Conjuntos: Extensão, Compreensão e Operações

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MATERIAL ELABORADO PELA PROFESSORA MA. RAFAELA FABRO
CONJUNTOS
Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos, de dados, de números, de informações. 
Exemplos:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
B = {primavera, verão, outono, inverno}
Os componentes de um conjunto são chamados elementos. Indicamos os conjuntos por letras maiúsculas do nosso alfabeto e seus elementos por letras minúsculas.
1- EXTENSÃO: nomeando os elementos um a um, separados por vírgula, dentro de chaves e identificando o conjunto por uma letra maiúscula
A = { _____________________________________________} 
B = { _____________________________________________}
C = { _____________________________________________}
D = { _____________________________________________}
2- COMPREENSÃO: quando se representa por uma característica do conjunto. 
A = { _____________________________________________} 
B = { _____________________________________________}
C = { _____________________________________________}
D = { _____________________________________________}
 
3- DIAGRAMA DE VENN - utiliza-se um diagrama para representar um conjunto.
			
TIPOS DE CONJUNTOS:
· Conjunto finito: É o conjunto que possui uma quantidade limitada de elementos. 
· Conjunto infinito: É o conjunto que apresenta uma quantidade infinita (ilimitada de termos). 
· Conjunto unitário: É o conjunto que possui apenas um único elemento. 
· Conjunto Vazio: É o conjunto que não possui nenhum elemento, a sua representação pode ser feita utilizando duas simbologias: { } ou Ø. 
EXERCÍCIOS
1- Represente, por extensão, os seguintes conjuntos:
a) A = {x є N / x < 3} 					e) E = {x є N / 3 < x < 7} 
b) B = {x Z | -3 ≤ x ≤ 3}				f) F = { x N | 9 ≤ x < 15}
c) C = {x N | x > 54}					g) G = {x N | 2 < x ≤ 12}
d) D = {x N | 4 < x < 8}				h) H = {x Z | -2 < x < 3}		
2- Represente, na forma de diagrama, os seguintes conjuntos:
a) G = {x é um número natural múltiplo de 5 e menor que 31}
b) B = {x N | 3 < x < 6}
c) H = {x / x é divisor de 15}
3- Escreva os conjuntos abaixo por compreensão, ou seja, usando uma propriedade que defina o conjunto:
a) A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}	
b) B = {0, 2, 4, 6}
c) C ={ 2,3,5,7,11,13}					
d) D = {-3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3}
e) E = {janeiro, fevereiro, março,...,dezembro}
4- (PUC-RIO 2010) Sejam x e y números tais que os conjuntos {0, 7, 1} e {x, y, 1} são iguais. Então, podemos afirmar que:
a) x = 0 e y = 5
b) x + y = 7
c) x = 0 e y = 1
d) x + 2y = 7
e) x = y
5- Classifique como conjunto vazio, unitário, finito ou infinito:
a) A = { x | x é menor do que 1}		e) B = {x N | x é maior do que 10 e menor do que 11}
b) E = {x N | x < 90}			f) D = {x | x é primo maior do que 7 e menor do que 11}
c) F = {x Z | x < 0}				g) C = {x N | x é par maior do que 3 e menor do que 5}
d) D = { x N | 9 ≤ x < 10}			h) B = {x N | x é um número par e x < 13}
6- Observe cada conjunto a seguir e coloque em cada sentença V (verdadeiro) ou F (falso):
A = {x / x é número par compreendido entre 6 e 8}			( ) A é unitário
B = {x / x é número par positivo}					( ) B é vazio
C = {x / x é número ímpar e par ao mesmo tempo}			( ) C é vazio
D = {x /x é país da América do Sul onde não existem praias}		( ) D é unitário
7- Seja A o conjunto {3, 5, 7, 9, 11, 12}, enumere cada um dos seguintes, conjuntos:
a) {x A / x2 = 9} 
b) {x A / x +9 = 16} =
c) {x A / x é primo} = 
d) {x A / x2 –12x + 35 = 0} =
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS.
