Aula 01 Cálculo Vetorial e Equações Paramétricas

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Disciplina: Análise Matemática para
Engenharia II
Aula 1: Cálculo Vetorial e Equações Paramétricas
Apresentação
Nesta aula, abordaremos as funções vetoriais, observando suas variações e algumas de suas representações.
Para isso, apresentaremos alguns conteúdos introdutórios de vetores e posteriormente a aplicação de alguns conceitos de
Cálculo, presente na disciplina Análise Matemática para Engenharia I.
Objetivos
• Reconhecer uma função vetorial e sua representação;
• Analisar um grá�co de linha e suas possíveis oscilações;
• Aplicar os conceitos do Cálculo Diferencial e Integral em uma função vetorial.
Funções vetoriais
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A Análise Matemática para Engenharia II preza pelo entendimento de conteúdos inerentes às disciplinas do Cálculo Diferencial e
Integral e do Cálculo Vetorial de uma maneira na qual os assuntos são trabalhados simultaneamente.
 Fonte: Billion Photos / Shutterstock
Até o presente momento foram usadas funções de valores reais para expressar grá�cos e situações problemas, a partir desta
aula, veremos outro tipo, as Funções Vetoriais, cujos valores são vetores.
Essas funções são responsáveis por fazer a descrição de curvas e superfície no espaço, assim como a sua aplicação na Física
pode ser vista para se deduzir as leis de Kepler, o que não é o nosso objeto de estudo, portanto passemos às de�nições e suas
aplicações.
De�nição de Funções Vetoriais
A cada elemento do seu domínio é associado um único elemento da sua imagem, quando abordamos função vetoriais a de�nição
não é muito diferente.
Uma função vetorial é aquela cujos valores do domínio são reais e estão associados a um
conjunto de vetores na sua imagem.
Para fazer essa associação das funções vetoriais, são associadas as funções r cujos valores são tridimensionais, signi�cando
que para qualquer número t no domínio r, será associado a um vetor no R3 que denotamos como sendo r(t).
Com isso, temos a seguinte de�nição:
Se f(t), g(t), e h(t) são componentes do vetor r(t), então f, g, h são funções a valores reais chamados funções componentes de r,
tendo a sua representação da seguinte forma:
 (t) = ⟨f(t), g(t), h(t)⟩ = f(t)    + g(t)    + h(t)   r→ i→ j→ k→
 Figura 1: Representação gráfica de uma função vetorial.
Exemplo
Exemplo 1:
Sendo a função vetorial: , temos que as funções componentes são:
Exemplo 2:
Sendo a função vetorial: , temos que as funções componentes são:
Exemplo 3:
Sendo a função vetorial: , temos que as funções componentes são:
 (t) = ⟨ , ln  (−2 + t),  √t⟩r→ t2
f(t) =  t2
g(t) = ln  (−2 + t)
h(t) = √t
 (t) = ⟨cossec t,  sen t ,   cos t⟩r→
f(t) = cossec t      
g(t) =  sent  
h(t) =   cos t
 (t) = ⟨1 + , t , ⟩r→ t2 e−t sent
t
f(t) =  1 +  t2
g(t) = te−t
h(t) = sen t
t
Como exemplo de grá�co de uma função vetorial, temos:
 Figura 2: Gráfico de uma função paramétrica.
A �gura 2 é conhecida como hélice, essa mesma �gura pode ser comparada com a representação do DNA, sendo ele uma hélice
dupla.
 Figura 3: Representação do DNA.
As funções vetoriais foram muito importantes no desenvolvimento das leis das órbitas desenvolvidas por Kepler, e isso será
falado um pouco mais na próxima aula. Assim, observa-se que há aplicação das funções vetoriais também na área da Física.
Função Vetorial representada por Funções Paramétricas
Outra representação possível para as funções vetoriais é a seguinte:
 (t) = x(t)  + y(t)  + z(t) r→ i → j → k →
Com isso, as funções paramétricas podem representar também uma função vetorial, como no exemplo abaixo.
