Diagrama de venn5

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Professora Célia - Matemática – Conjuntos 
DAGRAMA DE VENN
1) Forma gráfica para representar elementos de um conjunto.
· Retângulo = conjunto universo
· Círculos = subconjuntos (um conjunto é parte do outro)
· Elementos em comum são desenhados com uma área de Intercessão 
2) O diagrama de Venn recebe esse nome em homenagem ao matemático britânico John Venn (1834-1923) e foi concebido para representar operações entre conjuntos.
3) Aplicação: Além de ser aplicado em conjuntos, o diagrama de Venn é empregado nas mais diversas áreas do conhecimento como por exemplo lógica, estatística, ciências da computação, ciências sociais, entre outras.
4) Representação
· Conjunto Único A={1,3,5,7,9}
· Entre dois conjuntos A={a,b,c,d,e,f} B={d,e,f,g,h,i}
A ∩ B = {d, e, f}
C={a,b,c,d} D={e,f,g,h} Represente C ∩ D = { }
Conjuntos disjunto =dois conjuntos que não possuem intercessão.
· Entre 3 ou mais conjuntos A={a,b,c,d} B={d,e,f,g} c={d,e,c,h}
· 
5) Relação de inclusão
A relação de inclusão permite-nos dizer se um conjunto está contido ou não em outro conjunto. Quando um conjunto está contido em outro, dizemos que se trata de um subconjunto. Para isso utilizamos os símbolos:
Relação entre conjunto dos números naturais e conjunto dos números inteiros., o conjunto dos naturais está contido no conjunto dos inteiros.
6) Operações entre conjuntos
As operações básicas entre dois ou mais conjuntos são: união, intersecção e diferença entre dois conjuntos.
• União - A união entre dois conjuntos é formada pela junção dos elementos contidos em cada conjunto, em outras palavras: considera-se todos os elementos dos dois conjuntos. 
Considere os conjuntos 
A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6, 7}. A união entre eles é dada por:
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
 
• Intersecção
A intersecção é um novo conjunto numérico formado por elementos que pertencem de maneira simultânea, a outros conjuntos. De modo geral, a intersecção entre conjuntos no diagrama de Venn é dada pela parte comum aos gráficos envolvidos. Veja:
Considerando novamente os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6, 7}, temos que os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B, simultaneamente, são:
A ∩ B = {3, 4}
• Diferença entre dois conjuntos
Considere dois conjuntos C e D, a diferença entre eles (C – D) será um novo conjunto formado por elementos que pertencem a C e não pertencem a D. De modo geral, podemos representar essa diferença, utilizando o diagrama de Venn, da seguinte maneira:
Exercícios I - resolvido
 1 – (Ufal) Na figura a seguir, têm-se representados os conjuntos A, B e C não disjuntos. A região colorida representa o conjunto:
a) C – (A ∩ B) b) (A ∩ B) – C c) (A U B) – C
d) A U B U C e) A ∩ B ∩ C
Solução Alternativa b.
Lembrando das operações com conjuntos, sabemos que a intersecção entre dois conjuntos, no diagrama de Venn, é dada pela parte comum a eles. Considerando os conjuntos A, B e C e colorindo o conjunto intersecção A ∩ B, temos:
Título: Solução questão1 – parte 1
Observe que, se tirarmos os elementos do conjunto C, obtemos a parte colorida pedida pelo exercício, ou seja, devemos destacar a intersecção inicialmente e depois retirar os elementos de C.
(A ∩ B) – C
2 – (Uerj) Crianças de uma escola participaram de uma campanha de vacinação contra a paralisia infantil e o sarampo. Após a campanha, verificou-se que 80% das crianças receberam a vacina contra paralisia, 90% receberam a vacina contra o sarampo, e 5% não receberam nem uma nem outra.
Determine o percentual de crianças dessa escola que receberam as duas vacinas.
Solução
Como é desconhecido o percentual das crianças que tomaram as duas vacinas, vamos inicialmente chamá-lo de x. Lembre-se de que não devemos operar com o símbolo %, e sim escrevermos os percentuais do exercício em sua forma decimal ou fracionária.
