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CÁLCULO
CÁLCULO
Cálculo
Apresentação da disciplina
Seja bem-vindo(a) à disciplina de Cálculo.
Você concorda que, no nosso dia a dia, é muito importante que 
saibamos medir as grandezas e suas variações, não é mesmo?
Por exemplo, podemos medir as variações climáticas, as 
mudanças que ocorrem em uma reação química, a variação da 
bolsa de valores. 
Quem nos auxilia nisso é o Cálculo, que é a matemática que 
estuda movimentos e variações, utilizado nas Engenharias e 
demais Ciências. 
Você sabia que a disciplina de Cálculo é mais comumente 
conhecida como Cálculo Diferencial e Integral? Afinal, esse 
nome define as duas operações básicas do Cálculo: a derivação 
e a Integração. Embora essas nomenclaturas pareçam muito 
técnicas e relativas apenas à área de exatas, não usamos o 
Cálculo apenas nas exatas! Nada disso: o Cálculo é usado em 
todos os campos, até mesmo na Medicina, Ciências Sociais, 
citando alguns exemplos! 
Quer um exemplo?
Imagine que você é um médico e deseja determinar a velocidade 
de propagação de uma epidemia! Isso mesmo, o Cálculo o 
ajudará nesta questão. 
E você sabia que o Cálculo foi sistematizado por Isaac Newton 
e Leibniz, quase na mesma época? Por esse motivo, eles 
disputam a fama de serem os inventores do Cálculo. Desde 
200 a.C., os matemáticos desejavam calcular áreas e volumes 
de figuras. O Cálculo surgiu, inicialmente, dessa necessidade! 
Mas seu poder e aplicação expandiram-se! Através do Cálculo, 
as empresas podem calcular preços de produtos – e, portanto, 
CÁLCULO
temos aplicações na Economia. Além disso, problemas que antes 
exigiam longos cálculos matemáticos foram simplificados com a 
aplicação do Cálculo. 
Esperamos que você adquira os conceitos do Cálculo e que saiba 
aplicá-los em situações de sua atividade profissional, além de 
aprimorar sua capacidade de analisar problemas reais. 
Vamos lá?
CÁLCULO
Estudo de Funções elementares
Introdução
Para começar, que tal assistir a um vídeo?
Clique aqui.
Então, o que você achou do vídeo? Percebeu que é possível 
utilizar os cálculos de função em situações cotidianas, como, 
por exemplo, saber quanto dinheiro será gasto para abastecer o 
tanque de um carro? 
E não é somente isso: você sabia que as funções matemáticas 
estão presentes em outras situações do seu dia a dia? É o caso, 
também, das variações de preço da cesta básica e de outros 
exemplos.
Veremos tudo isso e muito mais nesta Unidade de Aprendizagem, 
na qual iremos interpretar o comportamento de fenômenos 
descritos por funções matemáticas. 
Vamos lá?
CÁLCULO
Funções elementares Polinomiais – 
Propriedades e Representações 
gráficas
Conforme comentamos na introdução as funções matemáticas 
podem ser aplicadas em várias situações do seu cotidiano. 
Agora, então, começaremos a estudá-las. Você verá que elas são 
intuitivas, pois você está acostumado a lidar com elas em sua 
vida. O que vamos fazer aqui é dar um pouco de formalismo 
matemático ao que você já usa no dia a dia. 
Siga em frente!
O conceito de função 
Primeiramente, é importante que você saiba que as funções 
surgem quando uma quantidade depende da outra (STEWART, 
2008). Isso acontece, por exemplo, quando relacionamos o litro 
da gasolina e seu preço. Logo, podemos dizer que uma função 
descreve relações entre quantidades ou entre grandezas.
Que tal acompanharmos mais um exemplo?
Vamos lá: agora considere duas grandezas representadas pelas 
variáveis x e y. 
Suponhamos, então, que a variável y depende da variável: 
y = f(x).
E como se chamam esses conjuntos de variáveis?
Bem, o conjunto dos valores da variável x é denominado domínio 
da função e é representado por D
m
(f). Já o conjunto dos valores 
de y é denominado imagem da função e é representado por I
m
(f).
Ao conhecer essas denominações, que podem parecer complexas, 
talvez você tenha se questionado: mas será que as funções são 
realmente importantes no nosso cotidiano? 
CÁLCULO
São, sim. Pense em mais alguns exemplos: quando viajamos e 
relacionamos o espaço em função do tempo ou quando procuramos 
um sapato em função do tamanho de nosso pé, estamos 
relacionando variáveis e, portanto, trabalhando intuitivamente 
com funções matemáticas. Interessante, não é mesmo?
Que tal analisarmos mais uma situação?
Imagine que você vai se exercitar em sua esteira ergométrica. 
Essa atividade física relaciona as grandezas tempo e distância 
percorrida, conforme você pode ver na tabela a seguir. 
Tempo decorrido (minutos) Distância percorrida (metros)
0 0
10 0,5
20 1
30 1,5
40 2
Perceba que, com base nessa tabela, podemos estabelecer o 
conjunto domínio e o conjunto imagem, que são:
D
m
 = {0, 10, 20, 30, 40}
Im = {0; 0,5; 1; 1,5; 2}
E que tal representarmos a distância percorrida por você em um 
gráfico? Acompanhe na figura a seguir.
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
20
15
10
5
0
-5
-10
A B C
D E
CÁLCULO
Note que, a cada 10 minutos, são percorridos 0,5 km. Dessa 
forma, temos que a função que relaciona distância percorrida e 
tempo é dada por y = 0,05x. Essa função é a relação que associa 
cada valor de x a um único valor de y.
Uma função é uma relação que associa 
cada elemento do conjunto domínio 
a um único elemento do conjunto 
imagem Y.
O que está achando? Tranquilo até aqui?
Então vamos estudar mais uma característica importante no 
estudo de funções, que é a obtenção de funções inversas!
Para isso, considere a função dada por y = f(x). 
Perceba que, na expressão y = f(x), teremos como resposta y.
E caso estivéssemos interessados em saber que valor de x 
produzirá y, o que faríamos?
Ora, teríamos que inverter a função, ou seja, obter a sua inversa.
O que acha de acompanhar um exemplo?
Considere a função y = x3 + 1. Nesse caso, temos que y = f(x).
Mas e se quiséssemos obter a inversa desta função?
Bem, faríamos o processo de obtenção da inversa:
y = x3 + 1
Em seguida, isolaríamos a variável independente x:
y = x3 – 1
−3x = y 1
Note que a inversa seria dada por −3x = y 1 , ou, de forma geral, 
x = g(y).
CÁLCULO
O que achou? Podemos partir para a função de primeiro grau? 
Então vamos lá!
Função do primeiro grau
Agora que você viu o que é uma função (e sua inversa), vamos 
estudar as funções do primeiro grau, também chamadas de 
funções afins. 
Mas como conseguiremos reconhecer uma função desse tipo?
Note que uma função afim (ou do primeiro grau) apresenta-se 
sob a forma f(x) = ax + b, com a e b sendo constantes (GUIDORIZZI, 
2015).
E o que significa cada termo dessa função?
Na expressão f(x) = ax + b, o termo a é chamado coeficiente 
angular ou declive, e, na verdade, ele fornece a inclinação da 
reta. Já o termo b é chamado coeficiente linear ou intercepto 
vertical e indica onde a reta cruza o eixo do y.
Que tal analisarmos um exemplo?
Considere a função linear dada por f(x) = 2x + 3.
Com base nessa função, vamos criar a seguinte tabela:
x f(x) = 2x + 3
0 f(0) = 2 · (0) + 3 = 3
1 f(1) = 2 · (1) + 3 = 5
Agora iremos representar esses dois pares ordenados no plano 
cartesiano traçando uma reta que passe por esses dois pontos 
(0,3) e (1,5). Veja na figura a seguir.
CÁLCULO
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Observe o comportamento do gráfico que acabamos de ver. 
Veja que, quando x “caminha” para a direita, a função cresce.
Uma função do primeiro grau é 
dita crescente quando o valor do 
coeficiente a for a > 0; e é dita 
decrescente quando o valor do 
coeficiente a for a < 0.
Observe que, na função f(x) = 2x + 3, o valor de a = 2 > 0 (logo, 
temos uma função crescente, ou seja, quando x cresce, a função 
cresce). Caso a < 0, a função seria decrescente, ou seja, quando 
x cresce, a função decresce. 
Mas será que os tipos de funções terminaram por aqui?
Ainda não! Acompanhe, a seguir, o que é uma função quadrática 
ou polinomial do segundo grau.
Função quadrática ou polinomial do segundo grau
Começaremos nossos estudos sobre a função quadrática,que 
também é chamada de parábola e é escrita na seguinte forma: 
f(x) = ax2 + bx + c.
E como podemos identificar se a concavidade dessa parábola 
será para cima ou para baixo?
CÁLCULO
Bom, quem determina a concavidade da parábola é o coeficiente 
a: caso a > 0, a concavidade será para cima, e, caso a < 0, a 
concavidade será para baixo.
O que acha de visualizarmos isso por meio de um gráfico 
demonstrativo? Acompanhe no quadro a seguir.
a>0 a<0
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-4
-5
-6
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-4
-5
-6
a 0 a 0
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-4
-5
-6
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-4
-5
-6
a 0 a 0
E de que forma conseguiremos encontrar as raízes de equação 
do segundo grau?
Muito simples: usaremos a fórmula de Bhaskara:
± ∆
=
∆ = −
2
1,2
2
b
x
2a
b 4ac
Nesta expressão, ∆ é chamado de discriminante, e temos 3 possíveis casos para o valor desse 
discriminante. Vejamos:
a) quando ∆ = 0 , teremos duas raízes reais e iguais (a parábola intercepta o eixo em um único 
ponto).
b) quando ∆ > 0 , teremos duas raízes reais e diferentes ou distintas (a parábola intercepta o 
eixo em dois pontos distintos).
c) quando ∆ < 0, não teremos raízes reais (a parábola não intercepta o eixo). 
Fonte: FLEMMING; GONÇALVES, 2006.
CÁLCULO
Para que você possa compreender melhor esses conceitos, que 
tal analisamos a resolução de uma função quadrática?
Considere a função dada por f(x) = x2 – 2x – 3.
Assim, temos que: f(x) = 1x2 – 2x – 3.
Perceba que a = 1 > 0, portanto, a concavidade dessa parábola 
é para cima.
Mas quantas raízes essa função possui?
É isso que determinaremos agora. Para isso, vamos calcular o 
discriminante:
( ) ( )∆ = − = − − ⋅ − = + = >22b 4ac 2 4 1 3 4 12 16 0
Note que são duas raízes reais e distintas.
Em seguida, vamos aplicar a fórmula de Bhaskara:
( )
( )
( )
( )
− − ±
=
+ +
= = =
− −
= = = −
1
2
2 16
x
2 1
2 16 2 4
x 3
2 1 2
2 16 2 4
x 1
2 1 2
Perceba que as raízes são x = –1 e x = 3. 
O que acha de observarmos o gráfico dessa função? Veja:
CÁLCULO
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Visto que a = 1 0 teremos
a concavidade para cima.
raízes
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
C
As funções polinomiais possuem uma 
característica muito interessante: o 
conjunto domínio é sempre o campo 
dos reais.
E o conjunto imagem, como fica?
Bem, o conjunto imagem depende da forma ou do comportamento 
da função polinomial.
Quer um exemplo? 
Considere f(x) x2 – 2x – 3. Observe que, para todo valor de x do 
campo dos reais, obteremos um respectivo e único y.
Além disso, não existe x que invalide a existência da função. Logo, 
o domínio é dado por { }= ∈mD x R , e os valores possíveis de y são 
y ≥ –4. Já o conjunto imagem será { }= ∈ ≥ −mI y R | y 4 .
Chegamos ao fim desta unidade de aprendizagem, na qual 
estudamos as funções de grau 1 e 2. Até a próxima unidade de 
aprendizagem!
CÁLCULO
Estudo de Funções elementares
Introdução
Para começar, que tal assistir a um vídeo? 
Clique aqui;
E aí, o que você achou do vídeo? Percebeu o quanto a trigonometria 
é antiga e tem ajudado a humanidade em diversos cálculos? Aliás, 
seu surgimento ocorreu em função de problemas enfrentados 
na Astronomia, nas navegações e na agricultura. 
Então ela tem uma grande aplicabilidade em nosso dia a dia, não 
é mesmo?
Sim! A trigonometria pode ser utilizada em muitas situações de 
nossas vidas. Uma rampa inclinada, por exemplo, é a hipotenusa 
de um triângulo retângulo. Por exemplo, na construção de 
prédios são usadas relações trigonométricas. A trigonometria 
é utilizada, ainda, conforme já falamos, na Astronomia, para 
calcular a distância entre os astros. 
Você sabia que Hiparco de Nicéia, que viveu por volta de 190 a 120 
a.C., construiu a primeira tabela trigonométrica e é considerado 
o pai da trigonometria?
Agora, nesta Unidade de Aprendizagem, vamos interpretar 
o comportamento de fenômenos descritos por funções 
matemáticas trigonométricas. Veremos, também, de que forma 
podemos representar graficamente o comportamento desse tipo 
de função que aparece nos chamados movimentos periódicos. 
Vamos lá? Bons estudos!
CÁLCULO
Estudo de Funções Elementares 
Trigonométricas – Propriedades e 
Representações Gráficas
Começaremos nossos estudos com as funções trigonométricas 
elementares (seno, cosseno e tangente) e com as funções 
trigonométricas auxiliares (cossecante, cotangente e secante). 
Além disso, você também aprenderá a representar essas funções 
e suas inversas usando o software Graphmatica. Nossa ideia 
principal é a conceituação dessas funções no que concerne ao 
seu comportamento gráfico, definindo seu domínio, imagem 
e período. Esses conceitos irão acompanhar você por todo o 
Cálculo. 
Siga com atenção!
O conceito de função trigonométrica
Para iniciar, é importante que você tenha em mente que as 
funções trigonométricas descrevem comportamentos que 
também estão presentes no nosso dia a dia, particularmente em 
fenômenos com comportamentos periódicos.
Conforme apresentamos há pouco, as funções trigonométricas 
consideradas elementares são as funções seno, cosseno e 
tangente. Mas não temos somente elas: estudaremos, ainda, as 
funções secante, cossecante e cotangente.
E quais são as notações que podem ser dadas a essas funções? 
Acompanhe:
=
=
=
=
=
=
f(x) sen x
f(x) cos x
f(x) tg x
f(x) cossec x
f(x) sec x
f(x) cotg x
CÁLCULO
E de que forma são definidas as funções trigonométricas 
elementares?
As funções trigonométricas elementares são definidas em função 
dos lados do triângulo retângulo (aquele que possui um ângulo 
reto ou de noventa graus).
Que tal observarmos, na figura a seguir, o que é um triângulo 
retângulo?
c b
a
90°
α
c representa a hipotenusa
a representa o cateto adjacente
ao ângulo alfa
b representa cateto oposto
ao ângulo alfa
Lembre-se de que a hipotenusa é o 
lado do triângulo retângulo oposto ao 
ângulo reto ou de noventa graus.
Podemos, em função da figura que acabamos de ver, definir as 
funções trigonométricas elementares e suas extensões. 
Lembre-se de que as funções trigonométricas também são 
chamadas razões trigonométricas. Vamos acompanhar essas 
razões? Veja:
α
α
αα
α
= =
= =
= = =
cateto oposto b
sen
hipotenusa c
cateto adjacente a
cos
hipotenusa c
cateto oposto sen b
tg
cateto adjacente cos a
CÁLCULO
Podemos, ainda, definir outras razões trigonométricas, como as 
que seguem:
α
α
α
α
= = =
= =
= =
1 hipotenusa c
cossec
sen cateto oposto b
hipotenusa c
sec
cateto adjacente a
cateto adjacente a
cotgtg
cateto oposto b
Lembre-se, também, da importante relação associada ao 
triângulo retângulo: o Teorema de Pitágoras, o qual você pode 
relembrar na caixa de destaque a seguir.
A hipotenusa ao quadrado é igual à 
soma dos quadrados dos catetos: 
c2 = a2 + b2
Funções trigonométricas elementares e suas 
auxiliares
Que tal estudarmos agora o comportamento gráfico das funções 
que acabamos de ver? Para isso, iremos utilizar o software 
Graphmatica, por meio do qual plotaremos os gráficos das 
funções trigonométricas.
Para a função f(x) = sen x, digite, no Graphmatica, y = sin(x). Feito 
isso, observe a figura a seguir.
6
-6
-4
-2
0
2
4
x
-5� -4� -3� -2� -� 0 � 2� 3� 4� 5�
y
CÁLCULO
Para a função f(x) = sen x, teremos:
= ℜ
= − +  
m
m
D
I 1, 1
A função seno é periódica de período p = 2π.
Que tal analisarmos agora uma função cosseno?
Para a função f(x) = cos x, digite, no Graphmatica, y = cos(x). 
Feito isso, observe a figura a seguir.
6
-6
-4
-2
0
2
4
x
-5� -4� -3� -2� 0 π 2π 3π 4π 5π
y
-π�
Dessa forma, temos para a função f(x) = cos x:
= ℜ
= − +  
m
m
D
I 1, 1
A função cosseno é periódica de período p = 2π.
Vamos acompanhar, agora, uma funçãotangente?
Para a função f(x) = tg x, digite, no Graphmatica, y = tan(x). Feito 
isso, observe a figura a seguir.
CÁLCULO
6
-6
-4
-2
0
2
4
y
x
-5π -4π -3π -2π -π 0 π 2π 3π 4π 5π
Dessa forma, para a função f(x) = tg x teremos:
{ }
π π = ∈ℜ ≠ + ∈ 
 
