Conjuntos numéricos

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Conjuntos numéricos 
 
Conjuntos numéricos são coleções de números que possuem características semelhantes. 
Conjunto dos Números Naturais
São apenas os números inteiros e não negativos.
Representado por N, o conjunto dos números naturais possui os seguintes elementos:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}
Conjunto dos Números Inteiros
É formado pela união do conjunto dos números naturais com os números negativos. 
Representado por Z, possui os seguintes elementos:
Z = {…, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
Conjunto dos Números Racionais
É o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de fração. 
Representado por Q, o conjunto dos números racionais possui os seguintes elementos:
Q = {x ∈ Q: x = a/b, a ∈ Z e b ∈ N}
A definição acima é lida da seguinte maneira: x pertence aos racionais, tal que x é igual a a dividido por b, com a pertencente aos inteiros e b pertencente aos inteiros sendo diferente de zero.
Os números que podem ser escritos na forma de fração são:
1. 1 – Todos os números inteiros;
2. 2 – Decimais finitos;
3. 3 – Dízimas periódicas.
Os decimais finitos são aqueles que possuem um número finito de casas decimais. (1,1; 2,32; 4,45)
Dízimas periódicas são decimais infinitos, mas que repetem a sequência final de suas casas decimais. ( 2,333333.... ; 4,45454545....; 6,758975897589....)
Conjunto dos Números Irracionais
São todos os números que não pertencem ao conjunto dos racionais.
Dessa forma, ou um número é racional ou ele é irracional. Não existe possibilidade de um número pertencer a esses dois conjuntos simultaneamente. Dessa maneira, o conjunto dos números irracionais é complementar ao conjunto dos números racionais dentro do universo dos números reais.
Os números irracionais são aqueles que não podem ser escritos na forma de fração. 
É representado por I. São eles:
1. Decimais infinitos
2. Raízes não exatas
Os decimais infinitos são números que possuem infinitas casas decimais e que não são dizimas periódicas. (0,12345678910111213... ; π ; √2)
Conjunto dos Números Reais
Sua definição é dada pela união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. 
Representado por R, esse conjunto pode ser escrito matematicamente da seguinte maneira:
R = Q U I = {Q + I}
I é o conjunto dos números irracionais. Dessa maneira, todos os números citados anteriormente são também números reais.
Formas de representação dos conjuntos
1. Representação por enumeração: podemos enumerar seus elementos, ou seja, fazer uma lista, sempre entre chaves. Veja um exemplo:
i. A = {1,5,9,12,14,20)
2. Descrevendo as características: podemos simplesmente descrever a característica do conjunto. Por exemplo, seja X um conjunto, temos que X = {x é um número positivo múltiplo de 5}; Y: é o conjunto dos meses do ano.
3. Diagrama de Venn: os conjuntos também podem ser representados na forma de um diagrama, conhecido como diagrama de Venn, que é uma representação mais eficiente para a realização das operações.
Elementos de um conjunto e relação de pertinência
Dado um elemento qualquer, podemos dizer que o elemento pertence ao conjunto ou não pertence a esse conjunto.
 ​​ (lê-se pertence) 
∉ (lê-se não pertente). 
Por exemplo, seja P o conjunto dos números pares, podemos dizer que o 7 ∉ P e que 12  P.
Igualdade de conjuntos
É inevitável a comparação entre os conjuntos, sendo assim, podemos afirmar que dois conjuntos são iguais ou não verificando cada um dos seus elementos. Seja A = { 0,1,3,4,8} e B = { 8,4,3,1,0}, ainda que os elementos estejam em ordem diferente, podemos afirmar que os conjuntos A e B são iguais: A = B.
Relação de inclusão
Ao comparar dois conjuntos, podemos nos deparar com diversas relações, e uma delas é a relação de inclusão. Para essa relação, precisamos conhecer alguns símbolos:
⊃ → contém ⊂ → está contido
⊅ → não contém ⊄ → não está contido
Quando todos os elementos de um conjunto A pertencem também a um conjunto B, dizemos que A ⊂ B ou que A está contido em B. Por exemplo, A= {1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6}. 
É possível também fazer a representação pelo diagrama de Venn, que ficaria assim:
· A está contido em B:
A ⊂ B
Subconjuntos
Quando acontece uma relação de inclusão, ou seja, o conjunto A está contido no conjunto B, podemos dizemos que A é subconjunto de B. O subconjunto continua sendo um conjunto, e um conjunto pode ter vários subconjuntos, construídos a partir dos elementos pertencentes a ele.
Por exemplo: 
A: {1,2,3,4,5,6,7,8} tem como subconjuntos os conjuntos B: {1,2,3}; C: {1,3,5,7}; D: {1} e, até mesmo, o conjunto A {1,2,3,4,5,6,7,8}, ou seja, A é subconjunto dele mesmo.
Conjunto unitário
Como o nome já sugere, é aquele conjunto que possui somente um elemento, como o conjunto D: {1} mostrado anteriormente. Dado o conjunto B: {1,2,3}, temos os subconjuntos {1}, {2} e {3}, que são todos conjuntos unitários.
ATENÇÃO: O conjunto E: {0} também é um conjunto unitário, pois ele possui um único elemento, o “0”, não se tratando de um conjunto vazio.
Conjunto vazio
Com um nome mais sugestivo ainda, o conjunto vazio não possui nenhum elemento e é subconjunto de qualquer conjunto. Para representar o conjunto vazio, há duas representações possíveis, sendo elas V: { } ou o símbolo Ø.
Conjuntos das partes
Conhecemos como conjuntos das partes todos os subconjuntos possíveis de um determinado conjunto. Seja A: {1,2,3,4}, podemos listar todos os subconjuntos desse conjunto A começando com os conjuntos que possuem nenhum elemento (vazios) e, depois, os que possuem um, dois, três e quatro elementos, respectivamente.
· Conjunto vazio: { };
· Conjuntos unitários: {1}; {2};{3}; {4}.
· Conjuntos com dois elementos: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
· Conjuntos com três elementos: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
· Conjunto com quatro elementos: {1,2,3,4}.
Sendo assim, podemos descrever o conjunto das partes de A desta forma:
P: { { }, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4} }
Para saber a quantidade de partes em que é possível dividir um conjunto, usamos a fórmula:
n[ P(A)] = 2n
O número de partes de A é calculado por uma potência de base 2 elevada a n, em que n é a quantidade de elementos do conjunto.
Conjunto finito e infinito
Ao trabalhar com conjuntos, encontramos conjuntos que são limitados (finitos) e aqueles que são ilimitados (infinitos). O conjunto dos números pares ou ímpares, por exemplo, é infinito e, para representá-lo, descrevemos alguns dos seus elementos em sequência, de forma que seja possível prever quais serão os próximos elementos, e colocamos reticências no final.
I: {1,3,5,7,9,11...}
P: {2,4,6,8,10, ...}
Já em um conjunto finito, não colocamos as reticências no final, pois ele possui começo e final definidos.
A: {1,2,3,4}.
Conjunto universo
O conjunto universo, denotado por U, é definido como o conjunto formado por todos os elementos que devem ser considerados dentro de um problema. Todo elemento pertence ao conjunto universo e todo conjunto está contido no conjunto universo.
Operações com conjuntos
As operações com conjuntos são: união, intersecção e diferença.
União de conjuntos
 
