Eq Dif UNIP - Cap1 (Conceitos e Modelos Matemáticos)

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Equações Diferenciais Prof. Luiz Carlos Martins Jr 
Unip/São José do Rio Preto 
1 
Equações Diferenciais 
Apresentação 
Estas notas de aula serão usadas pelo professor durante as aulas de Equações Diferenciais, nos cursos de 
Engenharia, na Universidade Paulista (UNIP), campus de São José do Rio Preto, e estão sujeitas e erros de digitação. 
Aqui apresento um resumo do conteúdo, listas de exercícios e respostas. Recomendo fortemente que o aluno 
consulte os livros abaixo indicados durante seus estudos. 
Conteúdo programático 
1. Conceitos: 
1.1. Definições: equações diferenciais, solução e solução implícita de uma equação diferencial 
1.2. Problemas de Valor Inicial (PVI), classificação e Teorema de existência e unicidade de soluções de equações 
diferenciais. 
1.3. Modelos matemáticos. 
2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem. 
2.1. Equações diferenciais de variáveis separáveis. 
2.2. Equações diferenciais exatas. 
2.3. Equações diferenciais de primeira ordem. Fator Integrante. 
3. Equações Diferenciais de Segunda Ordem. 
3.1. Equações diferenciais de segunda ordem homogêneas. 
3.2. Equações diferenciais de segunda ordem não homogêneas. Método dos coeficientes a serem determinados. 
Bibliografia 
Básica 
 ZILL, D. G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 
2003. 
 STEWART, J. Cálculo. v.2. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006. 
 http://www.mat.ufmg.br/~regi/eqdif/iedo.pdf 
Complementar 
 BOYCE, W. E., DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. Rio 
de Janeiro: LTC, 2006. 
 MATOS M. Séries e equações diferenciais. São Paulo: Prentice Hall Brasil, 2001. 
 BRONSON R., COSTA G. Equações Diferenciais, 3ª edição. Coleção Schaum. Porto Alegre: Bookman, 2008. 
 KREYSZIG E. Matemática Superior para a Engenharia, volume 1. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 
 GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. v.4. Rio de Janeiro: LTC, 2002. 
 BOULOS, P., ABUD Z.I. Cálculo Diferencial e Integral. v.2. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2002. 
 
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Introdução 
Considere a função 
 
. Então 
 
 
 
 
 que pode ser reescrita como 
 
 
 . Neste curso 
resolveremos a seguinte questão: dada uma equação como 
 
 
 , queremos encontrar, de algum modo, uma 
função que satisfaça essa equação, ou seja, queremos encontrar soluções de equações diferenciais. 
Conceitos 
Notação para derivadas ordinárias: 
 
 
 ou ou 
Notação para derivadas parciais: 
 
 
 ou ou 
Importante: A notação 
 
 
 temos indicado que é a variável dependente (função incógnita) enquanto que a variável 
 é a variável independente, 
Definição: Uma equação diferencial (ED) é uma equação que contém as derivadas (ou diferenciais) de uma, ou mais, 
variáveis dependentes, em relação e uma, ou mais, variáveis independentes. 
Exemplos: a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 2 variáveis dependentes 
c) 
 
 
 
 
 
 2 variáveis independentes 
d) equação na forma diferencial 
Classificação: Equações diferenciais podem ser classificadas pelo tipo, ordem e linearidade. 
 Tipo: Se uma equação diferencial contém somente derivadas ordinárias em relação a uma única variável 
independente, então a ED é chamada de Equação Diferencial Ordinária (EDO). Caso contrário é chamada de 
Equação Diferencial Parcial (EDP). 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 (EDO) 
 
 
 
 
 
 (EDP) 
 Ordem: A ordem da derivada de maior ordem em uma equação diferencial é, por definição, a ordem da 
equação. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 é uma EDO de 2a ordem 
 Linearidade: Uma equação diferencial é chamada linear quando pode ser escrita na forma 
)()()(...)()( 011
1
1 xgyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa
n
n
nn
n
n  


. 
Note que as equações diferenciais lineares se caracterizam por duas propriedades: 
a) A variável dependente e suas derivadas são do primeiro grau, ou seja, a potência de cada termo 
envolvendo é 1; 
b) Cada coeficiente depende apenas da variável independente. 
Uma equação que não é linear é dita não-linear. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 não linear não linear não linear 
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Exemplo de EDO linear: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: Toda a função definida em algum intervalo I, que quando substituída na equação diferencial, 
transforma a equação numa identidade (satisfaz a ED), é chamada de solução para a equação no intervalo I. 
Exercício 1) Verifique se 
a) 
 
 
 é solução para a ED 
 
 
 no intervalo 
),( 
. 
b) é solução para a ED no intervalo 
),( 
. 
c) é solução para ED 
 
 
 no intervalo 
),( 
 onde é 
uma constante. 
OBS: o gráfico de uma solução de uma EDO é chamado curva integral, que é sempre uma curva contínua. 
 