= ℜ
m
m
D x | x k ,k Z
2
I
Note que, no conjunto domínio, Z representa o conjunto dos 
números inteiros relativos.
A função tangente é periódica de período p = π.
Que tal analisarmos agora uma função cossecante?
Para a função f(x) = cos sec x, digite, no Graphmatica, y = csc(x). 
Feito isso, observe a figura a seguir.
CÁLCULO
6
0
2
4
y
x
-5π -4π -3π -2π -π 0 π 2π 3π 4π 5π
-6
-4
-2
Dessa forma, temos para a função f(x) = cos sec x:
{ } { }π= ∈ℜ ≠ = ∈ℜ ≠ ∈
= − ∞ − ∪ + +∞      
m
m
D x | senx 0 x | x k ,k Z
I , 1 1, 
E de que forma podemos ler o conjunto domínio?
A escrita do domínio pode ser lida da seguinte forma: x pertence 
ao conjunto dos reais tal que x seja diferente de k vezes pi, com 
k pertencente ao conjunto dos inteiros relativos.
A função cossecante é periódica de período p = 2π.
Vamos acompanhar, agora, uma função secante?
Para a função f(x) = sec x, digite, no Graphmatica, y = sec(x). 
Feito isso, observe a figura a seguir.
CÁLCULO
6
0
2
4
y
x
-5π -4π -3π -2π -π 0 π 2π 3π 4π 5π
-6
-4
-2
Desta forma, para a função f(x) = sec x, teremos:
{ } π = ∈ℜ ≠ = ∈ℜ ≠ ∈ 
 
= − ∞ − ∪ + +∞      
m
m
D x | cosx 0 x | x k ,k Z
2
I , 1 1, 
A função secante é periódica de período p = 2π.
Que tal analisarmos agora uma função cotangente?
Para a função f(x) = cotg x, digite, no Graphmatica, y = cot(x). 
Após fazer isso, observe a figura a seguir.
6
-6
-4
-2
0
2
4
y
x
-5π -4π -3π -2π -π 0 π 2π 3π 4π 5π
CÁLCULO
Dessa forma, temos para a função f(x) = cotg x:
{ } { }π= ∈ℜ ≠ = ∈ℜ ≠ ∈
= −∞ +∞  
m
m
D x | senx 0 x | x k ,k Z
I , 
A função cotangente é periódica de período p = π.
Uma função é estritamente 
crescente quando y aumenta com o 
aumento de x, e ela é estritamente 
decrescente quando y diminui com o 
decréscimo de x.
Como exemplo, considere a função secante x. Vamos analisar 
essa função apenas no intervalo [0,2π]. Pra isso, digite, no 
Graphmatica, y=sec(x) {0, 2pi}. Agora observe a figura gerada:
-6
-4
-2
0
2
4
y
x
-5π -4π -3π -2π -π 0 π 2π 3π 4π 5π
Perceba o seguinte:
• A função é estritamente crescente no intervalo 
π 
  
