Aula 1 - Cálculo Aplicado uma variável

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Cálculo Aplicado – uma variável
Prof. Landulfo Silveira Jr.
lsjunior@anhembi.br
Programação da aula:
Trigonometria e Noções de Limites: Trigonometria no triângulo retângulo
 Identificar um triângulo retângulo e classificá-lo quanto aos ângulos e lados.
 Utilizar o Teorema de Pitágoras no estudo de triângulos retângulos. 
 Calcular num triângulo retângulo medidas de seus ângulos, lados e determinar as relações trigonométricas.
Analisar uma situação problemas, que envolve um triângulo retângulo, e obter a sua solução. 
Trigonometria e Noções de Limites: Ciclo e funções trigonométricas
Identificar e reconhecer no ciclo trigonométrico valores trigonométricos. 
Resolver exercícios usando a relação trigonométrica fundamental.
Analisar e resolver uma situação problema que envolvem funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente, secante, cossecante, cotangente e arcos trigonométricos).
Pra começo de conversa...
importância do triângulo retângulo na resolução de problemas aplicados a várias áreas de conhecimento	 (principalmente Engenharia)
Projeto ponte Foz do Iguaçu
Torre Eiffel
Triângulos: elementos estruturais de pontes e torres
Identificar um triângulo retângulo e classificá-lo quanto aos ângulos e lados, usar o teorema de Pitágoras na resolução de problemas. 	
Triângulo retângulo:
Em geometria, um triângulo retângulo é um triângulo em que um dos ângulos é reto (ou seja, um ângulo de 90°). A relação entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo é a base da trigonometria. 
O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa (lado c na figura). Os lados adjacentes ao ângulo reto são chamados de catetos. O lado a pode ser identificado como o lado adjacente ao ângulo B e oposto ao ângulo A, enquanto o lado b é o lado adjacente ao ângulo A e oposto ao ângulo B. 
Propriedades:
Área: A = (a.b)/2
Soma dos ângulos internos: 
	A + B + C = 180°
Altura:
	Se uma altura é traçada a partir do vértice com o ângulo reto em relação à hipotenusa e formando outro ângulo reto com esta, o triângulo é dividido em dois triângulos menores que são semelhantes ao original e, portanto, um ao outro. 
área A
Teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras afirma que:
	Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os dois catetos (os dois lados que se encontram em ângulo reto).
Isso pode ser afirmado na forma de equação como:
	a2 + b2 = c2
	onde c é o comprimento da hipotenusa e a e b são os comprimentos dos dois lados restantes. 
Um pouco sobre Pitágoras:
Pitágoras de Samos (570 a.C. - 495 a.C.) foi um filósofo e matemático grego. Fundador do movimento chamado Pitagorismo.
Os pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números. Para eles, os números eram sinônimo de harmonia, sendo considerados como a essência das coisas. 
Segundo os pitagóricos, o cosmo é regido por relações matemáticas. A observação dos astros sugeriu-lhes que uma ordem domina o universo. Evidências disso estariam no dia e noite, no alterar-se das estações e no movimento circular e perfeito das estrelas. O mundo poderia ser chamado de cosmos (ordem, correspondência e beleza). Nessa cosmovisão também concluíram que a Terra é esférica, estrela entre as estrelas que se movem ao redor de um Fogo Central (sol). Alguns pitagóricos chegaram até a falar da rotação da Terra sobre o eixo, mas a maior descoberta de Pitágoras ou dos seus discípulos deu-se no domínio da geometria e se refere às relações entre os lados do triângulo retângulo. A descoberta foi enunciada no teorema de Pitágoras.
Exercícios:
1) A diagonal de um retângulo mede 10 cm, e um de seus lados mede 8 cm. Qual o perímetro desse retângulo?
2) Na decolagem, um avião percorreu a distância de 5.000 m na posição inclinada, e em relação ao solo, percorreu 3.000 m. Qual a altitude do avião no fim do percurso?
3) Os lados de um triângulo ABC medem 10 cm, 24 cm e 26 cm. Esse triângulo é retângulo?
4) Demonstre que a altura h de um triângulo equilátero vale:
	onde l é o comprimento dos lados. 
Identificar e reconhecer no ciclo trigonométrico valores trigonométricos e como usar a relação trigonométrica fundamental na resolução de problemas.
Identidade trigonométrica fundamental
A identidade trigonométrica fundamental é uma identidade trigonométrica que expressa o teorema de Pitágoras em termos de funções trigonométricas. Junto com a fórmula da soma dos ângulos é a relação básica entre as funções seno e cosseno a partir das quais todas as outras podem ser derivadas. 
Círculo trigonométrico:
Também chamado círculo unitário, pois possui raio igual a 1.
