estudo dirigido limites

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C U R S O : 
APOSTILA TEÓRICA LIMITE 
Disciplina : Professora Andréa Lacerda 
 2013.1 Aluno: 
 
Um pouco sobre a história do Cálculo e limites 
 
As contribuições dos matemáticos para o nascimento do Cálculo são inúmeras. Muitos deles, mesmo que de forma 
imprecisa ou não rigorosa, já utilizavam conceitos do Cálculo para resolver vários problemas - por exemplo, Cavalieri, Barrow, 
Fermat e Kepler. Nesse tempo ainda não havia uma sistematização, no sentido de uma construção logicamente estruturada. 
A união das partes conhecidas e utilizadas até então, aliada ao desenvolvimento e aperfeiçoamento das técnicas, 
aconteceu com Newton e Leibniz que deram origem aos fundamentos mais importantes do Cálculo: as Derivadas e as Integrais. 
O Cálculo pode ser dividido em duas partes: uma relacionada às derivadas ou Cálculo Diferencial e outra parte 
relacionada às integrais, ou Cálculo Integral. 
As origens de alguns dos principais conceitos matemáticos aqueles que lidam com números, grandezas e formas 
remontam às mais antigas civilizações. 
As tentativas feitas por egípcios, babilônios e gregos de resolver problemas práticos do tipo: 
 Como reduzir as taxas cobradas aos agricultores do vale do Nilo tendo em vista a área alagada e tomada pelo rio a cada ano? 
 Como calcular o volume de um silo de forma cônica? 
Como dobrar o volume do pedestal da estátua em homenagem ao deus Apolo? 
Levou-os à resolução de algumas equações, ao cálculo de áreas e volumes de figuras simples como retângulos, trapézios, 
cones, cilindros e ao desenvolvimento de um sistema de numeração. 
 Uma preocupação já presente entre os gregos antigos por exemplo, consistia na busca de procedimentos para encontrar 
áreas de figuras com diferentes formas. Por meio de transformações geométricas, relacionando figuras com áreas equivalentes, 
os gregos dedicaram-se, principalmente, ao cálculo de áreas de figuras limitadas por segmentos de reta ou arcos de círculo, pela 
redução a figuras conhecidas. 
 Quando tratamos do cálculo de áreas de figuras curvas, é inevitável recorrer a procedimentos que se utilizem, direta ou 
indiretamente, do conceito de limite. Os gregos resolveram o problema de calcular a área do círculo pela aproximação sucessiva 
(método de exaustão) de polígonos inscritos com número cada vez maior de lados, de acordo com a sequencia de figuras 
apresentada a seguir. 
 
 
 
Calculando a área de um polígono através de sua decomposição em triângulos isósceles com vértices no centro do círculo e 
bases coincidentes com seus lados, a figura convergia para o círculo circunscrito a todos os elementos da seqüência em 
questão. 
 
O matemático francês - Augustin Louis CAUCHY - 1789/1857 , foi, entre outros, um grande estudioso da TEORIA DOS LIMITES. 
Antes dele, Isaac NEWTON - inglês - 1642 /1727 e Gottfried Wilhelm LEIBNIZ - alemão - 1646 /1716 , já haviam desenvolvido o 
Cálculo Infinitesimal. 
 
Limites 
 
Seja 
 xf
 uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número 
""a
, exceto possivelmente no 
próprio
""a
. Então, diz-se que o limite de 
 xf
 quando 
x
 tende a 
""a
 
 ax
 é 
L
, e representa-se por 
 
  Lxf
ax


lim
 
Em alguns exemplos o limite não é tão evidente. Seja a função 
 
2
443 2



x
xx
xf
, veja que x = 2 não faz parte do domínio 
da função, isto é, essa função está definida em IR - {2}, logo quando calculamos diretamente o limite encontramos uma 
expressão incomum que chamamos indeterminação. 
 
