Questão resolvida - Uma forma de determinar a fórmula da regra da cadeia para uma função de várias variáveis é utilizando o diagrama de árvore - Cálculo II - UNIBTA

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Uma forma de determinar a fórmula da regra da cadeia para uma função de várias variáveis 
é utilizando o diagrama de árvore. Considere a função . Determine f x, y, z = xy + yz + zx( )
 quando e , sabendo que , e . df / ds t = 0 s = 2 x = scos t( ) y = ssen t( ) z = s + t
 
Resolução:
 
O diagrama de árvore que representa a derivada é visto na sequência;df / ds
Assim, a derivada que queremos é expressa por;
 
= ⋅ + ⋅ + ⋅
df x, y, z
ds
( ) 𝜕f x, y, z
𝜕x
( ) 𝜕x
𝜕s
𝜕f x, y, z
𝜕y
( ) 𝜕y
𝜕s
𝜕f x, y, z
𝜕z
( ) 𝜕z
𝜕s
Temos que;
 
= y + z; = x + z e = y + x
𝜕f x, y, z
𝜕x
( ) 𝜕f x, y, z
𝜕y
( ) 𝜕f x, y, z
𝜕z
( )
 
 
 
 
 
 
df x, y, z
ds
( )
x t, s( )
 
𝜕f x,y, z
𝜕x
( )
 
𝜕f x,y, z
𝜕y
( )
y t, s( )
 
𝜕x
𝜕s s
 
𝜕y
𝜕s
s
 
𝜕f x,y, z
𝜕z
( )
z t, s( )
 
𝜕z
𝜕s
s
= cos t ; = sen t e = 1
𝜕x
𝜕s
( )
𝜕y
𝜕s
( )
𝜕z
𝜕s
 
Com isso, temos que a derivada é;
 
= y + z ⋅ cos t + x + z ⋅ sen t + y + x ⋅ 1
df x, y, z
ds
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 
= y+ z cos t + x+ z sen t + y+ x
df x, y, z
ds
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 
 
(Resposta )