Círculo unitário
Se (a, b) é um ponto na circunferência do círculo unitário, então |a| e |b| são os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo cuja hipotenusa tem comprimento 1. Assim, pelo Teorema de Pitágoras, a e b satisfazem a equação: 
	a2 + b2 = 1 (equação da circunferência unitária)
Equação reduzida do círculo:
Sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P (dCP) é o raio dessa circunferência. 
	Então: 
	dCP2 = (XP - XC)2 + (YP - YC)2 
	 r2 = (x - a)2 + (y - b)2 
Funções trigonométricas:
As funções trigonométricas seno (sen), cosseno (cos) e tangente (tg ou tan) do ângulo  podem ser definidas no círculo unitário da seguinte forma: Se (a, b) é um ponto no círculo unitário, e, se o raio a partir da origem (0,0) para (a, b) faz um ângulo  em relação ao eixo x positivo (sentido anti-horário é positivo), então:
a = cos()
b = sen()
A tangente é definida como: 
b/a = tg()
Outras funções trigonométricas:
Funções trigonométricas de razão recíproca, secante (sec()), cossecante (cossec()) e cotangente (cotg()), das funções cosseno, seno e tangente, respectivamente, são assim escritas:
sec() = 1/cos() = 1/a
cossec() = 1/sen() = 1/b
cotg() = 1/tg() = a/b
Identidades trigonométricas pitagóricas:
A equação a2 + b2 = 1 fornece a relação: 
	cos2() + sen2() = 1
Também podemos escrever:
	tg2() + 1 = sec2()
	cotg2() + 1 = cossec2()
Senos e cossenos são funções periódicas:
O círculo unitário também demonstra que seno e cosseno são funções periódicas, com as identidades 
	cos() = cos(2k + ) 
	sen() = sen(2k + )
	para qualquer número inteiro k (k = 1, 2, 3, ...). 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/67/2pi-unrolled.gif
Uma volta completa  2 ou 360° 
Arco e radiano
Dada uma circunferência qualquer de centro O e raio r, marcamos dois pontos A e B, os quais dividem a circunferência em duas partes denominadas de arco de circunferência. Os pontos A e B são os extremos do arco. Caso as extremidades sejam coincidentes, temos um arco com uma volta completa. Observe a ilustração: existe o arco AB e o ângulo central representado por . 
Dizemos que o arco mede 1 radiano se o comprimento do arco (s) for igual à medida do raio da circunferência (R). Assim, para sabermos a medida de um arco em radianos, devemos calcular quantos raios da circunferência são precisos para se ter o comprimento do arco. 
	 = s/R 
	Daí resulta que s = .R
Ângulo e radiano
	360° → 2 radianos (aproximadamente 6,28)
180° →  radiano (aproximadamente 3,14)
90° → /2 radiano (aproximadamente 1,57)
45° → /4 radiano (aproximadamente 0,785) 
Funções trigonométricas inversas
	As funções trigonométricas inversas são também chamadas de função de arco pois retornam o arco (o ângulo) correspondente a certa função trigonométrica. 
	Ex: arco seno 
	arcsen(x) =  ou sen-1(x) = 
	Pois x = sen() 
Exercícios:
5) A partir da figura do slide 16, demonstre que:
a) quando a = 1, b = 0 e o ângulo  é 0.
b) quando a = 0, b = 1 e o ângulo  é 90°.
c) quando a = -0,707, b pode ser 0,707 ou -0,707 e o ângulo  pode ser 135° ou 225°.
6) Demonstrar as identidades trigonométricas pitagóricas através do teorema de Pitágoras:
a) cos2() +sen2() = 1
b) tg2() + 1 = sec2()
c) cotg2() + 1 = cossec2()
Simulação: Geogebra
https://www.geogebra.org/?lang=pt
Realizar a ambientação no site Geogebra, identificando as janelas de entrada de dados, de visualização gráfica e de saída.
Construir um círculo unitário.
Construir três triângulos retângulo com hipotenusa = 1 (ou seja o próprio raio do círculo unitário) e ângulos variados. (obs: construir um por vez.)
Medir os tamanhos dos catetos e das hipotenusas e verificar se os mesmos obedecem ao teorema de Pitágoras.
Medir e calcular os ângulos (em radianos e em graus).
Pós-aula:
Leitura e resolução dos exercícios propostos do capítulo 9 de: MEDEIROS, Valéria Zuma et al. Pré-Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2006. ISBN 85-221-0450-6.
Propor o enunciado de dois problemas e propor a solução que envolva necessariamente:
	- Trigonometria e Noções de Limites: Trigonometria no triângulo retângulo
	- Trigonometria e Noções de Limites: Ciclo e funções trigonométricas
Postar os problemas e as respostas dentro do Forum da disciplina no Blackboard.
	(Obs: Fotografar a solução feita em folhas de caderno ou A4. e postar no Forum)
Obrigado!
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h
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