Introdução aos estudos das Equações diferenciais

Prévia do material em texto

1 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 
Definições e conceitos básicos 
 
Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas 
derivadas. Se a função incógnita depender de uma única variável, tem-se uma equação 
diferencial ordinária, caso contrário, uma equação diferencial parcial. 
 Existe uma quantidade muito grande de problemas que podem ser modelados 
matematicamente utilizando-se de equações diferenciais. A teoria das equações 
diferenciais é uma poderosa ferramenta que pode ser utilizada para resolver problemas 
em todos os ramos da ciência. Talvez a lei de Newton represente o modelo de equação 
diferencial ordinária mais conhecido: 
 
 )t(u),t(u,tf)t(um  (Lei de Newton) (1) 
 
Que estabelece uma relação entre massa, aceleração e força para o caso de um corpo 
sob a ação de uma força que pode depender do instante t, da posição )t(u , da massa m e 
da sua velocidade )t(u . 
 A equação diferencial: 
 
)t(F)t(ku)t(uc)t(um  (2) 
 
representa o comportamento de um sistema massa-mola em que m é a massa de um 
corpo anexada a uma mola de constante elástica k que pode estar atuando num meio 
que proporcione uma resistência c ao movimento, submetida a uma força externa )t(F . A 
posição do corpo em qualquer instante é dada pela função )t(u . 
 
 Pode-se mostrar que a equação diferencial de um circuito elétrico em série do tipo 
RLC com carga no capacitor )t(q , capacitância C , indutância L , resistência R e voltagem 
externa )t(V é: 
 
)t(V)t(q
C
1
dt
)t(dq
R
dt
)t(qd
L
2
2
 (3) 
 
Outros exemplos: 
0x2y  (4) 
xey6y5y  (5) 
 
 Algumas equações diferenciais parciais importantes são: 
 
0
y
)y,x(u
x
)y,x(u
2
2
2
2






 (equação do potencial) (6) 
 
t
)t,x(u
x
)t,x(u
2
2
2





 (equação da condução do calor) (7) 
 
2
2
2
2
2
t
)t,x(u
x
)t,x(u
a





 (equação da onda) (8) 
 
 
 2 
 Neste texto serão tratadas apenas equações diferenciais do tipo ordinárias. 
 
 
Ordem 
 
 A ordem de uma equação diferencial é definida como sendo a ordem da derivada 
de mais alta ordem que aparece na equação. 
O exemplo (4) representa uma equação diferencial de ordem 1, enquanto que os 
demais representam equações diferenciais de ordem 2. 
 
 Uma equação diferencial de ordem n é uma equação da forma 
 
0)y,y,y,x(F )n(  (9) 
 
 Este texto trata apenas de equações do tipo (9) que puderem ser colocadas na 
forma: 
 
 )1n()n( y,,y,y,xfy   (10) 
 
onde RRD:f 1n   sendo D um conjunto aberto do 1nR  (isto é, a derivada de ordem n 
da função incógnita, pode ser isolada). 
 
 
Solução 
 
 Uma solução para uma equação diferencial ordinária, na função incógnita y e 
variável independente x , num intervalo   ,I é uma função contínua )x(y que verifica 
identicamente a equação neste intervalo. Em alguns casos a solução é obtida como uma 
função implícita passando a ser chamada solução implícita. 
 A questão da existência e do número de soluções é estabelecida por um teorema 
conhecido como Teorema de Existência e Unicidade de soluções (TEU) e não será 
tratada neste texto. Pode-se verificar facilmente que a equação diferencial 0yy  
admite como uma solução a função senx)x(y1  para qualquer Rx , uma vez que 11 y''y  . 
É fácil verificar que xcos)x(y2  também é uma solução. De modo geral todas as soluções 
da equação diferencial 0yy  são da forma: 
 
senxcxcosc)x(y 21  , 21 c,c constantes (11) 
 
 É importante observar que nem toda equação diferencial possui solução (função 
real). Por exemplo, 01y 2  é um caso. 
 
 Em geral uma equação diferencial possui mais de uma solução. 
 
 
Curvas Integrais 
 
 As curvas integrais de uma equação diferencial constituem a representação gráfica 
das suas soluções. Abaixo estão representadas algumas funções da forma cx)x(y 2  
que representam as curvas integrais (soluções), da equação diferencial 0x2y  . 
 
 
 3 
 
-4 -2 2 4
x
-20
-10
10
20
30
40
y
 
 
 
Equações diferenciais ordinárias lineares e não lineares 
 
 A equação diferencial de ordem n, 0)y,,y,y,x(F )n(  é dita linear se F é uma função 
linear nas variáveis )n(y,,y,y  , isto é, a equação diferencial pode ser colocada na forma: 
 
)x(Gy)x(ay)x(ay)x(a n
)1n(
1
)n(
0 
  (12) 
 
onde 0)x(a0  . As funções )x(a , ),x(a ),x(a n10  são chamadas de coeficientes da equação 
diferencial linear. Se estes coeficientes forem constantes temos uma equação linear de 
coeficientes constantes, caso contrário, será uma equação linear de coeficientes 
variáveis. Se 0)x(G  , a equação (12) é dita linear homogênea ou incompleta, e se 
0)x(G  temos uma equação do tipo linear não homogênea ou completa. Caso a equação 
diferencial não possa ser colocada na forma (12), dizemos que a mesma é não linear. Do 
mesmo modo tem-se o conceito de equação diferencial parcial do tipo linear, sendo que 
neste caso os coeficientes passam a serem funções das variáveis independentes. Os 
exemplos (2) a (5) representam equações diferencias ordinárias lineares. 
 
