Analogia entre os fenômenos - Cap2 Celso Livi

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r~——— v Capítulo 2 >
CONCEITOS DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE E
ANALOGIA ENTRE OS PROCESSOS DIFUSIVOS
UNIDIMENSIONAIS DE TRANSFERÊNCIA DE
MOMENTO LINEAR, DE CALOR E DE MASSA
2.1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo, conceituaremos eapresentaremos uma formulação básica para Fenômenos de Transporte. Vamos con
ceituar e analisar, a partir de uma abordagem fenomenológica, processos unidimensionais em que ocorrem fluxos de
momento linear (escoamento laminar de um fluido), de energia (condução de calor) e de massa (difusão molecular),
apresentando ummodelo comum e mostrando a analogia existente entreesses três fenômenos unidimensionais de trans
ferência difusiva.
2.2 GRANDEZAS EXTENSIVAS E INTENSIVAS. CAMPOS
\ , Na análise de uma situação física, geralmente centramos nossa atenção em uma determinada porção de matéria que
~; C denominamos sistema. Devemos escolher, adequadamente, grandezas observáveis, que são as propriedades adotadas para
• ,: a descriçãodo comportamento do sistema.
Grandezas extensivas são aquelas que dependem do volume ou da massa, ou seja, são propriedades do sistema como
. . um todo. Exemplos de grandezas extensivas: massa, momento (quantidade de movimento) linear e energia.
V^—t- Grandezas intensivas são aquelas definidas em um ponto e que não dependem do volume ou da massa do sistema.
Exemplos de grandezas intensivas: massa específica, concentração, velocidade e temperatura. Em muitas situações, elas
\ possuem valores diferentes em pontos distintos do sistema, de forma que o conceito de campo é muito útil.
Campo é uma distribuição contínua de uma grandeza intensiva que pode ser descrita por funções de coordenadas
espaciais e do tempo. Em outras palavras, campo é uma representação da região e do valor da propriedade intensiva em
cada ponto da região. Se a grandeza intensiva é um escalar, tem-se um campo escalar. Exemplos: campo de temperatura
numa placa e campo deconcentração de umsoluto numa solução. Sea grandeza intensiva é umvetor, tem-se umcampo
vetorial. Exemplos: campo de aceleraçãogravitacional e campo de velocidade de escoamento de um fluido.
O gradiente de uma grandeza intensiva fornece a taxa de variação máxima dessa grandeza em relação à distância.#
Considerando um campode temperatura descrito porT = T(.x, y,z), tem-se que o gradiente de temperatura, representa
do por grãd T ou VT, é dado por
r
vT-fi +fj +fÉ
dx dy dz
que fornece a taxa de variação máxima da temperatura com a distância.
2.3 DESEQUILÍBRIO LOCAL E FLUXOS. FENÔMENOS DE
TRANSPORTE
Quando o gradiente é nulo na vizinhança de um ponto, existe equilíbrio local na distribuição da grandeza intensiva, isto
é, o campo é uniforme em tornodo pontoconsiderado. Se, na vizinhança de um ponto, o gradiente é diferente de zero.
existe um desequilíbrio local na distribuição da grandeza intensiva, ou seja, o campo é não-uniforme.
Observa-se na natureza que,geralmente, a existência dedesequilíbrio local nadistribuição de umagrandeza intensiva causa•
umfluxo dagrandeza extensiva correspondente. Esses fluxos consistem emtransferência de grandezas extensivas, cuja tendên
0
ciaé restabelecer oequilíbrio nas distribuições das grandezas intensivas correspondentes. Aáreadaciência queestuda osfenô
menos nos quais ocorrem fluxos que tendem a uniformizar oscampos é chamada de Fenômenos de Transporte.
16 Capítulo Dois
Neste texto que se destina acursos básicos, vamos estudar somente os fundamentos do transporte difusivo de mo
mento linear de calor ede massa. Nas próximas seções, vamos caracterizar esses fenômenos de transferência para pro
cessos unidimensionais eapresentar, apartir de uma abordagem fenomenológica, um modelo comum eas equações básicas
que descrevem esses fenômenos difusivos unidimensionais, apresentando aanalogia existente entre eles.
7WC* ~"/l <"'&&& ???& z<C. im?' r?.£
2.4 TRANSPORTE DIFUSIVO DE MOMENTO LINEAR
Os fluidos reais possuem viscosidade, em maior ou menor grau, de forma que aexistência de gradientes de velocidade de
escoamento cria tensões cisalhantes que causam fenômenos de transferência de momento linear nos escoamentos de
fluidos Consideremos um processo unidimensional que ocorre para um escoamento laminar (no qual omovimento do
fluido se passa como se ofluido fosse constituído de lâminas paralelas que deslizam umas em relação às outras) de um
fluido newtoniano localizado entre duas placas horizontais paralelas, de grandes dimensões, separadas por uma distancia
pequena d, conforme é mostrado no esquema da Figura 2.1.