A união entre dois ou mais conjuntos será um novo conjunto constituído por elementos que pertencem a, pelo menos, um dos conjuntos em questão. Formalmente o conjunto união é dado por:
Sejam A e B dois conjuntos, a união entre eles é formada por elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
Em outras palavras, basta unir os elementos de A com os de B.
Exemplo:
a) Considere os conjuntos A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}:
A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
Propriedades
· A ∪ B = B ∪ A (comutativa)
· B ⊂ A ⇒ A ∪ B = A
· A ∪ ∅ = A
· (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = A ∪ B ∪ C (associativa)
· A ∪ U = U
Números de elementos de uma união
n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – (A ∩ B)
Intersecção de conjuntosA intersecção entre dois ou mais conjuntos também será um novo conjunto formado por elementos que pertencem, ao mesmo tempo, a todos os conjuntos envolvidos. Formalmente temos:
Sejam A e B dois conjuntos, a intersecção entre eles é formada por elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Desse modo, devemos considerar somente os elementos que estão em ambos os conjuntos.
Exemplo
a) Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e C = {0, –1, –2, –3}
A ∩ B = {2, 4, 6}
A ∩ C = { } – conjunto disjunto
B ∩ C = {0}
Propriedades
· A ∩ B = B ∩ A (comutativa)
· B ⊂ A ⇔ A ∩ B = B
· A ∩ ∅ = ∅
· (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C (associativa)
· (A ∩ B) ⊂ (A ∪ B)
· A ∩ U = A
Diferença de conjuntos
 