 As equações diferenciais que representam um sistema massa-mola (2) e um 
circuito RLC (3), constituem exemplos de equações lineares de segunda ordem, com 
coeficientes constantes. Uma equação não linear surge no estudo do problema do 
pendulo. Se  é o ângulo que um pendulo de comprimento l faz com a direção vertical 
então vale a equação diferencial 0sen
l
q
dt
d
2
2


. Para pequenos valores do ângulo  , 
pode-se assumir que sen e a equação acima assume a forma linear 0
l
q
dt
d
2
2


. 
Neste caso dizemos que o problema foi linearizado e constitui um procedimento útil de 
resolução de modelos que envolvem equações diferenciais não lineares. Obviamente 
neste caso teremos uma solução aproximada para o problema real. 
 
 
Solução geral 
 
 Uma característica importante das equações lineares é que sempre é possível 
obter um processo geral de resolução, enquanto que para as equações não lineares isso 
pode não ser possível. Para as equações lineares é sempre possível obter uma 
expressão )x(y  que contem todas as suas soluções. Esta função é chamada solução 
 
 4 
geral e depende de constantes arbitrárias numa quantidade igual à ordem da equação 
diferencial. Para cada conjunto de valores destas constantes obtém-se uma dada 
solução, que é chamada solução particular. Pode-se mostrar que a solução geral da 
equação diferencial 0yy  é da forma senxcxcosc)x(y 21  , onde 1c e 2c são constantes 
arbitrárias; enquanto que senx3xcos2)x(y  é uma solução particular. 
 
 
Problema de valor inicial e problema de contorno 
 
 Um problema de valor inicial (p.v.i.) consiste de uma equação diferencial de ordem 
n juntamente com n condições sobre, a função incógnita e as derivadas até a ordem 1n  , 
para um mesmo valor da variável independente. Por exemplo: 
 
 
   




10y ; 00y
0yy
 
 
é um problema de valor inicial cuja solução é senx)x(y  . 
 
 Se as condições não forem para um mesmo valor da variável independente, temos 
um problema de contorno. Por exemplo: 
 
 
   




1y ; 00y
0yy
 
 
é um problema de contorno cuja solução é senx)x(y  . 
 
Os problemas de contorno constituem uma classe muito importante para a 
engenharia. 
 
 O problema de contorno, 0yy  ; 1)0(y  ; 0)
4
(y 

 tem como solução (única), a 
função   senxxcosxy  , e a seguir é apresentado um esboço do seu gráfico. 
 
1 2 3 4 5 6
-1
-0.5
0.5
1
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
Nos problemas 1) a 8) identificar a ordem da equação diferencial e dizer se é linear ou 
não-linear. Para as equações lineares classificar em homogêneaou não-homogênea. 
 
 5 
1) 0yyxyx2 2  (equação de Euler) 
2)     0y1yx2yx1 2  , cte (equação de Legendre) 
3)   0yxyxyx 222  , cte (equação de Bessel) 
4)   0yyx1yx  , cte (equação de Laguerre) 
5) 0yyx2y  , cte (equação de Hermite) 
6) 0)yx(seny  
7) senxxy2y 2 
8) xeyyyx  
 
Nos problemas 9) a 12) mostrar que as funções dadas são soluções de cada equação 
diferencial. 
9) 0yy  ; senx)x(y1  ; 
ix
2 e)x(y  
10) 0y4yx5yx2  , 0x  ; 21 x2)x(y
 ; xlnx)x(y 22
 
11) xsecyy  ; )xcosxsenx(
2
1
)x(y  
12) x2ey4y  ; x2xe
8
1
)x(y  
 
Nos problemas 13) a 15) determinar os valores de r para que rxey  seja uma solução 
da equação diferencial dada. 
13) 0yy  
14) 0y6y5y  
15) 0yy  
 
Respostas: 
1) a 5) são equações lineares homogêneas de ordem 2 
6) não-linear, ordem 1 
7) linear de ordem 1, não homogênea 
8) não-linear, ordem 3 
13) 1r  
14) 3 ,2 
15) 1 ,0 ,1 
 
 
 
 6 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM 1 
 
São equações diferenciais da forma   0y,y,xF  . Deste conjunto estudaremos 
algumas equações da forma: 
 
)y,x(fy  (13) 
 
onde RRD:f 2  é uma função contínua e D um conjunto aberto. A forma (13) é 
chamada forma normal da equação diferencial de primeira ordem. 
Uma equação diferencial de ordem 1, na forma normal pode ser transformada para 
 
0dy)y,x(Ndx)y,x(M  (14) 
 
com N,M não nulas. Esta é a conhecida forma diferencial de uma equação de ordem 1. A 
passagem da forma normal )y,x(fy  para (14) é feita reescrevendo-se a equação (13) 
como 0'y)y,x(f  ou 0dydx)y,x(f  e observando que )y,x(f)y,x(M  e 1)y,x(N  . 
 
 O objetivo é encontrar funções )x(y  definidas num intervalo I que satisfaçam 
(13) para todo Ix . Estas funções são as soluções da equação diferencial (13) e sua 
determinação depende de algumas características que a função f possa apresentar. 
Estas características definem algumas classes de equações diferenciais de primeira 
ordem, para as quais serão descritos os procedimentos para resolvê-las. Aqui 
estudaremos apenas as classes das equações de variáveis separáveis e as lineares. 
 