Fluido
Perfil de velocidade
nula
///;>;;;;/;;;;;;;
VQx
/;;//;/;//;;;;;;/>
Fluido
r
////////Jt////////
0 ////>//////////// ~* *
V0x
vox
////////J////////
(a) Inicialmente, as duas placas
estão estacionárias e o fluido
em repouso
(b) Instante de tempo í = 0,
placa superior colocada
em movimento com
velocidade VI
(c) Para t > 0, desenvolvimento
doperfil develocidade VJy, t)
em regime transiente
(d) Para t:» 0, distribuição de
velocidade estabelecida em
regime permanente
Figura 2.1 Desenvolvimento da distribuição de velocidade de escoamento para um fluido localizado entre duas placas planas de grandes
dimensões, separadas porumadistância dpequena, após a placa superior sercolocada emmovimento.
/Wfa
<fàb
^' CoNCErros de Fenômenos deTransporte eAnalogia entreos Processos Difusivos Unidimensionais 17
p Inicialmente, as placas eofluido estão em repouso. No instante de tempo t = 0, aplaca superior écolocada em
movimento auma velocidade constante V0x, permanecendo aplaca inferior estacionaria. Devido àpropriedade de
aderência dos fluidos viscosos às superfícies sólidas com as quais estão em contato, verifica-se que as lâminas muito
f delgadas de fluido em contato direto com as placas adquirem as suas velocidades, de maneira que, no instante de
r tempo t - 0, alâmina superior do fluido se move com velocidade Vfc, enquanto oresto do fluido ainda permanece
em repouso.
If Para t>0, observa-se que orestante do fluido entra progressivamente em movimento, ou seja, adquire momento
^ linear na direção x. Ofluido adjacente àlâmina superior recebe momento linear proveniente da placa superior e, por sua
vez também transfere momento linear na direção xpara outra camada e, assim, sucessivamente, ocorre uma transferên-
f cia de momento linear de camada em camada. Como aplaca inferior ealâmina de fluido em contato com aplaca perma-
^ necem estacionárias, verifica-se que avelocidade de escoamento de cada camada é progressivamente menor, de cima
^ para baixo, até ser nula. Dessa forma, desenvolve-se, durante um certo intervalo de tempo, uma distribuição (perfil) de
velocidade de escoamento Vx(y, t) em regime transiente, ou seja, dependente do tempo.
f"• Após esse certo intervalo de tempo, para í 55> 0, observa-se oestabelecimento de um perfil de velocidade de escoa-
^ mento VJy) em regime permanente que, para esse caso com geometria plana, é linear.
Assim, observa-se um transporte de momento linear na direção x, que ocorre transversalmente ao escoamento, ou
seja, na direçãoy, de cima para baixo, causado pelas tensões cisalhantes t, existentes entre as camadas de fluido nesse
f* escoamento laminar. Nesse processo, há uma fase dependente do tempo na qual Vx = Vx (y, t), de forma que a lei de
gpt Newton para a viscosidade (Eq. (1.7.4.10)) fica escrita como
r • dvx
^ T-=~flly~ (2A1)
^ Essa Eq. (2.4.1) relaciona a tensão cisalhante com o gradiente develocidade existente num escoamento laminar de
gpt um fluido newtoniano. Osinal negativo édevido ao fato de que ofluxo de momento linear ocorre no sentido contrário ao
gradiente de velocidade de escoamento.
#^ Atensão cisalhante t^ pode ser interpretada como adensidade de fluxo de momento linear. Da segunda lei de Newton
a para o movimento tem-se que
P ^ d(mVx)
e Fx=^r (2A2)
(p ou seja, a força é igual à taxa devariação demomento linear em relação ao tempo. Atensão decisalhamento r édefinida
como
t = hm —f- (2.4.3)
de forma que a tensão cisalhante t^ fornece aquantidade de momento linear na direção x que cruza uma superfície, na
direçãoy, por unidade de tempo e por unidade deárea, isto é, a tensão decisalhamento representa a densidade de fluxo
de momentolinear,de maneiraque ambas têm as mesmas dimensões:
[temio]Jf2Si]=M!£L =ML-H->
Lárea J lr
momento linear MLt'1 , „ . ,
= ML~lr2
ps Lárea x temP° J LH
m\ Assim, a existência de gradiente de velocidade de escoamento causa um transporte difusivo de momento linear atra-
vés do fluido, nadireção transversal aoescoamento. Consideremos a situação de regime permanente esquematizada na
^ . Figura 2.1, na qual ofluido está em movimento na direçãox, em escoamento laminar, com uma distribuição de velocida-
|p> de Vx(y). Além do movimento macroscópico na direção x, tem-se o movimento aleatório das moléculas, de forma que
0* resulta uma transferência de moléculas entre as camadas. Cada molécula transporta seu momento linear na direção \
correspondente à camada de origem, de maneira que resulta um fluxo de momento linear na direção x transversalmente
ao escoamento (na direçãoy) em função do gradiente de velocidade —-*-. Esse processodecorrente do movimento mo-
(P1 dy
1 lecular aleatório échamado dedifusivo, enquanto omovimento macroscópico dofluido costuma serdenominado convectivo.
jbn
fjy
18 Capítulo Dois
C
rV
2.5 TRANSPORTE DE CALOR POR CONDUÇÃO
Calor pode ser definido como aforma de energia que étransferida em função de uma diferença de temperatura. Atrans
ferência de calor pode ocorrer por distintos mecanismos:jCimdiiç^âg2..cqQvecção e radiação. Acondução secaracteriza
quando otransporte de calor ocorre em um ráéio estacionário, sólido ou fluido, causadõpêla existência de gradiente de
temperatura.
