Trabalho Criativo - Pêndulo Cicloidal

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
FACULDADE DE FÍSICA
Disciplina: Mecânica Clássica II
Docente: Danilo Teixeira Alves
Discentes: Midiam B. Ribeiro e Leonardo C. Quaresma 
ATIVIDADE CRIATIVA - PÊNDULO CICLOIDAL 
1
PÊNDULO CICLOIDAL: 
Breve história do Pêndulo Cicloidal ou Pêndulo Isócrono
Cicloide
Pêndulo Cicloidal (Pêndulo Isócrono) 
Movimento do Pêndulo Isócrono
1. Breve história do pêndulo cicloidal
Galileu Galilei (1564-1642) e o Pendulo Isócrono
Observações de um lustre na catedral de Pisa.
Usou o próprio pulso para medir os intervalos de tempo.
Repetiu a experiencia em casa.
O período de oscilação de um pêndulo é independente da sua amplitude θ (para pequenas oscilações).
Pêndulo Cicloidal
Christiaan Huygens (1629-1695) 
Aprimorar os cronômetros marítimos 
Colocar obstáculos (curvas) nas laterais do pêndulo fazendo com que independente da amplitude o período seja o mesmo
Porém sem sucesso não conseguiu determinar quais deveriam essas curvas.
Voltou a trabalhar com amplitudes de oscilações, analisando pêndulos isócronos. 
Huygens percebeu que o pêndulo, quando atravessa um arco circular, completa as oscilações de menor amplitude mais depressa do que as de amplitudes maiores. Concluiu assim que qualquer variação na amplitude do movimento do pêndulo faria um relógio adiantar ou atrasar. Mas manter uma amplitude constante de oscilação para oscilação seria impossível, por causa do atrito. Huygens então projetou uma suspensão que permite à ponta do pêndulo movimentar-se formando um arco.
CICLÓIDE: 
Foi descoberta por Charles Bouvelles (na sua tentativa de quadrar o círculo)
Muito estudada por Galileu e Mersenne
É desenvolvida por um disco de raio R na qual é rolado sem deslizar sobre uma superfície plana e rígida. A curva descrita por qualquer ponto localizado na periferia do disco é, por definição, uma cicloide. (Imagine uma bolinha presa a roda como na representação a seguir: de uma bicicleta, que gira em linha reta sem deslizar)
Em azul temos uma cicloide que é gerada por um circulo em movimento:
A reta tangente a cicloide em P passa pelo ponto mais alto da circunferência geratriz: 
Pêndulo Cicloidal (Pêndulo Isócrono):
É constituído por um pêndulo simples na qual é suspenso da cúspide (ponta) de uma ciclóide invertida: 
Para determinamos a equação de movimento, primeiramente precisaremos determinar as competentes e da ciclóide, com isso temos então:
Com isso teremos que e , utilizando as relações trigonométricas:
Com a representação abaixo: 
Com essa representação, teremos que a tangente da ciclóide em um ponto P, forma um ângulo com a horizontal, dessa forma temos então:
Ainda com essa representação determinaremos as posições da massa 
Dessa forma, obteremos que: 
Como teremos que o , obteremos então que 
Como isso as coordenadas do ponto da ciclóide serão:
 Dessa forma, teremos então que as coordenadas da massa serão: 
Com isso, a velocidade para cada componente será: 
A energia cinética será: 
Fazendo as manipulações matemáticas encontraremos: 
A energia potencial é dado por: 
Sabemos a Lagrangeana é dado pela diferença entre a Energia Cinética e a Energia Potencial, então teremos: 
A equação de movimento é definida pelo Princípio de Hamilton, na qual utiliza a Equação de Euler – Lagrange para determina a equação de movimento: 
Com isso a equação de Euler – Lagrange será: 
Determinando os termos: 
A Equação de movimento será: 
Gráficos
Movimento de partículas de diferentes ângulos