 
Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis 
 
 Uma equação diferencial de ordem 1, na forma diferencial 0dy)y,x(Ndx)y,x(M  , 
com N,M não nulas é dita separável ou de variáveis separáveis se a função M depende 
apenas da variável independente x enquanto que a função N depende apenas da 
variável dependente y . Assim toda equação separável pode ser colocada na forma: 
 
0dy )y(Ndx )x(M  (15) 
 
 Observe que (15) é equivalente a: 
0
dx
dy
)y(N)x(M  (16) 
Como encontrar uma solução para a equação (15) ou (16)? Para responder esta questão, 
suponha que existam funções )x(F1 e )y(F2 tais que: 
)x(M
dx
)x(dF
)x(F 11 
 e )y(N
dy
)y(dF
)y(F 22 
 (17) 
 
Substituindo (17) em (16) temos: 
 
0
dx
dy
dy
)y(dF
dx
)x(dF 21  ou 0
dx
)y(dF
dx
)x(dF 21  . De modo equivalente, se )x(y  é uma função 
diferenciável de x, então   0 ))x((F)x(F 
dx
d
21  , ou ainda, 
 
c))x((F)x(F 21  (18) 
 
 7 
 
A expressão (18) fornece a solução )x(y  na forma implícita. Observe que para obter 
(18) é suficiente a partir de (15), integrar a função M em relação à variável x e integrar N 
em relação à y . 
 
Exemplo: 
Resolver a equação diferencial 0y5y  
Resolução: 
Substituindo y por 
dx
dy
 temos 0y5
dx
dy
 . Separando as variáveis temos dx5
y
dy
 . 
Integrando o lado esquerdo em y e o lado direito em x temos 1cx5 y ln  , ou 
x5x5ccx5 keeee y 11 
 . Considerando que k possa ser positivo ou negativo, pode-se 
representar a solução por x5key  . 
 
 
Equações Lineares de 1a Ordem 
 
 São equações que podem ser colocadas na forma: 
 
)x(gy)x(py  (19) 
 
onde )x(p e )x(g são funções contínuas em ),(  . 
 
 Se 0)x(g  , a equação (19) é dita homogênea ou incompleta, caso contrário será 
não homogênea ou completa. Se ctea)x(p  temos uma equação linear de coeficiente 
constante. Para resolver a equação (19), considere a função 
 
dxxp
e)x(u que é chamada 
de fator integrante. O fator integrante tem a seguinte propriedade: 
 
Se multiplicarmos a equação linear pelo fator integrante teremos que o lado 
esquerdo é a derivada do produto  xu.y . 
Vejamos: 
 
     
)x(geye)x(pey
dxxpdxxpdxxp   
 
   
 xgeye
dx
d dxxpdxxp  





 ou       xg.xuxu.y
dx
d
 
 
Integrando ambos os lados em relação à x, temos: 
 
      cdxxg.xuxu.y   
 
ou 
 
 
   
 xu
c
dxxg.xu
xu
1
y   
 
ou 
 
 
 8 
   
 
    
dxxpdxxpdxxp
cedxxgeey 
 
que é a solução geral da equação linear (19). 
 
 
Exemplo: 
Resolver o p.v.i. 0y3y  ; 2)0(y  
Temos x3e)x(u  . Multiplicando a equação por  xu obtemos: 
0ye3ey x3x3   ou de modo equivalente   0 ye
dx
d 3x-  , que integrada em x, fornece 
x3ce)x(y  . 
A solução geral da equação diferencial 0y3y  é portanto x3ce)x(y  . Como 2)0(y  , 
segue que c2  , e assim x3e2)x(y  é a solução do p.v.i. 
 
Exemplo: 
Encontrar a solução geral da equação linear xey5y  
Aqui x5e)x(u  . Multiplicando a equação por )x(u , temos x4x5x5 eye5ey  ou 
  x45x e ye
dx
d
 que integrada em x fornece a solução geral x5x cee
4
1
)x(y   . 
 
 
Exemplo: Resolver o p.v.i. xxy3y  ; 1)0(y  
Temos 
2x
2
3
 xdx3
ee)x(u

  . Multiplicando a equação por )x(u temos, 
222 x
2
3
 x
2
3
 x
2
3
 
xexye3ey

 ou 
22 x
2
3
 -x
2
3
 -
xe ye
dx
d









. Integrando em x temos, 
cdxxeye
22 x
2
3
 x
2
3
 
 

 ou 
2x
2
3
ce
3
1
)x(y  . Como 1)0(y  segue que 
3
4
c  e assim 
2x
2
3
e
3
4
3
1
)x(y  é a solução do p.v.i. (solução única). 
 
 
ANÁLISE DE CIRCUITOS RL E RC 
 
O Circuito RL 
 A equação básica que rege a quantidade de corrente i (em Ampères) em um 
circuito simples em série do tipo RL consistindo de uma resistência (em Ohms), um 
indutor L (em Henries) e uma força eletromotriz  tV , (em Volts), é modelado pela lei de 
Kirchoff: 
 
Sabe-se que a tensão no resistor é RiVR  e a tensão no indutor é 
dt
di
LVL  . 
A Lei de Kirchoff estabelece que neste circuito elétrico vale:  tVVV RL  . 
Portanto, se admitirmos uma condição inicial do tipo   0i0i  temos o P.V.I.: 
 
 
 





0i0i
tVRi
dt
di
L
 
 
 9 
 
que resolvido, fornece a corrente  ti do circuito, em qualquer instante t. 
 
