AVA1 Calculo Numérico UVA Veiga de Almeida

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1 
 
 
 
 
 
 
Aluno: Yuri de Lemos Antunes Ribeiro 
Matrícula: 20203301618 
Curso de Sistemas de Informação 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES 
 
 
 
 
 
 
 
Disciplina: Cálculo numérico 
 
 
 
 
Rio de Janeiro 
Maio de 2022 
2 
 
UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA 
 
Aluno: Yuri de Lemos Antunes Ribeiro 
 
 
Resolução de Sistemas Lineares 
 
Texto apresentado como pré-requisito da 
disciplina Cálculo númerico do Curso de 
Sistemas de Informação da Universidade 
Veiga de Almeida. 
 
Professora: Jamille Santos Santana. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro 
Maio de 2022 
3 
 
Situação problema: 
Analise o sistema linear abaixo: o discente, deverá resolver utilizando os seguintes métodos: 
Método de Gauss - Jacobi e o Método de Gauss – Seidel. 
 
Resolva o sistema linear utilizando os seguintes métodos: Método de Gauss - Jacobi e o 
Método de Gauss – Seidel. Para ambos os métodos, os valores iniciais são: x(0) = (0,0,0) e o 
erro ε ≤ 0.001. Os resultados devem ter no máximo 3 casas decimais. 
Em ambos os Métodos, considerar os seguintes passos: 
1. Verificar o Critério de Convergência (Critério de Linhas). 
2. Isolar as variáveis 
3. Verificar o Critério de Parada (Cálculo do Erro). 
 
MÉTODO DE GAUSS-JACOBI 
1º passo – Conferir critério de convergência 
|a11| ≥ |a12| + |a13| 
|a22| ≥ |a21| + |a23| 
|a33| ≥ |a31| + |a32| 
|3| ≥ |−0.1| + |−0.2| Satisfaz 
|7| ≥ |0.1| + |−0.3| Satisfaz 
|10| ≥ |0.3| + |−0.2| Satisfaz 
A condição da diagonal dominante é verdadeira. 
 
2º passo – Isolar variáveis e calcular erro 
x(0) = (0,0,0) 
x1 =
7,85 + 0,1x2
(0) + 0,2x3
(0)
3
 
x1 =
7,85 + 0,1 ∗ 0 + 0,2 ∗ 0
3
=
7,85
3
= 2,617 
 
x2 =
−19,3 − 0,1x2
(0) + 0,3x3
(0)
7
 
4 
 
x2 =
−19,3 − 0,1 ∗ 0 + 0,3 ∗ 0
7
=
−19,3
7
= −2,757 
 
x3 =
71,4 − 0,3x2
(0) + 0,2x3
(0)
10
 
x3 =
71,4 − 0,3 ∗ 0 + 0,2 ∗ 0
10
=
71,4
10
= 7,140 
3º passo – Verificando o critério de parada 
|x1 − x0| ≤ 0,001 
|x1
(1)
− x1
(0)
| ≤ 0,001 → |2,617 − 0| ≤ 0,001 Não satisfaz 
|x2
(1) − x2
(0)| ≤ 0,001 → |−2,757 − 0| ≤ 0,001 Não satisfaz 
|x3
(1) − x3
(0)| ≤ 0,001 → |7,140 − 0| ≤ 0,001 Não satisfaz 
4º passo - Calcular novamente 
x(1) = (2,617, −2,757, 7,140) 
x1 =
7,85 + 0,1x2
(1) + 0,2x3
(1)
3
 
x1 =
7,85 + 0,1 ∗ (−2,757) + 0,2 ∗ (7,140)
3
=
9,002
3
= 3,001 
 
x2 =
−19,3 − 0,1x2
(1) + 0,3x3
(1)
7
 
x2 =
−19,3 − 0,1 ∗ (2,617) + 0,3 ∗ (7,140)
7
=
−17,42
7
= −2,488 
 
x3 =
71,4 − 0,3x2
(1) + 0,2x3
(1)
10
 
x3 =
71,4 − 0,3 ∗ (2,617) + 0,2 ∗ (−2,757)
10
=
70,064
10
= 7,006 
5º passo – Verificando o critério de parada 
|x2 − x1| ≤ 0,001 
|x1
(2) − x1
(1)| ≤ 0,001 → |3,001 − 2,617| ≤ 0,001 Não satisfaz 
|x2
(2) − x2
(1)| ≤ 0,001 → |−2,488 − (−2,757)| ≤ 0,001 Não satisfaz 
|x3
(2) − x3
(1)| ≤ 0,001 → |7,006 − 7,140| ≤ 0,001 Não satisfaz 
5 
 
