Capitulo 1 feito _ Matemática fundamental Documentação Livro de Geomática 0 1

Prévia do material em texto

12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 1/36
Capitulo 1: Matemática
fundamental
Na maioria dos problemas que serão vistos ao longo dos próximos
capítulos haverá a necessidade de aplicação de cálculos simples.
Por exemplo, em levantamentos topográ�cos convencionais são
medidos em campo, entre os pontos de interesse, ângulos e distân-
cias, que posteriormente serão utilizadas para cálculo das suas co-
ordenadas , tendo como base um plano topográ�co local.
Para estes cálculos são empregadas funções trigonométricas e co-
nhecimentos básicos de geometria analítica. Neste capítulo será re-
alizada uma breve revisão de trigonometria e de geometria
analítica.
Noções básicas de trigonometria
Trigonometria é a área da matemática que estuda relações entre
lados e ângulos de um triângulo. Neste estudo utiliza-se ângulos,
em diferentes unidades, e funções trigonométricas, sendo que ao
longo desta seção estes pontos serão relembrados.
Duas semirretas, quando não coincidentes e com ponto de origem
em comum, ponto este dito vértice, tem um plano que as contêm e
demarcam duas regiões deste. Os equipamentos topográ�cos me-
dem os ângulos no plano horizontal e vertical, onde veremos maio-
(x, y)
 v: latest 
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 2/36
(1)
res detalhes no Capitulo 7: Ângulos. A noção de ângulo é estabele-
cida pela medida da abertura entre estas semirretas, neste caso,
dois ângulos. Do mesmo modo, dois segmentos de reta, não sobre-
postos, com origem comum, de�nem dois ângulos, se estendermos
em duas semirretas a partir da origem dos segmentos. Seja a Fi-
gura ao lado representando: dois segmentos; o ângulo ; um arco
de comprimento que está a uma distância do vértice. Matemati-
camente é:
sendo uma constante, que vai depender da unidade angular que
se está trabalhando: radiano, grau ou grado, conforme será visto
adiante. A constante faz com que a medida do ângulo seja inde-
pendentemente do comprimento do arco ou da posição em que
o arco esteja iniciando.
Ângulo em grau, radiano e grado
Vimos que ângulo e uma medida da abertura entre dois segmentos
de reta com origem comum ou de duas semirretas também com
origem comum. Nota-se que deve-se de�nir qual é o segmento ou
semi-reta que terá o início da contagem da medida e qual o sentido
a ser percorrido, se horário ou anti-horário. As unidades angulares
serão apresentadas sobre um círculo, tendo como início a conta-
gem o segmento que coincide com o eixo- e o sentido sendo anti-
θ
s r
θ
θ = k
s
r
,
k
k
s r
x
 v: latest 
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo7.html#rst-capitulo-7
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/_images/fig_angulo.png
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 3/36
horário. Esta contagem é a mesma que é utilizada para cálculos das
funções trigonométricas. Na Figura 1 são apresentados alguns ân-
gulos, nas unidades de grau, radiano e grado.
Figura 1 Ângulo de grau, radiano e grado sobre o círculo.
Grau
A unidade de grau é aquela onde um círculo é dividido em par-
tes iguais e cada parte corresponde a um grau, sendo utilizado
como símbolo para o grau devendo o mesmo ser aplicado após
o número. Sobre o círculo no eixo- positivo o ângulo é ou ,
aumentando no sentido anti-horário até que sobre o eixo- posi-
tivo o ângulo é de , e assim sucessivamente.
Podem-se considerar ângulos negativos. O signi�cado é simples,
por exemplo, o ângulo corresponde ao ângulo (Figura
abaixo), no entanto não se escreve . Ou seja, e
 estão na mesma posição sobre o círculo, e se forem aplicadas
funções trigonométricas a estes valores, os resultados serão os
mesmo. De forma similar, pode-se ter valores angulares superiores
360
(∘)
x 0∘ 360∘
y
90∘
−56∘ 304∘
−56∘ = 304∘ −56∘
304∘
 v: latest 
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/_images/fig_ang_grau_rad_grado.png
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 4/36
a . Por exemplo , signi�ca que já foi dada uma volta com-
pleta no círculo, mais , dessa forma corresponde a 
graus e aqui também não se escreve .
Figura 2 Ângulo negativo e positivo.
Grau sistema sexagesimal e decimal
Os ângulos em graus podem estar nas formas sexagesimal ou deci-
mal. A forma sexagesimal é aquela em que o ângulo é apresentado
em: i) graus, sem sua fração; ii) subdivisão do graus, minutos ;
iii) e subdivisão dos minutos, segundos . Podem-se citar as se-
guintes relações entre graus, minutos e segundos: ;
; e logo, . Na notação sexagesimal, os minu-
tos variam de a , e os segundos de a . A única parte
que admite decimal é a dos segundos.
