Derivação de potencia

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CÁLCULO: LIMITES 
DE FUNÇÕES DE 
UMA VARIÁVEL E 
DERIVADAS 
Cristiane da Silva 
Regra de derivação: 
potência
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Resolver cálculos de derivadas de funções potência.
 � Aplicar as regras de linearidade na derivação de soma de funções e 
de multiplicação de escalar por uma função.
 � Escolher a regra de derivação adequada para representação gráfica 
de funções.
Introdução
Neste capítulo, você conhecerá a regra da potência e suas particularidades, 
para que, nos seguintes, possa aprofundar o estudo das demais regras 
de derivação, que permitem realizar os cálculos de maneira eficiente e 
prática, com o mesmo rigor do método por limites.
A regra da potência nos diz como calcular a derivada de expressões 
da forma xn. Além disso, juntamente com as demais regras básicas de 
derivação, possibilita o cálculo da derivada de qualquer polinômio. Você 
será capaz de calcular a derivada de expressões em que a potência é 
negativa, fracionária e radical. 
Outro ponto relevante abordado neste capítulo é a análise gráfica. 
Veremos que o sinal da derivada de uma função nos diz se a reta tangente 
tem inclinação positiva ou negativa, e o tamanho da derivada revela a 
magnitude da declividade.
Você encontrará diversos exemplos detalhados e representações 
gráficas, para facilitar a compreensão do conteúdo e a análise, além de 
demonstrações claras da regra da potência seguidas de explicações 
complementares com a finalidade de as tornar elucidativas.
Regra da potência
Essa regra é válida para qualquer expoente. Por definição, para qualquer 
expoente n natural, temos:
Vejamos a demonstração da regra da potência, conforme Rogawski (2008, 
p. 109–110).
Suponha que n seja um número natural e denotemos f(x) = xn. Então, 
. Para simplificar a razão incremental, precisamos generalizar 
as seguintes identidades:
x2 – a2 = (x – a)(x + a)
x3 – a3 = (x – a)(x2 + xa + a2)
x4 – a4 = (x – a)(x3 + x2a + xa2 + a3)
A generalização é:
xn – an = (x – a)(x (n –1) + x(n – 2)a + x(n – 3)a2 + ⋯ + xa(n – 2) + a(n – 1))
Note que o lado direito dessa equação é igual a:
x(x(n – 1) + x(n – 2) a + x(n – 3) a2 + ⋯ + xa(n – 2) + a(n – 1) ) – 
a(x(n – 1) + x(n – 2) a + x(n – 3) a2 + ⋯ + xa(n – 2) + a(n – 1))
Ao efetuarmos a multiplicação, todos os termos cancelam, exceto o primeiro 
e o último, restando xn – an. Sendo assim, a identidade xn – an = (x – a)(x(n – 1) 
+ x(n – 2)a + x(n – 3)a2 + ⋯ + xa(n – 2) + a(n – 1)) nos dá:
Regra de derivação: potência2
Portanto:
Isso prova que f ' (a) = na(n – 1), que também pode ser escrito como 
f ' (x) = nx(n – 1). Podemos pensar na regra da potência como “baixar o expoente 
e subtrair um (do expoente)”:
Segundo Rogawski (2008), é importante destacar que a regra da potência somente 
se aplica às funções potência, do tipo y = xn. Ela não pode ser usada com funções 
exponenciais, como y = 2x. A derivada de y = 2x não é x2(x – 1).
Anton, Bivens e Davis (2014) destacam que o tipo mais simples de função 
potência é f(x) = x. Como o gráfico de f é uma reta de inclinação 1, segue que 
f ' (x) = 1 para todo x, ou seja, , como demonstrado na Figura 1.
3Regra de derivação: potência
Figura 1. A reta tangente ao gráfico de 
f(x) = x tem inclinação 1 em cada x.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 156).
