Atividade Contextualizada EQUAÇÕES DIFERENCIAIS - 2

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ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA – EQUAÇÕES DIFERENCIAS 
 
Se te serviu favor “CURTIR” 
Nome Completo: Mário Régio 
Matrícula: xxxxxx 
Curso: Engenharia Civil 
Polo: Guarulhos-SP 
 
 
Conforme exemplo apresentado no case, o objetivo é encontrar a equação da 
corrente elétrica do circuito 0 ≤ t ≤ 1, deseja-se expandir tal resultado para um 
intervalo de 0 a 4, objetivando uma visualização gráfica do comportamento da 
corrente para a tensão aplicada de forma binaria, conforme o gráfico 
apresentado. 
 
Para obter os resultados solicitados é necessário que se produza um texto com 
as seguintes informações: 
 
1) A definição da função degrau; 
 
2) Calculo desenvolvidos para a determinação da Transformada de Laplace e 
da solução geral para i (t); 
 
3) Gráfico referente a corrente para 0 ≤ t ≤ 4. 
 
 
1 - DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO DEGRAU 
 
A função de Heaviside ou função degrau unitário, desenvolvida pelo matemático 
e engenheiro eletricista Oliver Heaviside (1850 a 1925) é simples de ser definida, 
pois é nula para argumento positivo e vale 1 para a argumento positivo. 
 
Função frequentemente encontrada em engenharia, nos problemas que podem 
apresentar dualidade como ligado ou desligado. 
 
Esta função degrau unitário é denotada por u (t - a) é dada por: 
 
u = (𝑡 − 𝑎) = {
 0 ; 𝑡 < 𝑎
1 ; 𝑡 ≥ 𝑎
 𝑎 > 0 
Definimos a função degrau unitário somente para valores maiores do que zero 
de t, pois isso é suficiente para o estudo da Transformada de Laplace, mas num 
sentido mais amplo 
 
U (t−a) < 0,∀ t < a 
 
O gráfico é dado por : 
 
 
Gráfico da Função Degrau Unitário ou de Heaviside 
Foto: Google Matemática Simplificada 
 
 
Se a = 0 o gráfico é: 
 
Função Degrau Unitário ou de Heaviside com a = 0 
Foto: Google Matemática Simplificada 
 
 
 
2 - CALCULOS DESENVOLVIDOS PARA A DETERMINAÇÃO DE 
TRANSFORMADA DE LAPLACE E DA SOLUÇÃO GERAL PARA i (t), 
 
Imaginamos que uma empresa que fabrica produtos elétricos deseja verificar a 
corrente i de um determinado circuito RL, foi dado a função E (t), conforme o 
gráfico abaixo. 
 
 
Foto: Case AVA Uninassau 
Transformada de Laplace e transformação integral especial, a ideia básica, é 
considerar um conjunto de funções definidas no intervalo [0, + ∞), a cada função 
f deste conjunto, associamos uma função F definida num intervalo de ( a, + ∞ ) 
ao qual denominamos transformada de Laplace de f, representado por F = L{f }. 
 
Esta associação é construída de tal modo que as operações “diferenciais” com 
as funções f, correspondem a operações “algébricas” com as funções F. Isso 
possibilita transformar as equações diferencias com as equações algébrica 
sendo a principal aplicação da Transformada de Laplace. 
 
Estas equações diferenciais geralmente provem da Física, adotamos t a variável 
no intervalo [0, + ∞) e como s a variável no intervalo (a, + ∞ ). Assim 
consideramos L { f (t) } = F (s) 
 
Seja f (t) uma função definida nos reais não negativos. 
 
ℒ {f (t)} = ∫ 𝑓(𝑡)
∞
0
𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 
 
A integral sendo convergente ela é chamada de Transformada de Laplace da 
função f (t), a Transformada de Laplace ℒ {f (t)} de uma função f (t) é uma função 
da variável s. A notação usual deste contexto é letra minúscula, para função de 
letra maiúscula para a Transformada de Laplace é: ℒ {f (t)} = F(s), ℒ {g (t)} = G(s), 
ℒ {h (t)} = H(s). 
 