360∘ 380∘
20∘ 380∘ 20∘
380∘ = 20∘
(′)
(′′)
1∘ = 60′
1′ = 60′′ 1∘ = 3 600′′
0′ 60′ 0′′ 60′′
 v: latest 
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/_images/fig_ang_neg_pos.png
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/_images/fig_ang_grau_sexag.png
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 5/36
Figura 3 Ângulos na forma sexagesimal.
Os ângulos em graus decimal são apresentados em graus com sua
decimal, se for o caso. A conversão de ângulos em graus sexagesi-
mais para decimais é simples, basta somar ao valor dos graus, aos
minutos e aos segundos transformados em graus, como apresen-
tado no Exemplo 1.
Exemplo 1 Converta o ângulo sexagesimal para
grau decimal.
Solução: Sabendo-se que e , temos:
Por outro lado, para converter um ângulo na forma grau decimal
para sexagesimal observamos, primeiramente, que a parte inteira
corresponde aos graus. Em seguida multiplica-se por a parte de-
cimal do ângulo e a nova parte inteira do resultado serão os minu-
tos. Agora, multiplica-se por a última parte decimal encontrada
para obter os segundos, inclusive com a parte decimal, se for o
caso. Um exemplo desta conversão é apresentada no Exemplo 2. A
transformação de ângulos decimais para sexagesimais e vice-versa
é realizada automaticamente, pela maioria das calculadoras cientí-
�cas, por meio da tecla ° ' ” , e o auxílio da tecla shift .
116∘33′54, 18′′
1∘ = 60′ 1∘ = 3 600′′
116∘33′54, 18′′ = 116∘ + ( 33
′
60′
)
∘
+ ( 54, 18
′′
3 600′′
)
∘
= 116, 5650511∘.
60
60
 v: latest 
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 6/36
Exemplo 2 Transforme o ângulo decimal do Exemplo 1 para o sis-
tema sexagesimal.
Solução: O ângulo é , logo . A decimal 
em minutos:
Agora decimal dos minutos, , em graus:
Desta forma, temos o ângulo na forma sexagesimal, .
Radianos
Os ângulos em radianos são abreviados por rad, sendo que 
corresponde ao ângulo que subentende o comprimento do arco, ,
de comprimento igual ao raio, , como mostrado na Figura ao lado.
Uma volta total em um circunferência corresponde a . O va-
lor de é de�nido como a razão entre o perímetro de uma circun-
ferência e o seu diâmetro, sendo . Para os nossos
cálculos, deve-se utilizar o valor de dado pela calculadora ou pla-
nilha eletrônica. A unidade angular de radianos é a utilizada para
cálculos de funções trigonométricas na maior parte dos programas
e linguagens computacionais, como por exemplo a ⇗planilha Excel,
⇗planilha do Google, ⇗C++ , ⇗ Java, ⇗Python, ⇗Matlab etc.
Grados
116, 5650511∘116∘ 0, 5650511∘
minutos = 0, 5650511 ⋅ 60′
= 33, 903
= 33′.
0, 903′
segundos = 0, 903 ⋅ 60′′
= 54, 18′′.
116∘33′54, 18′′
1 rad
s
r
2π rad
π
≈ 3, 1415927
π
 v: latest 
http://office.microsoft.com/pt-br/
https://www.google.com/intl/pt-BR/sheets/about/
http://www.open-std.org/
http://www.java.com/pt_BR/
http://www.python.org/
http://www.mathworks.com/
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 7/36
O ângulo em grado tem como símbolo g, e é colocado após o valor
da medida. Nesta unidade o círculo é dividido em 400 partes iguais
e cada uma equivale a um grado, sendo aceito a decimal de grado.
É uma unidade utilizada por alguns países europeus, como por
exemplo Portugal.
A conversão entre unidades angulares é bastante simples. Por
exemplo, se considerar apenas meio círculo, têm-se:
.
Exemplo 3 Quanto vale em radiano e grado?
Solução: Primeiramente, este ângulo deve ser transformado para grau
decimal, o que foi realizado no exemplo 1. Por meio da relação entre as
unidades de graus e radianos, mostradas acima, tem-se, para trans-
formá-lo em radianos :
Aplica-se agora a relação entre grau e grado para encontrar o valor an-
gular em grado , como:
π rad = 180∘ = 200g
116∘33′54, 18′′
(xrad)
xrad
116, 5650511∘
=
π
180∘
xrad =
116, 5650511∘ ⋅ π
180∘
xrad = 2, 0344 rad
(xgrado)
xgrado
116, 5650511∘
=
200g
180∘
xgrado =
116, 5650511∘ ⋅ 200g
180∘
xgrado = 129, 5167
g.
 v: latest 
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 8/36
Observações sobre ângulos: goniômetros; calculadora
e a constante (Equação (1))
Os instrumentos que medem ângulos são chamados goniômetros.
Um transferidor é um goniômetro, assim como equipamentos to-
pográ�cos que os possuem, como o teodolito e a estação total. É
por meio destes equipamentos que são realizadas a medidas de
ângulos entre pontos de interesse. Geralmente, estes equipamen-
tos apresentam os ângulos na unidade de graus e no sistema sexa-
gesimal. Para trabalhar com estes dados em planilhas eletrônicas,
estes devem ser transformados para grau decimal, e posterior-
mente para a unidade de radianos, pois é nesta unidade que a mai-
oria dos programas computacionais trabalham com as funções
trigonométricas.