0,
2
.
• A função é estritamente crescente no intervalo 
π π   
,
2
.
• A função é estritamente decrescente no intervalo 
ππ   
3
,
2
.
• A função é estritamente decrescente no intervalo 
π π   
3
,2
2
.
CÁLCULO
Por fim, é importante que você saiba que as funções 
trigonométricas seguem importantes propriedades 
trigonométricas, as quais você pode acompanhar no quadro 
a seguir.
+ =
+ =
+ =
−
=
+
=
=
= − + +
= − − +
= − + +
2 2
2 2
2 2
2
2
sen x cos x 1
1 cotg x cossec x
1 tg x sec x
1 cos2x
sen x
2
1 cos2x
cos x
2
sen 2x 2senxcosx
2cosxcosy cos(x y) cos(x y)
2senxseny cos(x y) cos(x y)
2senxcosy sen(x y) sen(x y)
Fonte: FLEMMING, 2006.
Funções trigonométricas inversas
Você lembra que, na unidade anterior, estudamos que as funções 
têm inversas?
Pois bem, o mesmo acontece com as funções trigonométricas, 
que também possuem suas inversas. 
Anton (2014) define as funções 
trigonométricas mais importantes como 
as funções arco seno, arco cosseno, 
arco tangente e arco secante.
Vamos entender melhor cada uma delas?
CÁLCULO
A função arco seno é a inversa da função seno restrita, que se 
escreve da seguinte forma:
( ) =f x arcsenx ou ( ) −= 1f x sen x , definida no intervalo π π− ≤ ≤x
2 2
.
Que tal usar o Graphmatica para plotar as funções trigonométricas 
inversas? Vamos lá, digite y=asin(x). Feito isso, teremos o seguinte 
gráfico:
-3
-2
-1
0
1
2
y
x
-2,5π -2π -1,5π -π -0,5π 0 0,5π 1π 1,5π 2π 2,5π
Tranquilo de fazer, não é mesmo?
Vamos, então, para a próxima função?
A função arco cosseno é a inversa da função cosseno restrita, 
que se escreve da seguinte forma:
( ) =f x arccosx ou ( ) −= 1f x cos x , definida no intervalo π≤ ≤0 x .
Agora vamos usar o Graphmatica para plotarmos as funções 
trigonométricas inversas. Para isso, digite y = acos(x). Feito isso, 
teremos o seguinte gráfico:
CÁLCULO
-6
-4
-2
0
2
4
y
x
-5π -4π -3π -2π -π 0 π 2π 3π 4π 5π
E a função arco tangente, é inversa de quem?
A função arco tangente é a inversa da função tangente restrita, 
que se escreve da seguinte forma:
( ) =f x arctgx ou ( ) −= 1f x tg x, definida no intervalo π≤ ≤0 x .
Que tal usar o Graphmatica para plotar as funções trigonométricas 
inversas? Para isso, digite y = atan(x). Agora observe a figura 
gerada:
-6
-4
-2
0
2
4
y
x
-5π -4π -3π -2π -π 0 π 2π 3π 4π 5π
Que tal irmos para a próxima função?
CÁLCULO
Agora é a vez da função arco secante, que é a inversa da função 
secante restrita, que se escreve da seguinte forma:
( ) =f x arcsecx ou ( ) −= 1f x sec x, definida no intervalo π≤ ≤0 x com π≠x
2
. 
Agora vamos usar o Graphmatica para plotarmos as funções 
trigonométricas inversas. Para isso, vamos digitar y = asec(x). 
Feito isso, teremos o seguinte gráfico:
-6
-4
-2
0
2
4
y
x
-5π -4π -3π -2π -π 0 π 2π 3π 4π 5π
As funções trigonométricas inversas apresentam importantes 
propriedades:
( )
( )
( )
π
+ =
= −
= −
=
−
2
2
2
arc senx arc cosx
2
cos arc senx 1 x
sen arc cosx 1 x
1
tg arc senx
1 x
Fonte: ANTON, 2014.
Tenha atenção a essas propriedades que acabamos de ver, pois 
elas serão úteis durante as aplicações do Cálculo.
CÁLCULO
Estudo de funções elementares
Introdução
Você sabia que as funções exponenciais são de extrema 
importância em diversos modelos de crescimento e 
decrescimento? Elas aparecem em problemas associados ao 
crescimento de populações, radioatividade, epidemias, dentre 
outros fenômenos que estão muito perto de nossas vidas.
Lembre-se de que o Cálculo se preocupa com a variação 
das funções e, se essas funções exponenciais expressam o 
comportamento de muitos fenômenos, aplicaremos as técnicas 
do Cálculo no estudo destas.
Você sabia que alguns livros classificam funções que envolvem 
exponenciais, logaritmos e/ou trigonométricas como funções 
transcendentes ou transcendentais?
Nesta unidade, estudaremos também as funções inversas da função 
exponencial (as funções logarítmicas), além do entendimento do 
comportamento dessas funções, seu domínio, imagem, se são 
crescentes ou decrescentes. Essas informações irão nos ajudar no 
estudo do Cálculo! 
Vamos adiante?
CÁLCULO
Funções elementares Exponenciais 
e Logarítmicas – Propriedades e 
Representações gráficas
Nesta unidade, vamos nos dedicar ao estudo do comportamento 
das funções exponenciais e das funções logarítmicas. 
Verificaremos, usando softwares, o aspecto de crescimento e 
decrescimento associado aos seus parâmetros. No Cálculo, é 
de fundamental importância que saibamos definir domínio e 
imagem das funções, visto que os operadores do Cálculo são 
definidos sobre o domínio das funções. Vejamos a seguir como 
as funções exponenciais e logarítmicas se comportam.
Função Exponencial
Inicialmente, vamos analisar como as funções exponenciais são 
definidas.
A função exponencial apresenta a forma f(x) = bx, em que b > 0. Essa 
função é lida da seguinte forma: função exponencial de base b.
Vejamos alguns exemplos de funções exponenciais: f(x) = 2x, 
f(x) = 4-3x. 
É importante lembrarmos que a base não pode ser zero ou 
negativa para a função exponencial.
Vamos verificar agora o comportamento gráfico da função 
exponencial. Iremos plotar a função f(x) = 2x. 
Para isso, utilizaremos o software Geogebra, certo?
Digite: f(x)=2^x
CÁLCULO
y
x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Você pode observar que, na Figura 1, temos a base b = 2 > 1.
Também podemos utilizar um outro exemplo: f(x)=0,1x.
Para este, digite, no Geogebra, f(x)=0.1^(x).y
x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2
-1
0
1
2
3
Você viu que, na Figura 2, temos a base b = 0,1, ou seja, 0 < b < 1 ? 
Isso mesmo!
Vamos a mais um exemplo? Veja: f(x) = 1x, com a base b=1.
CÁLCULO
y
x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2
-1
0
1
2
3
Você observou que o gráfico de f(x) = 1x é uma constante y=1?
À vista disso, segundo Anton (2007), o gráfico de f(x) = bx possui 
algumas propriedades, conforme análise a seguir:
O gráfico passa pelo ponto (0, 1), pois b0 = 1.
Se b > 1, Figura 1 como exemplo, a função f(x) = bx cresce com x crescente.
Se 0 < b < 1, Figura 2 como exemplo, a função f(x) = bx decresce com x 
crescente.
Se b = 1, Figura 3 como exemplo, a função f(x) = bx é uma função constante 
de valor f(x) = 1x = 1.
É importante constatarmos outro comportamento interessante 
apresentado nas Figuras 1 e 2, que é o comportamento assintótico 
da função f(x) = bx. 
Você percebeu que os valores da função nunca atingem o zero? 
Ou seja, y = 0 é uma função definida como sendo uma assíntota 
horizontal. Isto é, uma assíntota pode ser definida como sendo 
uma reta que delimita o comportamento de uma função. 
Explicando: a função se aproxima o mais perto possível da reta, 
mas não a toca ou cruza.
CÁLCULO
O domínio e imagem da função f(x) = bx podem ser visualizados em 
função das Figuras 1 a 3.
O domínio da função é (–∞, +∞).
A imagem é de (0, +∞).
Vejamos um exemplo de Anton (2007): vamos esboçar o gráfico 
da função f(x) = 1 – 2x.
No Geogebra, digite: y=1–2^x.
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14
-6
-4
-2
0
1
2
3
f
Agora vamos esboçar essa função em etapas.
Primeiro, vamos esboçar f(x) = 2x.
Sabemos que, para x = 0, a função passa pelo ponto (0,1), pois 
f(x) = 20 = 1.
Como a base é igual a 2>1, o gráfico tem a forma semelhante ao 
da Figura 1. Assim, teremos:
CÁLCULO
0-10-11 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1
-3
-2
-4
654321 7 8 9 10
4
2
0
3
1
f
Para continuarmos nosso gráfico, vamos refletir a figura no eixo 
x? Dessa forma, teremos: 
0-10-11 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1
-3
-2
-4
654321 7 8 9 10
4
2
0
3
1
f
Como a função original apresenta a forma f(x) = 1 – 2x, vamos 
somar 1, ou seja, transladar uma unidade para cima.
CÁLCULO
0-10-11 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1
-3
-2
-4
654321 7 8 9 10
4
2
0
3
1
f
Para compreendermos melhor, vamos traçar uma assíntota 
horizontal. Observe que a função não toca y=1. Logo, y=1 é uma 
assíntota horizontal. Agora vamos desenhar uma linha tracejada.
0-6 -5 -4 -3 -2 -1
0
2
1
-1
321
f
-1
-1
CÁLCULO
A função exponencial está 
frequentemente associada a 
fenômenos de crescimento e 
decrescimento!
Função Logarítmica
Primeiramente, vamos analisar como essa função é apresentada.
A função logarítmica é escrita da seguinte forma f(x) = log
b
x e 
deve ser lida da seguinte maneira: logaritmo de x na base b.
Na definição dessa função, precisamos nos ater a algumas 
restrições:
b > 0 e b ≠ 1
O logaritmo é um expoente, então, quando escrevemos log
b
x, 
queremos determinar o expoente a que devemos elevar b para 
obter x.
Vejamos um exemplo: 
log
10 
100 = 2
102 = 100
Podemos melhorar nosso entendimento sobre logaritmos por 
meio do exemplo a seguir. Veja só:
Queremos determinar o valor de log
2
8. Vamos chamar essa 
expressão de x.
Temos uma equação do tipo log
2
8 = x. Nesse caso, usamos a regra 
do ponteiro do relógio ao contrário:
2x = 8
Fatorando 8, teremos:
CÁLCULO
2x = 23
Como as bases são iguais, temos x = 3.
Observe o gráfico de y = log
10
x, logo adiante. 
Veja como é interessante: quando temos algo do tipo log
b
x = y, 
teremos sempre by = x.
Agora considere o logaritmo de x na base 10. 
No Geogebra, escrevemos y=log(x).
0-10-11 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
1
0
2
3
4
5
1110987654321
Agora observe o gráfico de y = 10x, obtido após digitar y=10^x no 
Geogebra:
CÁLCULO
f
0-10-11 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
1
0
2
3
4
5
1110987654321
Neste momento, vamos plotar as duas funções no mesmo gráfico. 
Assim, teremos:
f
g
0-10-11 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1110987654321
-1
-2
-3
-4
1
0
2
3
4
5
Você percebeu que as duas funções são inversas uma da outra?
Se colarmos um eixo de simetria, teremos:
CÁLCULO
f
h g
0-10-11 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
1
0
2
3
4
5
1110987654321
Você pode observar, na tabela a seguir, que os logaritmos 
apresentam importantes propriedades.
CÁLCULO
( )
( )
( )
( )
= +
= −
=
= −
=
log log log
log / log log
log log
log 1/ log
log 1
b b b
b b b
r
b b
b b
b
ac a c
a c a c
a r a
c c
b
=
log
log
log
b
a
b
x
x
a
 
(propriedade de mudança de base)
É interessante lembrar que, quando a base do logaritmo for 10, 
nós podemos escrever apenas log(x) e quando a base for natural 
(base ∊), apenas Inx.
E o comportamento gráfico da função logaritmo?
O domínio e a imagem da função f(x) = log
b
x são dados por: 
O domínio da função é (0, +∞).
A imagem é dada por (–∞, +∞).
Outra característica importante 
da função logarítmica é que ela é 
estritamente crescente, ou seja, quando 
x cresce, o valor da função também 
cresce.
Funções Naturais e Aplicações de 
exponenciais e logaritmos
Atente-se para a função exponencial f(x) = bx. Perceba que 
quando a base b vale e ≈ 2,718282, teremos a chamada função 
exponencial natural, então escreveremos f(x) = ex. Durante este 
curso, veremos a importância dessa função no Cálculo.
CÁLCULO
O gráfico da função f(x) = ex pode ser feito no Geogebra digitando 
y = exp(x) e o da função f(x) = Inx digitando y = ln(x). Assim, vamos 
plotar o gráfico dessas funções.
f -10-11 1110987654321
1
-1
-2
0
2
3
4
5
6
0-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
Entenda que o logaritmo mais importante nas aplicações do 
Cálculo é o logaritmo natural. Veremos isso no decorrer das 
unidades deste curso, tudo bem?
A inversa da função exponencial natural é o logaritmo natural, 
que escrevemos f(x) = log
e
x, ou simplesmente f(x) = Inx.
f
-10 1110987654321
1
-1
-2
-3
-4
0
2
3
4
0-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
CÁLCULO
Agora iremos exemplificar as funções exponencial e logarítmica. 
Acompanhe os exemplos a seguir.
Exemplo 1
Vamos encontrar o valor da expressão a seguir sem usar 
calculadoras ou softwares matemáticos. Vamos lá!
y = log
2
16
Vamos escrever y = log
2
16.
Nós teremos y = log
2
24 = 4 log
2
2, usando a terceira propriedade 
da Tabela 4.
Observe a última propriedade dessa tabela e lembre-se de que 
log
2
2 = 1.
Logo, temos que y = 4 ∙ 1 = 4.
Exemplo 2
Vamos expandir a expressão: =
2
ln
cos
x senx
y
x 
.
Sabemos que ( )   = = =   
  