 
0
0
2
443
lim
2
2




 x
xx
xf
x
 Indeterminação, 
Esse resultado significa que a função é indefinida no ponto em que x = 2, pois o mesmo zera numerador e denominador da 
função. Porém, ao utilizarmos de fatoração no numerador que é uma função de segundo grau achamos duas raízes reais x = 2 e 
x = -2/3: 
 
 










32
2
6
84
6
48164
2
1
x
x
x
 
Assim podemos fatorar o numerador em função das raízes encontradas como: 
 
 
  23
2
)2)(23(
2
443 2






 x
x
xx
x
xx
xf
 
Percebam que a menos do ponto em que x = 2 a função f(x) é equivalente a função g(x) = 3x+2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Limites Laterais e existência do limite 
Exemplo: Examinaremos agora 
x
x
x 0
lim

. 
Verificamos, através do gráfico, que o limite pedido depende do lado com o 
qual nos aproximamos de 0 Se nos aproximarmos pela direita, este limite será +1, se 
pela esquerda, -1. 
Limite à direita: Se os valores de f(x) se tornarem tão próximos de L quanto 
desejarmos, bastando para isto nos aproximarmos de a, utilizando valores maiores 
que a, temos o limite à direita, ou seja, 
  Lxf
ax


lim
. 
Limite à esquerda: Se os valores de f(x) se tornarem tão próximos de L quanto 
desejarmos, bastando para isto nos aproximarmos de a, utilizando valores menores 
que a, temos o limite à esquerda, ou seja, 
  Lxf
ax


lim
. 
Importante: O limite bilateral existirá se e somente se, o limite à direita for igual ao limite à esquerda. 
O limite de f(x) para x a existe se, e somente se, os limites laterais à direita a esquerda são iguais, ou sejas: 
 Se 
 Se 
 
Logo 
     xfxfxf
axaxax 
 limlimlim
. 
O gráfico mostra que para 
x
 se aproximando de 
2
, 
 xf
 se aproxima de 
8
, mas se substituir-se 
2x
 
na 1
a
 expressão, 
 xf
 não está definida naquele ponto. 
 
 
  2,23  xsexxf
 
Ponto
 8,2
 deve ser excluído 
do gráfico, pois naquele ponto a 
função é indefinida. 
X
 
2
 
8
 Y
 
 
x
 
 xf
 
 
300,8100,2
030,8010,2
003,8001,2
000,8000,2
997,7999,1
970,7990,1
700,7900,1
 
 
 
 
 
 
No estudo dos limites fundamentais é útil conhecer e saber aplicar as propriedades dos limites, em todas as propriedades 
considere que f é uma função contínua em “a” e que os limites indicados existam, isto é, 
lim ( )
x a
f x A


, 
lim ( )
x a
g x B


 e 
k
IR 
 
P 0) O limite da função polinomial é igual ao valor da função para x = a: 
lim ( ) ( )
x a
f x f a


. 
Exemplo: 
2 2
3
lim ( 5 2) ( 3) 5( 3) 2 22
x
x x

       
 
 
P 1 ) O limite de uma constante é a própria constante: 
lim[ ( )] lim ( )
x a x a
k f x k f x kA
 
  
, com 
RK 
 
Exemplo: 1)
77lim
2

x
 
 2) 
 
1
lim
x
 
P2 )O limite da soma ou diferença é igual a soma ou diferença dos limites: 
lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x A B
  
       
      
 
Exemplo: 1) 
  751253454lim
3


x
x
 
P3 ) O limite do produto é o produto dos limites: 
lim[ ( ) ( )] [lim ( )] [lim ( )]
x a x a x a
f x g x f x g x A B
  
    
 
 
Exemplo: 
  16)8).(2(lim.3lim.3lim 3
2
2
2
32
2








 

xxxxxx
xxx
 
 
P4 ) O limite do quociente é igual ao quociente dos limites: lim ( )( )
lim
( ) lim ( )
x a
x a
x a
f xf x A
g x g x B



 
  
 
 , com 
lim ( ) 0
x a
g x


 
Exemplo: 3 3
2 22
6 6(2)
lim 6
4 3 4 3(2)a
a
a
 
 
 
 
P5 ) O limite da potência de uma função f(x) é igual à potência do limite da função: 
 
n
ax
n
ax
xfxf 





)(lim)(lim
 com*Nn 
 
Exemplo: 1) 
    16313lim3lim 2
2
2
1
22
1




 

xx
xx
 
 2) 
93lim 22
3


x
x
 
 3) 
  2774575lim
4


x
x
 
 
P6 )O limite de uma constante vezes uma função é igual à constante vezes o limite da função: 
  )(lim)(.lim xfKxfK
axax 