Observe que temos uma equação diferencial linear na variável dependente i . 
Transformando o coeficiente da derivada 
dt
di
 para 1, temos: 
 
L
V
i
L
R
dt
di
 
e deste modo  
L
R
tp  . 
 
Exemplo: 
Considere um circuito RL em série com tensão constante   0VtV  volts. Se a corrente 
inicial é nula, determine: 
a) A corrente  ti em qualquer instante t 
b) A corrente permanente (estacionária)  tiP 
c) A corrente transitória  tiT . 
 
Resolução: 
Temos o p.v.i.: 
 





00i
L
V
i
L
R
dt
di 0
 
Aqui  
t 
L
R
etu  . Multiplicando a equação acima por  tu temos: 
 
t 
L
R
0
t 
L
R
t 
L
R
e
L
V
ie
L
R
e
dt
di
 
ou 
t 
L
R
0
t 
L
R
e
L
V
 ie 
dt
d









 
Integrando em t tem-se: 
dt e
L
V
dt ie 
dt
d t L
R
0
t 
L
R
 







 
ou 
ke
R
V
ie
t 
L
R
0
t 
L
R
 
ou 
 
t 
L
R
 
0 ke
R
V
ti

 
Como   00i  , segue que 
R
V
k 0 
E, portanto: 
 
t 
L
R
 
00 e
R
V
R
V
ti

 ou  









 t 
L
R
 
0 e1
R
V
ti é a corrente em qualquer instante t . 
a)  









 t 
L
R
 
0 e1
R
V
ti 
 
 10 
b)  
R
V
ti 0P  
c)  
t 
l
R0
T e
R
V
ti

 
 
 
O Circuito RC 
 
 Para um circuito do tipo RC consistindo de uma resistência, um capacitor C (em 
Farads), uma força eletromotriz (fem), a equação que rege a quantidade de carga elétrica 
q (em Coulumbs) no capacitor é: 
 
R
V
q
RC
1
dt
dq
 
 
Como 
dt
dq
RRiVR  e q
C
1
VC  , segue por Kirchoff que: 
 
 tVVV CR  ou Vq
C
1
dt
dq
R  , ou 
R
V
q
RC
1
dt
dq
 . 
 
Temos, portanto para o circuito RC , o p.v.i.: 
 
 
 





0q0q
R
tV
q
RC
1
dt
dq
 
 
que resolvido fornece a carga  tq do capacitor em qualquer instante t . 
 
 
Exemplo: 
Considere um circuito RC em série com tensão constante   0VtV  Volts. Se o capacitor 
tem uma carga inicial nula, determine: 
a) A carga  tq do capacitor em qualquer instante t 
b) A corrente  ti do circuito em qualquer instante t 
c) A carga permanente  tqP e a carga transitória  tqT do capacitor 
d) A corrente permanente  tiP e a corrente transitória  tiT do circuito. 
 
Resolução do modelo 
 





0
0
q0q
R
V
q
RC
1
dt
dq
: 
O fator integrante da edo 
R
V
q
RC
1
dt
dq 0 é dado por  
t 
RC
1
etu  . 
Multiplicando esta equação por  tu temos: 
t 
RC
1
0
t 
RC
1
t 
RC
1
e
R
V
qe
RC
1
e
dt
dq
 que pode ser reescrita como, 
t 
RC
1
0
t 
RC
1
e
R
V
 qe 
dt
d









. Integrando em t, 
 
 11 
dt e
R
V
qe
t 
RC
1
0
t 
RC
1
 
kCeVqe
t 
RC
1
0
t 
RC
1
 ou, 
 
t 
RC
1
 -
0 keCVtq  
Da condição inicial   00q  , segue que CVk 0 , e assim: 
 
t 
RC
1
 -
00 CeVCVtq  ou   








t 
RC
1
 -
0 e1CVtq 
a)  









t 
RC
1
 -
0 e1CVtq Coulumbs 
b)  
  t RC
1
 
0 e
R
V
dt
tdq
ti

 Amperes 
c)     CVtq limtq 0
t
P 

 Coulumbs Observe que vale a lei VCq  
 
t 
RC
1
 
0T CeVtq

 Coulumbs 
d)     0ti limti
t
P 

 Amperes Capacitor carregado, corrente nula 
 
t 
RC
1
 
0
T e
R
V
ti

 Amperes. 
 
Exercício: 
 
 Um circuito RL tem fem de 5 volts, resistência de 50 Ohms e indutância de 1 
Henry. A corrente inicial é nula. Determine a corrente no circuito em qualquer instante t. 
Resolução 
Temos 5V  , 50R  e 1L  . O p.v.i. fica: 
 





00i
5i50
dt
di
 
A solução da equação diferencial é  
10
1
ceti t50   . Utilizando a condição inicial   00i  
obtemos 
10
1
c  e assim  
10
1
e
10
1
ti t50   . 
A quantidade   t50T e
10
1
ti  é chamada corrente transitória, pois tende a zero quando 
t . A quantidade  
10
1
tiP  é chamada corrente permanente ou estacionária. Quando 
t , a corrente  ti tende à corrente estacionária. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
Resolver as seguintes equações diferenciais e os problemas de valor inicial: 
 
1) xey7y  
2) x14y7y  
3) x2seny7y  
4) 22 xyxy  
 
 12 
5) xy
x
2
y  ,   01y  
6) 0xy6y  ,   5y  
7)     0dyyydx1x 22  
8) 
1y
yyx
y
2


 ,   13y  
9) Uma bateria de 12 Volts é conectada a um circuito RL em série no qual a indutância é 
de 
2
1
 Henry e a resistência de 10 Ohms. Se a corrente inicial é nula, determine: 
a) A corrente  ti em qualquer instante t, 
b) A corrente transitória. 
10) Uma força eletromotriz de 100 Volts é aplicada a um circuito RC em série no qual a 
resistência é de 200 Ohms e a capacitância é de 410 Farad. A carga inicial no capacitor 
é nula. Determine: 
a) A carga  tq em qualquer instante t; 
b) A corrente  ti em qualquer instante t; 
c) As componentes transitória e permanente da carga  tq ; 
d) As componentes transitória e permanente da corrente  ti . 
 