Deve-se prestar atenção quanto ao uso de ângulos em calculadora
cientí�ca. Geralmente ela pode trabalhar nas três unidades angula-
res apresentadas, bastando ajustá-la para a unidade que é reque-
rida nos cálculos. A unidade de ângulo que a calculadora está con�-
gurada pode ser visualizada na tela da mesma, onde as letras: “D”,
Abreviação de graus em inglês, degree, “R” e “G”, identi�cam que a
calculadora está trabalhando, respectivamente, em grau, radiano e
grado. Para modi�car a unidade de grau da calculadora, deve-se
consultar manual e seguir procedimento indicado.
Encerrando este assunto, vamos observar mais uma vez a Equação
(1). Agora podemos facilmente calcular o valor da constante . Para
a unidade de radianos temos para , o comprimento do
arco é igual ao raio , desta forma . Caso a unidade
seja de graus, sabe-se que para , em um arco de raio ,
teremos um comprimento de arco, , desta forma, substi-
tuindo na Equação (1), temos . Utilizando o mesmo racio-
k
k
θ = 1 rad
(s) (r) k = 1 rad
θ = 180∘ r
s = π ⋅ r
k = 180
∘
π
 v: latest 
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 9/36
(2)
(3)
cínio acima você pode encontrar o valor de para ângulo na uni-
dade grado.
Funções trigonométricas
Para de�nir as funções trigonométricas de ângulos agudos
, serão utilizadas razões entre os lados de um triângulo
retângulo, conforme a Figura abaixo. Neste triângulo, o maior lado,
oposto ao ângulo reto , é denominado de hipotenusa; o ca-
teto que contem o ângulo medido é denominado de cateto adja-
cente; e o outro cateto é o cateto oposto. As funções trigonomé-
tricas são, o seno , o cosseno , a tangente , a cotan-
gente , a secante e a cossecante , sendo apresen-
tadas nas Equações (2) a (7)
Figura 4 Triângulo retângulo e seus lados.
k
(θ < 90∘)
(90∘)
(sin) (cos) (tan)
(cot) (sec) (csc)
sin θ = ( cateto oposto
hipotenusa
)
cos θ = ( cateto adjacente
hipotenusa
)
( )
 v: latest 
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/_images/fig_trian_retangulo.png
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 10/36
(4)
(5)
(6)
(7)
Uma vez conhecidos os lados de um triângulo retângulo, é possível
por meio das funções trigonométricas inversas encontrar um de-
terminado ângulo desejado. Cita-se abaixo as funções inversas:
arco seno ou ; arco cosseno ou e
arco tangente ou . Em calculadoras eletrônicas e
planilhas, os valores das funções inversas estão restritas à diferen-
tes domínios, para maiores detalhes ver Stewart.
Exemplo 4 Para o triângulo retângulo da Figura abaixo, determi-
nar , , e o seno, o cosseno e a tangente destes ângulos?
tan θ = ( cateto oposto
cateto adjacente
)
cot θ = ( cateto adjacente
cateto oposto
)
sec θ = ( hipotenusa
cateto adjacente
)
csc θ = ( hipotenusa
cateto oposto
)
(arcsin sin−1) (arccos cos−1)
(arctan tan−1)
θ = arcsin( cateto oposto
hipotenusa
)
θ = arccos( cateto adjacente
hipotenusa
)
θ = arctan( cateto oposto
cateto adjacente
)
θ α
 v: latest 
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/referencias.html#id13
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 11/36
Solução: A hipotenusa vale . Para o ângulo , o lado de é o
seu cateto oposto. Desta forma, pode-se utilizar a função arco seno para
determinar :
Para calcular , sabe-se que a soma dos ângulos internos de um triân-
gulo é , logo . As fun-
ções trigonométricas para e :
Exemplo 5 Com o objetivo de se estimar o raio da terra , um
topógrafo subiu em uma montanha de km de altura, tendo
vista para o oceano. Com o auxílio dos seus equipamentos, me-
diu-se o ângulo formado entre a linha horizontal que passa pelo
equipamento e a reta tangente a superfície do oceano no ponto
, obtendo . Por meio destas informações, determinar o
raio aproximado da terra .
6, 4 m θ 5 m
θ
θ = arcsin(
cateto oposto
hipotenusa
)
= arcsin( 5
6, 4
)
= 51, 3752∘.