2
2 2ln ln ln
cos cos
x senx senx
y x x tgx
x x
Lembre-se da LU1-LS2, em que =
cos
senx
tgx
x
.
Usando a primeira propriedade da Tabela 4, teremos:
( )= = +2 2ln ln lny x tgx x tgx
Usando a terceira propriedade da Tabela 4 no primeiro termo 
do lado direito, teremos:
( )= = +2ln 2ln lny x tgx x tgx
CÁLCULO
Exemplo 3
Neste momento, considere uma equação exponencial. Veremos, 
a seguir, como resolvê-la!
−−
= 1
2
x xe e
Agora vamos multiplicar toda a equação por 2. Assim, teremos:
−− = 2x xe e
− =
1x
xe e
Portanto, temos − =
1
2x xe e
Multiplicando por ex, obteremos:
e2x – 1 = 2ex
e2x – 2ex – 1 = 0
(ex)2 – 2ex – 1 = 0
Aqui utilizaremos uma poderosa ferramenta do Cálculo: a troca 
de variável!
Consideraremos o seguinte: ex = t
Logo, teremos:
(t )2 – 2t – 1 = 0
Essa é uma equação do segundo grau que resolveremos por 
meio de Bhaskara:
1t2 – 2t – 1 = 0
a = 1
b = –2
c = – 1
CÁLCULO
Vamos calcular o discriminante: ∆ b2 – 4ac = (–2)2 – 4(1) . (–1) = 8.
As raízes são dadas por: 
− ± ∆
=
2
b
t
a 
.
Logo, teremos:
( )
( ) ( )
− − ± ±
= = = ±
= +
= −
1
2
2 8 2 2 2
1 2
2 1 2 1
1 2
1 2
t
t
t
Uma vez que ex = t, teremos:
ex = 1 ± 2
Você pôde observar o gráfico da função exponencial na base 
“e” (logaritmo natural) na Figura 14. A função nunca énegativa! 
Como 2 ≈ 1,414214, podemos descartar ex = 1 – 2 e teremos 
somente como resposta:
ex = 1 ± 2
Mas ainda não isolamos a variável x! Vamos aplicar a inversa da 
função exponencial natural: a função logaritmo natural.
ln ex = ln (1 + 2 )
xln e = ln (1 + 2 )
Lembre-se de que ln e = log
e
 e = 1.
Portanto, x = ln (1 + 2 ). Usando uma calculadora, teremos: x ≈ 
0,881.
O comportamento das funções pode ser 
representado sob a forma de intervalos: 
(e ] - representam intervalo aberto;
 [e]- representam intervalo fechado.
CÁLCULO
Conceito de Derivada
Introdução
Olá! Seja bem-vindo (a) à quarta Unidade de Aprendizagem de 
Cálculo!
Nesta unidade de ensino, nós começaremos a estudar um dos 
assuntos mais importantes do Cálculo: a derivada. Verificaremos 
juntos como podemos calcular a inclinação de uma reta também. 
No vídeo, pudemos ver uma excelente descrição do coeficiente 
angular de retas e também sobre o coeficiente linear. 
Você sabia que o coeficiente angular de uma reta pode indicar 
de forma aproximada a taxa de variação de qualquer processo 
ou fenômeno? Isso mesmo, veremos isso em nossos estudos!
Vamos lá? Convidamos você a dar mais um passo em seu 
processo de aprendizagem do Cálculo! Bons estudos!
CÁLCULO
Coeficiente angular de retas e 
conceito de derivada
Neste segmento, estudaremos como podemos calcular o 
coeficiente angular de uma reta e iniciaremos nossos estudos 
sobre derivadas. É preciso compreender que os conceitos, isto 
é, que os conhecimentos não se findam em si mesmos. Eles 
são interligados, ou seja, os conceitos atuais se apoiam em 
conceitos anteriores. Por que estamos falando isso? Pois para 
compreendermos perfeitamente o que significa a derivada 
geometricamente e fisicamente, devemos inicialmente entender 
o que é inclinação e declive. Esta unidade começa a fundamentar 
esse conceito. Vamos compreender melhor? Siga em frente!
Coeficiente Angular de retas
Começaremos nossos estudos com o coeficiente angular de uma 
reta, que também recebe o nome de declividade da reta. Por 
causa desse nome, talvez você tenha pensado em uma rampa de 
skate ou outro tipo de rampa, não é mesmo? Bem, se você pensou 
desta forma, acertou. Mas lembre-se: embora a rampa não seja 
uma reta (e, sim, um plano), por um plano podem passar infinitas 
retas. Você já deve estar pensando na inclinação dessa rampa!
Fonte: Max Blain, Shutterstock, 2017.
CÁLCULO
Iremos então pensar geometricamente. Observe a figura a seguir.
eixo y
reta r
θ
eixo x
Lembre-se de que os números 
trigonométricos são definidos em 
relação a um círculo de raio unitário 
centrados na origem do sistema de 
coordenadas.
Veja a reta r. Você pode verificar que a inclinação dela 
corresponde ao valor que intercepta o eixo das tangentes, certo? 
Logo, podemos dizer que a inclinação = tgθ.
Mas, sabemos que 
∆
θ
∆
cateto oposto x
tg = = 
cateto adjacente y
.
Em que:
Δy = diferença entre as ordenadas
Δx = diferença entre as abscissas
Vamos melhorar nossa definição? Observe!
∆
θ
∆
o
o
y-yy
tg = =
x x-x
Olha que legal!
CÁLCULO
( )θo oy–y =tg x–x
Da Geometria, sabemos que a equação da reta pode ser dada por:
( )o oy–y =a x–x
Em que a representa o coeficiente angular ou declive ou inclinação 
da reta.
Logo: a = tgθ.
Isso mesmo, o valor da tangente corresponde à inclinação da reta!
Vamos acompanhar um exemplo? Siga com atenção!
Exemplo 1
Observe a figura a seguir. Depois de analisar, calcule a inclinação 
da reta.
3
2
1
0
-1
-2
-3
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4
-4
-5
11
5
A
B
Resolução
Veja que a inclinação é igual 
∆
θ
∆
o
o
y-yy 3-1
a=tg = = = =1
x x-x 3-1
CÁLCULO
Olha que interessante! Qual ângulo possui tgθ = 1? Exatamente: 45°. 
Observe que essa reta divide o primeiro quadrante exatamente 
ao meio! 
A figura a seguir vai ajudar você a entender ainda mais o conceito 
de inclinação de reta associada à tangente. Veja:
3
2
1
0
-1
-2
-3
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4
-4
-5
11
5
A
B
Exemplo 2
Dada a equação da reta y = 2x + 4, determine a inclinação da reta.
Resolução
Este exercício é bem fácil, de aplicação direta.
Sabemos, da Unidade 1, que a equação de uma função linear é 
dada por y = ax + b.
Logo, a inclinação é igual a 2.
Observe a figura a seguir.
CÁLCULO
3
2
1
0
-1
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4
11
5
6
7
8
θ
θ
8 - 4
2 - 0 2
= =
4 - 0
0 - (-2)
4= = 2=2
Por fim, perceba que o coeficiente angular está associado à 
inclinação da reta tangente.
Limite de uma função 
Vamos iniciar nosso estudo de limites descrevendo o 
comportamento de uma função próxima a um ponto. A função-
exemplo para essa finalidade será esta:
( ) − +=
−
2x 4x 4
f x
x 2
Desejamos estudar o comportamento dessa função para que 
fique próxima a x = 2.
Como não podemos dividir por zero, teremos que considerar que 
x = 2 não pertence ao domínio da função. Para isso, relembraremos 
aqui a notação de conjuntos domínio. Para essa função, teremos:
{ }= ∈ ≠mD x R | x 2
Agora, iremos simplificar essa função. Que tal aplicar Bhaskara 
no numerador de ( ) − +=
−
2x 4x 4
f x
x 2
? 
CÁLCULO
Assim, teremos:
( ) ( )( )
( )
( )
− + =
− + =
=
= −
=
∆ = − = − − =
− − ±− ± ∆
= = =
= =
2
2
22
1 2
x 4x 4 0
1x 4x 4 0
a 1
b 4
c 4
b 4ac 4 4 1 4 0
4 0b
x 2
2a 2 1
x x 2
Feito isso, vamos nos lembrar de um dos casos de fatoração?
Veja a seguir: ( )( )+ + = − −2 1 2ax bx c a x x x x .
Portanto, teremos: ( )( ) ( )− + = − − = − 22x 4x 4 1 x 2 x 2 x 2 .
Substituindo em ( ) − +=
−
2x 4x 4
f x
x 2
, teremos:
( ) ( )( )
−− +
= = = −
− −
22 x 2x 4x 4
f x x 2
x 2 x 2
. 
Assim sendo, a função representa uma reta não definida em x = 2.
Vamos plotar esta reta? Para isso, acompanhe a figura e explicação 
a seguir.
CÁLCULO
3
2
1
0
-1
-2
-3
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4
-4
-5
Observe a “bolinha” aberta em x = 2.
Note que, mesmo a função não sendo definida em x = 2, ela existe 
nas proximidades de x = 2. Perceba também que, quando nos 
aproximamos de x = 2 (tanto pela esquerda quanto pela direita), 
a função ( ) − +=
−
2x 4x 4
f x
x 2
 tende a zero.
Então, a partir dessa noção intuitiva de comportamento próximo 
a um ponto, podemos enunciar informalmente a noção de limite.
Segundo Anton (2014), se os valores de f(x) puderem ser tornados 
tão próximos quanto queiramos de L, desde que tomemos os 
valores de x tão próximos de x = a, escrevemos ( )
→
=
x a
limf x L . 
Para nosso exemplo, teremos:
( )
→ →
− +
= =
−
2
x 2 x 2
x 4x 4
limf x lim 0
x 2
Ou seja, podemos dizer que, quando x tende a 2, a função tende 
a zero. Dessa forma, nesse exemplo, o valor limite é 2 (L=2).
Que tal escolhermos outra função?
CÁLCULO
Considere a função ( ) = − +2f x x x 1 . Observe, a seguir, o gráfico 
dessa função.
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5
3
2
1
0
-1
-2
-3
4
6
Agora vamos estudar o que acontece quando x → 2.
X 1,000 1,900 1,990 1,999 2,000 2,001 2,010 2,100 3,000
f(x) 1,000 2,710 2,970 2,997 3,003 3,030 3,310 7,000
Veja que, ao nos aproximarmos de x = 2 (tanto pela esquerda 
quanto pela direita), a função tende a 3, certo?
Podemos escrever agora os chamados limites pela esquerda e 
pela direita de um ponto qualquer x = a:
• Limite pela esquerda de x = a: escreve-se ( )
−→x a
limf x ;
• Limite pela direita de x = a: escreve-se ( )
+→x a
limf x .
CÁLCULO
Dizemos que o limite bilateral, ou simplesmente limite, existe quando:
( )
−→
=
x a
limf x
 
( )
+→x a
limf x = L
Que tal analisarmos mais um exemplo?
Exemplo 3
Vamos usar evidências numéricas para analisar a função 
→x 0
senx
lim
x
.
Iremos nos aproximar de x = 0 dos dois lados de zero.
x -0,100 -0,010 -0,001 0,000 0,001 0,010 0,100
f(x) 0,9983342 0,9999833 0,9999998 0,9999998 0,9999833 0,9983342
Você pode ver que o comportamento numérico apresentado na 
tabela é consistente com o gráfico a seguir.Observe:
0 x
-1 0
y
-2-3-4-5-6-7 7654321
-3
-2
-1
3
1
2
CÁLCULO
Dessa forma, associamos duas análises: numérica (Tabela 2) 
com a gráfica (Figura 8).
Agora, vamos lembrar que podemos nos aproximar de um 
ponto pela esquerda e pela direita, o chamado limite unilateral. 
Acompanhe!
Exemplo 4
Considere a função ( ) >= = 
− <
x 1 x 0
f x
x 1 x 0
 .
Observação: o numerador é formado pela função modular. Nesse 
caso, lemos módulo de x.
O gráfico dessa função é dado por:
0 x
-1 0
y
-2-3-4-5-6-7 7654321
-3
-2
-1
3
1
2
-4
Note que a função não é definida em x = 0, mas, quando nos 
aproximamos de zero, a função admite valores, ou seja, uma 
tendência. Nesse caso, teremos:
−
+
→
→
= −
= +
x 0
x 0
x
lim 1
x
x
lim 1
x
CÁLCULO
Ou seja, os limites unilaterais pela esquerda e pela direita de x = 0 
para essa função existem, mas são diferentes um do outro. Portanto:
− +→ →
≠
x 0 x 0
x x
lim lim
x x
Dessa forma, o limite bilateral, ou simplesmente limite �
→x 0
x
lim
x
�, 
não existe.
No cálculo de limites, inicialmente estabelecemos os limites de 
algumas funções mais simples e depois usamos alguns teoremas 
que nos ajudarão na determinação desses limites (ANTON, 2014).
Teorema 1
Considere que a e k são dois números reais. Então, temos que:
a) 
→
=
x a
limk k
b) →
=
x a
limx a
c) 
−→
= −∞
x 0
1
lim
x
d) 
+→
= +∞
x 0
1
lim
x
e) ( ) ( )
→ →
=
x a x a
lim k f x k lim f x
CÁLCULO
Teorema 2
Suponha que a é um número real e que:
( )
( )
→
→
=
=
1x a
2x a
limf x L
limg x L
Então, teremos:
a) ( ) ( ) ( ) ( )
→ → →
 + = + = +  1 2x a x a x alim f x g x limf x limg x L L
b) ( ) ( ) ( ) ( )
→ → →
 − = − = −  1 2x a x a x alim f x g x limf x limg x L L
c) ( ) ( ) ( ) ( )
→ → →
 ⋅ = ⋅ = ⋅  1 2x a x a x alim f x g x limf x limg x L L
d) 
( )
( )
( )
( )
→
→
→
 
