EXT SEL413 Lista ex res linha

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SEL413-Telecomunicações
Exercícios resolvidos de linhas de transmissão
Exercício 1: Determinar a impedância característica de uma linha de transmissão que possui capacitân-
cia de 35 pF/cm e indutância de 0,25 �H/cm.
Solução: A impedância característica é dada por Z0 =
p
L=C =
p
0; 25� 10�6=35� 10�12 e Z0 = 84; 5 
 .
Exercício 2: Uma linha de transmissão exibe as seguintes características: R = 2 
=m; G = 0; 5 mS=m;
L = 8 nH=m e C = 0; 23 pF=m. A freqüência de operação é 1 GHz. Calcular a impedância característica e
a constante de propagação.
Solução: A impedância característica de uma linha com perdas é Z0 =
p
(R+ j!L) = (G+ j!C). Temos
que !L = 2�f = 2� � 109 � 8 � 10�9 = 16�; !C = 2� � 109 � 0; 23 � 10�12 = 0; 46� � 10�3 e
Z0 =
p
(2 + j16�) = (0; 5 + j0; 46� � 10�3) e Z0 �= 180 + j26; 5 = 182 6 8; 40 
 . A constante de propagação
de uma linha com perdas é dada por k =
p
(R+ j!L) (G+ j!C) =
p
(2 + j16�) (0; 5 + j0; 46�) 10�3 e
k = 0; 051 + j0; 273 = 0; 2786 79; 40 m�1 .
Exercício 3: Uma linha de transmissão sem perdas com impedância característica Z0 = 300 
 é conectada
a uma carga ZL = 100 + j50
: A freqüência do sinal é 300 MHz. Calcular a impedância em um ponto
distante 12; 5 cm da carga.
Solução: A impedância em qualquer ponto da linha é Z (z) = Z0 [ZL + jZ0tg (kIz)] = [Z0 + jZLtg (kIz)].
Mas, � � �0 = v=f =
�
3� 1010� = �300� 106� e � = 100 cm; kI = 2�=�;. Na posição z1 = 12; 5 cm,
kIz1 = 2�z1=� = 2� � 12; 5=100 = 2�= (100=12; 5) = 2�=8 = �=4 rad e tg(kIz1) =tg(�=4) = 1. Por-
tanto, Z (z) = 300 � [(100 + j50) + j300 (1)] = [300 + j (100 + j50)] = 300 � (100 + j350) = (250 + j100) e
Z (z) = 248; 3 + j320; 7 
 .
Exercício 4: Uma linha de transmissão bi…lar sem perdas de Z0 = 50 
 é conectada a uma carga
ZL = 50 � j30 
: O dielétrico com o qual a linha é fabricada possui "r = 2; 62 e a freqüência de op-
eração é 100 MHz. Calcular: A impedância em um ponto a 10 cm da carga; o coe…ciente de re‡exão na
carga; a relação de onda estacionária na linha e a relação entre a potência média re‡etida e a potência média
incidente na carga.
Solução: Temos que � = v=
�
f
p
"r
�
= 3:1010=
�p
2; 62:108
�
= 185 cm; kIz1 = 2�z1=� = 2� � 10=185 =
2�= (185=10) = 2�=18; 5 = 0; 108�; tg(kIz1) =tg(0; 108�) = 0; 353;
Z (z1) = 50� [(50� j30) + j50� 0; 353] = [50 + j0; 353 (50� j30)] e Z (z1) = 35; 5� j20; 6 = 41 6 � 300 
 .
O coe…ciente de re‡exão na carga é �0 = (ZL � Z0) = (ZL + Z0) = [(50� j30)� 50] = [(50� j30) + 50] e
�0 = 0; 083� j0; 28 = 0; 296 � 730 . A relação de onda estacionária é ROE = (1 + j�Lj) = (1� j�Lj) =
(1 + 0; 29) = (1� 0; 29) e ROE = 1; 82 . A relação entre as potências é Pr=Pi = j�Lj2 = 0; 292 e Pr=Pi = 0; 084 .
Portanto, 8; 4% da potência incidente é re‡etida.
Exercício 5: Uma linha de transmissão de 72 
 está ligada a uma carga de 50 
. Calcular: O mó-
dulo do coe…ciente de re‡exão; a R0E; a porcentagem de potência incidente que é re‡etida e a porcentagem
de potência incidente que é absorvida pela carga.