α
180∘ α = 180∘ − (51, 3752∘ + 90∘) = 38, 6248∘
θ α
sin θ = 0, 7813; cos θ = 0, 6242; tan θ = 1, 2515
sinα = 0, 6242; cosα = 0, 7813; tanα = 0, 7990
(R)
5
H 2, 26∘
(R)
 v: latest 
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/_images/fig_trian_retangulo_exemplo.png
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 12/36
Solução: A visada é tangente à terra em . é perpendicular à
, logo em , o ângulo é reto para o triângulo . O lado
deste triângulo oposto a é a hipotenusa. Percebe-se tam-
bém que, o ângulo entre a linha do horizonte que passa em e a linha
 é de , então o ângulo é de . Conside-
rando temos:
Para as de�nições das funções trigonométricas em função apenas
de um ângulo qualquer, utiliza-se a �gura de um círculo unitário no
plano cartesiano, ou seja, de raio 1 conforme Figura 5. Os valores
de e correspondem a projeção do raio com o ângulo 
nos eixos e , respectivamente. Logo os seus valores variam en-
tre e , sendo que os seus sinais mudam conforme o qua-
drante. Maiores detalhes podem ser encontrados em livrosde
cálculo.
AH H AH
OH H (90∘) AOH
H (R+5 km)
A
AO 90∘ θ 87, 74∘ (90∘ − 2, 26∘)
sin θ
sin θ =
R
R + 5
R = (R + 5) sin 87, 74
R − R sin 87, 74 = 5 ⋅ sin 87, 74
R =
5 ⋅ sin 87, 74
1 − sin 87, 74
R = 6 423, 1 km.
cos θ sin θ θ
x y
−1 1
 v: latest 
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/_images/fig_raio_terra_exemplo.png
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 13/36
Figura 5 Círculo unitário e os sinais por quadrante das funções
, e .
Entendendo o círculo unitário: Consultar:
⇗https://phet.colorado.edu/sims/html/trig-tour/latest/trig-tour_en.html
Lei dos senos
Agora, considere um triângulo de lados , e , com os ângulos
opostos a estes lados, respectivamente, , e . A lei dos senos
apresenta as relações apresentadas na Equação (8). Um exemplo
clássico de aplicação da lei dos senos aplicada à topogra�a é apre-
sentado no Exemplo 6.
sin cos tan
a b c
 B̂ Ĉ
b
 v: latest 
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/_images/fig_circulo_unitario.png
https://phet.colorado.edu/sims/html/trig-tour/latest/trig-tour_en.html
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/_images/fig_leidossenoscosenos.png
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 14/36
(8)
Exemplo 6 Considere o esquema apresentado na Figura a seguir.
Um levantamento topográ�co foi realizado do lado esquerdo do
rio, e não se tem acesso ao lado direito, onde encontra-se o
ponto P. Todavia deseja-se obter a distância AP. Para tanto, me-
diu-se: com uma trena, a distância de A ao ponto B, resultando
em m; por meio de um teodolito estacionado em A, visando-se
sucessivamente P e B, o ângulo ; e por �m, também
com o teodolito, agora estacionado em B, visando-se A e P, o ân-
gulo . Por meio destas medidas, calcule a distância AP.
Solução: A lei dos senos pode ser utilizada para determinar a distância
do ponto inacessível P. Como dois ângulos do triângulo foram medidos,
pode-se calcular o outro, ao qual denominaremos de , sendo:
Uma vez que conhecemos o lado AB=50 m, o seu ângulo oposto,
, e o ângulo , oposto ao lado que queremos de-
terminar, AP, pode-se aplicar a lei dos senos, como segue abaixo:
a
sin Â
=
b
sin B̂
=
c
sin Ĉ
.
50
α = 37∘51′
β = 75∘47′
γ
γ = 180 − (α + β)
= 180 − (37∘51′ + 75∘47′)
= 66∘22′
γ = 66∘22′ α = 75∘47′
A A
 v: latest 
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/_images/fig_exemp_lei_senos.png
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 15/36
(9)
(10)
Lei dos cossenos
A outra lei trigonométrica que vamos apresentar é a dos cossenos.
Ela relaciona os lados do triângulo com um ângulo interno interno
segundo as Equações (9)-(10). Pode-se utilizar estas Equações para
marcação de ângulos em campo, como será apresentado no Exem-
plo 7.
Exemplo 7 Considerando que os comprimentos dos lados de um
triângulo são: m, m e m. Determine os ân-
gulos internos.
AB
sin γ
=
AP
sinβ
50 m
sin 66∘22′
=
AP
sin 75∘47′
AP =
50 m ⋅ sin 75∘47′
sin 66∘22′
AP = 52, 906 m.
a2 = b2 + c2 − 2bc cos  então:  = arccos(
a2 − (b2 + c2)
−2bc
)
b2 = a2 + c2 − 2ac cos B̂ então: B̂ = arccos(
b2 − (a2 + c2)
−2ac
)
c2 = a2 + b2 − 2ab cos Ĉ então: Ĉ = arccos(
c2 − (a2 + b2)
−2ab
)
a = 32 b = 28 c = 23
 v: latest 
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 16/36
Solução: A partir da lei dos cossenos, temos para :
Para :
Uma vez que conhecemos dois ângulos internos do triângulo, então
.