= = 
  
≠
x a 1
x a
2x a
2
limf xf x L
lim
g x limg x L
L 0
e) 
( ) ( ) nn n 1x a x a
1
lim f x limf x L
L 0 se n for par
→ →
= =
>
Assim, o Teorema 2 pode ser enunciado da seguinte forma:
a) O limite da soma é a soma dos limites.
b) O limite da diferença é a diferença dos limites.
c) O limite do produto é o produto dos limites.
d) O limite do quociente é o quociente dos limites, desde que 
o limite do denominador não seja zero.
e) O limite da raiz enésima é a raiz enésima do limite.
 Vamos a alguns exemplos utilizando os Teoremas 1 e 2? 
CÁLCULO
Exemplo 5
Iremos calcular alguns limites, tudo bem? Veja:
a) →
=
x a
lim3 3
b) 
→ →
= = ⋅ =2 2 2
x 2 x 2
lim2x 2limx 2 2 8
c) →
→
→
−− −
= = =
+ + +
2
2 2
x 3
x 3
x 3
limx 1x 1 3 1 8
lim
x 4 limx 4 3 4 7
Em muitos casos, temos que fatorar 
algum termo da expressão do limite 
para a sua simplificação e consequente 
resolução. 
Que tal um exemplo dessa situação? Acompanhe a seguir.
Exemplo 6
Calcule o limite: 
→−
+
+ −2x 4
2x 8
lim
x x 12
.
Resolvendo o limite, teremos: 
( )
( )→−
− +
=
− − −
2x 4
2 4 8 0
lim
04 4 12 , o que chamamos 
de uma indeterminação matemática.
A simplificação pode nos ajudar nesse caso:
( )
( )( )→− →−
+
= = −
+ − −x 4 x 4
2 x 4 2 2
lim lim
x 4 x 3 x 3 7
Exemplo 7
Já neste exemplo, resolveremos um limite envolvendo radicais.
Calcule o limite: 
→
−
−x 1
x 1
lim
x 1
.
CÁLCULO
Inicialmente, iremos efetuar a substituição direta. Assim, teremos:
→
− −
= =
− −x 1
x 1 1 1 0
lim
0x 1 1 1
, chegando a uma indeterminação matemática.
Para resolvermos esse limite, vamos proceder a uma racionaliza-
ção, desta forma:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )→ → → →
− ⋅ + − ⋅ +−
= = = + = + =
−− − ⋅ +x 1 x 1 x 1 x 1
x 1 x 1 x 1 x 1x 1
lim lim lim lim x 1 1 1 2
x 1x 1 x 1 x 1
Observe que, nesse processo de simplificação, também usamos 
a propriedade de produtos notáveis ( )( )+ − = −2 2a b a b a b .
No presente exemplo, foi efetuada a troca:
=
=
a x
b 1
Desse modo, no denominador tivemos: ( ) ( )− ⋅ + = −x 1 x 1 x 1 .
Exemplo 8
Agora iremos estudar o limite de funções definidas por partes, 
tudo bem? Este exemplo a seguir foi retirado de Anton (2014):
( )
 < − +
= − − < ≤
 + >

2
1
, x 2
x 2
f x x 5 2 x 3
x 13 x 3
CÁLCULO
-8
-6
-4
-2
0
2
4
-2-4-6-8-10-12-14 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Vamos estudar a função!
( )
→−x 2
limf x
Observe que a função muda de comportamento à esquerda e à 
direita de x = –2. Dessa forma, devemos usar, no estudo do limite, 
a função pertinente a cada intervalo, calculando aqui os limites 
unilaterais:
( )
−
+
→−
→−
= −∞
+
− = − − = −
x 2
22
x 2
1
lim
x 2
lim x 5 2 5 1
Considerando que
 
( ) ( )
− +→− →−
≠
x 2 x 2
lim f x lim f x , temos que ( )
→−x 2
limf x não existe.
Bem, alunos e alunas, nesta parte da unidade, vocês estudaram 
aspectos muito importantes da Matemática e começamos a 
analisar o Cálculo com o estudo de limites. Vamos seguir adiante?
CÁLCULO
Conceito de Derivada
Neste segmento, iniciaremos nosso estudo sobre derivadas. Será 
um tema que nos acompanhará durante o restante de nosso curso!
Para início de conversa, é importante que você saiba que a 
derivada está associada ao conceito de taxas de variação e 
numericamente à inclinação de uma reta tangente. 
Lembramos aqui que esta unidade inicia o estudo de derivadas 
que será aprofundado nas unidades de ensino que se seguem no 
curso, está bem?
Iremos considerar um ponto fixo P e um outro ponto Q que 
percorre a curva dada, aproximando-se de P. Veja:
y
Q
f(x) - f(x )0
x
x
X0
0f(x )
f(x)
Reta tangente
Reta secante
P
θ
X - X0
Fonte: Adaptada de ANTON, 2014.
Em nossa situação geométrica, a reta secante se move em direção 
à reta tangente. Quando isso ocorre, verificamos que x→ x
0
 
(x tende a x
0
). 
CÁLCULO
Podemos expressar essa tendência como:
A inclinação da reta secante PQ tende à inclinação da reta 
tangente no ponto P quando x→ x
0
.
Ora, a inclinação da reta secante é dada por:
( ) ( )o
PQ
o
f x f x
m tg
x x
θ
−
= =
−
Observe que a relação ( ) ( )o
o
f x f x
x x
−
−
 indica uma relação entre a 
variação da função e a variação da variável independente x. 
No Cálculo, chamamos essa relação de taxa de variação média.
Podemos chamar x – x
0
 de Δx ou de h, que expressa a variação 
da variável independente. No Cálculo, muitas vezes, chamamos 
de incremento.
Quando x→ x
0
 (x tende a x
0
), observe que delta x ou h tende a 
zero. 
Dessa forma, temos que:
( ) ( ) ( ) ( )o o
PQ
o
f x f x f x f x
m
x x h
− −
= =
−
Ou seja, no ponto x
0
, a inclinação da reta tangente é dada por:
( ) ( )
lim
o
o
tg x x
o
f x f x
m
x x→
−
=
−
Que tal melhorar nosso entendimento? Imagine que a variável 
x represente o tempo t. Dessa forma, quando o tempo tender a 
zero, teremos não mais uma variação média, e sim uma variação 
instantânea.
CÁLCULO
Fantástico! Dessa forma, a variação instantânea de uma função 
seria dada por 
( ) ( )
lim
o
o
x x
o
f x f x
x x→
−
−
.
No Cálculo, a relação 
( ) ( )
lim
o
o
x x
o
f x f x
x x→
−
−
 é chamada de derivada e é 
escrita como 
( ) ( )
lim
o
o
x x
o
f x f xdy
dx x x→
−
=
−
. 
Observe que a derivada, 
conceitualmente, é um limite. 
Fisicamente, equivale a uma taxa de 
variação instantânea.
Saiba que alguns matemáticos usam a notação linha para 
simplificar e escrevem a derivada da função y = f(x) como 
'
dy
y
dx
=
 
( ) ( )
lim
o
o
x x
o
f x f x
x x→
−
−
.
Vamos acompanhar mais um exemplo?
Exemplo 9
Neste exemplo, vamos determinar a equação da reta tangente à 
curva y = x2 no ponto (0,0).
Inicialmente, vamos plotar a função utilizando o Graphmatica.
Para isso, digite y=x^2.
CÁLCULO
3
2
1
0
-1
-2
-3
y
x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
O próximo passo será encontrar a inclinação ou coeficiente 
angular da reta tangente no ponto (1,1), tudo bem?
Lembremos que 
( ) ( )
lim
o
o
tg x x
o
f x f x
m
x x→
−
=
−
e que, quando temos o 
ponto (1,1), teremos que x0= 1 e y0= 1, certo?
Logo, a inclinação (declive ou coeficiente angular) será:( ) ( ) ( )( )
( )
2 2
1 1 1
1 11
lim lim lim lim 1 2
1 1o
o
tg x x x x x
o
f x f x x xx
m x
x x x x→ → → →
− + −−
= = = = + =
− − −
Agora, vamos encontrar a equação da reta tangente.
Temos que a equação da reta (da Geometria) é dada por 
( )0oy y m x x− = − .
Logo, teremos para a reta tangente:
( )
( )
0
1 2 1
2 2 1
2 1
oy y m x x
y x
y x
y x
− = −
− = −
= − +
= −
CÁLCULO
Portanto, a equação da reta tangente é dada por y=2x-1. 
Podemos plotar essa reta no gráfico da função. Para isso, no 
Graphmatica, digite y=2x-1.
3
2
1
0
-1
-2
-3
y
x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Observe que a reta tangente toca exatamente a curva no ponto (1,1).
Bem, chegamos ao fim de mais unidade de ensino. Esta, em 
especial, introduz o conceito de derivadas. Lembre-se de que a 
derivada conceitualmente representa um limite!
CÁLCULO
Interpretação Geométrica e 
Física da Derivada
Introdução
Olá! Seja bem-vindo (a) à quinta Unidade de Aprendizagem de 
Cálculo!
Nesta unidade de ensino, vamos ter a oportunidade de aprimorar 
nossos conceitos sobre derivadas. Já vimos, anteriormente, que 
a derivada está associada à inclinação da reta tangente, certo? 
Isto dá um sentido geométrico a essa importante ferramenta 
do Cálculo. Contudo, sabemos também que a derivada está 
associada a conceitos físicos, dada na forma de taxas de variação 
instantânea. 
Sabia que com o uso de derivadas, você pode calcular como 
seu poder de compra aumenta ou diminui com o tempo? Isso 
mesmo! Essa informação é fundamental na administração de 
nossa vida econômica, não é verdade?
Você pode estar se perguntando sobre o que vamos estudar nesta 
unidade. Primeiramente, iremos iniciar nosso estudo ampliando 
os conhecimentos adquiridos na Unidade de Aprendizagem 4. 
Falaremos sobre interpretação Geométrica da derivada. Depois, 
usaremos a parte do conceito de derivada para aproximarmos 
comportamento de funções: estudaremos as diferenciais, 
verificando como podemos aproximar comportamentos de 
funções utilizando retas. Finalizaremos esta unidade ampliando 
nossos estudos sobre taxa de variação.
Vamos iniciar?
CÁLCULO
Interpretação Geométrica da 
Derivada
Na Unidade de Aprendizagem anterior, vimos que a derivada é 
definida por: ( ) ( )
o
o
x x
o
f x f xdy
lim
dx x x→
−
=
−
, certo?
Nesta relação, vimos também que esta foi definida em função da 
figura a seguir.
y
Q
f(x) - f(x )0
x
X0
0f(x )
f(x)
Reta tangente
Reta secante
P
θ
X - X0
X
Fonte: Adaptada de ANTON, 2014.
A Figura nos leva a definir o conceito geométrico da derivada!
A derivada geometricamente equivale 
à inclinação da reta tangente à função 
em um dado ponto.
Veja, a seguir, o nosso primeiro exemplo!
CÁLCULO
Exemplo 1
Seja a função dada por y = x2 – x + 1. Exatamente, é uma função 
do segundo grau! Vamos inicialmente calcular a derivada dessa 
função!
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
o
o
o
o
o
o
o
o
x x
o
2 2
o o
x x
o
2 2
o o
x x
o
2 2
o o
x x
o
2 2
o o
x x
o
o o o
x x
o
o o
x x
o
f x f xdy
lim
dx x x
x x 1 x x 1dy
lim
dx x x
x x x xdy
lim
dx x x
x x x xdy
lim
dx x x
x x x xdy
lim
dx x x
x x x x x xdy
lim
dx x x
x x x x 1dy
lim
dx x x
dy
dx
→
→
→
→
→
→
→
−
=
−
− + − − +
=
−
− − −
=
−
− − +
=
−
− − −
=
−
− ⋅ + − −
=
−
 − ⋅ + − =
−
= ( )
o
ox x
lim x x 1
→
 + − 
Executando o limite, teremos:
( )o o o
dy
x x 1 2x 1
dx
 = + − = − 
Dessa forma, a derivada é dada por o
dy
2x 1
dx
= − .
Observe um aspecto interessante: a derivada 
rebaixa o grau do polinômio de uma unidade! 
Pois, a partir do resultado acima podemos 
deduzir que: 2 '( ) 1 ( ) 2 1f x x x f x x= − + ⇒ = −
CÁLCULO
Vamos continuar a explorar a função e sua derivada, tudo bem?
Vamos fazer com que x
0
 = 1 e teremos a deriva igual a:
( )dy 2 1 1 1
dx
= − =
Sabemos que a função é dada por f(x) = x2 – x + 1.
Logo, teremos f(x
0
) = f(1) = 12 – 1 + 1 = 1.
A função passa pelo ponto (1,1) e por coincidência apenas a 
derivada também vale 1.
Façamos o gráfico da função e da derivada.
3
2
1
0
-1
-2
-3
y
x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
A
f
g
4
5
6
Agora, observe na Figura a seguir o comportamento de retas 
tangentes.
CÁLCULO
3
2
1
0
-1
-2
-3
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
A
4
5
6
θ
reta tangente no ponto A
função
derivada = 2x-1
3 - 1
3 - 1
1
8 9 10 11 12
Vamos às nossas conclusões:
a) a derivada não representa a equação de uma reta tangente.
b) O valor da derivada em um ponto equivale à inclinação da reta tangente 
nesse ponto. 
No exemplo, a derivada no ponto (1,1) foi dy 1
dx
= e a inclinação da 
reta tangente nesse ponto (1,1) foi igual: a = 1.
Perceba a obtenção da reta tangente no ponto (1,1):
Logo: 
( )
xy
xy
xy
=
−=−
−=−
11
111
 