Aconvecção acontece nos fluidos ese caracteriza pela transferência de calor pelo movimento de massa fluida. Aradi
ação se caracteriza por uma transferência de calor entre dois corpos pelas radiações térmicas emitidas por suas superfí
cies. Estudaremos somente a condução de calor.
Consideremos um processo unidimensional de condução de calor que ocorre através de uma placa plana de grandes
dimensões eespessura dpequena, constituída de um material sólido homogêneo, conforme é mostrado no esquema da
Figura 2.2.
Placa
Placa
y
•
p
r~~ / Placa )
) i i
A
-)—•
(a) Inicialmente,a placapossui
temperatura uniforme TQ
(b) No instante de tempo t = 0,
a superfície superior adquire
temperatura T,, enquanto a
inferior é mantida com
temperatura TQ, ambas
constantes
(c) Para t > 0, desenvolvimento
de perfilde temperatura
em regime transiente
(d) Para t» 0, estabelecimento
de um perfilde temperatura
em regime permanente
Figura 2.2 Desenvolvimento do perfilde temperatura em uma placa plana de grandes dimensões e espessura d pequena, constituída de um
material sólidohomogêneo, colocada entre dois reservatóriostérmicos com temperaturas Tx e T0 constantes.
/9b
/^b
^b
<^%
/Cr£k
r CoNCErros deFenômenos deTransporte eAnalogia entre osProcessos Difusivos Unidimensionais 19
p
p Inicialmente, aplaca toda está com temperatura uniforme T0. No instante de tempo t= 0, coloca-se aplaca entre dois
reservatórios térmicos (que mantêm temperaturas constantes, apesar de estarem recebendo ou cedendo calor), resultan
do que asuperfície superior da placa adquire uma temperatura T,, enquanto asuperfície inferior émantida àtémperatu-
<p ra T0. Verifica-se que oresto da placa ainda permanece com temperatura T0 no instante de tempo t = 0.
p Para t>0, durante um determinado intervale de tempo observa-se odesenvolvimento de uma distribuição de tempe-
* ratura T(y, t) em regime transiente, ou seja, dependente do tempo, que, para esse caso unidimensional, éfunção dey et
<P somente.
p Após esse determinado intervalo de tempo, para t» 0, verifica-se um regime permanente estabelecido, ou seja, in-
ps variante com otempo, resultando, para essa geometria plana, um perfil linear de temperatura T{y).
^_ Observa-se, experimentalmente, que adensidade de fluxo de calor por condução édiretamente proporcional ao gradi-
T ente de temperatura, de forma que, para esse caso unidimensional, em que há uma fase dependente do tempo na qual
m* T = T(y, t), tem-se
p*
ps
JP»
onde:
dT1, =~^ (2.5.1)
qy é a densidade de fluxo de calor por condução nadireção y;
-r- é o gradiente de temperatura na direção y; e
ké o coeficiente de proporcionalidade conhecido como condutividade térmica do material.
Osinal negativo na Eq. (2.5.1) é devido ao fato de ofluxo de calor ser no sentido contrário ao gradiente de tempera
tura.
AEq. (2.5.1) é uma expressão unidimensional da equação de Fourier para acondução de calor que, para um caso geral
tridimensional, pode ser escrita como
q = -kVT (2.5.2)
O mecanismo de condução de calorconsiste em umatransferência de energia térmica, através de um meio material,
daregião de maior temperatura para a região de menor temperatura devido à existência degradiente de temperatura. A
temperatura podeser interpretada comouma medida macroscópica da atividade térmicamolecular em uma substância,
de forma que a condução de calor consiste em uma transferência de energia térmica entre as partículas, sendo que as
mais energéticas cedempartede sua energia às moléculas vizinhas que possuem energia menor.
Assim, a existência de gradientede temperaturacausa um fluxo de calor porcondução, cuja tendência é restabelecer
o equilíbriono campo de temperatura.
2.6 TRANSPORTE DE MASSA POR DIFUSÃO MOLECULAR
A transferêneja de massaocorrepelos mecanismos de convecção e difusão. O modode convecção se caracteriza por um
transporte de massa causado pelo movimentodo meio, como acontece, por exemplo, na dissolução de um torrão de açú
car na água contida em um copo quando se cria um escoamento mexendocom uma colher. O mecanismo de difusão se
caracteriza pela transferênciade massapelo movimento molecular devido à existência de um gradientede concentração
de uma substância. Na situação em que se tem um torrão de açúcar num copo com água em repouso observa-sea disso
lução relativamente lenta do mesmo, enquanto existir gradiente de concentração de açúcar na água. Estudaremos so
mente os fundamentos do transporte de massa por difusão molecular.