Coordenada retangular e polar no
plano
Para a apresentação grá�ca de dados bidimensionais, é utilizado o
plano cartesiano, formado por dois eixos ortogonais entre si, deno-
minados de eixo- e eixo- . A posição de pontos neste sistema dar-
se-á por meio de coordenadas retangulares ou polares.
Â
cos  = (
a2 − (b2 + c2)
−2bc
)
 = arccos(
a2 − (b2 + c2)
−2bc
)
 = arccos(
322 − (282 + 232)
−2 ⋅ 28 ⋅ 23
) = 77, 0336∘
B̂
cos B̂ = (
b2 − (a2 + c2)
−2ac
)
B̂ = arccos(
b2 − (a2 + c2)
−2ac
)
B̂ = arccos(
282 − (322 + 232)
−2 ⋅ 32 ⋅ 23
) = 58, 5054∘
Ĉ = 180 − (Â + B̂) = 44, 4610∘
x y
 v: latest 
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 17/36
Coordenada retangular
A coordenada retangular de um ponto é dada por sua posição hori-
zontal e vertical, coordenada e coordenada , respectivamente.
Exemplo do plano cartesiano e pontos com suas respectivas coor-
denadas retangulares são apresentados na Figura 6. Estas coorde-
nadas podem estar em qualquer unidade de comprimento, sendo
que em geomática a mais comum é a de metro (m). Logicamente,
caso a unidade fosse de metro, esta �gura estaria reduzida a deter-
minada escala (ver seção Escala).
Figura 6 Posição de alguns pontos e suas coordenada retangula-
res.
Distância Euclidiana
x y
 v: latest 
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo2.html#escala
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/_images/fig_coord_retangular.png
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 18/36
(11)
Caso as coordenadas retangulares de dois pontos quaisquer sejam
conhecidas, por exemplo, os pontos e da Fi-
gura ao lado, pode-se calcular a distância da linha reta entre eles
, denominada de distância Euclidiana. Pelo teorema de Pitágo-
ras, :
Exemplo 8 Qual a distância entre os pontos A e C apresentados
na Figura 6? Considere que a unidade é o metro.
Solução: As coordenadas de A e C são e
, respectivamente. Aplicando a Equação (11):
1(x1, y1) 2(x2, y2)
(d12)
d12
d212 = Δx
2 + Δy2
d12 = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
(4, 5 m; 2, 1 m)
(−4, 9 m; −3, 2 m)
d = √(xA − xC)2 + (yA − yC)2
= √(4, 5 − −4, 9)2 + (2, 1 − −3, 2)2
= √(4, 5 + 4, 9)2 + (2, 1 + 3, 2)2
= 10, 791 m.
 v: latest 
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/_images/figDistEuclidiana.png
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 19/36
Coordenada polar
A coordenada polar de um ponto é dada pelo seu raio , distân-
cia entre a origem do sistema cartesiano ao ponto, e seu ângulo 
, medido a partir do eixo- positivo, sentido anti-horário, até raio.
Exemplo de coordenadas polares para os pontos A e C vistos na
Figura 6 podem ser observados na Figura 7. Aprenderemos posteri-
ormente que em levantamentos topográ�cos trabalhamos com um
tipo de coordenada polar, em que o ângulo é denominado de Azi-
mute, e o raio o comprimento do alinhamento. Porém o ângulo de
Azimute é medido a partir do eixo- positivo, e o sentido de conta-
gem angular é o horário. Mais detalhes serão vistos posterior-
mente, no Capitulo 7: Ângulos.
Figura 7 Coordenadas polares para os pontos A e C da Figura
6.
(r)
(θ)
x
y
 v: latest 
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo7.html#rst-capitulo-7
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/_images/figCoordPolar.png
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 20/36
(12)
Coordenada polar para retangular
A transformação de coordenada polar para retangular pode ser de-
duzida a partir da Figura 8. Considere um ponto P,de coordenada
polar . Queremos obter sua coordenada retangular
. Pode-se veri�car que o cateto oposto e o cateto adja-
cente ao ângulo correspondem, respectivamente, à coordenada
 e . Serão aplicadas as funções seno e cossenos ao ângulo ,
que tem como hipotenusa , o que resultará na obtenção da co-
ordenada retangular, como apresentado nas Equações (12) e (12).
Estas equações são aplicadas para pontos localizados em quais-
quer quadrante.
Figura 8 Esquema grá�co para conversão entre coordenada po-
lar e retangular.
(θP, rP)
(xP, yP)
θP
yP xP θ
rP
cos θP =
xP
rP
xP = rP cos θP
sin θP =
yP
rP
θ
 v: latest 
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/_images/figPolar2Retangular.png
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 21/36
(13)
(14)
Exemplo 9 Considere a coordenada polar do ponto C da Figura 7.
Qual a sua coordenada retangular? A unidade de comprimento é
o metro.
Solução: A coordenada polar de C é . Então:
.
.
Como era esperado, a coordenada retangular de C é a mesma apresen-
tada na Figura 6.