RESPOSTAS 
 
1) xx7 e
6
1
cey  2) 
7
2
x2cey x7  3) x2sen
53
7
x2cos
53
2
cey x7  
4) 1cey 3
x3


 5)  22 xx
4
1
y   6)  
22x3e5y  
7) ky3y2x6x2 233  , c6k  8) 7ylnyx
3
x3
 
9) a)    t20e1
5
6
ti  A b)  
5
6
tiT  A c)  
t20
P e
5
6
ti  A 
10) a)   t50e
100
1
100
1
tq  C b)   t50e
2
1
ti  A c)   t50T e
100
1
tq  C 
 
100
1
tqP  C d)  
t50
T e
2
1
ti  A   0tiP  A 
 
 
 13 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM 2 
 
 
 São equações do tipo: 0)y,y,y,x(F  (19). Estudaremos apenas aquelas que 
podem ser colocadas na forma )y,y,x(fy  (20), (isto é podemos isolar a derivada de 
maior ordem y  ). 
 
 
Equações Diferenciais Lineares de Ordem 2 
 
 São do tipo: )x(gy)x(qy)x(py  (21), onde )x(p , )x(q , )x(g são funções contínuas 
em  , . Se 0)x(g  temos uma equação linear homogênea ou incompleta, caso contrário 
será chamada não homogênea ou completa. As funções )x(p e )x(q são chamadas 
coeficientes da equação (21). Caso )x(p e )x(q sejam constantes dizemos que temos uma 
equação linear com coeficientes constantes. 
 
Exemplos: 1) senxey4y x (linear não-homogênea de coeficientes constantes) 
 2) 0yyxy  (linear homogênea com coeficientes variáveis) 
 3) )t(Vq
C
1
dt
dq
R
dt
qd
L
2
2
 (linear não-homogênea de coeficientes constantes) 
 
 Toda equação diferencial de ordem 2, que não puder ser colocada na forma (21) é 
dita não linear. 
 
 
Soluções Fundamentais da Equação Linear de Ordem 2 
 
 Seja a equação diferencial linear homogênea 0y)x(qy)x(py  (22) onde )x(p e 
)x(q são funções contínuas no intervalo  , . 
 
Resultado 1. Se )x(y1 e )x(y2 são duas soluções particulares de (22) então a 
combinação linear )x(yc)x(yc)x(y 2211  com 1c e 2c constantes também é solução. 
Prova: Se )x(y1 é solução de (22) então 0y)x(q'y)x(p"y 111  . Do mesmo modo sendo 
)x(y2 solução de (22) tem-se 0y)x(q'y)x(p"y 222  . Substituindo )x(yc)x(yc)x(y 2211  em 
(22) temos: 
      221122112211 ycyc)x(qycyc)x(pycycy)x(qy)x(py 
    00c0cy)x(q'y)x(p"ycy)x(q'y)x(p"yc 2122221111  
Observação: O resultado 1 é conhecido também como princípio da superposição. 
 
 
Definição: Duas soluções )x(y1 e )x(y2 da equação (22) são ditas linearmente 
independentes (l.i.) no intervalo   b , a se o quociente cte
y
y
2
1  neste intervalo. Caso 
contrário, serão linearmente dependentes (l.d.). 
 
 
 14 
Exemplo: Sabe-se que as funções xe , xe , xe3 , xe5  são soluções da equação 
diferencial 0yy  . Observe que xe e xe são l.i para Rx , pois ctee
e
e x2
x
x


. Já xe 
e xe3 são l.d., pois cte
3
1
e3
e
x
x
 . 
 
 
Definição: Dadas as funções )x(y1 e )x(y2 , o determinante 
)x(y)x(y)x(y)x(y 
)x(y)x(y
)x(y)x(y
 )x)(y,y(W 2121
21
21
21 



 é chamado Wronskiano das funções 
)x(y1 e )x(y2 . 
 
Exemplo: Se x1 e)x(y  e 
x
2 e3)x(y  , então 0 
e3e
e3e
 )x)(y,y(W
xx
xx
21  
 
 
Resultado 2. Se as funções )x(y1 e )x(y2 são l.d. no intervalo   b , a então   0)x(y,yW 21  
x neste intervalo. 
Prova: Se )x(y1 e )x(y2 são l.d. temos 12 y y  , R e 'y 'y 12  e assim 
  0 
y 'y
y y
 
'y'y
yy
 )x(y,yW
11
11
21
21
21 


 
Observação: A forma como este resultado será utilizado é: Se   0)x(y,yW 21  para algum 
  b , a x então )x(y1 e )x(y2 são l.i. 
 