 
Você pode perceber que essa reta representa a bissetriz do 
primeiro e terceiro quadrante. É a reta verde de nossa Figura.
( )
1
1
1
=
=
=
−=−
oy
ox
a
oxxaoyy
CÁLCULO
Observe também que ela possui ângulo de 
4
π
θ = e tg 1
4
π
= , 
concordando com nosso cálculo anterior da inclinação da reta 
tangente. Fantástico, não é mesmo?
Exemplo 2
Veja o gráfico da função f(x) = x2 + 3x + 4.
Vamos relembrar conceitos de funções crescentes e decrescentes. 
Agora, associando às derivadas da função em diversos pontos. É 
preciso realçar que estudaremos mais este conceito em unidade 
posterior, certo?
Bem, sem entrar nos cálculos, a derivada dessa função é dada 
por df(x) 2x 3
dx
= + .
Observe a tabela a seguir.
x Função Derivada
-2 f(x) = (–2)2 + 3(–2) + 4 = 2 ( )df( 2) 2 2 3 1 0
dx
−
= − + = − <
0 f(0) = (0)2 + 3(0) + 4 = 4 ( )df(0) 2 0 3 3 0
dx
= + = >
2 f(x) = (2)2 + 3(2) + 4 = 14 ( )df(2) 2 2 3 7 0
dx
= + = >
A Figura a seguir nos apresenta aspecto interessante 
relacionando derivadas, inclinações de retas tangentes e 
comportamento de crescimento e decrescimento de funções. 
Veja:
CÁLCULO
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
2
4
6
8
10
12
14f(x) = x + 3x + 42
Observe também a Figura a seguir.
-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
e
h
i i
Perceba que na região sombreada todas as tangentes possuem 
inclinação negativa e que também a função decresce quando x 
cresce.
Agora, observe o que ocorre no intervalo em que a função é 
crescente.
CÁLCULO
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
10 11
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Analise novamente a Figura. Qual sua conclusão?
Isso mesmo: todas as retas tangentes possuem inclinações 
positivas!
Interessante, não? Podemos já tirar uma conclusão: quando a 
derivada (que equivale à inclinação da reta tangente) for negativa, 
a função é decrescente. Quando a derivada ou a inclinação da 
reta tangente à curva for positiva, a função é crescente.
Aproximação linear local
Você sabia que funções não lineares podem ter seu 
comportamento aproximado por funções lineares? É claro que 
isso facilitaria muitos cálculos matemáticos.
Essas aproximações são realizadas com a utilização de derivadas 
e, portanto, temos mais uma importante aplicação do operador 
matemático derivadas.
Vamos analisar o gráfico a seguir.
CÁLCULO
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1-2-3-4-5-6-7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0
f(x)
0
função f(x)
0
x0
0
Observe que a variação da função é dada por ( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ − . 
Esta seria o que poderíamos chamar de variação real da função, 
ou seja, a que realmente ocorreu!
Agora, vamos “tirar” uma tangente no ponto x. Observe!
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1-2-3-4-5-6-7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0
f(x)
0
função f(x)
0 0
dx
dy
zoom
x0
Note a figura: fizemos ∆x tender a zero (claro que demos um 
zoom na região). No Cálculo, dizemos que quando ∆x tende a 
zero, denominamos essa variação pelo símbolo dx.
CÁLCULO
Mais ainda! No Cálculo, ∆ representa um acréscimo; e d, um 
acréscimo infinitesimal. Também chamamos d de diferencial.
Portanto,temos que, nessas condições, ∆x = dx.
Lembre-se de que a derivada é definida da seguinte forma: 
( ) dyf' x
dx
= .
Agora, vamos isolar a chamada diferencial de y, dada por dy. 
Assim, teremos: ( )dy f' x dx= .
A diferencial da função y é igual ao 
produto da derivada da função pela 
diferencial da variável independente x.
Você pode notar, ao visualizar o gráfico e verificar que dy pode 
ser considerado uma aproximação da variação real da função 
dada por ( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ − .
Logo, teremos: y dy.∆ ≈
Portanto: 
( )
( )
dy f' x dx
y f' x x
=
∆ ≈ ∆
Mas sabemos que ( )o oy f(x x) f x∆ = + ∆ − , certo?
Logo:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
o o o
o o o
f x x f x f' x x
f x x f x f' x x
+ ∆ − ≈ ∆
+ ∆ ≈ + ∆
Vamos fazer:
o
o
x x x
x x x
= + ∆
∆ = −
E teremos ( ) ( ) ( )( )o o of x f x f' x x x≈ + − .
Essa fórmula é denominada aproximação linear local da função no ponto x
o
CÁLCULO
Observe que a derivada também pode ser calculada por 
( ) o
o
f(x) f(x )
f' x
x x
−
≈
−
, de forma aproximada.
Muito importante! Observe que a derivada é dada por ( ) dyf' x
dx
= .
Interessante! A derivada é uma taxa, uma relação entre duas 
diferenciais: a diferencial da função y e a diferencial da variável 
independente x, ou seja, a derivada é uma relação entre duas 
aproximações: a aproximação da variação da função dividida 
pela aproximação da variação da variável independente.
Vamos a alguns exemplos?
Exemplo 3
Devemos encontrar a aproximação linear local da função 
f(x) = x2 em x
o
 = 1.
Depois, vamos calcular um valor aproximado para essa função 
quando x = 1,1.
Considere que a aproximação linear local é dada por 
( ) ( ) ( )( )o o of x f x f' x x x≈ + − .
Já a derivada da função é dada por f'(x) = 2x e, no ponto, x
o
 = 1. 
Logo, teremos f'(x
o
) = f'(1) = 2 · 1 = 2.
Portanto, substituindo em ( ) ( ) ( )( )o o of x f x f' x x x≈ + − , teremos: 
( )
( )
2 2
2
2
2
x 1 2 x 1
x 1 2 x 1
x 1 2x 2
x 2x 1
≈ + −
≈ + −
≈ + −
≈ −
Ou seja, aproximamos a parábola f(x) = x2 pela função linear 2x – 1.
CÁLCULO
Observe o gráfico a seguir.
5
3
2
1
0
-1
-2
-3
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
4 y=2x-1
aproximação linear
x = 1 0
6
7
C
Agora, podemos aproximar a função f(x) = x2 por sua aproximação 
linear. Assim, teremos:
( )2x 2 1,1 1 2,2 1 1,2≈ − = − ≈ .
Claro que, ao aproximar a função f(x) = x2 por sua aproximação 
linear 2x – 1, cometemos um erro.
Vamos determinar esse erro?
Erro absoluto = valor real – valor aproximado. Em módulo, 
teremos:
2E 1,1 1,2 0,01= − =
Percentualmente, teremos 1% de erro absoluto cometido.
Podemos, também, calcular o erro relativo:
relativo
valor exato – valor aproximado
E
valor exato
=
CÁLCULO
Importante ressaltar, ainda, que alguns autores definem o erro 
relativo da seguinte forma:
relativo
2
relativo 2
valor exato – valor aproximado
E
valor aproximado
1,1 – 1,2
E 0,008264
1,1
=
= =
Percentualmente, teremos relativoE 0,08264 %= .
Note que não erramos muito ao aproximar f(x) = x2 por sua 
aproximação linear 2x – 1.
Exemplo 4
Devemos encontrar a aproximação linear local da função 
( )f x x= em xo = 1.
Depois, vamos calcular um valor aproximado para essa função 
quando x = 1,4.
Para isso, considere que a aproximação linear local é dada por 
( ) ( ) ( )( )o o of x f x f' x x x≈ + − .
A função pode ser reescrita e, dessa forma, teremos ( )
1
2f x x= .
Vamos encontrar a derivada da função usando a regra da 
potência:
( )
1 1
1
2 21 1 1f' x x x
2 2 2 x
− −
= = =
No ponto x
o
 = 1, teremos ( )o
1 1
f' x f'(1)
22 1
= = = .
Portanto, substituindo em ( ) ( ) ( )( )o o of x f x f' x x x≈ + − . 
CÁLCULO
Teremos: 
( )
( )
1
x 1 x 1
2
1
x 1 x 1
2
x 1
x
2 2
≈ + −
≈ + −
≈ +
Ou seja, aproximamos a parábola ( )f x x= pela função linear 
x 1
2 2
+ .
Observe o gráfico a seguir.
5
3
2
1
0
-1
-2
-3
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
4
x = 1 0
6
7
aproximação linear
y= 2
x 1+ 2
y = x 
Agora, podemos aproximar a função ( )f x x= em x = 1,4 pela 
aproximação linear. Assim, teremos:
1,4 1
1,4 1,2
2 2
≈ + ≈ .
É claro que, ao aproximar a função ( )f x x= por sua aproximação 
linear x 1
2 2
+ , cometemos um erro.
Vamos determinar esse erro?
CÁLCULO
Erro absoluto = valor real – valor aproximado. Em módulo, 
teremos:
E 1,4 1,2 1,183216 1,2 0,0168= − = − =
Percentualmente, teremos 1,68 % de erro absoluto cometido.
Podemos, também, calcular o erro relativo:
relativo
valor exato valor aproximado
E
valor exato
−
=
É importante ressaltar, ainda, que alguns autores definem o erro 
relativo da seguinte forma:
relativo
valor exato valor aproximado
E
valor aproximado
−
=
relativo
1,183216 1,2
E 0,014185
1,183216
−
= =
Percentualmente, teremos E
relativo
 = 1,4185%.
Observe que não erramos muito ao aproximar ( )f x x= por sua 
aproximação linear x 1
2 2
+ .
Observação: esse erro foi obtido em função de uma aproximação 
linear no ponto x
o
 = 1. Quanto maior for a distância do ponto 
de interesse x, maior será o erro cometido, ou seja, é uma 
aproximação linear local, e os cálculos devem ser feitos nas 
vizinhanças de x
o
.
CÁLCULO
Derivada como Taxa de Variação
Neste segmento, estudaremos um importante problema presente 
em todas as Ciências que envolve variações de funções: o estudo 
da taxa, da razão pela qual essas funções sofrem variação.
Lembre-se de que a derivada é uma 
divisão, uma relação entre duas 
variações infinitesimais.
Vamos a alguns exemplos sobre taxas de variação? Siga em 
frente!
Exemplo 5
Neste primeiro exemplo, vamos determinar a taxa de variação 
(TDV) do volume de um cubo em relação ao seu comprimento 
quando seu lado é igual a:
s = 5 unidades de comprimento.
Sabemos que o volume do cubo é dado pela fórmula V = s3, não 
é mesmo? Então, acompanhe a figura a seguir.
CÁLCULO
Agora, iremos derivar a função V = s3. Veja que a função volume 
depende da variável independente s. A taxa de variação 
instantânea será dada, então, por:
( )3
2
dV d
s
ds ds
dV
3s
ds
=
=
Quando s = 5, teremos:
( )2
s 5
s 5
s 5
dV
3 5
ds
dV
75
ds
TDV 75
=
=
=
=
=
=
Logo, a taxa de variação instantânea é igual a 75.
Exemplo 6
Neste exemplo, iremos encontrar a taxa de variação da função 
1
y
x
= , em relação à variável x quando x = 10.
Reescrevendo a função, teremos y = x-1.
A derivada dessa função corresponderá à taxa de variação 
instantânea. Então, teremos: 
( )
1
1
2
y x
dy d
x
dx dx
dy
x
dx
−
−
−
=
=
= −
 
