Lista de Álgebra Linear AV3

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Lista de Exerćıcios
Álgebra Linear
Aluno(a):
Vetores
Q1. Considere as operações de SOMA e MULTIPLICAÇÃO dadas abaixo. Verifique se o
conjunto V = R2 é um espaço vetorial com tais operações.
(a) SOMA: (x, y) + (z, w) = (x+ z, 0); MULTIPLICAÇÃO α(x, y) = (αx, αy).
(b) SOMA: (x, y) + (z, w) = (x+ z, y + w); MULTIPLICAÇÃO α(x, y) = (αx, 0).
(c) SOMA: (x, y)+(z, w) = (2x−2y,−x+y); MULTIPLICAÇÃO α(x, y) = (3αy,−αx).
Q2. Conidere o espaço vetorial M das matrizes reais 2× 2, isto é,
M =
{(
a b
c d
)
; a, b, c, d ∈ R
}
com soma e multiplicação pore scalar usuais. Mostre o que conjunto W abaixo é um
subespaço vetorial de M.
W =
{(
a −a
c d
)
; a, c, d ∈ R
}
Q3. Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de R3 (considerando a soma e
produtos por escalar usuais) ?
(a) W = {(x, y, z) ∈ R3; x = 0}
(b) W = {(x, y, z) ∈ R3; x é um número inteiro }
(c) W = {(x, y, z) ∈ R3; x− 3z = 0}
(d) W = {(x, y, z) ∈ R3; x2 + y + z = 0}
(e) W = {(x, y, z) ∈ R3; x+ y é uma fração }
(f) W = {(x, y, z) ∈ R3; x ≤ y}
Q4. Sendo a 6= 0 número real qualquer, o conjuntos é LI ou LD? Justifique a resposta.
{(1− a, 1 + a, 0); (1 + a, 1− a, 0); }.
Q5. Encontre valores de m e n para que os vetores abaixo sejam LI.
{(3, 5m, 1, 2); (2, 0, 4, 2); (1,m, 3, 2); }.
Q6. Encontre uma base e a dimensão para os subespaços de R3 abaixo:
(a) W = {(x, y, z) ∈ R3; x = z}
(b) W = {(x, y, z) ∈ R3; x+ y + z = 0}
(c) W = {(x, y, z) ∈ R3; x− 2y = 0}
(d) W = {(x, y, z) ∈ R3; x+ z = 0 e x = 2y}
Q7. Encontre duas bases diferentes para o subespaço W = {(x, y, z) ∈ R3; x+ z = 0} de R3.
Q8. Verifique se as aplicações F : Rn → Rm abaixo são Transformações Lineares.
(a) F (x, y, z) = (z, x+ y)
(b) F (x, y, z) = −2x+ 3y + z
(c) F (x, y, z) = (x− y, x+ y, 0)
(d) F (x, y, z) = (x, x, x)
(e) F (x, y) = (y, y, y2)
(f) F (x) = (0, 0, x− 1)
(g) F (x) = x+ 1
Q9. Escreva a Transformação linear F : R2 → R2 que satisfaz
F (1, 2) = (3, 0) e F (0, 1) = (2, 2).
Q10. Encontre o Núcleo das transformações lineares abaixo.
(a) F (x, y, z) = (x+ y, 2x− y + z)
(b) F (x, y, z) = x+ y
(c) F (x, y) = (x− y, x+ y, 0)
(d) F (x, y, z) = (2y, x+ y)
(e) F (x, y, z) = (x− y, x+ z, z + w,w + x)
(f) F (x) = 3x
Q11. Qual a dimensão do Núcleo e da Imagem das Transformações Lineares da questão anterior?
Q12. Determine as matrizes das seguintes Transformações Lineares em relação às bases canônicas
dos respectivos espaços.
(a) F ∈ L(R3,R2) definida por F (x, y, z) = (x+ y, z).
(b) F ∈ L(R2,R3) definida por F (x, y) = (x+ y, x, x− y).
(c) F ∈ L(R4,R) definida por F (x, y, z, w) = 2x+ y − z + 3w.
(d) F ∈ L(R,R3) definida por F (x) = (x, 2x, 3x− 1).
Q13. Seja F ∈ L(R3 → R2) definida por F (x, y, z) = (z, x + y), Determine a matriz de F em
relação às bases:
(a) B = {(1, 1, 1); (1, 1, 0); (1, 0, 1)} de R3 e {(1, 0); (0, 1)} de R2.
(b) B = {(1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)} de R3 e {(1, 1); (2, 1)} de R2.
Q14. Encontre a matriz de mudança de base que faz a mudança da base B para C a seguir,
ambas de R4.
B = {(1, 2, 3, 0); (0, 1, 2, 3); (1, 0, 2, 3); (1, 2, 0, 3)};
C = {(3, 2, 1, 0); (0, 3, 2, 1); (3, 0, 2, 1); (3, 2, 0, 1)};
Bons estudos.