Relembrando uma função paramétrica temos que a sua representação se dá da seguinte maneira:
⎧
⎩⎨
⎪
⎪
x(t) = + atx0
y(t) = + bty0
z(t) = + ctz0
Onde:
• são pontos;
• (a,b,c) são vetores.
( ,   ,   ) x0 y0 z0
Exemplo
Dada a representação paramétrica da função: , escreva a sua respectiva função vetorial.
Resolução:
Antes de continuar, veja mais alguns exemplos <galeria/aula1/anexo/exemplo01.pdf> .
 
⎧
⎩⎨
⎪
⎪
x(t) = 3 + t
y(t) = 2t
z(t) = t
 (t) = x(t)  + y(t)    + z(t)   r→ i → j→ k→
 (t) = ( 3 + t)   + 2t   + t  r→ i→ j→ k→
Derivada de uma função vetorial
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Ao fazermos a abordagem de uma derivada de uma função vetorial, devemos ter em mente que seja uma função clássica ou uma
função vetorial, a abordagem é a mesma, respeitando os seus conceitos, as suas de�nições e regras de derivação.
A derivada de uma função vetorial r, representada por r’ (erre linha) tem a sua de�nição da mesma maneira que as funções de
valores reais:
, caso exista o limite:= ´(t)  =    dr
dr
r ⃗  lim  
h→0
 (t+h)−  (t)r→ r→
h
Geometricamente falando, o vetor derivada é tangente à trajetória feita pelo vetor, sendo assim, tangente à curva.
Repare que essa é uma de�nição bem parecida com a de derivada para função de valores reais, conforme dito anteriormente.
As �guras abaixo ilustram três momentos da representação geométrica de uma função vetorial:
a) É a representação inicial da função vetorial:
. lim
h→0
 (t+h)−  (t)r→ r→
h
b) Temos o valor da função começando a tender a 0, o que
está transformando o vetor secante em vetor tangente.
c) Já temos o vetor tangente no ponto t , ou seja, a
derivada no ponto.
0
Resumidamente temos que, se r(t) é uma função vetorial tal que:
 (t) = ⟨f(t), g(t), h(t)⟩ = f(t)    + g(t)  + h(t)   r→ i→ j → k→
Onde:
f, g e h são funções diferenciáveis
Então:
 '(t) = ⟨f' (t), g' (t), h' (t)⟩r→
 '(t) = f'(t)    + g'(t)    + h'(t)   r→ i→ j→ k→
As regras de derivação da função vetorial são as mesmas das funções de valores reais:
= [u(t) + v(t)] = u'(t) + v'(t) d
dt
= [cu(t)] = cu'(t) d
dt
  = [f(t)u(t)] = f'(t)u(t) + f(t)u'(t)d
dt
  = [u(t). v(t)] = u'(t). v(t) + u(t). v'(t)d
dt
  = [u(t)x v(t)] = u' (t)x v(t) + u(t)  x v'(t)d
dt
= [u(f(t))] = f' (t)  u'((f(t)) —  Regra da Cadeia  d
dt
Aplicação das derivadas vetoriais
Exemplo
Determine a derivada de 
Resolução:
A derivada da função r(t) deve ser feita para cada componente da função vetorial, sendo assim, temos:
Antes de continuar, veja mais alguns exemplos <galeria/aula1/anexo/exemplo02.pdf> .
(t) = ( + 3)    + 3t   + sen 2t  r → t2 i→ j→ k→
f(t) = + 3 ⟶ f'(t) =   2t t2
g(t) = 3t ⟶ g' (t) = 3
h(t) =  sen 2t ⟶ h' (t) = 2  cos  2t
 '(t) = 2t   + 3   + 2cos 2tr→ i→ j→ k →
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Integral de uma função vetorial
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Quando falamos da integral de uma função vetorial, assim como dito na derivada de uma função vetorial, a maneira da
abordagem da integral se assemelha à integral das funções de valores reais, sendo a integral das funções vetoriais calculada em
cada uma das suas componentes; assim como nas derivadas, seu resultado é um vetor.