Nesta seção, vamos apresentar a lei de Fick para a difusão em uma mistura (ou solução) binaria (de dois componen
tes), que descreve a transferência de massa de um componente denominado A através de uma mistura (ou solução) de
componentes A e B, devido à existência de um gradiente de concentração da espécie A.
A grandeza intensivaconcentração pode ser definidade várias maneiras. Consideremos uma mistura binariade com
ponentes A e 6, sendoV o volume da mistura, mA a massa do componente A e mB a massa do componente B,de forma
que a massatotalda misturade volume \fém = mA + mB. Umamaneira de expressar concentraçãoé através da definição
de massaespecífica, feita no item Massa Específica emum Ponto, no Capítulo 1, como
P um TT7 (2.6.1)
AV~5V A,\/
20 Capítulo Dois
onde:
Am é a massa contida no elemento de volume AV; e t
ÔV é o menor volume, em torno de um ponto, onde existe uma média estatística definida. «a
Assim, para a mistura binaria considerada, tem-se que ^
concentração do componente A: pA — lim A (2.6.2) ^
AV-*5V A V ^
concentração do componente B: p% = lim B (2.6.3) /%
AV—»5V A V
,r i . i. AwA 4- AtnB ,~ , „x /
massa específica da mistura: p = lim — \l.bA)
r AV-.6V AV ^
resultando em ^
P=Pa +Pb (2-6-5) ^
As concentrações dos componentes AeB também podem ser definidas como uma fração demassa, daseguinte for- ^
= £*- (2.6.6) 1>cA =
P
cs =SL (2.6.7) ^
P "*%
Consideremos um processo unidimensional de transferência de água, pordifusão molecular, através de uma placa ^
plana de cerâmica, homogênea, de grandes dimensões e espessura dpequena, conforme é mostrado no esquema da Fi- ^
gura 2.3. '
Inicialmente, a placade cerâmica temsuassuperfícies emcontato comar seco, de maneira que existe umadistribui- ^
ção nula de concentração deágua nacerâmica. ^
Noinstante de tempo í = 0 coloca-se água sobre a placa, de forma quea cerâmica juntoà superfície superior passa a
apresentarumaconcentraçãocAQ de água. O restanteda cerâmica aindaapresentaconcentração nula de água,nesse ins- /
tante de tempo t = 0, pois a superfície inferior da placa de cerâmica é mantida secacoma incidência de umjato de ar *%
seco.
Para í > 0, durante um determinado intervalo de tempo, observa-se o desenvolvimento de umadistribuição de con- '
centração deágua cA(y, t), emregime transiente, naplaca decerâmica. ^
Após esse determinado intervalo detempo, para t » 0 fica estabelecido um regime permanente, resultando um perfil ^
de concentração de água cA(y) queé linear para essa geometria dosistema.
Verifica-se, experimentalmente, que a densidade de fluxo de massa por difusão molecular é diretamente proporcional '
ao gradiente de concentração. Assim, para um processo unidimensional, genérico, de difusão molecular do componente ^
Anuma mistura binaria de componentes AeB, que tem uma fase dependente do tempo na qual cA = cA{y, t), tem-se ^
j — r» "Pa ^}A.y--L>M— (2.6.8) y
dy
ou
onde:
r _ n d(pcA) ^
h--~DAB~dy~ <2-6'9> ^
L.,éa densidade de fluxo de massa por difusão molecular do componente Aatravés damistura na direção y; "^
dpA d{pcA) , ^
-r— ou —-— é o gradiente de concentração do componente A na mistura; e '
°J dy ^
DÁB é o coeficiente dedifusão molecular oudifusividade de massa docomponente Anamistura decomponentes AeB. —
**%
/^
p
p
p
0^
(fpN
JP*
p\
ms
0\
jp^
Conceitos de Fenômenos de Transporte eAnalogia entre os Processos Difusivos Unidimensionais 21
As Eqs. (2.6.8) e(2 6.9) são expressões unidimensionais da lei de Fick para adifusão molecular do componente A
numa mistura binaria de componentes Aefi, que pode ser escrita numa forma vetorial como
ou
h = ~DAB VpA (2.6.10)
]A=-DABf(pcA) (2.6.11)
Osinal negativo nessas equações que expressam alei de Fick para adifusão édevido ao fato de ofluxo de massa
ocorrer no sentido contrário ao gradiente de concentração, ou seja, adifusão molecular ocorre da região de maior concen
tração para aregião de menor concentração. Omecanismo de transferência de massa por difusão se origina no movimen
to molecular e, como no caso de gases, por exemplo, como aprobabilidade de uma molécula se dirigir em qualquer dire
ção éamesma, resulta um fluxo líquido do componente considerado da região de maior concentração para aregião de
menor concentração. Os fluxos de massa por difusão molecular são medidos em relação aum referencial que se move
com avelocidade mássica média da mistura que será definida no Capítulo 10.
