Trabalho 02 - Apresentação do Problema 2 07 - Mecânica Analitica - Nivaldo Lemos

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UNIVERSIDADE FEDERAÇ DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
FACULDADE DE FÍSICA
Disciplina: Mecânica Clássica II
Prof. Dr. Danilo Teixeira Alves
Discente: Leonardo Carneiro Quaresma
Matrícula: 201708140055
Resolução do Problema 2.7 – Mecânica Analítica – Nivaldo A. Lemos – 2ª Edição 
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2.7. Mostre que a Lagrangiana
Gera um equação de movimento equivalente à um oscilador harmônico de massa mas não difere meramente por uma derivada total da Lagrangiana usual 
Solução: 
Para que a questão seja resolvida, teremos que relembramos da Equação de Euler-Lagrange na qual essa equação determina as Equações de Movimento, dessa forma, a Equação de Euler-Lagrange é definida por: 
Primeiramente, teremos que definir as coordenadas generalizadas do problema, dessa forma utilizaremos a Equação de Euler-Lagrange. 
Dessa maneira, as coordenadas generalizadas que foram definidas pela Lagrangiana do problema serão: 
 e 
Utilizando a Equação de Euler-Lagrange e coordenadas generalizadas definidas, obteremos: 
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A Lagrangiana foi dada como: 
Utilizando a Equação de Euler-Lagrange e a Lagrangiana para determinar o movimento teremos então: 
Para a Coordenada Generalizada , teremos : 
Para a Coordenadas Generalizada , teremos:
Pág. 02
Dessa forma, a Equação de Euler-Lagrange será: 
Substituindo e , teremos que a Equação do Movimento será: 
Simplificando a expressão, teremos que: 
Desse modo, foi concluído que a Lagrangiana: 
Gera um equação de movimento na qual é equivalente a equação do Oscilador Harmônico Simples que possui uma massa igual a . Com isso , dessa forma temos que:
Pág. 03
Agora considerando que a Lagrangiana será:
 
Utilizando a Equação de Euler-Lagrange e fazendo a manipulação algébrica, teremos:
Para :
Para : 
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Dessa forma, a Equação de Euler-Lagrange será: 
Substituindo e , teremos que a Equação do Movimento será: 
Manipulando essa expressão, teremos: 
Com isso a Lagrangiana:
 
Também tem a Equação de Movimento do Oscilador Harmônico Simples. 
Com isso, temos que as Lagrangianas que foram definidas
 
 Geram a Equação de Movimento do Oscilador Harmônico Simples. 
Com isso temos que a duas Lagrangianas não diferem por uma derivada total.
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FIM, OBRIGADO!