 
6º passo - Calcular novamente 
x(2) = (3,001, −2,488, 7,006) 
 
x1 =
7,85 + 0,1x2
(2) + 0,2x3
(2)
3
 
x1 =
7,85 + 0,1 ∗ ( −2,488) + 0,2 ∗ ( 7,006)
3
=
9,002
3
= 3,001 
 
x2 =
−19,3 − 0,1x2
(2) + 0,3x3
(2)
7
 
x2 =
−19,3 − 0,1 ∗ (3,001) + 0,3 ∗ ( 7,006)
7
=
−17,498
7
= −2,500 
 
x3 =
71,4 − 0,3x2
(2) + 0,2x3
(2)
10
 
x3 =
71,4 − 0,3 ∗ (3,001) + 0,2 ∗ ( −2,488)
10
=
70,002
10
= 7,000 
7º passo – Verificando o critério de parada 
|x3 − x2| ≤ 0,001 
|x1
(3) − x1
(2)| ≤ 0,001 → |3,001 − 3,001| ≤ 0,001 Não satisfaz 
|x2
(3)
− x2
(2)
| ≤ 0,001 → |−2,500 − (−2,488)| ≤ 0,001 Não satisfaz 
|x3
(3) − x3
(2)| ≤ 0,001 → |7,000 − 7,006| ≤ 0,001 Não satisfaz 
 
8º passo - Calcular novamente 
x(3) = (3,001, −2,500, 7,000) 
 
x1 =
7,85 + 0,1x2
(2) + 0,2x3
(2)
3
 
x1 =
7,85 + 0,1 ∗ ( −2,500) + 0,2 ∗ ( 7,000)
3
=
9,000
3
= 3,000 
 
6 
 
x2 =
−19,3 − 0,1x2
(2)
+ 0,3x3
(2)
7
 
x2 =
−19,3 − 0,1 ∗ (3,001) + 0,3 ∗ ( 7,000)
7
=
−17,500
7
= −2,500 
 
x3 =
71,4 − 0,3x2
(2) + 0,2x3
(2)
10
 
x3 =
71,4 − 0,3 ∗ (3,001) + 0,2 ∗ ( −2,500)
10
=
70,000
10
= 7,000 
9º passo – Verificando o critério de parada 
|x4 − x3| ≤ 0,001 
|x1
(4) − x1
(3)| ≤ 0,001 → |3,000 − 3,001| ≤ 0,001 → 0,001 Satisfaz 
|x2
(4) − x2
(3)| ≤ 0,001 → |−2,500 − (−2,500)| ≤ 0,001 → 0 Satisfaz 
|x3
(4) − x3
(3)| ≤ 0,001 → |7,000 − 7,000| ≤ 0,001 → 0 Satisfaz 
 
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL 
1º passo – Conferir critério de convergência 
|3| ≥ |−0.1| + |−0.2| Satisfaz 
|7| ≥ |0.1| + |−0.3| Satisfaz 
|10| ≥ |0.3| + |−0.2| Satisfaz 
2º passo – Isolar variáveis e calcular erro 
x(0) = (0,0,0) 
x1 =
7,85 + 0,1x2
(0) + 0,2x3
(0)
3
 
x1 =
7,85 + 0,1 ∗ 0 + 0,2 ∗ 0
3
=
7,85
3
= 2,617 
 
x2 =
−19,3 − 0,1x2
(1) + 0,3x3
(0)
7
 
x2 =
−19,3 − 0,1 ∗ 2,617 + 0,3 ∗ 0
7
=
−19,568
7
= −2,795 
 
7 
 
x3 =
71,4 − 0,3x2
(1)
+ 0,2x3
(1)
10
 
x3 =
71,4 − 0,3 ∗ (2,617) + 0,2 ∗ (−2,795)
10
=
70,05
10
= 7,005 
3º passo – Verificando o critério de parada 
|x1 − x0| ≤ 0,001 
|x1
(1) − x1
(0)| ≤ 0,001 → |2,617 − 0| ≤ 0,001 Não satisfaz 
|x2
(1) − x2
(0)| ≤ 0,001 → |−2,795 − 0| ≤ 0,001 Não satisfaz 
|x3
(1) − x3
(0)| ≤ 0,001 → |7,005 − 0| ≤ 0,001 Não satisfaz 
 
