derivadas de f(x)^g(x)

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Notas sobre derivadas
Gustavo Viana de Alencar
14 de setembro de 2015
Sumário
1 Derivadas 1
1.1 Regra da cadeia para derivação de função composta . . . . . 1
1.2 Derivada de f(x)g(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Derivadas
1.1 Regra da cadeia para derivação de função composta
Sejam y = f(x) e x = g(t) duas funções deriváveis, com Img ⊂ Df , e
h(t) = f(g(t)), temos que:
h′(t) = f ′(g(t))g′t, t ∈ Dg
E é evidente que:
dy
dt
=
dy
dx
dx
dt
Exemplos. Calcule as derivadas.
a)y = e3x
y′ = e3x(3x)′ = 3e3x
b)y = sen(t2)
y′ = (cos(t2))(t2)′ = 2t(cos(t2))
c)y = esen(t)
y′ = esen(t)(sen(t))′ = esen(t)(cos(t))
1
d)y = 3
√
x−1
x+1
=
(
x−1
x+1
) 1
3
y′ =
1
3
(
x− 1
x+ 1
) 1
3
−1(
x− 1
x+ 1
)′
=
1
3
(
x− 1
x+ 1
)− 2
3
(
1(x+ 1)− (x− 1)1
(x+ 1)2
)
=
=
1
3
(
x− 1
x+ 1
)− 2
3
(
2
(x+ 1)2
)
e)y = ln(x2 + 3x+ 9)
y′ =
1
x2 + 3x+ 9
(2x+ 3) =
2x+ 3
x2 + 3x+ 9
1.2 Derivada de f(x)g(x)
Sejam f e g duas funções deriváveis num mesmo conjunto A, com F (x) > 0
para todo x ∈ A. Consideremos a função definida em A e dada por
y = f(x)g(x)
Aplicando ln aos dois membros obtemos
ln y = g(x) ln f(x)⇔ eg(x) ln f(x) = y︸ ︷︷ ︸
Por definição de log
Ou seja,
f(x)g(x) = eg(x) ln f(x)
Então,
[f(x)g(x)]′ = eg(x) ln f(x)[g(x) ln f(x)]′
Lembrando que:
d
dx
ef(x) = ef(x).f ′(x)
(f.g)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)
Logo
d
dx
g(x) ln f(x) = g′(x) ln f(x) + g(x)[ln f(x)]′
⇒ d
dx
g(x) ln f(x) = g′(x) ln f(x) + g(x)
f ′(x)
f(x)
Ou seja
[f(x)g(x)]′ = eg(x) ln f(x)
[
g′(x) ln f(x) + g(x)
f ′(x)
f(x)
]
= eg(x) ln f(x)
2
Observações:
y = lnx⇒ y′ = 1
x
y = f(g(x))⇒ y′ = f ′(g(x))g′(x)︸ ︷︷ ︸
Regra da cadeia
Então, temos que:
d
dx
ln f(x) =
1
f(x)
f ′(x) =
f ′(x)
f(x)
→ Resultado importante:
[f(x)g(x)]′ = f(x)g(x)[g(x) ln f(x)]′
Exemplo 1. Calcule as derivadas
a.1) y = xx
y′ = xx(x lnx)′ = xx(1 lnx+ x
1
x
) = xx(1 + ln x)
b) y = 3x
y′ = 3x(x ln 3)′ = 3x(1 ln 3 + x.0) = 3x ln 3
a.2) Método caso esqueça a fórmula(resultado importante)
y = xx ⇔ ln y = lnxx ⇔ ln y ⇔ x lnx⇔ y = ex lnx
Como consequência temos
y′ = ex lnx(x lnx)′︸ ︷︷ ︸
consultar derivada de ef(x)
3