 
Exemplo: 
  122.3lim3.3lim 22
2
2
2


XX
xx
 
 
P7 )O limite da raiz enésima de uma função é a raiz enésima do limite da função: 
n
ax
n
ax
xfxf )(lim)(lim


 com *Nn e 
0)( xf
 se 
n
for par 
Exemplos: 1) 
111221lim1lim 2323
2
23
2


xxxx
xx
 
 2) 
2
3
4
9
3lim
18lim
3
18
lim
3
18
lim
1
1
11











 x
x
x
x
x
x
x
x
xx
 
P8 ) O limite da função logarítmica é dado por: 
    0)(lim)),(log()(limlog)(.loglim 

xfseafxfxf
axaxax
 
Exemplos: 1) 
210log210loglimlogloglim 22
10
2
10






xx
xx
 
 2)
1lnlnlimln.lnlim 





eexx
exex
 
 P9 ) O limite da função exponencial é dado por: 
  )()(lim)(lim bfxfxf
bx
aaa bx 








 
Exemplo: 1) 
27333lim 3
)2lim
1
2 1 





 

 
x
x
x x
 
 2)
5
)1lim
2
1
2
2
2
lim eee
x
x
x x 





 

 
 
P10 ) O limite das funções trigonométricas é dado por: 
)()(lim)(.lim asenfxfsenxfsen
axax


 
 Exemplo: 
183lim3.lim 2
3
2
3
senxxsenxxsen
xx


 
Exercícios propostos: 
 
a) 4 2
3
3 2
4 5
lim
2 2x
x x
x
  
 
 
b) 
3 2
0
lim 3 16
x
x x

 
 
c) 
 
2
3 2
5
lim 90
x
x x

 
 
d) 
0
22lim


x
xe
 
e) 
xxsen
x
2cos.lim 
 
 
f) 
2lnlim x
ex
 
 
g) 
  2
3
2.84lim 

 x
x
x
 
Limites Fundamentais: 
 
1º Limite Fundamental: “Se x é um arco em radianos e sen x é a medida do seno desse arco; então quando o arco x tender a 
zero, o limite da divisão do valor de seno de x pela medida do arco x será igual a 1” 
 
 
 
 
1
sen
lim
0

 x
x
x
 
 
 
 
 
Intuitivamente isto pode ser percebido da seguinte forma: 
Seja x um arco em radianos, cuja medida seja próxima de zero, digamos x = 0,0001 rad. Nestas condições, o valor de senx será 
igual a sen 0,0001 = 0,00009999, (obtido numa calculadora científica). Efetuando-se o quociente, vem: 
199999,0
0001,0
00009999,0sen

x
x
. 
Quanto mais próximo de zero for o arco x, mais o valor do quociente
x
xsen
 se aproximará do valor 1, caracterizando-se aí, a 
noção intuitiva de limite de uma função. 
Observe o cálculo abaixo: 
41.4
sen
lim.4
sen4
lim
.4
4sen.4
lim
4sen
lim
0000

 u
u
u
u
x
x
x
x
xxxx
 
Observe que fizemos acima, uma mudança de variável, colocando 4x = u, de modo a cairmos num limite fundamental. Verifique 
também que ao multiplicarmos numerador e denominador da função dada por 4, a expressão não se altera. 
Exemplo: 
?
0
03
lim
0

 x
xsen
x
 (indeterminação) 
Assim deveremos arrumar a expressão para aplicar o 1º limite fundamental . 
 
Multiplicando o numerador e o denominador por 3 teremos: 
 
 
31.3
3
3
lim.3
3
.
3
3
lim
0

 x
xsen
x
xsen
x
 
 
Exercícios propostos: 
 
1- 


 20 3
cos1
lim
x
x
x
 2- 

 x
xtg
x 2
3
lim
0
 3- 


 cox
x
x
cos1
lim
0
 
 
 
2º Limite Fundamental: Quando estudamos os números irracionais já nos referimos ao número e. Esse número é a base do 
sistema de logaritmos naturais ou neperianos. 
 
e
x
x
x








1
1lim
 onde 
...71828,2e
nº de Euler. 
 