Embora a fórmula tenha validade somente com potências 
inteiras positivas de x, não é difícil mostrar que a mesma fórmula permanece 
válida com quaisquer potências inteiras de x, ou seja, para qualquer expoente 
real. Portanto, podemos definir a regra da potência estendida como: se r for 
qualquer número real, então . Isso significa dizer que, para 
derivar uma função potência, subtraímos uma unidade da potência constante 
e multiplicamos a função potência resultante pelo expoente original (ANTON; 
BIVENS; DAVIS, 2014).
1. Seja , encontre sua derivada.
É importante lembrar-se de que pode ser escrita como f(x) = x(–2). Então, 
a derivada é:
2. Seja f(x) = x7, encontre sua derivada.
Regra de derivação: potência4
3. Seja , encontre sua derivada.
É importante lembrar-se de que pode ser escrita como . 
Então, a derivada é:
4. Seja , encontre sua derivada.
É importante lembrar-se de que pode ser escrita como f(x) = x(–5). Então, 
a derivada é: 
f ' (x) = – 5x( –5 –1) = –5x(–6) ou 
5. Seja f(x) = x1,3, encontre sua derivada (Adaptado de HOFFMANN et al., 2015).
6. Vejamos outros exemplos de derivadas de funções potência (Adaptado de ANTON; 
BIVENS; DAVIS, 2014):
Note que a regra da potência vale para qualquer variável, não apenas para x. 
Ou seja, pode ser de nosso interesse calcular . Além 
disso, vimos que a regra da potência vale para todos os expoentes, tanto 
negativos, fracionários ou irracionais, por exemplo: 
 (ROGAWSKI, 2008).
5Regra de derivação: potência
Regra de linearidade
Nesta seção, aplicaremos as regras de linearidade das derivadas. Para tanto, 
observe o teorema: suponha que f e g sejam funções deriváveis.
A regra da soma diz que: a função f + g 
é derivável e ( f + g)' = f ' + g'.
A regra do múltiplo constante diz que: para qualquer 
constante c, a função cf é derivável e (cf )' = cf '.
Anton, Bivens e Davis (2014) explicam a regra do múltiplo constante, 
afirmando que um fator constante pode ser movido para fora do sinal da 
derivada, como .
O mesmo vale para a diferença, ou seja:
( f – g)' = f ' – g'.
Vale destacar que essa regra é uma consequência das regras da soma e do 
múltiplo constante (ROGAWSKI, 2008):
Encontre os pontos do gráfico de f(t) = t3 – 12t + 4 nos quais a reta tangente é horizontal.
Solução:
Primeiramente, calculamos a derivada:
Regra de derivação: potência6
Note que a derivada da constante 4 é nula.
A reta tangente é horizontal nos pontos em que a inclinação f '(t) é zero, de modo 
que resolvemos:
Portanto, as retas tangentes são horizontais em (2, – 12) e (–2, 20), como mostrado 
na Figura 2, a seguir.
Figura 2. Gráfico de f(t) = t3 – 12t + 4. As retas tangentes são horizontais em t = ± 2
Fonte: Rogawski (2008, p. 111).
Acompanhe mais exemplos envolvendo a regra do múltiplo constante 
(ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014):
7Regra de derivação: potência
Em palavras, a derivada de uma soma é igual à soma das derivadas, e 
a derivada de uma diferença é igual à diferença das derivadas (ANTON; 
BIVENS; DAVIS, 2014, p. 158). Por exemplo:
Além disso, a regra do múltiplo constante pode ser usada para derivar polinômios.
Encontre se y = 3x 8 – 2x5 + 6x + 1.
Solução:
Fonte: Adaptado de Anton, Bivens e Davis (2014).
Se , sua derivada é , o que pode ser escrito como:
Sendo assim, como a função raiz quadrada aparece com frequência, podemos usar 
direto o resultado , sem precisar transformar em expoente fracionário, 
derivar e voltar para a raiz novamente.
Regra de derivação: potência8
Na próxima seção, aprofundaremos o estudo, por meio de análises com 
auxílio gráfico no intuito de compreender o gráfico de uma função e a relação 
com sua derivada, bem como para identificar graficamente a derivada.
Representação gráfica
Nesta seção, você estudará a representação gráfica de algumas funções, com 
atenção especial às suas derivadas, observando as funções envolvidas e esco-
lhendo a regra de derivação adequada. Para tanto, vejamos alguns exemplos 
em detalhes.