 
Resultado 3. Se )x(y1 e )x(y2 são soluções da equação diferencial ordinária linear 
homogênea 0y)x(qy)x(py  (4) então: 
 
)x(y1 e )x(y2 são l.i. em   b , a    0)x(y,yW 21  para   b , a x 
 
Prova: Consultar bibliografia. 
 
 
Resultado 4. Se )x(y1 e )x(y2 são duas soluções l.i. da equação diferencial ordinária 
linear homogênea 0y)x(qy)x(py  (22) então, )x(yc)x(yc)x(y 2211  21 c ,c constantes é a 
forma da solução geral de (22). 
Prova: Consultar bibliografia. 
 
 
Conclusão: Dos resultados anteriores temos que para que duas soluções )x(y1 e )x(y2 
formem um conjunto fundamentalde soluções (l.i.) para a equação diferencial 
0y)x(qy)x(py  (22) q,p contínuas em  , é necessário e suficiente que   0)x(y,yW 21  
para algum   ,x . Nestas condições a solução geral de (22) é dada por 
)x(yc)x(yc)x(y 2211  onde 21 c ,c são constantes. 
 
 
 
 
 15 
Resolução de Equações Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes 
 
Seja a equação diferencial: 0cyybya  (23), onde Rc ,b ,a  , 0a  . Uma solução 
de (23) deverá ser uma função )x(y   x tal que a multiplicado pela derivada 
segunda de  , mais b multiplicado pela derivada primeira de  , mais c multiplicado por 
 é igual à zero. As funções que tem esta propriedade possuem as derivadas diferindo 
por uma constante. Estas funções são as funções exponenciais (reais ou complexas). 
 
Seja rxe)x(y  uma solução de (23). Temos rxrey  e rx2ery  . Substituindo 
y ,y ,y  na equação (23) temos: 
0cebreear rxrxrx2  ou 0)cbrar(e 2rx  . Como 0erx  Rx , segue que: 
 
0cbrar2  (equação característica ou auxiliar) 
 
 
Assim 
a2
ac4bb
r
2
1

 e 
a2
ac4bb
r
2
2

 
 
 
Três casos podem ocorrer: 
 
Caso 1: 0ac4b2  
Caso 2: 0ac4b2  
Caso 3: 0ac4b2  
 
 
Caso 1: 0ac4b2  
 Existem duas raízes reais e distintas 1r e 2r e portanto 
xr
1
1e)x(y  e xr2 2e)x(y  
são duas soluções da equação (23). Serão l.i? 
Como       0err
erer
ee
)x()x(y),x(yW
xrr
12xr
2
xr
1
xrxr
21
21
21
21

 Rx , segue que xr1 1e)x(y  e 
xr
2
2e)x(y  são duas soluções l.i. de (23) e, portanto: 
 
xr
2
xr
12211
21 ecec)x(yc)x(yc)x(y  é a solução geral no caso 0 . 
 
 
Exemplo: Encontrar a solução geral da equação diferencial 0y6y5y  . 
Equação característica: 06r5r2   2r1  e 3r2  . Portanto 
x2
1 e)x(y  e 
x3
2 e)x(y  
são duas soluções l.i. e assim x32
x2
1 ecec)x(y  com 21 c ,c constantes é a solução geral. 
 
 
Caso 2: 0ac4b2  
Neste caso temos 
a2
b
rr 21  e somente uma solução 
xr
1
1e)x(y  . Uma segunda solução 
l.i. será encontrada tomando xr2 1e)x(u)x(y  . Substituindo-se 2y na equação (23) chega-
se a x)x(u  e deste modo xr2 1xe)x(y  . Como ctex
y
y
2
1  segue que xr1 1e)x(y  e 
 
 16 
xr
2
1xe)x(y  são duas soluções l.i. de (23) e assim xr2
xr
12211
11 xecec)x(yc)x(yc)x(y  é a 
solução geral no caso 0 . 
 
Exemplo: Resolver a equação diferencial 0y9y6y  
Equação característica: 09r6r2  , raízes: 3rr 21  . Solução l.i.: 
x3
1 e)x(y
 e 
x3
2 xe)x(y
 . A solução geral será x32
x3
1 xecec)x(y
  
 
 
Caso 3: 0ac4b2  
Como c b, ,a são reais, se existir uma raiz complexa, sua conjugada também será raiz. 
Sejam  ir1 e  irr 12 com 0 . 
Fórmula de Euler: isenxxcoseix  (adotar com definição) 
Deste modo, 
   xisenxcoseeee)x(y xxixxi1 
 e 
   xisenxcoseeee)x(y xxixxi2 
 . Aqui )x(y1 e )x(y2 estão na forma complexa. 
A solução geral é: 
   xisenxcosekxisenxcosek)x(y x2
x
1 
 
ou 
    xsene kkixcose kk)x(y x21
x
21 
 
Fazendo 211 kkc  e  212 kkic  
Temos, portanto xsenecxcosec)x(y x2
x
1 
 , na forma real. 
 
Observe que xcose x  e xsene x  são duas soluções de (23) e são l.i. pois: 
ctextg
xsene
xcose
x
x





. 
 
Deste modo xsenecxcosec)x(y x2
x
1 
 é a solução geral no caso 0 . 
 
 
Exemplo: Resolver a equação diferencial 0y2y2y  
Equação característica: 02r2r2  . Raízes: i1r1  e i1r2  . Duas soluções l.i. são 
xcosexcose)x(y xx1
  e senxexsene)x(y xx2
  . Assim a solução geral é dada por: 
senxecxcosec)x(yc)x(yc)x(y x2
x
12211
  com Rc ,c 21  . 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES NÃO-HOMOGÊNEAS DE ORDEM 2 
 
 Seja a equação diferencial )x(gy)x(qy)x(py  (24), com )x(g ),x(q ),x(p contínuas 
em  x . 
 