Ar seco
Cerâmica
Perfil nulo de
concentração de água
Ar seco
°/*0 Água
Cerâmica
Ar seco *
Ar seco
Ar seco
(a) Inicialmente, a placade cerâmica
apresenta um perfil nulo
de concentração de água
(b) i\o instantede tempot = 0.
coloca-se água sobre a superfície
superiorda placa de cerâmica
ic) Para t > 0. desenvolvimento
da distribuição de concentração de
água C\{y. t) em regime transiente
•d) Para t >• 0.estabelecimento
de um perfil de concentração
de água c K{y) em regime
permanente
Figura 2.3 Desenvolvimento dadistribuição deconcentração deágua emuma placa plana decerâmica, degrandes dimensões e espess;
d pequena, após ser colocada entre água e ar seco.
22 Capítulo Dois
Assim, aexistência de um gradiente de concentração de um componente numa mistura (solução) causa um fluxo de ^
massa por difusão molecular desse componente através da mistura (solução). /^
2.7 EQUAÇÕES PARA AS DENSIDADES DE FLUXOS DE MOMENTO ^
LINEAR, DE CALOR E DE MASSA ^
Nas seções anteriores descrevemos processos unidimensionais de transferência difusiva de momento linear, de calor ede ^
massa, tendo apresentado as seguintes equações: ^
a) Transferênciadifusiva de momento linear
r —M^ <2--<> 2
A viscosidade cinemática foi definida como ?
„«ü (2.7.2)
P
de forma que podemosexpressar a Eq. (2.7.1) como
r ~,M (2.7.3)
dy
Atensão de cisalhamento T)rv pode ser interpretada como adensidade de fluxo de momento linear na direção y, sendo
a viscosidade cinemática va correspondente difusividade. ^
b) Transferência de calor por condução *%
r)Tq=-k^- (2.7.4) ^
Define-se a difusividade térmica a como
t^b
a = (2.7.5) ^
onde: ^
feéa condutividade térmica do material; 1
pé a massa específica do material; e ^
cp é o calor específico a pressão constante do material.
Com a difusividade térmica, a Eq. (2.7.4) pode ser escrita da seguinte forma
^,=-0!—-£— (2./.6)
<?y
O produto cpT representa a energia interna específica, de forma que a Eq. (2.7.6) pode ser escritacomo ^
ondee é a energia internaespecífica, ou seja, a energia internapor unidadede massa. ;
c) Transferência de massa por difusão molecular ^
i - n ^ ^jA.y -~UAB~T~ (2.7.8» ^
<7}' ^%
Dadefinição de concentração,numa mistura,pode-se expressar a concentraçãodo componenteA comopcx. result.in- 7
do que a Eq. (2.7.8) pode ser escrita como ^
r _ n d(pcA)Ja.>--L>ab d (2.7.S»i
0*
p
p\
ps
ps
p\
p*
•0^.
CoNCErros de Fenômenos de Transporte eAnalogia entre os Processos Difusivos Unidimensionais 23
onde DAB éocoeficiente de difusão molecular ou adifusividade de massa do componenteAna mistura de componentes
Nesses processos de transferência por difusão, observa-se que aexistência de desequilíbrio na distribuição de uma
grandeza intensiva, ou seja, aocorrência de gradiente da grandeza intensiva, causa um fluxo da grandeza extensiva corres
pondente.
As densidades de fluxos de momento linear, de calor ede massa são representadas matematicamente por equações do
tipo
/x=-C
dip/3)
dy (2.7.10)
sendo que:
fy é a densidade de fluxo dagrandeza extensiva nadireção y;
— éogradiente da grandeza intensiva correspondente, que cria a"força motriz" causadora do processo difusivo; e
C é umaconstante de proporcionalidade chamada de coeficiente de difusão ou difusividade.
Tem-se que péamassa específica do meio eagrandeza intensiva /3 éagrandeza extensiva correspondente por unida
de de massa, deforma que o produto p/3 é a grandeza extensiva por unidade de volume.
Oquadro a seguir apresenta as equações para as densidades de fluxos referentes aos processos unidimensionais de
transporte difusivode momento linear, de calor e de massa.
Grandeza
extensiva transferida
Equação para a densidade de
fluxo da grandeza extensiva
Características do
processo considerado
momento linear
^ _ dVx d(pVx)
T--^dy=-V dy escoamento laminarincompressível
calor
_._jl«*T_ d(pcpT) _ d(pe)
dy dy dy
meio estacionário com
calor específico e massa
específica constantes
massa U, uAB ^ ü,b ^
mistura binaria em repouso,
de componentes A e fi,
com massa específica p
constante
A densidade de fluxo da grandeza extensiva é proporcional ao gradiente da grandeza intensiva correspondente. Os
processos unidimensionais de transferência difusiva de momento linear, de calor e de massa são decorrentes dos movi
mentos moleculares e se caracterizam pela tendência ao equilíbrio das distribuições das grandezas intensivas. Têm-se
mecanismos semelhantes, nesses processos de transporte por difusão molecular, em que os gradientes das grandezas
intensivas criam "forças motrizes" que causam osfluxos dasgrandezas extensivas correspondentes. Esses trêsfenômenos
difusivos unidimensionais podem ser descritos por um modelo matemático comum. Éinteressante comparar as Eqs. (2.7.3).