Solução: O coe…ciente de re‡exão é dado por �0 = (ZL � Z0) = (ZL + Z0) = (72� 50) = (72 + 50) e �0 = 0; 18 .
A relação de onda estacionária é dada por ROE = (1 + j�Lj) = (1� j�Lj) = (1 + 0; 18) = (1� 0; 18) e
ROE = 1; 44 . A relação entre as potências é Pr=Pi = j�Lj2 = 0; 182 e Pr=Pi = 0; 0324 . Portanto,
3; 24% da potência incidente é re‡etida. A relação entre a potência média dissipada na carga e a potência
incidente é Pd=Pi = 1� 0; 0324 = 0; 968 ou 96; 8%.
Exercício 6: Mostrar que se Z (zmin) = Z0=R0E, então ZC = (1� jR0EtgkIzmin) = (R0E � jtgkIzmin), na
qual zmin corresponde à posição de valor mínimo da tensão da onda estacionária mais próxima da carga.
Solução: A impedância em qualquer ponto da linha é dada por Z (z) = Z0 (ZL + jZ0tgkIz) = (Z0 + jZLtgkIz).
Para z = zmin e Z (zmin) = Z0=R0E, Z (zmin) = Z0 (ZL + jZ0tgkIzmin) = (Z0 + jZLtgkIzmin), Z0=ROE =
Z0 (ZL + jZ0tgkIzmin) = (Z0 + jZLtgkIzmin) e ZL = Z0 (1� jR0EtgkIzmin) = (R0E � jtgkIzmin) . O valor
1
do comprimento de onda na linha, �, é conhecido a partir da medida de �=2 (distância entre 2 mínimos
adjacentes). O valor de zmin correspondente ao primeiro mínimo depois da carga ( mínimo mais próximo da
carga).
Exercício 7: Da medida de R0E e zmin ao longo de uma linha de transmissão sem perdas resulta R0E = 3; 5
e zmin = 8 cm. A distância zmin corresponde ao mínimo mais próximo da carga. A impedância característica
da linha é Z0 = 72 
. Se o comprimento de onda da sinal é � = 50 cm, determinar a impedância de carga
ZL.
Solução: Temos que ZL = Z0 (1� jR0EtgkIzmin) = (R0E � jtgkIzmin);
ZL = 72� [1� j3; 5tg (2� � 8=50)] = [3; 5� jtg (2� � 8=50)] = 72� (1� j5; 51) = (3; 5� j1; 57) e
ZL = 59; 5� j86; 6 
 .
Exercício 8: Uma linha de transmissão de impedância característica Z0 = 50 
 está terminada por uma
antena, cuja impedância equivalente é desconhecida. São feitas medidas da relação de onda estacionária e
da distância entre as posições do valor máximo da tensão e da carga. A freqüência de operação é f = 825
MHz e a velocidade da onda é v = 2; 5� 108 m/s. O valor da relação de onda estacionária é ROE = 2; 62 e
a posição do valor máximo da tensão mais próxima da carga é L = 0; 082 m. Calcular: a) a impedância no
ponto de máximo da tensão; b) a impedância de carga correspondente à antena.
Solução: Nos pontos de máximo da tensão a impedância é Z (zmax) = Z0 � ROE e nos pontos de mínimo
é Z (zmin) = Z0=ROE. Portanto, Z (zmax) = Z0 [ZL + jZ0tg (kzmax)] = [Z0 + jZLtg (kzmax)]. Resolvendo
para ZL, ZL = Z0 [Z (zmax)� jZ0tg (kzmax)] = [Z0 � jZ (zmax) tg (kzmax)]. Substituindo os valores numéri-
cos, kzmax = 2�zmax=v = 2� � 0; 082=2; 5� 108 e kzmax = 1; 7 rad.
A impedância nos pontos de máximo é Z (zmax) = 50 � 2; 62 e Z (zmax) = 131 
 . A impedância da
antena é ZL = 50 [131� j50tg (1; 7)] = [50� j131tg (1; 7)]. Assim, ZL = 19; 4� j5; 6 
 ou ZL = 20; 16 �160
.
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