80 % → 0,8 90% → 0,9 5% → 0,05 100% → 1
Para descobrirmos o total de crianças que tomaram somente a vacina contra paralisia, subtraímos a porcentagem verificada (80%) da porcentagem das que tomaram as duas (x), e o mesmo deve ser feito para as crianças que tomaram somente a vacina contra o sarampo. Assim:
Juntando todas as crianças, o percentual será de 100%, logo:
0,9 – x + x + 0,8 – x + 0,05 = 1
1,75 – x = 1
– x = 1 – 1,75
(–1) · – x = – 0,75 · (–1)
x = 0,75
x = 75%
Portanto, 75% das crianças da escola tomaram as duas vacinas. 
EXERCÍCIO II
1)Num colégio de 100 alunos, 80 gostam de sorvete de chocolate, 70 gostam de sorvete de creme e 60 gostam dos dois sabores. Quantos não gostam de nenhum dos dois sabores?
a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50
2) Numa pesquisa de um site de hobbies, averiguou-se que, de 3700 clientes pesquisados, 2100 preferiam usar seu tempo com o airsoft, 1500 gastavam seu tempo livre com o paintball e 250 preferiam outros hobbies. Qual o número de clientes que responderam gostar tanto de airsoft quanto de paintball? a) 100 b) 150 c) 200 d) 250 e) 300
3. Um hotel dispõe de 120 quartos sendo que dentre eles: • 63 possuem forno de micro-ondas; • 77 possuem banheira de hidromassagem; e, • 25 não possuem nem banheira de hidromassagem e nem forno de micro-ondas. O número de quartos desse hotel que possui apenas um dos dois itens mencionados é: a) 40 b) 45 c) 50 d) 55 
4. Uma pesquisa realizada com alunos de uma determinada escola revelou que 30 alunos gostam de matemática; 60 alunos gostam de história; 50 gostam de português; 20 gostam de português e história; 15 gostam de matemática e história; 10 gostam de matemática e português; 5 gostam dessas três disciplinas; e 40 alunos não gostam de nenhuma dessas três matérias. Quantos alunos participaram da pesquisa? 
a) 140 b) 145 c) 150 d) 160 e) 170
Responda às questões 5 e 6 utilizando o texto abaixo 
Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas A, B e C de um determinado produto apresentou os seguintes resultados: 
	A
	B
	C
	A e B
	B e C
	A e C
	Nenhuma
	48%
	50%
	48%
	21%
	24%
	13%
	5%
5. Qual a porcentagem dos entrevistados que consomem as três marcas A, B e C? 
a) 41% b) 93% c) 7% d) 11% e) 17% 
++++
. Qual a porcentagem dos entrevistados que consomem uma e apenas uma das três marcas? 
a) 51% b) 37% c) 30% d) 14% e) 13%
7) Em um curso com dois idiomas, 150 alunos estudam inglês, 95 estudam espanhol e 30 estudam os dois idiomas. 
a)quantos alunos estudam somente inglês?
b) quantos estudam apenas um idioma?
c) quantos estudam inglês ou espanhol?
8) Uma pesquisa foi feita com 500 pessoas. Trezentas gostam de futebol, 280 gostam de basquete e 50 não gostam desses esportes. Quantas pessoas gostam de futebol e basquete?​
EXERCÍCIO III
1) Uma entrevista com 60 alunos, 45% respondeu que gostam de matemática. 30% alunos responderam gostar de português. Quantos alunos gostam das demais matérias?
2) Em uma pesquisa sobre a leitura de duas revistas, A e B, observou-se que 90 leem a revista A, 50 leem a revista B, 20 leem a revista A e B e 40 não leem nenhuma das duas revistas.
a) quantas leitores participam de apenas um conjunto?
b) total de entrevistados
c) Quantos são apenas leitores da revista B?
d) quantos não escolheram a revista A
e) Quantos não escolheram a revista B
f) quantos escolheram apenas uma das duas?
