INTRODUÇÃO A TRIGONOMETRIA

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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
INTRODUÇÃO A TRIGONOMETRIA
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Olá!
Ao final desta aula, o aluno será capaz de:
1. Identificar as razões trigonométricas no triângulo retângulo;
2. relacionar as razões trigonométricas com o círculo trigonométrico;
3. estudar as relações e fórmulas trigonométricas.
1.
Razões Trigonométricas
Consideremos um triângulo retângulo no qual um dos ângulos é o ângulo agudo α. Definimos os seguintes
números, chamados de razões trigonométricas de α:
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Relações entre Seno, Cosseno e Tangente dos Ângulos Agudos de um Triângulo Retângulo
Os ângulos e são complementares 
 e assim 
Relação Fundamental entre Seno e Cosseno.
Aplicando Pitágoras no triângulo dado temos:
Ficamos com: 
Valor Tangente
 mas Assim 
Cálculo das Razões Trigonométricas
Ângulo de 45
Considere um quadrado de lado a.
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Ângulo de 60
Considere um triângulo equilátero de lado a.
Ângulo de 30
Como o ângulo de 30º é complementar ao de 60º, podemos dizer que:
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A circunferência
Ângulo Central: tem o vértice no centro da circunferência e seus lados são semirretas secantes à circunferência.
Medida do ângulo central = medida do arco determinado por ele sobre a circunferência.
Sistema Sexagesimal (graus)
Dividindo a circunferência em 360 partes de mesmo tamanho determinamos 360 arcos de 1º cada.
da circunferência
Circular (radianos)
Comprimento de uma circunferência: 
Radiano: arco cujo comprimento é igual à medida do raio da circunferência que o contém (rad)
Comprimento da circunferência temos que uma volta completa equivale a rad 
 ou rad
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Exemplos
O Ciclo Trigonométrico
Ciclo trigonométrico: é uma circunferência orientada no sentido anti-horário de raio unitário cujo centro
coincide com a origem de um sistema cartesiano ortogonal. = as quatro regiões que o plano ficaQuadrantes
dividido.
Ponto A(1,0) = Origem dos arcos.
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Agora, vamos assistir a um vídeo que mostrará as Razões Trigonométricas na Circunferência.
Em uma circunferência trigonométrica no plano cartesiano, de centro na origem e raio unitário, considere um
ponto M=(x',y') no primeiro quadrante desta circunferência. Este ponto M=(x',y') determina um arco AM,
correspondente ao ângulo central a.
Considere as projeções ortogonais do ponto M:
> ponto C=(x',0): projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OX;
> ponto B=(0,y): projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OY.
SENO Seno do ângulo a: = ordenada y’ do ponto M Notação: sen(AM) ou sen(a).
Cosseno do ângulo a: = abscissa x' do ponto M Notação: cos(AM) ou cos(a).
Tangente
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Considere a reta t, tangente ao ciclo trigonométrico na origem A=(1,0), perpendicular ao eixo OX.
A interseção da reta que passa pelo ponto M da circunferência e pelo centro da circunferência com a reta
tangente t é o ponto T=(1,t').
Tangente do ângulo a: ordenada do ponto T, Notação: tg (AM) ou tg(a).
Relação entre Tangente, Seno e Cosseno
Considere o ciclo trigonométrico, sendo:
Os triângulos OMN e OTA são semelhantes.
De fato:
Assim . Como AO=1 (raio), ficamos com 
Observe que em , e . Para , temos: 
Pontos sobre os eixos: Seno, Cosseno e Tangente
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Para os ângulos rad e rad, a tangente não está definida, uma vez que a reta OM não intercepta a reta t, pois
elas são paralelas.
Relação Fundamental da Trigonometria
Considere M=(cos(a),sen(a)).
A distância de M até a origem (0,0) é igual a 1.
Dessa forma:
Cotangente
Considere a reta s tangente à circunferência no ponto B=(0,1), perpendicular ao eixo OY.
A interseção da reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência e a reta s é o ponto S=(s',1).
Cotangente do ângulo a: abscissa s’.
Notação: cot(AM)=cor(a)
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Secante e Cossecante
Considere a reta r tangente à circunferência
trigonométrica no ponto M=(x',y'), perpendicular à reta que contém o segmento OM.
Interseção da reta r com o eixo OX: ponto V(v,0)
Secante do ângulo a: abscissa do ponto V.
Notação: sec(a)=sec(AM).
Interseção da reta r com o eixo OY: o ponto U=(0,u).
Cossecante do ângulo a: ordenada do ponto U.
Notação: csc(AM)=csc(a)
Relação entre Secante e Cosseno
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Relação entre Cossecante e Seno
Relações entre Funções Trigonométricas
Redução ao Primeiro Quadrante
Ângulos que diferem de 90º: 90ºe 90 – 
A abcissa de Q é simétrica da ordenada de P, e a ordenada de Q é igual à abcissa de P:
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Ângulos Suplementares: e 180-
Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados a a e 180°a, são simétricos em relação ao
eixo das ordenadas. As ordenadas de P e Q são iguais e as suas abscissas são simétricas:
Ângulos que diferem de 1800: e 180-
Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados a a e a 180° + a, são simétricos em
relação a O, assim, as suas ordenadas e as suas abscissas são simétricas:
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Ângulos simétricos: e -
Os pontos P e Q do circulo trigonométrico, respectivamente associados a e a,são simétricos em relação ao eixo
das abscissas, assim, as abscissas de P e Q são iguais e as suas ordenadas são simétricas:
Arcos Complementares: arcos com origem na origem dos arcos do ciclo e extremidades simétricas com relação
à bissetriz do 1 e 3 quadrantes.
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Soma e Diferença de Dois Arcos
O que vem na próxima aula
Na próxima aula, começaremos a estudar os conceitos de Limite e Continuidade.
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Os conceitos básicos de trigonometria. Aprendemos as razões trigonométricas no triângulo retângulo e 
as relacionamos com o círculo trigonométrico. Estudamos também as relações e fórmulas 
trigonométricas.
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	Olá!
	1.
	O que vem na próxima aula
	CONCLUSÃO