Podemos construir uma tabela que mostra os valores de x
x







1
1
à medida que o valor de x “tende” a ser muito grande, ou 
seja, 
x
, para identificar o resultado do limite. 
2
1
1
1 1
1






xSe
 
25,2
2
1
1 2
2






xSe
 , fazendo todos os cálculos restantes até x = 100000 chegamos a tabela : 
 
x 1 2 5 10 50 100 200 300 500 1000 5000 100000 
x
x







1
1
 2 2,25 2,48832 2,59374... 2,69159... 2,70481... 2,71152... 2,71377... 2,71557... 2,71692... 2,71801... 2,71818... 
 
Notamos que aumentando o valor de x, infinitamente, x
x







1
1
tende ao valor aproximado de 2,718182..., ou ainda: 
...5907182818284,2
1
1lim 







e
x
x
x
 
 
Exemplo: 
 2
2
2
1
1lim
1
1lim e
xx
x
x
x
x























 
 
 






































yyxcomoyxiáveldemudançaafazemos
e
yyyx
y
y
y
y
y
y
x
x
2,2:var
1
1lim
1
1lim
2
2
1lim
2
1lim
2
2
22
 
 
 
Exercícios propostos: 
 
1- 








x
x x
3
1lim
 
 
 
2- 








x
x x
3
1
1lim
 
 
 
Como consequência do limite exponencial fundamental temos o limite: 
(i): 
  ex x
x
 1 lim
1
0 


 
 
De fato, fazendo a mudança de variável 
x
u
1

  
x
u

1
, observe que 
 u
x
uex
1
0
, assim: 
 
  e
u
x x
x








 
1
1 lim 1 lim
u
u 
1
0 
 (que é o próprio limite exponencial fundamental). 
 
Exemplo: Calcule 
  .,1 lim *
0 
1


kkx
x
x 
 
Solução: 
     
k
kx
x
k
kx
x
x
x
kxkxkx 







1
0
.
1
0
1
0
1lim1lim1lim
 
 
Fazendo a mudança de variável 
,ukx 
 resulta que se 
0u 0x 
 portanto, ficamos com: 
 
     k
k
u
u
x
x
eukx 







1
0
1
0
1lim1lim
 
 
3º Limite Fundamental: “ Seja um valor exponencial xb , onde b é a base, positiva e diferente de 1. Sendo x o expoente, um 
numero real qualquer temos que: se o número x tender a zero então a expressão
x
b x 1 assumirá o valor de bln . 
b
x
bx
x
ln
1
lim
0



 
 
 
De forma intuitiva, observe o que ocorre com o valor da expressão 





 
x
x 12
 a medida em que o valor de x se aproxima de 
zero pela direita, ou seja vamos calcular: 
x
x
x
12
lim
0


 
 
x 0,5 0,4 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,001 0,0001 
x
x 12 
 0,82843 0,79877 0,74349 0,71773 0,7053 0,69797 0,69556 0,69339 0,69317 
 
 
Observe que o valor 0,69317 é igual a 
69317,02ln 
 
 
 
 
 
Exemplo:Mostrar que 
1 
1e
 lim
x
0 


 xx
 
Na demonstração usaremos a consequência do 2º limite fundamental 
  ex x
x
 1 lim
1
0 


 
 
Solução: Fazendo 
)1ln(11  uxueue xx
, e é evidente que quando 
0.u ,0 x
Daí, 






































 

u
1000 
x
0 
)1ln( 
1
 lim
)1ln(
u
1
 
1
 lim
1)(uln
u
 lim 
1e
 lim
uu
x uuux
 
 
1
1
1
ln
1
u)(1 limln
1
u)ln(1 lim
1
 
u
1
0 
u
1
0 






























e
uu
 
Exemplo: Calcule 
.
1
ln
lim
1  x
x
x
 
Solução: Fazendo a mudança de variável 
11  uxxu
 resulta que se 
0u 1x 
 portanto, ficamos com: 
 
.1ln)1(limln)1(lnlim)1(ln
1
lim
)1(ln
lim
1
ln
lim
1
0
1
0001





























 






 
euuu
uu
u
x
x
u
u
u
uuux
 
 
Exercícios propostos: 
 
a) 
 
 
 x 1
ln 2 x
lim Fazer x+ 1 = u
x+1

 b) 
 
 
 x 2
ln 3 x
lim Fazer x+ 2 = u
x+2

 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA E REFERENCIAS 
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