AOL 3 - Matemática Economia

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1. Pergunta 1
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Além da economia, o cálculo diferencial é aplicado em várias áreas de conhecimento, entre essas: astronomia, engenharia e física. Em física a taxa de aceleração de um corpo é definida como AC=∆V/∆t, onde AC = aceleração e ∆V e ∆t são, respectivamente, a taxa de variação na velocidade e do tempo. Supondo que a aceleração de três corpos, A, V e R, sejam descritas por meio das respectivas funções, a(t) = t² , v(t) = 2t + 3 e r(t) = t² + 4 e levando em conta quer as derivadas de a(t), v(t) e r(t) medem as taxas de aceleração dos corpos A, V e R em relação à variação do tempo.
Com base nessas informações e no conteúdo estudado sobre conceito de derivada e sua interpretação geométrica e física, analise as afirmativas a seguir.
I. As derivadas de a(t), v(t) e r(t) são, respectivamente, a’(t) = 2, v’(t) = 2 e r’(t) = 3.
II. A taxa de aceleração dos corpos A e V são iguais no instante t = 5, pois a’(1) = 2, v’(1) = 2.
III. A taxa de aceleração dos corpos A e R são iguais no instante t = 1, pois neste ponto a’(t) = 2, v’(t) = 2.
IV. A taxa de aceleração dos corpos A e V são iguais no instante t = 3, pois neste ponto a’(t) = 2, v’(t) = 2.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
1. III e IV. Resposta correta
2. I, III e IV.
3. I e II.
4. I e III.
5. Incorreta: II e III.
2. Pergunta 2
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As análises feitas pelos economistas envolvem técnicas para a determinação de operações envolvendo a soma, produto e razões entre monômios e polinômios, sendo esses expressos na forma xn, xn/(xn + xk) ou (xn + xk)t. Agora considere que você se depare com as seguintes funções
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre conceitos de limite e continuidade, analise as afirmativas a seguir:
I. A derivada da função
.
II. A derivada da função
.
III. A derivada da função
.
IV. A derivada do produto das funções
.
Está correto apenas o que se afirma em:
1. II e III. Resposta correta
2. I e III.
3. Incorreta: I, III e IV.
4. III e IV.
5. I e II.
3. Pergunta 3
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O estudo das funções pode ser realizado por meio da inspeção gráfica e ou a partir do emprego do cálculo diferencial. Esta técnica analítica é bastante precisa, uma vez que permite determinar, com precisão, as funções que descrevem o comportamento de uma função objetivo quando a variável dependente, em geral x, percorre todos os pontos do domínio. Admita as seguintes funções:
.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre derivadas de ordem superior, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A terceira derivada da função
.
II. ( ) A terceira derivada da função
.
III. ( ) A terceira derivada da função
.
IV. ( ) A terceira derivada da função
.
V. ( ) A terceira derivada da função
.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
1. F, F, V, F, V.
2. V, F, V, F, V.
3. V, V, F, F, V. Resposta correta
4. Incorreta: V, V, V, F, F.
5. F, F, V, V, V.
4. Pergunta 4
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Em suas atividades os economistas empregam diferentes técnicas de diferenciação. Entre essas, as regras da soma, diferença, produto e ou divisão, além da regra da cadeia. Suponha que você precise analisar operações envolvendo as seguintes funções:
Com base nessas informações no conteúdo estudado sobre conceitos de limite e continuidade, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A derivada do produto das funções f(x) e
.
II. ( ) A derivada do produto das funções g(x) e
.
III. ( ) A derivada do produto das funções f(x) e
.
IV. ( ) A derivada do produto das funções f(x) e
.
V. ( ) A derivada do produto das funções g(x) e
.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
1. V, F, V, F, V.
2. Incorreta: V, F, F, V, V.
3. F, V, V, F, F. Resposta correta
4. V, V, F, F, V.
5. F, F, V, V, V.
5. Pergunta 5
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Uma vez ou outra, os analistas têm como propósito aplica modelos econômicos que empregam duas ou mais funções. Esse fato é muito comum em microeconomia, particularmente na análise do comportamento do consumidor e na determinação da curva de oferta das empresas. Suponha que você se depare com as seguintes funções:
.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre continuidade de funções elementares, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A derivada da diferença entre as funções
.
II. ( ) A derivada da diferença entre as funções
.
III. ( ) A derivada da soma das funções
.
IV. ( ) A derivada do produto entre as funções
.
V. ( ) A derivada da soma de
menos a derivada de
.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
1. V, F, V, F, F.
2. V, F, F, V, V.
3. Incorreta: V, F, V, V, V.
4. F, V, V, F, F.
5. V, V, V, V, F. Resposta correta
6. Pergunta 6
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A microeconomia é a área de economia que estuda o processo de formação de preço dos bens nos diferentes mercados. Sob a ótica das empresa, duas abordagens dão subsídios aos economistas nos processos de tomada de decisões: análise da produtividade e análise dos custos de produção. Considere que as funções de receita total (RT), custo total (CT) e lucro total (LT) de uma empresa sejam as seguintes, RT = - 0.6 + 2 + x + 2, CT = 0.3 -  + 2x + 3 e LT = RT – CT, onde x é a quantidade produzida.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre aplicações específicas de derivadas em modelos econômicos, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas:
I. As derivadas de RT, CT e LT são, respectivamente, dRT/dx = - 1.8 + 4x + 1, dCT/dx = 0,9 – 2x + 2 e dLT/dx = - 1,8 + 6x – 1, sendo dCT/dx a função que descreve o Custo Médio da (CMe) da empresa.