A diferença entre dois conjuntos, A e B, é dada pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B.
Exemplo
Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7}. Vamos determinar as seguintes diferenças.
A – B = {5}
B – A = { }
Propriedades
· (A – B) ⊂ A
· A – ∅ = A
· ∅ – A = ∅
· A – (A ∩ B) = A – B
Conjuntos complementares
Considere os conjuntos A e B, em que o conjunto A está contido no conjunto B, isto é, todo elemento de A também é elemento de B. A diferença entre os conjuntos, B – A, é chamada de complementar de A em relação a B. Em outras palavras, o complementar é formado por todo elemento que não pertence ao conjunto A em relação ao conjunto B, em que ele está contido.
 
 
Diferença simétrica 
A diferença simétrica dos conjuntos A e B consiste em todos os elementos que pertençam a A ou B, mas não a ambos.
Uma outra definição da diferença simétrica é que ela é a união das diferenças, ou, a união entre A e B menos a interseção entre a A e B. Podemos representar essa operação das seguintes formas:
AΔB=(A∪B)−(A∩B)AΔB=(A∪B)−(A∩B)
A delta B é igual a A união B menos A inter B.
AΔB=(A−B)∪(B−A)AΔB=(A−B)∪(B−A)
A delta B é igual a A menos B união B menos A.
Ambas são equivalentes. Um exemplo de diferença simétrica:
A={0,1,2,3} 
B={−1,0,1} 
AΔB=({0,1,2,3}∪{−1,0,1}) −− ({0,1,2,3}∩{−1,0,1}) == {−1,2,3}
	
	Diferença Simétrica
Se os conjuntos forem disjuntos, então AΔB=A∪BAΔB=A∪B
	
	Diferença Simétrica entre Conjuntos Disjuntos
Intervalos reais
O subconjunto dos números reais, determinado por desigualdades é chamado de intervalo.
Assim, podemos ter intervalos como:
Intervalo aberto:
Os extremos a e b não pertencem ao intervalo.
Outras maneiras de representar esse intervalo são:
] a, b [
{x  IR /a < x < b}
Intervalo fechado:
Os extremos a e b pertencem ao intervalo.
Outras maneiras de representar esse intervalo são:
[ a, b ]
{ x  IR / a ≤ x ≤ b }
Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita (ou simplesmente intervalo semiaberto à direita):
Apenas o extremo a pertence ao intervalo.
Outras maneiras de representar esse intervalo são:
[ a, b [
{ x  IR / a ≤ x < b }
Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita (ou simplesmente intervalo semiaberto à esquerda)
Apenas o extremo b pertence ao intervalo.
Outras maneiras de representar esse intervalo são:
] a, b]
{ x  IR / a < x ≤ b}
Operações com intervalos reias