + 4r = 55
|2a2 + 2r = 40
|2a2 + 5r = 55
2a2 = 40 - 2r
40 - 2r = 5r = 55
3r = 15 → r = 5
2ª propriedade:
Em uma PA termo qualquer exceto os
extremos é a média aritmética dos seus
equidistantes
(a,b,c).PA
b = a+c
2
Ex: (1,4,7,10,13,16…)
7 = 1+13 = 4+10
2 2
3ª propriedade:
A soma dos extremos de uma PA será igual
a soma dos equidistantes a esses extremos
(a1, a2, a3 … an-2, an-1 an)
a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2
(1,4,7,10,13,16,19)
1+19 = 4+16 = 7+13 = 20
Interpolação aritmética:
Inserir termos entre os extremos de uma
PA
Ex: Interpolando 8 termos entre 1 e 64,
determine a razão da PA
8 termos
(a1, … an)
a1 = 1 e a10 = 64
a10 = a1 + 9r → 64 = 1 + 9r → r = 7
OBS: Quando a questão estiver
interpolando termos entre os extremos de
uma PA, ela estará na verdade dizendo o
total de termos de sequência
Exercício: um agricultor comprou 54 mudas
de mamão para colocar entre duas mudas já
plantadas na sua fazenda. Ele fará esse
plantio em linha reta de modo que todas
as mudas tenham a mesma distância entre a
antecedente e a consequente. Se a
primeira muda está a 15 metros da cerca e
a última muda está a 213 metros da cerca.
Qual deve ser a distância exata entre
essas mudas
54 termos
(a1, … an)
a56 = a1 + 55r → 213 = 15 + 55r → r = 3,6
PA:
Progressã� aritmétic�
Soma dos termos de uma PA:
Sn = a1, a2, a3 … an
Sn = (a1 + an)n
2
1+2+3+ … +98+99+100
(1+100). 100
2
101 x 50 = 5050
Exercício: Determine o número de termos
de uma PA em que o primeiro termo vale 20
a soma de todos os termo vale 3150 e a
razão vale 13
a1 = 20
Sn = 315o
Sn = (a1 + an)n
2
an = a1 + (n-1)r
an = 20 + (n-1)13
an = 20 + (n-1)13
an = 20 + 13n - 13
an = 13n + 7
3150 = (20 + 13n + 7)n
2
6300 = 20n + 13n2 + 7n
13n2 + 27n - 6300 = 0
∆ = 272 - 4 . 13 . 6300
∆ = 328329
-27 + 573 = 15,1
2.13
Razão da PA:
r = a(n+1) - an ou r = an - a(n-1)
r = (an - a1)
(n-1)