 
Resultado 1. A diferença entre duas soluções de )x(gy)x(qy)x(py  (24) é uma 
solução da equação homogênea associada 0y)x(qy)x(py  (23). 
Prova: Se )x(y1 solução de (24), então )x(gy)x(qy)x(py 111 


 (a). Do mesmo modo se 
)x(y2 é solução de (24) então )x(gy)x(qy)x(py 222 


 (b). Fazendo (a) – (b), temos: 
      0yy)x(qyy)x(pyy 212121 



 , e assim )x(y)x(y)x(y 21  é solução de (23). 
 
 17 
Resultado 2. Dada uma solução particular )x(yp de (24), qualquer solução )x(y  desta 
equação pode ser escrita como )x(y)x(y)x( ph  , onde )x(yc)x(yc)x(y 2211h  é a 
solução geral de (23) e (isto é 1y e 2y são soluções l.i. de (23)). 
Obs: hy é chamada solução complementar (ou resposta natural do mecanismo) 
 py é chamada solução particular de (14) (embora não satisfaça necessariamente 
uma dada condição inicial) (ou resposta forçada do mecanismo) 
Prova: Observe que do resultado 1, py é solução da equação homogênea associada. 
Logo )x(yc)x(ycy 2111p  , ou )x(y)x(yc)x(yc)x( p2111  . 
 
 
Resultado 3. (O princípio da superposição) Se )x(g)x(g)x(gy)x(qy)x(py n21   
(25) e se podemos encontrar soluções )x(y
ip
 das equações )x(gy)x(qy)x(py i n,,2,1i  
então uma solução particular de (25) é: 
)x(y)x(y)x(y)x(y
n21 pppp
  
Prova: Imediata 
 
Exemplo: Achar uma solução particular de xex1y9y  
 Inicialmente resolvemos a equação homogênea associada 0y9y  . A equação 
característica é 09r2  com soluções i3r  e, portanto x3sencx3cosc)x(y 21h  . 
Como encontrar uma solução particular )x(yp ? 
Determinamos uma solução particular para cada uma das equações diferenciais 
seguintes: 
1y9y  
xy9y  
xey9y  
Encontramos respectivamente, 1)x(y
1p
 , 
9
x
)x(y
2p
 e xp e
10
1
)x(y
3
 
Portanto uma solução particular da equação dada é: xp e
10
1
x
9
1
9
1
)x(y  , e a solução 
geral será: x21p2211 e
10
1
x
9
1
9
1
x3sencx3cosc)x(y)x(yc)x(yc)x(y  . 
 
 
Métodos para determinação de soluções particulares 
 
 Existe o método dos coeficientes a determinar (Descartes), e o método da variação 
dos parâmetros devido a Lagrange (este último não será estudado neste curso). 
 
 
 O Método dos coeficientes a determinar 
 
Este método deve ser utilizado preferencialmente quando temos uma equação 
linear de coeficientes constantes. Funciona apenas para alguns casos de )x(g . 
 
Caso 1) )x(g é um polinômio inteiro em x, do grau m . 
 )x(yp será um polinômio inteiro em x do grau hm  onde h é a ordem da derivada 
de menor ordem contida na equação diferencial. 
 
 
 18 
Exemplo: Resolver a equação diferencial 1x3y5y4y 2  
a) solução da homogênea associada 0y5y4y  . 05r4r2   5r1  e 1r2  . Assim 
x
2
x5
1h ecec)x(y 
 . 
b) cálculo de )x(yp . 
2m  , ( )x(g é polinômio do grau 2) e 0h  . Logo 2hm  e CBxAx)x(y 2p  . 
Temos, BAx2)x(yp 
 e A2)x(yp 
 . Substituindo  ppp y, y,y na equação completa temos: 
      1x3CBxAx5BAx24A2 22  , ou     1x3C5B4A2xB5A8Ax5 22  . 
Igualando os coeficientes do polinômio temos o sistema linear: 
 
 
 com solução 
5
3
A  , 
25
24
B  e 
125
101
C  
 
 
assim 
125
101
x
25
24
x
5
3
)x(y 2p  
Solução geral: 
125
101
x
25
24
x
5
3
ecec)x(y)x(y)x(y 2x2
x5
1ph 
 
 
 
Caso 2) )x(g é da forma kxe 
 )x(yp será da forma 
kxheAx , onde h é o grau de multiplicidade de k como raiz da 
equação característica. 
 
Exemplo: Resolver a equação diferencial x5ey5y4y  
a) homogênea: Do exemplo anterior 5r1  e 1r2  e 
x
2
x5
1h ecec)x(y 
 . 
b) completa: 1h  ( 5k  é raiz (uma vez) da equação característica. Portanto 
x5
p Axe)x(y
 , x5x5p Axe5Ae)x(y
 
 e x5x5p Axe25Ae10)x(y
 
 . Substituindo  ppp y, y,y na 
equação completa temos: 
   x5x5x5x5x5x5 eAxe5Ae5Ae4Axe25Ae10   ou x5x5 eAe6   , o que acarreta 
6
1
A  e x5p xe
6
1
)x(y  . 
Solução geral: x2cosx
4
3
ecec)x(y)x(y)x(y x2
x5
1ph 
 
 
 
Caso 3) )x(g é da forma senkx ou kxcos 
 )x(yp será da forma  
hxkxcosBAsenkx  onde h é o grau de multiplicidade da raiz 
imaginária ki , como raiz da equação característica. 
 