(2.7.7) e (2.7.9) com a Eq. (2.7.10). Observe que a diferença entre essas equações está somente nas grandezas físicas
envolvidas e nos respectivos coeficientes de difusão.
As difusividades térmica, demassa e de momento linear (viscosidade cinemática) possuem a mesma dimensão dada por
[p) = [a) = [DAB) = L2r> (2.7.11)
e, no Sistema Internacional, têm a unidade metroquadrado por segundo (m2/s).
Como essas difusividades possuem a mesma dimensão, resulta quequalquer quociente entreduas delas será um pa
râmetro adimensional que é conveniente na análise de situações em que os dois fenômenos de transferência ocorrem
simultaneamente.
24 Capítulo Dois
Quando, no sistema em estudo, ocorrem transferências simultâneas de momento linear ede calor, tem-se oparâmetro
adimensional chamado de número de Prandtl,representado por Pr,definido por
a k
(2.7.12)
Onúmero dePrandtl indica aintensidade relativa entre os processos de transporte difusivo demomento linear edecalor.
Para os gases, onúmero de Prandtl épróximo da unidade. Para outros fluidos, ele varia muito, tendo, geralmente, valores
elevados para óleos viscosos e muito baixos para metais líquidos.
Quando ocorrem transferências simultâneas de momento linear e de massa, aparece oparâmetro adimensional cha
mado de número de Schmidt, representado porSc, definido por
Sc ^ -±-
Le =
a
D, pcpD,A6
n «n (27I3)F>ab PDab
O número de Schmidt indica a intensidade relativa entre os processos de transporte difusivo de momento linear e de
massa.
Quando, nosistema em estudo, ocorrem transferências simultâneas de calor e de massa, surge o parâmetro adimen
sional chamado de númerode Lewis, representado por Le,definido por
(2.7.14)
O número de Lewis indica a intensidade relativa entre os processos de transporte difusivo de calor e de massa.
Os processos simultâneos de transferência difusiva sãoditos similares quando o quociente entre suasdifusividades é
igual a um (unidade), de forma que as grandezas envolvidas são transportadas com a mesmaintensidade relativa.
2.8 EQUAÇÕES DA DIFUSÃO
Nos itens Transporte Difusivo de Momento Linear, Transporte de Calor porCondução e Transporte de Massa porDifusão
Molecular, realizamos um breve estudo de fenômenos unidimensionais de transferência difusiva de momento line
ar, de calor e de massa. Na fase dependente do tempo desses processos ocorrem fluxos das grandezas extensivas na
direção y através de um elemento de volume, com uma taxa de variação da grandeza extensiva dentro do elemento.
Considerando os princípios de conservação, pode-se expressar o seguinte balanço para uma grandeza extensiva ge
nérica:
( fluxoda grandeza ^
extensiva que entra
no elemento de volume,
fluxo da grandeza
extensiva que sai
do elemento de volume>
''taxa de variação da>
grandeza extensiva
d̂entro do elemento
(2.8.1)
Consideremos o elemento de volume mostrado na Figura 2.4, através do qual ocorrem fluxos de uma grandeza exten
sivagenérica, na J:.. ,,V> y, sendo que:
fé a densidade de fluxo da grandeza extensiva genérica; e
G é a grandeza extensiva genérica por unidade de volume.
Estão ocorrendo as densidades de flaxos difusivos f\y ef\y+Sy no sentido negativo do eixo y, através das faces situadas
nas coordenadas yey + Ay, respectivamente, causandouma taxa de variação da grandeza extensiva dentro do elemento,
de forma que o balanço expresso pela Eq. (2.8.1) fica sendo
dG-(/U)AxAz =-(A)AxAz +^L A*AyAz
dt
(2.8.2)
Dividindo pelovolume AxAyAz, rearranjando os termose fazendo o limitequando o volume do elemento tende a zero,
obtém-se
lim
j\y+ly f\y
Ay
dG
dt
(2.8.3)
íl%
/*%b
^1
/%
/A
&$b
*%
fi%b
/*%
p
P*
0^
ps
0s
pK
0S
ps
ps
0&S
0ê>
p\
ps
0b
r
Conceitos deFenômenos deTransporte eAnalogia entreos Processos Difusivos Unidimensionais 25
Considerando a definição de derivada, tem-se
Figura 2.4 Esquema das densidades de fluxos de uma
grandeza extensiva genérica através de um elemento de
volume.
d£=dG
dy dt (2.8.4)
Substituindo/pelas densidades de fluxos dadas pelas Eqs. (2.7.3), (2.7.6) e (2.7.9) e G pela respectiva grandeza ex
tensiva por unidade de volume, resulta:
a) Para momento linear:
ou
d
dy
d(pVx)
r By dt
d
dy
' d(pVt)' _ d(pVx)
dt
ílta
dlVx _ 1 dV,
Para os casos onde v e p são constantes, resulta
dy2 v dt
(2.8.5)
(2.8.6)
(2.8.7)
Asolução da Eq. (2.8.7), submetidaàs condições de contornoe inicial do problema, fornecea distribuição de veloci
dade Vx(y, í) para o escoamento considerado.