A representação de um integral vetorial pode ser representada da mesma forma que a integral de uma função real.(t) d t  =      ( *)  ∆ t  =   [(  ( *)  ∆ t) i +   (  g( *)  ∆ t) j  +   (  h( *)  ∆ t)k]∫ b
a
r ⃗  lim
n→∞
∑ni−1 r ⃗  ti limn→∞
∑  f
i−1
n
ti ∑
n
i−1 ti ∑  
i−1
n
ti
Ou de uma forma mais conhecida:
  (t)dt  =   (  f(t)) i  +   (  g(t)) j  +   (  h(t))k ∫ b
a
r ⃗  ∫ b
a
∫ b
a
∫ b
a
Essa última maneira mostra que podemos fazer a integração de uma função
vetorial integrando cada uma das suas componentes.
O teorema fundamental do cálculo, que é aplicado a funções reais, também pode ser estendido a funções vetoriais.
  (t)dt  =  R(t)   =  R(b)  −  R(a)∫ b
a
r ⃗  ]b
a
Sendo R uma primitiva de r, ou seja, R’(t) = r(t) e sendo a notação utilizada para as
integrais inde�nidas.
∫ r(t)dt
Exemplo
Integrar a função vetorial .
Resolução:
Essa integral pode ser feita integrando cada uma das componentes dessa função vetorial representada da seguinte maneira:
Integrando cada uma das componentes temos:
Repare que na integral inde�nida, assim como na integral de uma função de valores reais, temos, ao �nal da integração, o valor da
constante C.
Antes de continuar, veja mais alguns exemplos <galeria/aula1/anexo/exemplo03.pdf> .
∫ (cos t    −  sent   +  2  )dtj→ j→ k→
∫ (cos t  ) dt  −   ∫ (sen)  dt  +   ∫  2  dti ⃗  j ⃗  k⃗ 
sen t − (−cost ) + 2t + c
sen t + cost    + 2t   + ci 
→
j
→
k
→
Na próxima aula, continuaremos com a abordagem de funções vetoriais, igualmente com a aplicação das derivadas nessas
funções.
Antes disso, vamos fazer algumas atividades. Aproveite para rever o conteúdo e refazer os exercícios quantas vezes achar
necessário. Isso o ajudará a internalizar os conceitos com mais propriedade. A�nal, quando aliada à teoria, a prática exercita o
conhecimento.
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Atividade
1. Determinando a função vetorial para um segmento de reta que passa pelo ponto D e tem como direção o vetor , sendo D
=(1,-1,-2) e R = (2,1, 0), encontramos como resposta:
DR
−→−
a) (t) = (1 − 3t)    + (−1 − 2t)    + (−2 − 2t)   r → i→ j→ k→
b)  (t) = (−3t)    + (−1 − 2t)   + (−2 − 2t)  r→ i→ j→ k→
c) (t) = (1 − 3t)  − 2t   + (−2 − 2t)  r → i → j→ k→
d)  (t) = (1 − 3t)  + (−1 − 2t)   +  r→ i → j→ k→
e)  (t) = (1 − 3t)  + (−1 − 2t)   + 2t  r→ i → j→ k→
2. Determinando a função vetorial para um segmento de reta que passa pelos A (0,1,2) e possui como direção o vetor
, temos como resposta:= 3   − 4   − 2v→ i
→
j
→
k 
→
a)  (t) = 3   + (1 − 4t)   + (2 − 2t)r→ i→ j→ k →
b)  (t) = (3t)  − 4t   + (2 − 2t)  r→ i → j→ k→
c)  (t) = (3t) + (1 − 4t)   + (2t)r→ i → j→ k →
d)  (t) = (3t) + (1 − 4t) + (2 − 2t)r→ i → j → k →
e)  (t) = (3t) + 4t   + (2 − 2t)r→ i → j→ k →