Exemplo: Resolver a equação diferencial x2sen3y4y  
a) homogênea: 04r2   i2r  e x2sencx2cosc)x(y 21h  
b) completa: 1h  ( i2ki  é raiz (uma vez) da equação característica. Portanto 
 xx2cosBx2Asen)x(yp  ,  xx2Bsen2x2cosA2x2cosBx2asen)x(yp 
 e 
 xx2cosB4x2Asen4x2Bsen4x2cosA4)x(yp 
 . Substituindo  ppp y, y,y na equação 
completa temos: 
    x2sen3xx2cosBx2Asen4xx2cosB4x2Asen4x2Bsen4x2cosA4  








1C5B4A2
0 B5A8
3 A5
 
 19 
ou x2sen3x2Bsen4x2cosA4  . Temos o sistema linear 3B4  e 0A4  que fornece 0A  
e 
4
3
B  , e portanto x2cosx
4
3
)x(yp  . 
Solução geral: x2cosx
4
3
x2sencx2cosc)x(y)x(y)x(y 21ph  
 
Caso 4) )x(g reúne dois ou mais dos casos anteriores. Neste caso utilizamos o principio 
da superposição. 
 
Exemplo: Resolver x2cosex3y9y6y x3 
a) homogênea: 09r6r2   3rr 21  e 
x3
2
x3
1h xecec)x(y  
b) completa: Tomamos BAx)x(y
1p
 como solução particular de x3y9y6y  e 
 x2cosDx2Csene)x(y x3p2  como solução particular de x2cos3y9y6y
x3 e desta forma 
teremos  x2cosDx2CseneBAx)x(y x3p  . Resolvendo teremos 
3
1
A  , 
9
2
B  , 0C  e 
4
1
D  . Assim x2cos
4
1
9
2
x
3
1
)x(yp  e a solução geral será 
x2cos
4
1
9
2
x
3
1
xecec)x(y x32
x3
1  . 
 
 
Exercícios propostos 
 
Utilizando a formulação do circuito RLC, )t(V)t(q
C
1
dt
)t(dq
R
dt
)t(qd
L
2
2
 , resolver os 
problemas abaixo: 
 
1) Um circuito RLC , com 6R  Ohms, 02,0C  Farad, 1,0L  Henry, tem uma voltagem 
aplicada de 6)t(V  volts. Supondo que não haja corrente inicial nem carga inicial 
quando 0t  , ao ser aplicada inicialmente a voltagem, determine a carga 
subseqüente no capacitor e a corrente no circuito. 
Resp: 
100
12
e
100
15
e
100
3
)t(q t10t500    t50t10 ee
2
3
)t(i   
2) Um circuito RLC , com 5R  Ohms, 210C  Farad, 
8
1
L  Henry, não tem voltagem 
aplicada. Determine a corrente subseqüente no circuito se a carga inicial no 
capacitor é 
10
1
 Coulomb e a corrente inicial é nula. 
Resp: t20sene4)t(i t20 
 
Utilizando a formulação do sistema massa-mola )t(F)t(ku)t(uc)t(um  , resolver os 
problemas a seguir: 
 
1) Uma massa de 10 Kg acha-se suspensa de uma mola, distendendo-a de 7,0 metro 
além de seu comprimento natural. Põe-se o sistema em movimento, a partir da 
posição de equilíbrio, com uma velocidade inicial de 1 m/s “para cima”. Determinar o 
movimento subsequente se existe um mecanismo frenador cuja resistência ao 
movimento é dada por u90  N. Utilize 8,9g  m/s2. 
 
 20 
Resp:    t2t7 ee
5
1
tu   (observe que 0u quando t e assim o movimento é 
transitório) 
 
2) Uma massa de 
4
1 kg acha-se suspensa de uma mola, distendendo-a de 4,0 metro 
além de seu comprimento natural. Põe-se a massa em movimento, a partir da 
posição de equilíbrio, com uma velocidade inicial de 4 m/s “para baixo”. Determinar 
o movimento subsequente da massa se existe um mecanismo frenador cuja 
resistência ao movimento é dada por u 2  N. Utilize 10g  m/s
2. 
Resp:   t3sene
3
4
tu t4 ( 0u quando t e o movimento é transitório) 
 
3) Uma massa de 10 kg acha-se suspensa de uma mola cuja constante elástica é 140 
N/m. Põe-se a massa em movimento, a partir da posição de equilíbrio, com uma 
velocidade inicial de 1 m/s “para cima” e com uma força externa aplicada   sent5tF  . 
Determinar o movimento subsequente da massa se existe um mecanismo frenador 
cuja resistência ao movimento é dada por u 90  N. 
Resp:    tcos9sent13e99e90
500
1
tu t7t2   
 
4) Um peso 2,39 N acha-se suspenso de uma mola cuja constante elástica é 64 N/m. 
Põe-se o peso em movimento sem velocidade inicial, deslocando-se de 5,0 metros 
“para cima” da sua posição de equilíbrio e simultaneamente aplicando-lhe uma força 
externa   t4sen8tF  . Desprezando-se a resistência do ar, determine o movimento 
subsequente do peso. Utilize 8,9g  m/s2. 
Resp:   t4cost
4
1
t4sen
4
1
t4cos
2
1
tu 