Calculando a Transforma de Laplace da função f (t) = 1: 
 
ℒ {1} = ∫ 1.
∞
0
𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 
 
 = lim
𝑎 →∞
∫ .
∞
0
𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 
 
 = lim
𝑎 →∞
1−𝑒−𝑠𝑎
𝑠
 
 
O limite = lim
𝑎 →∞
1−𝑒−𝑠𝑎
𝑠
 só existe se s > 0 
 
Logo, ℒ {1} = 
1
𝑠
, s > 0 
 
 
Transformada de Laplace da função f(t) = t 
 
 ℒ {t} = ∫ 𝑡
∞
0
𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 
 
 = −
1−𝑡𝑒−𝑠𝑡
𝑠
 | ∞ 0 − ∫
∞
0
(− 
𝑒−𝑠𝑡
𝑛
 ) 𝑑𝑡 
 
 = −
1−𝑡𝑒−𝑠𝑡
𝑠
 | ∞ 0 +
1
𝑠
 ∫ 𝑒−𝑠𝑡
∞
0
 𝑑𝑡 
 
ℒ {t} = 
1
𝑠
 ℒ {1} = 
1
𝑠 2ʼ
 𝑠 > 0 
 
Transformada de Laplace da função f(t) = 𝑡𝑛 escrevendo a em termos de 
transformada de 𝑡𝑛−1, tendo como exemplo a transformada de 𝑡2 e 𝑡3 
 
ℒ { t2} = ∫ 𝑡2 𝑒−𝑠𝑡
∞
0
 𝑑𝑡 
 
 = 
 𝑡2 𝑒−𝑠𝑡
𝑠
 | ∞ 0 − ∫
∞
0
(−2𝑡 
𝑒−𝑠𝑡
𝑠
 ) 𝑑𝑡 
 
 = 
2
𝑠
 ∫ 𝑡 𝑒−𝑠𝑡
∞
0
 𝑑𝑡 = 
2
𝑠
 ℒ {t} = 
2
𝑠
 
1
𝑠 2
= 
2
𝑠 3ʼ
 𝑠 > 0 
 
ℒ { t3} = ∫ 𝑡3 𝑒−𝑠𝑡
∞
0
 𝑑𝑡 
 
 = 
 𝑡3 𝑒−𝑠𝑡
𝑠
 | ∞ 0 − ∫
∞
0
(−3 𝑡2 
𝑒−𝑠𝑡
𝑠
 ) 𝑑𝑡 
 
 = 
3
𝑠
 ∫ 𝑡2𝑒−𝑠𝑡
∞
0
 𝑑𝑡 = 
3
𝑠
 ℒ { t2} = 
3
𝑠
 
2
3
= 
3!
𝑠 4ʼ
 𝑠 > 0 
 
 Agora podemos deduzir qual a expressão para transforma de 𝑡𝑛. 
 
ℒ { tn} = 
𝑛!
𝑠 𝑛+1ʼ
 
 
3 - GRÁFICO REFERENTE A CORRENTE PARA 0 ≤ t ≤ 4 
 
 
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas: 
 
AVA – Ser Educacional (Uninassau). Disponível em: 
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_109060_1/outline/lti/launchFra
me?toolHref=https:~2F~2Fsereduc.blackboard.com~2Fwebapps~2Fblackbo
ard~2Fexecute~2Fblti~2FlaunchLink%3Fcourse_id%3D_109060_1%26conte
nt_id%3D_5658182_1%26from_ultra%3Dtrue Acesso em 28/08/2022 
 
Google Disponível em: https://matematicasimplificada.com/funcao-de-
heaviside-ou-degrau-unitario/ Acesso em 28/08/2022 
 
Google - Transformada de Laplace – UFRGS. Disponível em 
https://www.ufrgs.br Acesso em 29/08/2022 
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_109060_1/outline/lti/launchFrame?toolHref=https:~2F~2Fsereduc.blackboard.com~2Fwebapps~2Fblackboard~2Fexecute~2Fblti~2FlaunchLink%3Fcourse_id%3D_109060_1%26content_id%3D_5658182_1%26from_ultra%3Dtrue
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_109060_1/outline/lti/launchFrame?toolHref=https:~2F~2Fsereduc.blackboard.com~2Fwebapps~2Fblackboard~2Fexecute~2Fblti~2FlaunchLink%3Fcourse_id%3D_109060_1%26content_id%3D_5658182_1%26from_ultra%3Dtrue
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_109060_1/outline/lti/launchFrame?toolHref=https:~2F~2Fsereduc.blackboard.com~2Fwebapps~2Fblackboard~2Fexecute~2Fblti~2FlaunchLink%3Fcourse_id%3D_109060_1%26content_id%3D_5658182_1%26from_ultra%3Dtrue
https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_109060_1/outline/lti/launchFrame?toolHref=https:~2F~2Fsereduc.blackboard.com~2Fwebapps~2Fblackboard~2Fexecute~2Fblti~2FlaunchLink%3Fcourse_id%3D_109060_1%26content_id%3D_5658182_1%26from_ultra%3Dtrue
https://matematicasimplificada.com/funcao-de-heaviside-ou-degrau-unitario/
https://matematicasimplificada.com/funcao-de-heaviside-ou-degrau-unitario/
https://www.ufrgs.br/