Sejam os conjuntos: A = { 1, 2, 3, 5, 7, 8 } B = {x Z | -3 ≤ x ≤ 3} e C = {x Z* | -2 < x < 3}	
· UNIÃO: Denomina-se união de dois conjunto A e B o conjunto formado pelos elementos pertencentes a A ou a B. Exemplos:
 { __________________________________________}
 { __________________________________________}
 { __________________________________________}
· INTERSECÇÃO: Denomina-se intersecção de dois conjuntos A e B o conjunto formados pelos elementos pertencentes a A e a B.
 { __________________________________________}
 { __________________________________________}
 { __________________________________________}
· DIFERENÇA: É o conjunto formado pelos elementos do conjunto que pertencem a A mas não pertencem a B.
 { __________________________________________}
 { __________________________________________}
 { __________________________________________}
 { __________________________________________}
 { __________________________________________}
 { __________________________________________}
EXERCÍCIOS
1- Sendo A = {3, 4, 5, 6, 7} e B = {5, 6, 7, 8, 9, ...}, determine:
a) 
b) 
c) 
d) 
2- Observe o diagrama e responda. Quais os elementos dos conjuntos abaixo:
a) 
b) 
c) 
d) =
e) 
f) 
g) 
h) 
i) =
j) =
3- Se A = {x / x é número ímpar e 0 < x < 10}, B = {x / x é divisor de 24} e C = {x / x é um número par e 2 < x < 13}, determine:
a) A C =					b) B C = 				c) A B = 
c) A C =					d) A – C =				e) A – C =		
f) C – A = 			g) A – B = 				h) B – A = 
TESTES
1- 
2- (MACK – SP) Sejam os conjuntos , e . ) conjutno é igual a:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
3- (PUC – SP) Sejam os conjuntos e . Assinale a alternativa correta:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
4- (UNESP) Se A = {2,3,5,6,7,8}, B = {1,2,3,6,8} e C = {1,4,6,8}, então:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) Todas as alternativas estão incorretas
5- (UFSE) Dados os conjuntos e , o conjunto é igual a:
a) {-1,0,1}
b) {-1,0,1,2}
c) {0,1}
d) {-1,1,2}
e) {-1,0,1,2,3,4}
PROBLEMAS ENVOLVENDO CONJUNTOS
Os diagramas de Venn são utilizados na melhor visualização das propriedades dos conjuntos, facilitando cálculos e a interpretação de situações problema.  A relação entre tais conteúdos pode ser feita através da união de conjuntos envolvendo número de elementos. Primeiramente, explique as propriedades do número de elementos da união de dois conjuntos e posteriormente da união de três conjuntos. 
· RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO 2 CONJUNTOS:
1- Uma pesquisa realizada sobre o ritmo musical de um grupo de jovens constatou que 70 ouvem FORRÓ; 50 ouvem PAGODE; e 18 ouvem FORRÓ e PAGODE.
a) Quantos desses jovens ouvem apenas FORRÓ? 
b) Quantos desses jovens ouvem somente PAGODE? 
c) Quantos jovens foram ouvidos?
2- Após a coleta das informações, com adolescentes, sobre a utilização dos aplicativos WHATSAPP e FACEBOOK para smartphone, observou-se que dos 800 entrevistados; 480, utilizam o WHATSAPP; 300, o FACEBOOK; e, 130, o WHATSAPP e o FACEBOOK.
a) Quantos desses adolescentes utilizam apenas o WHATSAPP? 
b) Quantos desses adolescentes utilizam somente o FACEBOOK? 
c) Quantos desses adolescentes não utilizam nenhum desses aplicativos para smartphone? 
3- Numa escola de 630 alunos, 350 deles estudam Matemática, 210 estudam Física e 90 deles estudam as duas matérias. Pergunta-se:
a) Quantos alunos estudam apenas Matemática? 
b) Quantos alunos estudam apenas Física?
c) Quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias?
· RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO 3 CONJUNTOS:
1- Na porta de um supermercado, foi realizado uma enquete com 100 pessoas, sobre 3 produtos. As respostas foram: 10 pessoas compram o produto A, 30 pessoas compram o produto B e 15 pessoas compram o produto C; 8 pessoas compram A e B, 5 pessoas compram A e C, 6 pessoas compram B e C; e 4 pessoas compram os 3 produtos.
a) Quantas pessoas compram apenas o produto A?
b) Quantas pessoas compram apenas o produto B?
c) Quantas pessoas compram apenas o produto C?
d) Quantas pessoas não compram nenhum desses produtos? 
2- 
3- Numa cidade são consumidos três produtos A, B e C. Feito um levantamento do mercado sobre o consumo desses produtos, obteve-se o seguinte resultado disposto na tabela abaixo:
Pergunta-se:
a) Quantas pessoas consomem apenas o produto A?
b) Quantas pessoas consomem apenas o produto B?
c) Quantas pessoas consomem apenas o produto C?
d) Quantas pessoas foram consultadas?
EXERCÍCIOS:
1- Após um levantamento com alguns alunos dessa turma sobre aemissora de TV preferida, observou-se que: 38 preferem a GLOBO; 25, o SBT; 23, ambas as emissoras; e, 7, nenhuma dessas emissoras.
a) Quantos alunos preferem somente a GLOBO? 
b) Quantos alunos preferem só o SBT? 
c) Quantos alunos opinaram?
2- Após a prova do ENEM, 70 pessoas acharam a prova de LINGUAGENS, CÓDIGOS E SUAS TECNOLOGIAS fácil; 45, acharam somente a prova de MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS fácil; 38, acharam ambas as provas das áreas de conhecimento fáceis; e, 26, não acharam nenhuma das provas dessas áreas de conhecimento fáceis.
a) Quantas pessoas acharam fácil apenas a prova de LINGUAGENS, CÓDIGOS E SUAS TECNOLOGIAS? 
b) Quantas pessoas acharam fácil a prova de MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS? 
c) Quantas pessoas foram ouvidas? 
	
3- Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso e constatou-se que 4.000 deles apresentavam problemas de imagem, 2.800 tinham problemas de som e 3.500 não apresentavam nenhum dos tipos de problema citados. Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é: 
a) 4 000 	b) 3 700		c) 3 500 		d) 2 800 		e) 2 500
4- Numa concentração de atletas há 42 que jogam basquetebol, 28 voleibol e 18 voleibol e basquetebol, simultaneamente. Qual é o número de atletas na concentração?
5- Em uma escola que tem 410 alunos, 220 estudam inglês, 160 estudam francês e 50 estudam ambas as línguas. Responda:
a) Quantos alunos não estudam francês?
b) Quantos alunos estudam somente inglês?
c) Quantos alunos não estudam nenhuma das duas?
6- Em uma escola, 100 alunos praticam vôlei, 150 futebol, 20 os dois esportes e 110 alunos, nenhum esporte. O número total de alunos é 
a) 230 		b) 300 			c) 340 			d) 380 
4- Num levantamento entre 100 estudantes sobre o estudo de idiomas, obtivemos os seguintes resultados: 41 estudam inglês, 29 estudam francês e 26 estudam espanhol; 15 estudam inglês e francês, 8 estudam francês e espanhol, 19 estudam inglês e espanhol e 5 estudam os três idiomas.
a) Quantos estudantes estudam apenas inglês?
b) Quantos estudantes estudam apenas francês?
c) Quantos estudantes estudam apenas espanhol?
d) Quantos estudantes não estudam nenhum desses idiomas?
5- Numa comunidade de 1800 pessoas, há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e humorístico (H). A tabela seguinte indica quantas pessoas assistem a esses programas:
						Responda:
a) Quantas pessoas da comunidade assistem somente ao programa E?
b) Quantas pessoas da comunidade assistem dois desses programas?
c) Quantas pessoas da comunidade não assistem nenhum desses programas?
6- Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações Helena, Senhora e A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas: 600 leram A Moreninha; 400 leram Helena; 300 leram Senhora; 200 leram A Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e Senhora; 100 leram Senhora e Helena; 20 leram as três obras; Calcule:
a) Quantas pessoas leram somente Helena?
b) Quantas pessoas leram somente Senhora?
c) Quantas pessoas leram somente A Moreninha?
TESTES:
1- (PUC-RIO 2009) Num colégio de 100 alunos, 80 gostam de sorvete de chocolate, 70 gostam de sorvete de creme e 60 gostam dos dois sabores. Quantos não gostam de nenhum dos dois sabores?
a) 0
b) 10
c) 20
d) 30
e) 40
2- (UDESC 2009) O que os brasileiros andam lendo?
	 O brasileiro lê, em média, 4,7 livros por ano. Este é um dos principais resultados da pesquisa Retratos da Leitura no Brasil, encomendada pelo Instituto Pró-Livro ao Ibope Inteligência, que também pesquisou o comportamento do leitor brasileiro, as preferências e as motivações dos leitores, bem como os canais e a forma de acesso aos livros.
 (Fonte: Associação Brasileira de encadernação e Restaure, adapt.)
Supõe-se que em uma pesquisa envolvendo 660 pessoas, cujo objetivo era verificar o que elas estão lendo, obtiveram-se os seguintes resultados: 100 pessoas lêem somente revistas, 300 pessoas lêem somente livros e 150 pessoas lêem somente jornais. Supõe-se ainda que, dessas 660 pessoas, 80 lêem livros e revistas, 50 lêem jornais e revistas, 60 lêem livros e jornais e 40 lêem revistas, jornais e livros.
Em relação ao resultado dessa pesquisa, são feitas as seguintes afirmações:
I - Apenas 40 pessoas lêem pelo menos um dos três meios de comunicação citados.
II - Quarenta pessoas lêem somente revistas e livros, e não lêem jornais.
III - Apenas 440 pessoas lêem revistas ou livros.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras.
d) Somente a afirmativa II é verdadeira.
e) Somente a afirmativa I é verdadeira.
3- (ENEM) No dia 17 de Maio próximo passado, houve uma campanha de doação de sangue em uma Universidade. Sabemos que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antígenos. Uma pesquisa feita com um grupo de 100 alunos da Universidade constatou que 42 deles têm o antígeno A, 36 têm o antígeno B e 12 o antígeno AB. Sendo assim, podemos afirmar que o número de alunos cujo sangue tem o antígeno O é:
a) 20 alunos
b) 26 alunos
c) 34 alunos
d) 35 alunos
e) 36 alunos
4- (PUC-RIO 2007) Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de quarenta alunos. Dez alunos acertaram as duas questões, 25 acertaram a primeira e 20 acertaram a segunda questão. Quantos alunos erraram as duas questões?
a) 40
b) 10
c) 0
d) 8
e) 5
5- (UFPA) Um professor de Matemática, ao lecionar Teoria dos Conjuntos em uma certa turma, realizou uma pesquisa sobre as preferências clubísticas de seus n alunos, tendo chegado ao seguinte resultado:
· 23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club;
· 23 alunos torcem pelo Clube do Remo;
· 15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco da Gama;
· 6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco;
· 5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo. 
Ao designarmos por A o conjunto dos torcedores do Paysandu, por B o conjunto dos torcedores do Remo e por C o conjunto dos torcedores do Vasco, todos da referida turma, teremos, evidentemente, A ∩ B = Ø. Concluímos que o número n de alunos dessa turma é
a) 49.
b) 50.
c) 47.
d) 45.
e) 46.
6- (UNESP) Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de Matemática e 20 gostam de História. O número de alunos desta classe que gostam de Matemática e História é:
a) exatamente 16
b) exatamente 10
c) no máximo 6
d) no mínimo 6
e) exatamente 18
6