Trabalho 04 - Apresentação do Problema 8 5 Dinâmica Clássica de Partículas e Sistemas Stephen T Thornton e Jerry N Marion

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
FACULDADE DE FÍSICA
Disciplina: Mecânica Clássica II
Professor: Danilo Teixeira Alves
Discente: Leonardo Carneiro Quaresma
Matrícula: 201708140055 
Resolução do Problema 8.5 – Dinâmica Clássica de Partículas e Sistemas Stephen T. Thornton e Jerry N. Marion 
1
Duas partículas que se movem sob a influência de sua força gravitacional mútua descrevem órbitas circulares em torno uma da outra com um período . Se elas forem subitamente paradas em suas órbitas e deixadas para gravitar em direção uma da outra, demonstre que elas colidirão após um tempo . 
Solução: 
Para a resolvemos o problemas teremos que a representação para determinamos a Lagrangeana para duas partículas em órbitas para isso utilizaremos a esquema a seguir: 
Com isso, utilizaremos coordenadas relativas para determinar a Lagrangeana do sistema.
As coordenadas relativas serão: 
Temos que é o centro de Massa
Pág. 01
Origem
A Energia Cinética do sistema de duas partículas em orbita é definido por: 
A Energia Potencial do sistema de duas partículas em orbita é definida por: 
De acordo com o livro de Mecânica – L. Landau e E. Lifchitz, a definição da Função de Lagrange (Lagrangeana) é definida pela diferença entre a Energia Cinética e a Energia Potencial :
Com essa definição, a Lagrangeana será: 
Agora, utilizando o centro de massa para reescrever a Lagrangeana para que seja utilizada para encontrar a equação do sistema, o centro de massa é dado por: 
Considerando que e Manipulando a expressão do centro de massa teremos: 
Pág. 02
Como a nova forma da expressão do centro de massa, utilizando e multiplicando por para determinar , teremos: 
Utilizando a expressão do centro de massa e substituindo , obteremos: 
Com isso teremos que , dessa forma, expressão ficará: 
Analogamente para , multiplicando por teremos: 
Utilizando a expressão do centro de massa e substituindo , obteremos:
Com isso teremos que , dessa forma, expressão ficará: 
Pág. 03
Para a utilizando de e na Lagrangeana precisaremos derivar para que sejam encontradas as velocidades do sistema, dessa forma teremos: 
 
Com as respectivas velocidades teremos que substituir na Lagrangeana, na qual isso gerar:
Utilizando a definição de produtos notáveis: 
Teremos que: 
Substituindo na expressão teremos: 
Simplificando a expressão, teremos: 
Considerando que e , onde é a massa reduzida do sistema, teremos: 
Pág. 04
Com a Lagrangeana para o sistema com a massa reduzida:
É possível que seja percebido que essa expressão existe uma Lei de Conservação associada ao momento total do sistema. 
Essa Lagrangeana é definido por;
Uma Lagrangeana do Centro de Massa: 
Uma Lagrangeana do Movimento: 
Para determinar Equações de Movimentos é definido que o Princípio de Ação Mínima ou também chamado de Princípio de Hamilton faz com que sejam obtidas as equação de movimento, através de: 
Na qual esse expressão é definida como a Equação de Euler – Lagrange
Com isso para o sistema teremos que: 
Pág. 05
Utilizando a Equação de Euler – Lagrange para , teremos:
Com isso teremos que: 
Com isso teremos que: 
Essa expressão significa que , com isso, o movimento não mudar, ou seja, essa equação executa o movimento uniforme. 
Pág. 06
Utilizando a Equação de Euler – Lagrange para , teremos: 
Dessa forma, teremos que: 
Podemos perceber que , com isso teremos: 
Agora fazendo:
Substituindo na Equação de Euler-Lagrange: 
Com isso temos uma expressão que tem massa reduzida que obedece a 2º Lei de Newton, onde e 
Pág. 07
Dessa forma para o sistema do problema 8.5 do livro Dinâmica Clássica de Partículas e Sistemas, teremos que:
Como sabemos que e para esse sistemas , obteremos: 
Sabendo que , a expressão ficará: 
Pág. 08
A partir da conversação de Energia encontraremos a Equação de Movimento após o Movimento Circular ter sido interrompido, dessa forma, teremos que: 
A onde a Energia será:
Com isso teremos que: 
Considerando que: 
Dessa forma: 
Manipulando a expressão, obtemos: 
 
Pág. 09
Integrando os termos temos da expressão e definindo os limites de integração, teremos: 
Manipulando as integrais: 
Teremos que , utilizando , e definindo os limites de integração que será: , teremos:
 
 
Pág. 10
Para resolvemos a integral , precisaremos considerar que e . 
Dessa forma os limites de integração ficaram: 
dessa forma, a integral será:
Utilizando a relação: 
Teremos: 
Pág. 11
Utilizando a relação: 
Substituindo em , teremos: 
Manipulando a integral: 
Pág. 12
Substituindo em:
Teremos: 
Multiplicando por , teremos: 
Como: 
É obtido: 
Dessa forma, foi demonstrado que as partículas vão colidir em 
Pág. 13
FIM, OBRIGADO!