Coordenada retangular para polar
Agora será apresentada a transformação de coordenada retangular
para polar. Para tanto utilizaremos mais uma vez o esquema da Fi-
gura 8. Só que desta vez, a coordenada retangular de P, ,
é que é conhecida. Uma vez que se têm os dois catetos do triân-
gulo retângulo, o raio de P, , é obtido por meio da Teorema de
Pitágoras (Equação (14)). Já o ângulo , para este quadrante, pode
ser obtido por meio da função arco tangente, como apresentada na
Equação (15).
A Equação (14) é valida para pontos em qualquer quadrante. Já a
Equação (15), para cálculo de , é valida apenas para o primeiro
quadrante, sendo que para os demais, pode-se obtê-lo facilmente,
como será apresentado no Exemplo abaixo.
Se não for nulo:
yP = rP sin θP
(213, 147∘, 5, 85)
xC = rC cos θC = 5, 85 cos 213, 147
∘ = −4, 9 m
yC = rC sin θC = 5, 85 sin 213, 147
∘ = −3, 2 m
(xP, yP)
rP
θP
θp
rP = √x2P + y2P
xP
 v: latest 
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 22/36
(15)
Exemplo 10 Considere a coordenada retangular do ponto D da Fi-
gura 6. Qual a sua coordenada polar? Considere que a unidade
seja de metro.
Solução: A coordenada retangular de D é . Ela é nova-
mente mostrada na Figura ao abaixo.
Observe que a projeção da coordenada e o raio de D, , resultam em
um triângulo retângulo, em que, m é o cateto adjacente a , e 
m é o cateto oposto, podendo-se calcular :
Agora pode-se calcular , pois, . Para se
calcular , temos:
Desta forma, a coordenada polar de D é .
tan θP =
yP
xP
θP = arctan(
yP
xP
)
(4, 9 m; −1, 3 m)
rD
4, 9 α 1, 3
α
tanα =
yD
xD
α = arctan( yD
xD
) = arctan( 1, 3
4, 9
) = 14, 8586∘.
θD θD = 360
∘ − α = 345, 1414∘
rD
rD = √x2D + y2D = √4, 92 + 1, 32 = 5, 07 m.
(345, 1414∘; 5, 07 m)
 v: latest 
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/_images/figExemReta2Poloar.png
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 23/36
Áreas de figuras elementares no
plano
Área de um retângulo
Sejam os lados de um retângulo, e . A sua área é calculada
pelo produto dos seus lados:
Exemplo 11 Qual a área de um sala retangular, onde os lados me-
dem m e m.
Solução:
Área de triângulo
A área de um triângulo pode ser calculada de diversas formas, de-
pendendo dos dados disponíveis, se os comprimentos dos lados
e/ou ângulos internos. Considere o triângulo da Figura ao lado.
Caso sejam conhecidas(os)
a b (A)
A = ab.
5, 3 7, 9
A = ab
= 5, 3 ⋅ 7, 9
= 41, 87 m2.
 v: latest 
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/_images/figAreaDeTriangulo.png
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 24/36
a sua altura e a base (nesta Figura o lado ), a área será:
Exemplo 12 Qual aárea de triângulo onde a base mede m e a
altura m.
Solução:
dois lados, e , e o ângulo formado entre eles, , a área será:
Exemplo 13 Qual a área de triângulo em que dois lados medem
 e , e o ângulo entre eles é de .
Solução:
os comprimentos dos três lados do triângulo, , usa-se a
fórmula de Heron, também conhecida como a fórmula do semi-
(h) b
A =
bh
2
.
15, 9
9
A =
bh
2
=
15, 9 ⋅ 9
2
= 71, 55 m2
a b α
A =
1
2
ab sinα;
3, 1 m 6, 8 m 34∘
A =
1
2
ab sinα
=
1
2
3, 1 ⋅ 6, 8 sin 34∘
= 5, 89 m2.
a, b, e c
 v: latest 
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 25/36
(16)
perímetro, em que a área é:
em que é semiperímetro:
Exemplo 14 Qual a área de um triângulo de lados medem m,
 m e m.
Solução: O semiperímetro:
A área será:
Área de trapézio
Chamam-se de bases de um trapézio os seus lados paralelos e, sua
altura, a distância que separa estes dois lados. A área de um trapé-
zio é calculada pela soma da bases, e , multiplicada pela altura
 dividida por dois, isto é:
A = √p (p − a) (p − b) (p − c)
p
p =
a + b + c
2
.
10, 3
5, 4 6, 0
p =
a + b + c
2
=
10, 3 + 5, 4 + 6, 0
2
= 10, 85 m.
A = √p (p − a) (p − b) (p − c)
= √10, 85 (10, 85 − 10, 3) (10, 85 − 5, 4) (10, 85 − 6)
= 12, 56 m2.
b1 b2
(h)
 v: latest 
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 26/36
Exemplo 15 Uma praça pública tem a forma de um trapézio,
sendo medidos os lados paralelos de m e m e a distân-
cia entre eles de m, calcular á área da praça.