 
4º passo - Calcular novamente 
x(1) = (2,617, −2,795, 7,005) 
x1 =
7,85 + 0,1x2
(1) + 0,2x3
(1)
3
 
x1 =
7,85 + 0,1 ∗ (−2,795) + 0,2 ∗ (7,005)
3
=
8,9715
3
= 2,99 
 
x2 =
−19,3 − 0,1x2
(2) + 0,3x3
(1)
7
 
x2 =
−19,3 − 0,1 ∗ (2,99) + 0,3 ∗ (7,005)
7
=
−17,4975
7
= −2,500 
 
x3 =
71,4 − 0,3x2
(2) + 0,2x3
(2)
10
 
x3 =
71,4 − 0,3 ∗ (2,99) + 0,2 ∗ (−2,500)
10
=
70,003
10
= 7,000 
5º passo – Verificando o critério de parada 
|x2 − x1| ≤ 0,001 
|x1
(2) − x1
(1)| ≤ 0,001 → |2,99 − 2,617| ≤ 0,001 Não satisfaz 
|x2
(2) − x2
(1)| ≤ 0,001 → |−2,500 − (−2,795)| ≤ 0,001 Não satisfaz 
|x3
(2) − x3
(1)| ≤ 0,001 → |7,000 − 7,005| ≤ 0,001 Não satisfaz 
 
8 
 
6º passo - Calcular novamente 
x(2) = (2,99, −2,500, 7,000) 
 
x1 =
7,85 + 0,1x2
(2) + 0,2x3
(2)
3
 
x1 =
7,85 + 0,1 ∗ ( −2,500) + 0,2 ∗ ( 7,000)
3
=
9,000
3
= 3,000 
 
x2 =
−19,3 − 0,1x2
(2) + 0,3x3
(2)
7
 
x2 =
−19,3 − 0,1 ∗ (3,000) + 0,3 ∗ ( 7,000)
7
=
−17,50
7
= −2,500 
 
x3 =
71,4 − 0,3x2
(2) + 0,2x3
(2)
10
 
x3 =
71,4 − 0,3 ∗ (3,000) + 0,2 ∗ ( −2,500)
10
=
70,00
10
= 7,000 
7º passo – Verificando o critério de parada 
|x3 − x2| ≤ 0,001 
|x1
(3) − x1
(2)| ≤ 0,001 → |3,000 − 2,99| ≤ 0,001 → 0,01 Não satisfaz 
|x2
(3) − x2
(2)| ≤ 0,001 → |−2,500 − (−2,500)| ≤ 0,001 → 0 Satisfaz 
|x3
(3) − x3
(2)| ≤ 0,001 → |7,000 − 7,000| ≤ 0,001 → 0 Satisfaz 
 
8º passo - Calcular novamente 
x(3) = (3,000, −2,500, 7,000) 
 
x1 =
7,85 + 0,1x2
(2) + 0,2x3
(2)
3
 
x1 =
7,85 + 0,1 ∗ ( −2,500) + 0,2 ∗ ( 7,000)
3
=
9,000
3
= 3,000 
 
x2 =
−19,3 − 0,1x2
(2) + 0,3x3
(2)
7
 
9 
 
x2 =
−19,3 − 0,1 ∗ (3,001) + 0,3 ∗ ( 7,000)
7
=
−17,500
7
= −2,500 
 
x3 =
71,4 − 0,3x2
(2) + 0,2x3
(2)
10
 
x3 =
71,4 − 0,3 ∗ (3,000) + 0,2 ∗ ( −2,500)
10
=
70,000
10
= 7,000 
9º passo – Verificando o critério de parada 
|x4 − x3| ≤ 0,001 
|x1
(4)
− x1
(3)
| ≤ 0,001 → |3,000 − 3,000| ≤ 0,001 → 0 Satisfaz 
|x2
(4) − x2
(3)| ≤ 0,001 → |−2,500 − (−2,500)| ≤ 0,001 → 0 Satisfaz 
|x3
(4) − x3
(3)| ≤ 0,001 → |7,000 − 7,000| ≤ 0,001 → 0 Satisfaz