CÁLCULO
Aplicando o valor x = 10, a taxa de variação instantânea será:
( ) 2
x 10
x 10
dy
10
dx
dy 1
dx 100
−
=
=
= −
= −
Exemplo 7
Agora iremos determinar qual é taxa de variação de 3y x= 
quando x = 8.
Considere que a função é dada por 3y x= . 
Reescrevendo a função, teremos: 
1/3y x= .
Derivando essa função, teremos a taxa de variação de 3y x= :
( )1/3
2/3
dy d
x
dx dx
dy 1
x
dx 3
−
=
=
Para x = 8, essa taxa será:
( )
2/3
2/3
x 8
x 8
dy 1
x
dx 3
dy 1
8
dx 3
dy 1
dx 12
−
−
=
=
=
=
=
Exemplo 8
Neste exemplo, iremos determinar a taxa de variação dada por 
dA
dD
.
Nessa fórmula, A representa a superfície de uma esfera de 
diâmetro com valor D. 
CÁLCULO
Sabemos que a área da superfície da esfera é dada por A = 4πr2 . 
Já o raio e o diâmetro D relacionam-se por meio da seguinte 
fórmula:
D 2r
D
r
2
=
=
Vamos, então, reescrever a área da esfera da seguinte forma:
A = 4πr2
2
2
2
D
A 4
2
D
A 4
4
A D
 = π 
 
= π
= π
Logo, como temos a expressão 2A D= π , a taxa de variação dA
dD
 
agora pode ser determinada da seguinte maneira:
( )
2
2
A D
dA d
D
dD dD
dA
2 D
dD
= π
= π
= π
Portanto, a taxa de variação é dada por TDV = 2πD.
CÁLCULO
Exemplo 9
Iremos, neste exercício, encontrar a taxa de variação para um 
cubo com relação à área de sua superfície, tudo bem?
Sabemos que o volume do cubo é dado por V = s3. Já a área 
superficial é dada por A = s2,sendo que s é a aresta do cubo. 
Poderemos escrever a relação entre V e A da seguinte forma:
( )
1/2
31/2
3/2
s A
V A
V A
=
=
=
Logo, a TDV do volume do cubo em relação à área superficial é 
dada por dV
dA
. 
Esse valor será dado por:
( )3/2
1/2
dV d
A
dA dA
dV 3
A
dA 2
=
=
Portanto, a taxa de variação é igual a 1/2
3
TDV A
2
= .
Note que, em problemas de TVI (Taxas de Variação Instantâneas), 
estamos interessados em variações em pontos específicos da 
variável independente.
Lembre-se de que a derivada é um 
estudo do que acontece imediatamente 
nas vizinhas infinitesimais de um ponto.
IntroduçãoCÁLCULO
Regras Básicas de Derivação
Introdução
Olá! Seja bem-vindo (a) à sexta Unidade de Aprendizagem de 
Cálculo, na qual vamos interpretar e executar procedimentos 
algébricos no cálculo de derivadas de funções. Para o seu 
conhecimento, as derivadas representam taxas de variação e 
são definidas por meio do operador limite.
Já o estudo dos operadores do Cálculo obedece a uma sequência. 
Entenda-a a seguir:
funções limites derivadas integrais→ → →
Você pode notar que nada é feito por acaso e que os conceitos 
são sequenciais e interligados. Além disso, você sabia que eles 
podem ser utilizados no cotidiano? Veja alguns exemplos: ao 
acelerar seu carro ou até mesmo quando calculamos a taxa 
de crescimento de epidemias (tais como dengue), nós estamos 
usando derivadas. Também sabia que os computadores utilizam 
as fórmulas que veremos aqui para calcular diversas variações? 
Isso mesmo!
Logo, todo fenômeno que envolve a variação de alguma grandeza 
pode ser estudado pelo operador matemático chamado derivada.
Vamos lá? Bons estudos!
CÁLCULO
Regras derivação
As regras de derivação nos permitem determinar a derivada 
de uma função sem a necessidade de utilizarmos limites. Além 
disso, elas representam processos simplificados e nos serão 
muito úteis na questão da rapidez de obtenção de resultados.
Agora veremos essas regras implementadas em exemplos 
puramente algébricos. O objetivo é treinarmos a metodologia 
de obtenção das derivadas, está bem?
Vejamos quais são elas!
Teorema 1 – Derivada de constante (adaptado de THOMAS, 2005)
A derivada de uma função constante é zero. Sendo essa constante C um 
número real qualquer, temos que:
0
d
c
dx
=  
Essa regra pode ser entendida graficamente. Observe na figura 
a seguir.
y
x
constante qualquer
CÁLCULO
Como a derivada é dada por 
0
lim
x
y
x∆ →
∆
∆
, verificamos no gráfico 
que, como a função é constante, não existe variação da função 
e, portanto, temos que ∆y = 0. Logo, a derivada de uma função 
constante é zero, sendo representada por 0d c
dx
=   .
Que tal acompanharmos alguns exemplos?
Exemplo 1
Vamos encontrar a derivada de f(x) = 9.
Resolução
Teremos que: 9 0
d
dx
=  
Observou como é simples?
 
A derivada de qualquer constante na forma f(x)=c é sempre 
igual a zero.
Agora, vamos estabelecer uma importante regra que nos 
permite calcular derivadas de funções que envolvem potências 
numéricas. Isso mesmo, só valem para o caso em que a potência 
seja um número e não uma função. Então veja o teorema a seguir, 
adaptado de Thomas (2005):
Teorema 1A – Regra da Potência
Sendo r um número real qualquer, temos: 
1r rd x rx
dx
−  =  .
Exemplo 2
Vamos encontrar a derivada de f(x) = x3.
Resolução
Teremos que: 3 3 1 23 3
d
x x x
dx
−  = =  .
CÁLCULO
Caso o expoente seja negativo, aplica-se a mesma regra. Você 
pode observar que a regra é válida para todos os números reais e 
pode ter a seguinte leitura: rebaixamos o expoente, conservamos 
a base subtraindo uma unidade do expoente.
Exemplo 3
Vamos encontrar a derivada de f(x) = x–4.
Resolução
Aplicando a regra da potência, teremos:
( ) 4 1 5 5
4
' 4 4f x x x
x
− − − −= − = − =
Agora, vamos a mais um teorema adaptado de Thomas (2005). 
Isso mesmo: a função envolverá o produto de uma constante e 
uma função em x.
Teorema 1B – Derivada de uma constante multiplicada por uma função
Se a função possuir derivadas (dizemos ser diferenciável) em x e se c for 
um número real, temos que c . f(x) também será diferenciável em x e sua 
derivada será dada por:
( ) ( )d dc f x c f x
dx dx
   ⋅ =   
Atenção: é importante que você saiba que uma função 
diferenciável é definida como aquela que admite derivadas!
Exemplo 4
Vamos encontrar a derivada de f(x) = 5 . x3.
Resolução
Teremos que:
( ) ( )3 3 3 1 2 25 5 5 3 5 3 15d dx x x x x
dx dx
−   ⋅ = = ⋅ = ⋅ =   
CÁLCULO
Vejamos mais um Teorema! Ele estabelece como devemos 
derivar funções que envolvem somas ou diferenças de funções. 
Acompanhe outro teorema adaptado de Thomas (2005):
Teorema 1C – Derivada de somas e diferenças
Se as funções f e g forem diferenciáveis em x, então:
( ) ( ) ( ) ( )d d df x g x f x g x
dx dx dx
 ± = ± 
Ficou curioso para saber como se lê esse teorema?
O teorema que acabamos de ver pode ser lido da seguinte forma: 
a derivada da soma (ou da subtração) é a soma (ou diferença, 
respectivamente) das derivadas.
Exemplo 5
Vamos encontrar a derivada de f(x) = 6x – 7x2.
Resolução
Teremos que:
( ) ( )
( ) ( )
3 2
3 2
6 7 6 7
6 7 6 7
d d d
x x x x
dx dx dx
d d d
x x x x
dx dx dx
 − = − 
 − = − 
Na etapa anterior, lembramos que ( ) ( )d dcf x c f x
dx dx
  = ⋅  .
Em outras palavras, podemos colocar a 
constante em evidência no processo de 
derivação.
CÁLCULO
3 1 1 2 1
3 0
3
6 7 6 1 7 2
6 7 6 14
6 7 6 14
d
x x x x
dx
d
x x x x
dx
d
x x x
dx
− − − = ⋅ − ⋅ 
 − = − 
 − = − 
Agora perceba que 1
d dx
x
dx dx
= =   .
Observe, ainda, que 1
d dx
x
dx dx
= =   decorre da Regra da Potência, 
Teorema 3A (THOMAS, 2005).
Que tal ficar sabendo de uma curiosidade? Existem, hoje, 
excelentes ferramentas matemáticas que podem nos ajudar a 
confirmar os algebrismos das derivadas, verificando o acerto. O 
software Geogebra possui um comando para cálculo direto de 
derivadas. Veja o passo a passo a seguir:
Na linha de comando, digite: Derivada (<Função>). No local em 
que temos <Função>, digite a função. Como exemplo: Derivada 
(x^2) e teremos 2x como resultado.
CÁLCULO
As regras de derivação do produto 
e do quociente de duas ou mais 
funções
Veremos, nesta unidade, as regras de derivação do produto 
e da divisão ou quociente. É importante que você observe a 
simplicidade das fórmulas. Elas serão demasiadamente úteis em 
processos de derivação com dois ou mais termos.
Escolhemos não deduzirmos essas fórmulas, mas elas se 
encontram perfeitamente deduzidas em Anton (2014) e Thomas 
(2005).
As fórmulas (adaptadas de Thomas, 2005) são dadas por:
Teorema 2.1 – Derivada de produto e quociente (adaptado de THOMAS, 
2005)
Se as funções f e g forem diferenciáveis em x, então:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d df x g x f x g x g x f x
dx dx dx
 ⋅ = ⋅ + 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2
/
d d
g x f x f x g xd dx dxf x g x
dx g x
⋅ − ⋅
  = 
  