Solução:
Área de um círculo
Para uma círculo, pode ser conhecido o seu raio ou o seu diâme-
tro, . Se o é conhecido, a sua área é:
Caso seja conhecido o diâmetro :
Exemplo 16 Uma caixa de água tem diâmetro de m. Qual a
área de superfície que ela ocupa.
A =
1
2
(b1 + b2)h.
50, 7 80, 4
12
A =
1
2
(b1 + b2)h
=
1
2
(50, 7 + 80, 4)12
= 786, 6 m2.
R
D (2R) R
A = πR2.
(D)
A =
π
4
D2.
1, 2 v: latest 
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/_images/figAreaTrabezio.png
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 27/36
Solução: Conhecendo-se o diâmetro temos:
Área de um setor de círculo
Seja , em graus, o ângulo da área do setor de círculo a ser calcu-
lado. Temos, quando se conhece o raio :
Caso o diâmetro seja conhecido:
Exemplo 17 Calcule a área de um setor de de uma circunferên-
cia de igual a m.
Solução:
A =
π
4
D2
=
π
4
1, 22
= 1, 13 m2.
α
(R)
A = ( α
360∘
)πR2.
(D)
A = ( α
360∘
) π
4
D2.
5∘
R 3
( )
 v: latest 
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/_images/figAreaSetorCirculo.png
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 28/36
Sugestão de aula prática
Uso de planilha eletrônica para solução de problemas em
matemática
Objetivo: apresentar o uso de planilhas eletrônicas para a resolução de
problemas em topogra�a. É sugerida a utilização da planilha de cálculo
Calc, presente no pacote libreo�ce, que é diponível gratuitamente. Para
obtê-lo e encontrar maiores informações, consultar a página:
⇗https://www.libreo�ce.org.
Serão apresentados os operadores e algumas funções matemáticas,
onde, uma vez sabendo utilizá-las, é possível resolver grande parte dos
problemasde topogra�a.
Como roteiro:
apresentação dos operadores matemáticos: soma , subtração
, multiplicação , divisão e potência ;
apresentação das funções seno, cosseno, tangente, arco cosseno,
etc
Exercícios
1) Com o triângulo da Figura abaixo, de coordenada
, calcular os ângulos , e o seno, cosseno e
tangente destes ângulos.
A = ( α
360∘
)πR2
= ( 5
∘
360∘
)π32
= 0, 393 m2.
(+)
(−) (∗) (∖) (∧)
R(12, 3 m, 6, 1 m) α β,
 v: latest 
https://www.libreoffice.org/
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 29/36
Resp.: ; ; ;
; ; ;
; .
2) Converter para segundos.
Resp.: .
3) Expressar e em graus decimais.
Resp.: ; .
4) Converter para graus decimais.
Resp.: .
5) Converter para radianos.
Resp.: rad.
α = 26, 3784∘ β = 63, 6216∘ sinα = 0, 4443
cosα = 0, 89588 tanα = 0, 49593 sinβ = 0, 89588
cosβ = 0, 4443 tanβ = 2, 0163
0, 0006∘
2, 16′′
2, 32 rad 1, 25 rad
132, 926∘ 71, 619∘
10∘15′39′′
10, 26083333
11∘50′3′′
0, 207
 v: latest 
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/_images/exer_1_1.png
Highlight
Highlight
Highlight
Highlight
Highlight
Highlight
Highlight
Highlight
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 30/36
6) Um triângulo tem lados , e .
Calcule: i) a área ( e ha); ii) os ângulos internos.
Resp.: ; ha; ; ;
.
7) Utilizando calculadora, calcule o seno, cosseno e tangente de
, , , e .
Resp.: Tabela abaixo.
Table 1 Resposta exercício 7
Ângulo seno cosseno tan
8) Um topógrafo necessita determinar a distância entre e ,
mostrados na Figura ao lado. Infelizmente, seu equipamento de
medição eletrônica de distância não está funcionando. Devido a
isto: em , o topógrafo mediu o ângulo de ; determinou a dis-
tância m; e em mediu de . Calcule o compri-
mento .
a = 7, 5 m b = 8, 9 m c = 10, 2 m
m2
32, 437 m2 0, 003243 â = 45, 614∘ b̂ = 57, 999∘
ĉ = 76, 387∘
22, 3∘ 42, 6∘ 51, 3∘ 89, 1∘ 76, 5∘
(∘)
22, 3 0, 37946 0, 92521 0, 41013
42, 6 0, 67688 0, 73610 0, 91955
51, 3 0, 78043 0, 62524 1, 24820
89, 1 0, 99988 0, 01571 63, 65674
76, 5 0, 97237 0, 23345 4, 16530
A B
A 88∘
AC = 159, 49 C 51∘
AB
 v: latest 
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 31/36
Resp.: m.
9) Dadas as coordenadas retangulares dos pontos: A , B
, C , D . Calcular as respectivas coor-
denadas polares.
Resp.: A ; B ; C
; D .
10) Dadas as coordenadas polares dos pontos: A
; B ; C ; D ,
calcular as respectivas coordenadas retangulares.