Parao processo unidimensional de transferência difusiva de momento linearesquematizado na Figura 2.1, tem-sea
seguinte formulação matemática:
Equação diferencial:
com as condições de contorno
e a condição inicial
d2Vx 1 dVx ÍOSySd
——- = —— para <
dy2 v dt [f > 0
Vx (0, í) = 0 para
Vx(d,t) = VQx para
V, (y, 0) = 0 para
>=0
r >0
y = d
í >0
0 < y < d
t = 0
(2.8.8)
(2.8.l».i»
(2.S»bi
<2.S l()>
26 Capítulo Dois
b) Para condução de calor:
ou
d_
dy
d_
dy
—a
d(pcpT)
dy
a
d(pcpT)
dy
d(pcpT)
dt
d(pcpT)
dt
Para casos onde a, pec são constantes, resulta
d2T _ I dT
dy2 a dt
(2.8.11)
(2.8.12)
(2.8.13)
Asolução da Eq.(2.8.13), queé chamada deequação da difusão de calor, submetida àscondições decontorno e inicial
doproblema, fornece a distribuição de temperatura T(y, t)para o problema de condução de calor considerado.
Para o processo unidimensional de transferência difusiva de calor esquematizado na Figura 2.2, tem-se a seguinte
formulação matemática:
Equação diferencial:
com as condições de contorno
e a condição inicial
d2T _ 1 dT
dyz a dt
para
7(0, t) = T0 para
T(d, t) —T, para
T{y, 0) = T0 para
=Sy<íiJO=Sy
[íâO
Jy =0
[í>0
y = d
t>0
0 < y < d
t = 0
c) Para a difusão de massa numa mistura binaria:
ou
Sendo DAB e p constantes, resulta
d_
dy
d_
dy
-DÀ
d(pcA)
dy
_ d(pcA)
dt
D,
d(pcA) _ d(pcA)
dtdy
dy1 DAR dt
{2.8.14)
(2.8.15a)
(2.8.15b)
(2.8.16)
(2.8.17)
(2.8.18)
(2.8.19)
Asolução da Eq. (2.8.19), que é chamada deequação da difusão de massa, submetida àscondições decontorno e ini
cial do problema, fornece a distribuição de concentração cA(y, t) do componente A namistura considerada.
Para o processo unidimensional de transferência difusiva deágua na placa de cerâmica esquematizado na Figura 2.3.
tem-se a seguinte formulação matemática:
fl%
/»k
fWOb
/%
/%
-****
*^!K
CoNCErros de Fenômenos deTransporteeAnalogia entre os Processos Difusivos Unidimensionais 27
p
p Equação diferencial:
p
p
p
com as condições de contorno
ó2cA _ 1
df DAC
ps
e a condição inicial
[0< y < d
Lo (2-8-20)
[y = 0
cA (0,í) = 0 para < (2.8.21a)
\y = dcA{d,t) =cÁ0 para j (2.8.21b)
[0 < y < íicA (y, 0) = 0 paia _; (2.8.22)
-^ Comparando as Eqs. (2.8.8), (2.8.14) e (2.8.20) e suas correspondentes condições inicial e de contorno, verifica-se
^ que as formulações matemáticas para esses processos unidimensionais de transferência difusiva de momento linear, de
(P calor e de massa são análogas. As diferenças entre essas equações estão nasvariáveis dependentes envolvidas e nos res-
j^ pectivos coeficientes dedifusão para os fenômenos considerados.
^ Essa analogia fica mais evidente com a utilização de variáveis adimensionais.