EXERCÍCIO IV
1) Em uma sala de aula, a professora de Matemática decidiu fazer um levantamento dos lanches comprados pelos alunos. A professora verificou que, de um total de 35 alunos, dezesseis compraram salgado; destes, quatro compraram pizza e salgado, e sete alunos não compraram lanche nesse dia. Quantos alunos compraram apenas pizza?
2) Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 se informavam pelo site A; 150 por meio do site B; 20 buscavam se informar por meio dos dois sites, A e B; e 110 não se informavam por nenhum desses dois sites. Desse modo, é correto afirmar que o número de pessoas consultadas nessa pesquisa foi de?
3) Uma sorveteria, com o intuito de otimizar suas vendas, fez uma pesquisapara saber qual era o sorvete que seus clientes mais consomem. Entre os entrevistados, 130 consomem o sorvete de morango; 165 consomem o sorvete de chocolate e 175 consomem o sorvete de flocos. Dentro desse grupo, 120 consomem apenas sorvete de flocos; 25 consomem sorvete de morango e chocolate; 15 consomem o sorvete de morango e flocos; 10 consomem sorvete de morango, flocos e de chocolate. Quantos clientes consomem os sorvetes de chocolate e flocos?
4) (MGS – 2021) Numa entrevista com 240 pessoas sobre a preferência entre duas sobremesas, o resultado foi o seguinte: 124 gostam de sorvete, 116 gostam de chocolate e 23 gostam de ambos os sabores. Se cada entrevistado opinou uma única vez, então é correto afirmar que:
227 gostam de pelo menos um dos sabores
15 pessoas não gostam de qualquer um dos sabores
93 pessoas gostam somente de chocolate
103 pessoas gostam, somente de pudim
5) (QUADRIX 2021)Os 2 sabores de sorvetes mais vendidos em uma sorveteria são: chocolate e morango. Em certo dia, 66 clientes pediram o sorvete de chocolate, 31 pediram o sorvete de morango, 7 pediram ambos e 12 pediram sorvetes de outro(s) sabor(es).
Com base nesse caso hipotético, assinale a alternativa que apresenta o número de clientes no dia. 
a) 90 b)99 c) 102 d) 109 e) 116
6) (IBFC – 2021) Em uma determinada rede social Joana e Cecília resolvem comparar seu grupo de amigos. O número de pessoas dessa rede que são amigas de Joana ou de Cecília são 987. Dado que Joana tem 450 amigos e Cecília tem 650 amigos. Assinale a alternativa que indica o valor de amigos comuns a Joana e Cecília nesta rede social.
a)337 b) 200 c)113 d)93
7) Em um grupo de 100 crianças, 80 gostam de sorvete de chocolate, 70 gosta de sorvete de morango e 60 gostam dos dois sabores. Sendo assim, ao todo, quantas crianças não gostam de nenhum dos dois sabores?
a) 5 b)10 c) 15 d) 20
8) ESA 2018 -  Em uma escola com 180 estudantes, sabe-se que todos os estudantes leem pelo menos um livro.
Foi feita uma pesquisa e ficou apurado que:
50 alunos leem somente o livro A;
30 alunos leem somente o livro B;
40 alunos leem somente o livro C;
25 alunos leem os livros A e C;
40 alunos leem os livros A e B;
25 alunos leem os livros B e C.
Logo, a quantidade de alunos que leem os livros A, B e C é:
GABARITOS
Exercício I Resolvido – Exemplos
EXERCÍCIO II (ver diagrama na folha corrigido) 
Questões de 1 a 8
	1
	10 letra A
	5
	7% letra C
	2
	150 letra B
	6
	51% letra A
	3
	50 letra C
	7
	a) 120 b)185 c)215
	4
	140 letra A
	8
	x=130 
Vídeo com resolução das questões: https://youtu.be/gnZdzGqF9P8
EXERCÍCIO III
	1
	
	2
	
EXERCÍCIO IV