1. Calcule , onde 
Solução:
Para usar a regra da potência, escrevemos .
A derivada f '(x) nos dá informação importante sobre o gráfico de f(x). Por 
exemplo, o sinal de f '(x) nos diz se a reta tangente tem inclinação positiva ou 
negativa, e o tamanho de f '(x) revela a magnitude da declividade.
9Regra de derivação: potência
2. Qual é a relação entre o gráfico de f(x) = x3 – 12x e a derivada f ' (x) = 
3x2 – 12?
Solução:
Observamos que a derivada f ' (x) = 3x2 – 12 = 3(x2 – 4) é negativa em 
– 2 < x < 2 e positiva em |x| > 2, conforme Figura 3.
Figura 3. Gráfico da derivada f '(x) = 3x2 – 12.
Fonte: Rogawski (2008, p. 112).
O Quadro 1, a seguir, resumeessa informação relativa ao sinal, demons-
trado na Figura 4.
Propriedade de f '(x) Propriedade do gráfico de f(x)
f ' (x) < 0 para – 2 < x <2 A reta tangente tem inclinação 
negativa em – 2 < x < 2.
f ' (– 2) = f ' (2) = 0 A reta tangente é horizontal em x = – 2 e x = 2.
f ' (x) > 0 para x < – 2 e x > 2 A reta tangente tem inclinação 
positiva em x < – 2 e x > 2.
Quadro 1. Propriedade de f’(x)
Regra de derivação: potência10
Figura 4. Gráfico de f(x) = x3 – 12x.
Fonte: Rogawski (2008, p. 112).
Observe, também, que f'(x) → ∞ quando |x| aumenta. Isso corresponde ao 
fato de que as retas tangentes ao gráfico de f(x) ficam cada vez mais íngremes 
à medida que |x| cresce.
3. O gráfico de f(x) está representado na Figura 5. Qual é o gráfico de 
f ' (x): (A) ou (B) (ROGAWSKI, 2008)?
Figura 5. Gráfico de f(x).
Fonte: Rogawski (2008, p. 112).
11Regra de derivação: potência
Solução:
Na Figura 5, é possível visualizar a seguinte informação sobre as retas 
tangentes ao gráfico de f(x).
Inclinação da reta tangente Onde
Negativa Em (0,1) e (4,7)
Nula Em x = 1,4 e 7
Positiva Em (1,4) e (7,∞)
Quadro 2. Inclinações da reta tangente
Desse modo, o gráfico de f '(x) deve ser negativo em (0,1) e (4,7) e positivo 
em (1,4) e (7,∞). Como apenas B tem essas propriedades, então B é o gráfico 
de f '(x).
4. Em quais pontos, se existirem, o gráfico de y = x3 – 3x + 4 (Figura 6) 
tem uma reta tangente horizontal?
Figura 6. Gráfico de y = x3 – 3x + 4.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 159).
Regra de derivação: potência12
Solução:
Retas tangentes horizontais têm inclinação zero. Portanto, devemos encon-
trar aqueles valores de x nos quais y' (x) = 0. Derivando, obtemos:
Assim, as retas tangentes horizontais ocorrem naqueles valores de x com os 
quais 3x2 – 3 = 0, ou seja, tais que x = – 1 ou x = 1. Os pontos correspondentes 
da curva y = x3 – 3x + 4 são (– 1,6) e (1,2) (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014).
Neste capítulo, você retomou conhecimentos sobre a definição de deriva-
das e conheceu especificamente a regra da potência. As regras de derivação 
trazem benefício ao permitir realizar cálculos de maneira eficiente e prática, 
diferentemente do que fazíamos pela definição de limites. Além disso, a 
análise gráfica forneceu informações importantes para o aprofundamento 
de nossos estudos.
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 2 v. 1352 p.
HOFFMANN, L. D. et al. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 11. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2015. 680 p.
ROGAWSKI, J. Cálculo, volume 1. Porto Alegre: Bookman, 2008. 624 p.
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