ExtremosFunção Implcita

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2009−10 Ficha Prática 6 - Extremos/Função Impĺıcita AM2D
1. Determine e classifique os pontos cŕıticos das funções definidas pelas seguintes ex-
pressões:
f1(x, y) = x
2 + 2xy + 3y2; f2(x, y) = x
3 + 3xy − y3;
f3(x, y) =
y
x2 + y2 + 1
; f4(x, y) = xy +
1
x
+
1
y
.
2. Calcule as coordenadas do(s) ponto(s) da superf́ıcie esférica centrada na origem e de
raio r = 6 que se encontra(m) mais distante(s) do ponto M(1, 2, 2). Qual (Quais) o(s)
ponto(s) mais próximo(s)?
3. A temperatura de um ponto (x, y) de uma placa metálica é dada por
T (x, y) = 4x2 − 4xy + y2.
Uma formiga percorre a circunferência centrada em 0 e de raio 5. Qual a maior e a menor
temperatura que encontra?
4. Calcule o máximo e o mı́nimo das funções fi nos conjuntos Di indicados:
a. f1(x, y) = x
2 − 2xy + 5y2, D1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1};
b. f2(x, y) = x+ y, D2 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + 3y2 ≤ 3}.
5.
a. Mostre que a equação x + sin(y + z) = 0 define implicitamente y como função de x e
z numa vizinhança de (0, 0, 0) (y = φ(x, z)). Calcule
∂2φ
∂x2
(0, 0).
b. Explicite a função φ e calcule de novo
∂2φ
∂x2
(0, 0).
6. Considere x0 6= 0, y0 6= 0 e z0 6= 0 e seja (x0, y0, z0) um ponto que satisfaz a equação
x
z
= φ
(y
z
)
, onde φ : R→ R. (1)
a. Indique que condições deve satisfazer φ por forma a que a equação (1) defina implici-
tamente z como função de x e y numa vizinhança de (x0, y0, z0).
b. Mostre que
x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= z,
onde z = ϕ(x, y), na vizinhança considerada para (x0, y0).
7.
a. Mostre que a equação ez sin(xyz) + 2z+ 2xy = π define implicitamente z como função
de x e y numa vizinhança de (1, π
2
, 0).
b. Considerando ~u = (1, 1), calcule z′~u(1,
π
2
).
8. Assuma que a pressão (P ), o volume (V ) e a temperatura (T ) de um sistema f́ısico
satisfazem a equação F (P, V, T ) = 0. Supondo que esta equação permite definir im-
plicitamente qualquer uma das três variáveis como função das duas restantes, deduza as
igualdades seguintes:
a.
∂P
∂T
∂T
∂V
= −∂P
∂V
;
b.
∂P
∂T
∂T
∂V
∂V
∂P
= −1.
9. Um gás diz-se de Van der Walls se a sua pressão molar, volume e temperatura (p, V, T )
verificarem a equação (
p+
a
V 2
)
(V − b) = RT, (2)
onde R é a constante de Avogadro e a e b são duas constantes positivas.
a. Mostre que na vizinhança de qualquer ponto (p0, V0, T0) que verifique a equação (2) e
que satisfaça
p0V
3
0 − aV0 + 2ab 6= 0,
V é função regular de p e T .
b. Calcule
∂V
∂T
e
∂V
∂p
.
Mantendo a temperatura constante, como varia o volume se se aumentar um pouco a
pressão?
c. Mostre que
∂2V
∂T 2
(p, T ) =
2aR2(3b/V − 1)
V 3(p− a/V 2 + 2ab/V 3)3
.