3. Ao determinarmos a derivada da função vetorial , temos como resposta:(t) = −   t   −  sent   + co  tf → cos3 i→ j→ s2 k →
a)  (t) = 3 t .  (sent)  − cost − 2cost .  sent  f'→ cos3  i → j→ k→
b)  (t) = 3 t .  (sent)  − cost + 2cost .  sent  f'→ cos2  i → j→ k→
c)  (t) = 3 t .  (sent)  + cost − 2cost .  sent  f'→ cos2  i → j→ k→
d)  (t) = −3 t .  (sent)  − cost − 2cost .  sent  f'→ cos2  i → j→ k→
e)  (t) = 3 t .  (sent)  − cost − 2cost .  sent  f'→ cos2  i → j→ k→
4. A derivada da função vetorial tem como resposta: (t) = (3 −  )    +   − 1/   r→ t2 i→ t2  j→ t2 k →
a) r    = −2t − 2t   +     ⃗ '(t) i 
→
j
→ 2
t3
k
→
b) r    = +2t + 2t   +     ⃗ '(t) i 
→
j
→ 2
t3
k
→
c) r  (t)  = −2t + 2t   +     ⃗ ′ i → j→ 2
t2
k
→
d) r  (t)  = −2t + 2t   +     ⃗ ′ i → j→ 1
t3
k
→
e) r  (t)  = −2t + 2t   +     ⃗ ′ i → j→ 2
t3
k
→
5. Ao resolvermos a integral da função vetorial temos como
resposta:
(t) dt  →   (t)  =  (5 −  2)    −   +  2∫ 120 f ⃗  f ⃗  t2  i ⃗  e t2 j ⃗  k⃗ 
a) ( )   + (  .   ( . − 1))  − 2413  i
→ 1
2 e
2 1
2 e
2 j ⃗  k⃗ 
b) (− )   + (  .   ( . − 1))  − 2413  i
→ 1
2 e
2 1
2 e
2 j ⃗  k⃗ 
c) ( )   + (  .   ( . + 1))  − 2413  i
→ 1
2 e
2 1
2 e
2 j ⃗  k⃗ 
d) ( )   + (  .   ( . − 1))  − 2413  i
→ 1
2 e
2 1
2 e
2 j ⃗  k⃗ 
e) ( )   + (  .   ( . − 1))  + 2413  i
→ 1
2 e
2 1
2 e
2 j ⃗  k⃗ 
Notas
Referências
BROCHI, A. Cálculo diferencial e integral II (livro proprietário). Rio de Janeiro: SESES, 2015.
FINNEY, Ross L.; WEIR, Maurice D.; GIORDANO, Frank R. (Ed.). Cálculo George B. Thomas. São Paulo: Pearson, 2009. v. 1 e 2.
FLEMMING, D. M., GONÇALVES, M. B. Cálculo B. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2007.
Próxima aula
• Curvas no espaço;
• Aplicação da derivada vetorial na Física.
Explore mais
Nos links abaixo você poderá usufruir de objetos de aprendizagem, eles darão uma visão mais ampla do conteúdo apresentado
até aqui:
• KHANACADEMY. Derivação de equações paramétricas. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-
derivatives-advanced/bc-diff-param-vec-func/v/parametric-function-differentiation <https://pt.khanacademy.org/math/ap-
calculus-bc/bc-derivatives-advanced/bc-diff-param-vec-func/v/parametric-function-differentiation> . Acesso em: 31 out.
2018.
• LEMKE, Raiane. Equações paramétrica para as quádricas. Disponível em: https://www.geogebra.org/m/HJ97EJDy
<https://www.geogebra.org/m/HJ97EJDy> . Acesso em: 31 out. 2018.
https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-derivatives-advanced/bc-diff-param-vec-func/v/parametric-function-differentiation
https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-derivatives-advanced/bc-diff-param-vec-func/v/parametric-function-differentiation
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https://www.geogebra.org/m/HJ97EJDy
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