funcoesvetoriais

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Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e da Natureza
Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza
Matemática
Professora Eralcilene Disciplina: Cálculo II
Capítulos 6 e 71: Funções Vetoriais
1. Veri�que quais dos conjuntos a seguir são abertos em R2.
(a) {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 < 1}
(b) {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 ≤ 1 e x+ y > 3}
(c) {(x, y) ∈ R2|x2 + 2xy + y2 < 0}
(d) {(x, y) ∈ R2|x2 + xy + y2 ≤ 0}
2. Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado.
(a) {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 < 1} (b) {(x, y) ∈ R2|x = 1 e 1 < y < 2}
3. De�na bola aberta de centro (x0, y0, z0) e raio r > 0 em R3. Faça o mesmo para Rn.
4. De�na conjunto aberto em Rn.
5. Dados A e B conjuntos abertos, prove que A ∪B e A ∩B também são abertos.
6. Desenhe a imagem.
(a) F (t) = (1, t)
(b) F (t) = (2t− 1, t+ 2)
(c) F (t) = (t2, t4)
(d) F (t) = (t2, t)
(e) F (t) = (sen t, 4, cos t)
(f) F (t) = (1, 0, t)
(g) F (t) = (t, t, 1
t
)
(h) F (t) = (t, t, t2)
7. Calcule lim
t→t0
~F (t).
(a) ~F (t) = (
√
t−1
t−1 , t
2, t−1
t
); t0 = 1
(b) ~F (t) = ( tg 3t
t
, e
2t−1
t
, t3); t0 = 0
(c) ~F (t) = ( t
3−8
t2−4 ,
cos π
t
t−2 , 2t); t0 = 2
8. Seja ~F : [a, b]→ Rn contínua. Prove que existe M > 0 tal que ‖~F (t)‖ ≤ M , ∀t.
9. Calcule
d~F
dt
e
d2 ~F
dt2
.
1Referente a [Gui2]
2
(a) ~F (t) = (3t2, e−t, ln(t2 + 1))
(b) ~F (t) = (
3
√
t2, cos t2, 3t)
(c) ~F (t) = (sen 5t, cos 4t,−e−2t)
10. Sejam F,G : D ⊂ R→ Rn funções reais a valores em Rn, f : D → R uma função a
valores reais e k ∈ R uma constante. De�nimos:
(a) a função soma F +G : D → Rn como
(F +G)(t) = F (t) +G(t).
(b) a função kF : D → Rn como
(kF )(t) = kF (t).
(c) a função f · F : D → Rn como
(f · F )(t) = f(t)F (t).
(d) a função F ·G : D → R como
(F ·G)(t) = F (t) ·G(t) = F1(t)G1(t) + . . .+ Fn(t)Gn(t),
em que F = (F1, . . . , Fn) e G = (G1, . . . , Gn).
Se n = 3, de�nimos a função produto vetorial F ∧G : D → R3 como
(F ∧G)(t) =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
F1(t) F2(t) F3(t)
G1(t) G2(t) G3(t)
∣∣∣∣∣∣.
(a) Calcule u(t) · v(t), com u(t) = (sen t, cos t, t) e v(t) = (sen t, cos t, 1).
(b) Calcule u(t) ∧ v(t).
11. Determine ~r = ~r(t) sabendo que
d~r
dt
= (t, 0, 2) e ~r(0) = (1, 1, 0).
12. Seja F de�nida no intervalo I com valores em Rn. Suponha que F ′(t) = ~0, ∀t ∈ I.
Mostre que existe uma constante K = (k1, . . . , kn) ∈ Rn tal que F (t) = K, ∀t ∈ I.
13. Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado.
(a) F (t) = (sen t, cos t, t) e F
(π
3
)
(b) G(t) = (t2, t) e (1, 1)
(c) F (t) =
(
1
t
,
1
t
, t2
)
e
(
1
2
,
1
2
, 4
)
14. Seja ~r : I → R3, I um intervalo, derivável até a segunda ordem. Suponha que ~r(t)
forneça a posição no instante t de um ponto P no espaço. De�nimos a velocidade
~v(t) e a aceleração ~a(t) de P no instante t por:
~v(t) =
d~r
dt
(t) e ~a(t) =
d~v
dt
(t) =
d2~v
dt2
(t).
Determine a velocidade e a aceleração:
3
(a) ~r(t) = (1+t,−t, t−1) (b) ~r(t) = (t, t2, 4) (c) ~r(t) = (1+ t, 2− t, t2)
15. Um ponto se move no espaço de modo que ‖~v(t)‖ = k para todo t, em que k > 0 é
uma constante. Mostre que ~v(t) · ~a(t) = 0 para qualquer t. Interprete.
16. Calcule:
(a)
∫ 1
0
(t, et)dt (b)
∫ 1
−1
(sen 3t,
1
1 + t2
, 1)dt (c)
∫ 2
1
(3, 2, 1)dt
Calcule o comprimento da curva dada.
(a) γ(t) = (t, cos t, sen t), t ∈ [0, 2π]
(b) γ(t) = (2t− 1, t+ 1), t ∈ [1, 2]
(c) γ(t) = (t, ln t), t ∈ [1, e]
(d) γ(t) = (1− cos t, t− sen t), t ∈ [0, π]
17. Reparametrize pelo comprimento de arco a curva dada.
(a) γ(t) = (2 cos t, 2sen t), t ≥ 0 (b) γ(t) = (et cos t, etsen t), t ≥ 0