Porque:
II. Para obter dRT/dx, dLT/dx e dCT/dx aplicou-se a “regra do tombo”, que determina que o expoente do termo x passa a multiplicá-lo e o novo expoente desse deve ser o expoente antigo menos 1; já CMe = dCT/dx é a taxa de variação de CT em função da variação de x.
A seguir, assinale a alternativa correta:
1. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. Resposta correta
2. As asserções I e II são proposições falsas.
3. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
4. Incorreta: As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
5. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
7. Pergunta 7
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A maior parte das atividades desenvolvidas pelos profissionais que atuam com economia envolvem o uso e a representação gráfica de funções, sendo estas empregadas na definição, teste e representação de modelos econômicos. Portanto, ao exercer suas atividades, esses profissionais devem ser capazes de examinar as condições de existência desses modelos.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre derivação de funções elementares, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas:
I. As funções f(x) =1/(x - 2), g(x) =x/(x^2 - 4) não são diferenciáveis.
Porque:
II. Tanto a função f(x) =1/(x - 2) quando a função g(x) =x/(x^2 - 4) não são definidas no ponto x = 2.
A seguir, assinale a alternativa correta:
1. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
2. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
3. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. Resposta correta
4. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
5. As asserções I e II são proposições falsas.
8. Pergunta 8
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Os monômios e polinômios são formados, respectivamente, por expressões do tipo
, onde x é a variável independente e os termos n, k e j são os expoentes vinculados à variável independente. As técnicas empregadas na obtenção da derivada de polinômios envolvem a regra do quociente e a regra da cadeia.
.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre propriedades elementares dos limites e funçõescontínuas, analise as afirmativas a seguir:
I. A derivada da função
e esta função é definida quando x = 0.
II. A derivada da função
e esta função é definida quando x = 0.
III. A derivada da função
e esta função não é definida quando x = 0.
IV. A derivada da função
e esta função não é definida quando x = 0.
Está correto apenas o que se afirma em:
1. I, III e IV. Resposta correta
2. II e III.
3. III e IV.
4. I e II.
5. I e III.
9. Pergunta 9
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A grande contribuição do cálculo para as ciências, em particular para a ciência econômica, é permitir a análise das características de diferentes funções. A análise dessas pode ser feita por meio de sua representação gráfica. No entanto, as ferramentas de cálculo diferencial complementam essa análise, pois permite determinar pontos de máximo e mínimo das funções, determinar se essas são crescentes ou decrescentes e em quais pontos isso ocorre. Avalie o gráfico a seguir, que representam as seguintes funções: f(x)=-x³+3x+6 (curva azul), g(x)=2x³-4x²+2x+4 (curva verde) e h(x)=x²-2x+1 (curva laranja).
Com base nessas informações e no conteúdo estudado sobre aplicação da derivada para investigação de função e construção do seu gráfico, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) Os pontos de mínimo e máximo locais da função f(x)=-x³+3x+6, curva azul, são (-1; 1) e (1; 0), respectivamente.
II. ( ) Os pontos de mínimo e máximo locais da função g(x)=2x³-4x²+2x+4, curva verde, são (2; 8) e (0,3; 4,3), respectivamente.
III. ( ) O ponto de mínimo local da função h(x)=x²-2x+1, curva laranja, é (1; 4) sendo a equação da tangente dessa função h’(x) = 2x +2.
IV. ( ) As segundas derivadas das funções f(x) e g(x) são f’’(x)= 1 e g’’(x)=8x, respectivamente.
V. ( ) Como as segundas derivadas das funções f’’(-1) = 6 e g’’(1) = 4 os pontos x = -1 e x = 1 são pontos de mínimo local das respectivas funções.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
1. F, V, V, F, V.
2. V, F, F, F, V.
3. V, F, V, V, V.
4. F, F, V, F, V. Resposta correta
5. V, V, V, F, F.
10. Pergunta 10
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Muitas atividades vinculadas às análises microeconômicas (área da economia que estuda os processos de formação do preço dos bens e serviços) e macroeconômicas (área da economia que estuda os processos de formação do produto, emprego e renda) feitas pelos economistas empregam a regra da cadeia, técnica do cálculo diferencial que estabelece relações entre duas ou mais funções como meio de determinar a derivada de funções compostas.
Considerando essas informações e o conteúdo estudados sobre continuidade de funções compostas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
1. Incorreta: V, F, V, F, V.
2. F, F, V, V, F.
3. V, V, V, F, V.
4. V, F, V, V, V. Resposta correta
5. V, F, F, F, V.