Dica: como podemos ler a derivada do produto?
Podemos ter a seguinte leitura: a derivada do produto de dois 
termos é dada por: primeiro termo pela derivada do segundo 
mais o segundo termo pela derivada do primeiro.
Exemplo 6
Vamos encontrar a derivada de ( )
2 2 3
5
x x
f x
x
− −
=
+
.
CÁLCULO
Resolução
Teremos que:
 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2
2
2
22
2
22
2
2 2 2
2
2
5 2 3 2 3 52 3
5 5
5 2 2 2 3 1 02 3
5 5
5 2 2 2 3 12 3
5 5
2 3 2 10 2 10 2 3
5 5
2 3
5
d d
x x x x x xd x x dx dx
dx x x
x x x xd x x
dx x x
x x x xd x x
dx x x
d x x x x x x x
dx x x
d x x
dx x
+ − − − − − + − −
= + + 
+ ⋅ − − − − ⋅ + − −
= + + 
+ ⋅ − − − − ⋅ − −
= + + 
 − − + − − − + +
= + + 
 − −
 +  ( )
2
2
10 7
5
x x
x
+ −
=
+
Exemplo 7
Você pode notar, nos exemplos de 1 a 6, que as derivadas foram 
desenvolvidas passo a passo, escrevendo o operador 
d
dx
 nas 
etapas intermediárias do processo algébrico, não émesmo? 
Podemos também usar a notação linha. Vamos fazer novamente 
o exemplo 7: Dessa forma, em vez de usarmos 
dy
dx
para indicarmos 
a derivada da função y em relação à variável x, usaremos y’. 
Observe que isto simplifica em muito a notação e a escrita dos 
cálculos, não é verdade?
CÁLCULO
Resolução
( )( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
'2 2
'
2
2
'
2
2
'
2
2 2
'
2
2
'
2
5 2 3 2 3 5 '
( )
5
5 2 2 2 3 1 0
( )
5
5 2 2 2 3 1
( )
5
2 10 2 10 2 3
( )
5
10 7
( )
5
x x x x x x
f x
x
x x x x
f x
x
x x x x
f x
x
x x x x x
f x
x
x x
f x
x
+ − − − − − +
=
+
+ ⋅ − − − − ⋅ +
=
+
+ ⋅ − − − − ⋅
=
+
+ − − − + +
=
+
+ −
=
+
Visto que operações algébricas são baseadas em regras que 
devem ser entendidas e exercitadas, vamos a mais alguns 
exemplos de aplicação.
As regras de derivação são 
algebrismos.
CÁLCULO
Exemplo 8
Vamos determinar a derivada para a função dada por ( ) 1
1
f x
x
=
+
.
Resolução
A solução será dada por:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
1 1 1 1
( )
1
1 0 1 1 0 1
( )
1 1
d d
x xd dx dxf x
dx x
xd
f x
dx x x
+ ⋅ − ⋅ +
=
+
+ ⋅ − ⋅ + −
= =
+ +
Vamos determinar a derivada para a função dada por ( )f x x= .
Reescreveremos a função, pois, dessa forma, teremos como 
aplicar a regra da potência: 
( )
1
2f x x=
A solução será dada por: ( )
1 1
1' 2 2
1
2
1 1 1 1
2 2 22
f x x x
xx
− −
= = = = .
Vamos determinar a derivada para a função dada por 
( ) ( ) 23f x x x= + ⋅ aplicando a regra do produto.
Teremos:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2
2
2 2
2
' 3 3
' 2 3 1 0
' 2 6
' 3 6
d d
f x x x x x
dx dx
f x x x x
f x x x x
f x x x
= + ⋅ + ⋅ +
= ⋅ + + ⋅ +
= + +
= +
CÁLCULO
Note que o mesmo resultado poderia ser obtido da seguinte 
forma:
( ) ( )
( )
2 3 2
2
3 3
' 3 6
f x x x x x
f x x x
= + ⋅ = +
= +
Nesse caso, aplicamos a regra de derivada de soma e da potência.
Apenas para visualização, vamos plotar o gráfico da função 
( ) ( ) 23f x x x= + ⋅ e da derivada ( ) 2' 3 6f x x x= + . Acompanhe a 
figura a seguir.
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-1
-2
-3
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-11-12
4
5
6
f(x) = (x+3)x²
f’(x) = 3x²+6x
Em muitas situações algébricas, do cotidiano e das diversas 
Ciências, deparamo-nos com um fenômeno que depende de 
uma certa variável, mas que, entretanto, essa variável é função 
de uma outra variável.
Em termos matemáticos, teríamos a seguinte situação algébrica:
( )
( )
y f u
u g x
=
=
Então, podemos reescrever essas duas funções em termos de 
uma função composta. Dessa forma, teremos:
( )( )y f g x=
CÁLCULO
Agora, imagine uma situação comum em seu dia a dia: você 
abastece seu carro em um posto de gasolina. É claro que 
a quilometragem alcançada pelo veículo é uma função da 
quantidade de litros que você colocou no tanque do carro.
Mas também sabemos que a quantidade que você colocou de 
combustível é uma função da quantia que você gastou para 
colocar a gasolina no tanque.
Vamos modelar esse processo?
Se y representar o número de quilômetros percorridos com o 
combustível que você colocou no tanque e essa quantidade for 
representada por u, temos que y = f(u). Mas, como essa quantidade 
depende da quantia em dinheiro que você gastou, digamos x, 
teremos que u = g(x). Logo, temos uma função composta dada 
por y = f(g(x)).
Mas e para derivarmos funções compostas? O próximo Teorema 
nos ajudará nesse aspecto. Vamos lá!
Teorema 2.2 – (adaptado de ANTON, 2014)
Regra da Cadeia: se g for diferenciável em um ponto x e se f for diferenciável 
no ponto g(x), então a composição y = f(g(x)) será diferenciável em x. 
Dessa forma, teremos:
dy dy du
dx du dx
= ⋅
Usaremos em alguns exemplos duas fórmulas básicas. Veja!
Derivada da função exponencial: ( )x xd e e
dx
= .
Derivada da função logaritmo natural: ( ) 1lnd x
dx x
=
Vamos a alguns exemplos?
CÁLCULO
Exemplo 9
Precisamos encontrar a derivada de ( )321y x= + .
Reescreveremos a função como uma função composta.
Para isso, façamos:
( )3
21
y u
u x
=
= +
Dessa forma, teremos:
( ) ( ) ( )2 2 1 2 23 0 2 3 2 6
dy dy du
dx du dx
dy
u x u x xu
dx
−
   = ⋅   
   
= ⋅ + = =
Mas, como u = 1 + x2, teremos:
( )226 1dy x x
dx
= +
Exemplo 10
Vamos encontrar a derivada de 
4xy e= .
Para isso, reescreveremos a função como uma função composta.
Para isso, façamos:
4
uy e
u x
=
=
Dessa forma, teremos:
( )4 1 34 4u u
dy dy du
dx du dx
dy
e x e x
dx
−
   = ⋅   
   
= ⋅ =
CÁLCULO
Mas, como u = x4, teremos:
4 43 34 4x x
dy
e x x e
dx
= =
Logo, teremos 
43' 4 xy x e= .
Podemos generalizar a derivada da função eu como:
u ud due e
dx dx
= ⋅
Exemplo 11
Vamos determinar a derivada de 5lny x= .
Para isso, reescreveremos a função fazendo uma troca de variável:
5u x=
Teremos: lny u= .
Portanto, nossa derivada ficará assim:
( )5 1 41 15 5
dy dy du
dx du dx
dy
x x
dx u u
−
   = ⋅   
   
= ⋅ = ⋅
Mas, como u = x5, teremos:
4
5
1 5
5
dy
x
dx x x
= ⋅ =
Logo, a derivada de 5lny x= é 
5dy
dx x
= .
Podemos generalizar a derivada da função ln u como:
1
ln
d du
u
dx u dx
= ⋅
CÁLCULO
Derivação Implícita
Você sabia que nem sempre uma função está escrita na forma 
explícita? Isso mesmo! Em muitas situações não podemos nem 
mesmo colocar a função na forma isolada.
Para uma função estar na forma explícita, devemos ter: y = f(x) 
Vejamos alguns exemplos.
( )
6a) 
b) 
c) 3
x
y x
y sen e
y x
=
=
= +
Observe que, na forma explícita, a função está isolada.
Para sua compreensão, veja o gráfico de uma função implícita!
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
a
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A operação do Cálculo que nos permite 
determinar a derivada é chamada de 
diferenciação. 
Veja que, no caso de não conseguirmos isolar a função, teremos 
a chamada diferenciação implícita.
Entretanto, algumas vezes, não conseguiremos isolar a função, 
mas, mesmo assim, teremos que derivar a expressão. Nesse caso, 
teremos uma função implícita.
CÁLCULO
Então, como devemos proceder algebricamente nesse caso?
Vejamos, a seguir, um exemplo de uma função implícita.
Exemplo 12
Vamos encontrar a derivada de y5 + ex + ln y3 = x2.
Resolução
Para resolvermos esse exemplo, vamos relembrar alguns 
detalhes? Acompanhe-os no destaque a seguir.
Derivada da função exponencial: ( )x xd e e
dx
= .
Derivada da função logaritmo natural: ( ) 1lnd x
dx x
=
Estudamos a função exponencial na Unidade 3 e salientamos 
que é uma importante função que aparece em muitos modelos 
matemáticos de crescimento e decrescimento de populações 
e substâncias radioativas. Observe que nosso método de 
abordagem dos assuntos é de “rampagem”, ou seja, os assuntos 
vão sendo acrescentados em conteúdo, mas sempre de maneira 
cíclica. Você irá sempre rever assuntos e em algumas situações 
como esta, ver algo novo que se repetirá em intensidade maior a 
posterior, tudo bem? Então, fique bem atento aos novos conceitos!
Você pode observar que não conseguiremos escrever algo do 
tipo y = f(x).
Bem, se pudéssemos isolar a função, certamente y seria uma 
função de x. Então, vamos pensar como uma função composta:
y5 + ex + ln y3 = x2
Vamos derivar a expressão como sendo uma função de y e 
multiplicar as derivadas que irão aparecer pela derivada de 
cada uma em relação a x.
CÁLCULO
Veja como é fácil:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' ' '5 3 2
5 1 3 1
3
4 2
3
4
ln 0
1
5 3 2 0
1
5 3 2 0
3
5 2 0
x
x
x
x
y e y x
dy dy
y e y x
dx y dx
dy dy
y e y x
dx y dx
dy dy
y e x
dx y dx
− −
+ + − =
⋅ + + ⋅ ⋅ − =
⋅ + + ⋅ ⋅ − =
⋅ + + ⋅ − =
Agora, vamos isolar a derivada. Dessa forma, teremos:
4
4
3
5 2
2
3
5
x
x
dy
y e x
dx y
dy e x
dx y
y
 
+ = − + 
 
− +
=
+
O processo algébrico da diferenciação implícita exige bastante 
prática. Portanto, vamos acompanhar mais um exemplo.
Exemplo 13
Vejamos mais uma situação em que não conseguiremos isolar a 
função:
( )2 2 yx y