Resp.: A ; B ; C
; D
11) Com o objetivo de se estimar o raio da terra , um topógrafo
subiu em uma montanha de km de altura, tendo vista para o
oceano. Com o auxílio dos seus equipamentos, mediu-se o ângulo
formado entre a linha horizontal que passa pelo equipamento e a
AB = 188, 927
(5, −19)
(−23, −10) (−29, 4) (13, 11)
(284, 7436∘, 19, 6468) (203, 4986∘, 25, 0798)
(172, 1467∘, 29, 2745) (40, 23636∘, 17, 0293)
(72, 9m, 314∘27′)
(58, 1m, 260∘22′) (100, 9m, 118∘41′) (29, 3m, 25∘28′)
(51, 05089, −52, 0405) (−9, 72259, −57, 2807)
(−48, 4288, 88, 51814) 26, 45308, 12, 59859)
(R)
3, 0
 v: latest 
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/_images/exer_1_8.png
Highlight
Highlight
Highlight
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 32/36
reta tangente a superfície do oceano no ponto , obtendo .
Determinar o raio da terra aproximado, por meio destas medidas.
Resp.: .
12) Com o objetivo de determinar a altura da árvore da Figura ao
lado, o engenheiro mediu, com o auxílio de um clinômetro (equipa-
mento que mede ângulo vertical), o ângulo vertical entre a sua po-
sição e o topo da árvore. Com uma trena, também mediu a distân-
cia horizontal à árvore. Sabendo que o engenheiro mede m,
qual é a altura da árvore?
Resp.: .
H 1∘46′
6 308, 3 km
1, 80
20, 546 m  v: latest 
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/_images/exer_1_11.png
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/_images/exer_1_12.png
Highlight
Highlight
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 33/36
13) Determinar a altura do levantamento realizado conforme Fi-
gura ao lado, sendo as medidas de distância em metros.
Resp.: Altura = .
14) Deseja-se medir a altura da torre da igreja ao lado. A distância
horizontal foi medida a partir do prédio, como mostrado, e dois ân-
gulos verticais foram determinados, em relação a base e ao topo da
igreja. Qual a altura da igreja?
Resp.: Altura = .
15) Com a �nalidade de determinar a altura de um morro, foram
medidas a distância horizontal entre a base do morro ao primeiro
H
18, 466 m
31, 275 m
 v: latest 
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/_images/exer_1_13.png
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/_images/exer_1_14.png
Highlight
Highlight
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 34/36
ponto , onde nesta primeira posição determinou-se o ân-
gulo vertical em relação topo do morro, conforme esquema ao
lado. A partir deste ponto à outro, distante (percorrendo a
mesma direção), mediu-se novamente o ângulo vertical em relação
ao topo do morro. Com estas medidas medidas calcular e .
Resp.: e .
16) Calcule a área de um triângulo retângulo de base e al-
tura de .
Resp.: .
17) Dado o triângulo da Figura ao lado, calcule qual o comprimento
dos lados e .
(200 m)
300 m
x h
x = 140, 628 m h = 340, 628 m
20, 0 m
14, 2 m
142 m2
x y
 v: latest 
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/_images/exer_1_15.png
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/_images/exer_1_17.png
Highlight
Highlight
Highlight
Highlight
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 35/36
Resp.: ; .
18) Dado o triângulo abaixo, contendo: as coordenadas dos vérti-
ces e . Calcular os comprimentos
dos lados e e a sua área.
Resp.: ; ; área de .
19) Calcular a área do polígono formado pelos vértices e ,
sabendo-se que: ; ; ;
; ; .
x = 571, 93 m y = 660, 069
A(20 m; 30 m) B(40 m; 70 m)
AB AC
AB = 44, 721 m AC = 49, 594 m 774, 5 m2
1, 2, 3 4
α = 77∘40′ β = 23∘10′ γ = 39∘5′
1(60, 0 m; 45, 0 m) 3(10, 0 m; 11, 0 m) DH12 = 44 m
 v: latest 
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/_images/exer_1_18.png
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/_images/exer_1_19.png
Highlight
Highlight
Highlight
Highlight
12/08/2022 23:50 Capitulo 1: Matemática fundamental — Documentação Livro de Geomática 0.1
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/pages/capitulo1.html#nocoes-basicas-de-trigonometria 36/36
Resp.: área = .
20) Do triângulo abaixo, contendo a distância do alinhamento
, Calcular os comprimentos dos lados e e
a sua área.
Resp.: ; ; área de .
21) Dado um triângulo retângulo de catetos e
. Encontrar a hipotenusa. Calcule os ângulos internos.
Resp.: Hipotenusa = ; ; ;
.
1 553, 941 m2
CB = 69, 43 m AB AC
AB = 57, 095 m AC = 49, 594 m 1397, 850 m2
a = 3, 6 m
b = 4, 7 m
5, 920 m â = 37, 450∘ b̂ = 52, 549∘
ĉ = 90∘
 v: latest 
https://geomatica.readthedocs.io/pt/latest/_images/exer_1_20.png
Highlight
Highlight
Highlight