Exemplo: as curvas abaixo são algumas curvas integrais da ED 
 
 
 (veja exercício 1.c) 
 
Definição: Uma solução para uma EDO que pode ser escrita da forma é chamada solução explícita. 
Dizemos que uma relação é uma solução implícita para uma EDO em um intervalo I, se ela define uma 
ou mais soluções explícitas em I. 
Exercício 2) 
a) Verifique se a relação , no intervalo , é uma solução implícita para a ED 
 
 
 
 
 
 . 
b) Verifique se a relação 
 é solução implícita da ED . 
Exercício 3) Mostre que: 
a) a função 
 
 
 , onde é uma constante arbitrária, é uma solução da EDO de 1a ordem 
 
 
 no 
intervalo 

 . 
b) a função , onde e são constantes arbitrárias, é solução para a EDO de 2
a 
ordem , no intervalo 

 . 
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
2
4
6
x
y
Three solutions for Dx y  y  sinx
 
 
 
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Definição: Em geral, quando resolvemos uma EDO de n-ésima ordem, encontramos uma família a n-parâmetros de 
soluções. Se todas as soluções da ED estão contidas nessa família a n-parâmetros então ela é chamada solução geral, 
ou completa. Uma solução para uma EDO que não depende de parâmetros arbitrários é chamada solução particular. 
Exemplos: com relação às funções e ED do exercício 3, temos que: 
a) as funções , 
 
 
 são soluções particulares da ED 
 
 
 . 
b) as funções , e são soluções da ED . 
Observação: As vezes, uma ED possui uma solução que não pode ser obtida especificando-se os parâmetros em uma 
família de soluções. Tal solução é chamada solução singular. 
Problema do Valor Inicial: Estamos interessados em resolver uma EDO : 
 
 
 sujeita à condição inicial 
 em que é um valor no intervalo e é um número arbitrário. O problema 
Resolva: 
 
 
 
Sujeito a: 
é chamado Problema do Valor Inicial de 1a ordem (PVI) 
Teorema de Existência e Unicidade de Soluções 
Se é uma região retangulardo plano xy, a saber, , que contém o ponto em seu 
interior. Se e 
 
 
 são contínuas em , então existe um intervalo contendo e uma única função 
definida em que satisfaz o PVI de 1a ordem. 
Modelos Matemáticos 
Exemplo 1) 
Numa região do plano em que não há cargas elétricas o potencial elétrico em cada ponto da região 
satisfaz a equação diferencial: 
 
 
 
 
 
 
Nesta equação a incógnita é a função . Assim é a variável dependente e e são as variáveis 
independentes. 
Exemplo 2) 
O movimento de um pêndulo simples de massa e comprimento é 
descrito pela função que satisfaz a equação diferencial: 
 
 
 
 
 
 
Nesta equação a incógnita é a função . Assim θ é a variável dependente 
e é a variável independente. 
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Exemplo 3) 
Em um sistema massa-mola composto de um corpo de 
massa preso a uma mola com constante elástica , 
sujeita a uma força de resistência 
 
 
 e 
uma força externa o 
deslocamento da massa satisfaz a equação 
diferencial: 
 
 
 
 
 
 
 
Nesta equação a incógnita é a função . Assim é a 
variável dependente e é a variável independente. 
Exemplo 4) 
Um circuito RC é um circuito que tem um resistor de 
resistência , um capacitor de capacitância e um gerador 
que gera uma diferença de potencial ligados em série. A 
carga no capacitor satisfaz a equação diferencial: 
 
 
 
 
 
 
 
Nesta equação a incógnita é a função . Assim é a 
variável dependente e é a variável independente. 
Exercício 3: Classifique as ED dos modelos matemáticos vistos acima: 
Exercícios Propostos 
Classifique cada uma das seguintes equações diferenciais. 
1. 
22 yx
dx
dy

 5. y’’’- 4y’’ + xy = 0 
2. 
023
2






dx
dy
x
dx
dy 6. y’+ x.cosx = 0 
3. 
yx
dx
dy
xy
dx
yd 2
2
2
5 
 7. (y’’)3 - xy’ + y’’ = 0 
4. 
0
2
2 






dx
dy
y
dx
dy
x
 8. y’’+ ex y = 2 
Verificar que cada uma das funções dadas y = f(x) é uma solução da equação diferencial dada. 
9. 
3
dx
dy
; y = 3x – 7 14. 
yx
dx
dy
x  2
 ; y = x2 + Cx 
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6 
10. 
242 xxy
dx
dy

; y = x2 - 4x 15. 
016
2
2
 y
dx
yd ; y = C1sen4x + C2cos4x 
11. x
xy
dx
dy
42 
; y = x2 - 4x 16. 
3
2
2
20x
dx
yd

; y = x5 + 3x - 2 
12. 
0
2
2
 y
dx
yd ; y = 2 senx + 3 cosx 17. 
0cos2  xy
dx
dy
; y = senx + cosx - e-x 
13. 
xey
dx
dy 
 ; y = (x + 2).e-x 18. 
22
2
2
 xy
dx
yd ; y = e
-x + x2 
19. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial 
 a) b) c) d) 0 e) 
 
 
 f) 
20. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial ? 
 a) b) c) d) e) f) 
Verificar que cada uma das equações define uma solução implícita da equação diferencial dada. 
21. ; 
22. ; 
23. ; 
24. ; 
Respostas do exercícios propostos 
1. EDO não linear de 1a ordem 5. EDO linear de 3a ordem 
2. EDO não linear de 1a ordem 6. EDO linear de 1a ordem 
3. EDO não linear de 1a ordem 7. EDO não linear de 2a ordem 
4. EDO não linear de 1a ordem 8. EDO linear de 2a ordem 
19. a) c) d) f) 
20. a) c) d)