r Considerando as variáveis adimensionais
ps
e r=t a8-23)
p*
ps y* =^ (2-8.24)
t* =^r (2.8.25)
d1
resulta, para oprocesso unidimensional de transferência difusiva de momento linear esquematizado na Figura 2.1, a se
guinte formulação matemática:
Equação diferencial
*V* áV* para Í°.S >* *' (2.8.26)
dy*2 dt* [t*^0
com as condições de contorno
0s [v* = 0
r V*(0, t*) = 0 para \\ (2.8.27a)
0s [t > 0
e a condição inicial
V*(l,r*)=l para \\ \ (2.8.27b)
r*>0
Í0 < v* < 1VV,0)a0 para \ J (2.8.28)
28 Capítulo Dois
Considerando as variáveis adimensionais y
y* = X (2.8.30)
d
t* = — (2.8.31)
d2
resulta, para oprocesso unidimensional de transferência difusiva de calor esquematizado na Figura 2.2, a seguinte for
mulação matemática:
Equaçãodiferencial:
com as condições de contorno
e a condição inicial
<rr=?Il para J"-' -• (2.8.32)
dy*2 dt* P V*- "
J0 2= y* <1
[t*>0
T*(0,t*) =0 para j^ ° (2.8.33a)
í*>0
T*(l,t*)=l para {' * (2.8.33b)
|t*> 0
|0<y*
jt* =0T*(y*, 0) = 0 para f, „ (2.8.34)
Considerando as variáveis adimensionais
cX =-^ (2.8.35)
y* =^ (2.8.36)
d
t* =%^ (2.8.37)
•^tl
<^%
'3%
resulta, para oprocesso unidimensional de transferência difusiva de água na placa de cerâmica esquematizado na Figura ^
2.3, a seguinte formulação matemática:
Equaçãodiferencial: ^
com as condições de contorno
<?2cX _ de* |0<y*<l
dy*2 dt* lt*>0
para { x ' (2.8.38)
<""S5\
c*(0,t*) =0 para \\ ° (2.8.39a) ^
t > 0 /<%
c*(l,t*)=l para i^ =1 (2.8.39b) ^
t*>0
P"
p
Mb
0S
0$S
CONCETTOS DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE EANALOGIA ENTRE OS PROCESSOS DffUSIVOS UNIDIMENSIONAIS 29
e a condição inicial
c*(y*, 0) = 0 para
0 < y* < 1
t* = 0
(2.8.40)
Assim, considerandosistemas que possuem amesma geometria e situações físicas tais que as condições iniciais ede
contorno dos problemas sejam similares, verifica-se que as formulações matemáticas para os processos unidimensionais
de transferência difusiva de momento linear, de calor ede massa são diferentes somente nas variáveis dependentes en
volvidas e nos respectivos coeficientes de difusão.
Com a utilização de variáveis adimensionais, verifica-se que a única diferença entre as formulações matemáticas
adimensionalizadas que descrevem esses fenômenos está nas variáveis dependentes envolvidas, de forma qve as soluções
das equações diferenciais (2.8.26), (2.8.32) e (2.8.38) são equivalentes e, assim, conclui-se que os processos difusivos
unidimensionais de transferência de momento linear, de calor e de massa são análogos.
Oestudo dessa analogia é interessante para ilustrar como esses diferentes fenômenos físicos podem ser descritos por
um mesmo modelo matemático. As equaçõesde difusão serãoestudadas detalhadamente maisadiante, neste curso.
2.9 BIBLIOGRAFIA
BENNETT, C. O. & MYERS, J. E. Fenômenos de Transporte. McGraw-Hill do Brasil, São Paulo, 1978.
BIRD, R. B.;STEWART, VV. & LIGHTFOOT, E. N. Transport Phenomena, John Wiley, 1960.
INCROPERA, F. P. & DEVVITT, D. P. Fundamentos deTransferência deCalor e deMassa. Guanabara Koogan, Rio de Janeiro, 1992.
SISSOM, L. E. & PITTS, D. R. Fenômenos de Transporte. Guanabara Dois, Riode Janeiro, 1979.
WELTY, J. R.;VVICKS, C. E. &WILSON, R. E. Fundamentais ofMomentum, Heat andMass Transfer. John Wiley, 1976.
2.10 PROBLEMAS
2.1 Conceitue grandezas físicas extensivas e intensivas.
2.2 De uma maneira geral, pode-se associar uma grandeza
extensiva a uma grandeza intensivacorrespondente. Clas
sifique e indiqueos pares correspondentes da seguinte lis
ta de grandezasextensivase intensivas: energia, momento
linear, energia específica, massa, massa de um soluto, a
unidade (1), velocidade e concentração.
2.3 Conceitue campoe gradiente de umagrandeza intensiva.
2.4 A Figura 2.5 mostra um esquema de um escoamento
laminar de água em regime permanente, localizado entre
duas placas horizontais de grandes dimensões e separadas
por uma distância y = 0,03 m. A placa superior está em
repouso, enquanto a inferiorestá em movimento comvelo
cidade Vx = 0,5 m/s, resultando um perfil linear de veloci-
/ / / / tj //////////
vxM
\\\\\K\\ \ \ \ \ \ w >*
Figura 2.5
dade Vx{y) para o escoamento. Sendo a viscosidadeda água
p. = 0,001 Pa • s (para T = 20°C), calcule a densidade de
fluxo de momento linear que ocorre nesse escoamento.
Resp.:r^ = 0,017 N/m2
2.5 A Figura2.6 mostra um esquema de uma parede plana
com espessura L,constituída de um materialcom conduti-
vidade térmica K. Se está ocorrendo um fluxo de calor por
condução através da parede, em regime permanente, de
forma que a distribuição de temperaturaé linear,conforme
mostrado na Figura 2.6, determine:
a) a distribuição de temperatura T(x) na parede;
b) a densidade de fluxo de calor que atravessa a parede.
Resp.:a)7X*) =T0-(To , Tl)x b) qx =£(T0 - T, )
Figura 2.6