04-Quatro_teoremas_FVV_CFVV_EF_2019-2s

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UNILA - Engenharias - 2019-2s
Cálculo de Funções de Várias Variáveis - 23-setembro-2019
Quatro teoremas adicionais sobre continuidade de funções de várias
variáveis
Os quatro teoremas extras estabelecidos neste documento são uma
continuação dos teoremas sobre funções de várias variáveis que já foram
trabalhados em aula.
1 Teorema extra 1
Teorema extra 1: Sejam
f : A ⊆ R2 → R
e
g : B ⊆ R→ R
funções tais que Im{f} ⊆ B. Se f é contínua em (x0, y0) ∈ A e se g é contínua em
b0 = f(x0, y0) ∈ B, então a função composta
h = g ◦ f : A→ R
é contínua em (x0, y0).
O diagrama seguinte ilustra a composição destas funções:
A
f //
h ��
B
g
��
R
1.1 Demonstração do teorema extra 1
Para se provar que a função h = h(x, y) = g(f(x, y)) é contínua em (x0, y0) deve-se
mostrar que
lim
(x,y)→(x0,y0)
h(x, y) = h(x0, y0) = g(f(x0, y0)) = g(b0) ,
ou seja, deve-se mostrar que
∀� > 0,∃δ > 0 : ||(x, y)− (x0, y0)|| < δ ⇒ |h(x, y)− h(x0, y0)| < � .
Para este objetivo segue os seguintes raciocínios advindos das hipóteses deste teorema:
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Como g = g(u) é contínua em b0 sabe-se que
lim
u→b0
g(u) = g(b0)⇔ ∀� > 0,∃δ0 > 0 : |u− b0| < δ0 ⇒ |g(u)− g(b0)| < �
Como f = f(x, y) é contínua em (x0, y0) sabe-se que
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = f(x0, y0)⇔ ∀δ0 > 0,∃δ > 0 : ||(x, y)− (x0, y0)|| < δ ⇒
⇒ |f(x, y)− f(x0, y0)| < δ0
Toma-se u = f(x, y).
Destas duas últimas afirmações feitas, segue que
∀� > 0,∃δ > 0 : ||(x, y)− (x0, y0)|| < δ ⇒ |f(x, y)− f(x0, y0)| = |u− b0| < δ0 ⇒
⇒ |g(u)− g(b0)| = |g(f(x, y))− g(f(x0, y0))| = |h(x, y)− h(x0, y0)| < �
que é o que se queria demonstrar.
1.2 Exemplos de aplicação do teorema extra 1
Sabe-se que a função f(x, y) = x é contínua (foi visto em sala de aula que lim(x,y)→(x0,y0) x =
x0 = f(x0, y0)). Se g = g(x) é uma função contínua, então a função h(x, y) =
g(f(x, y)) = g(x) é uma função contínua.
Exemplo 1.1. A função h(x, y) = x2 é contínua em todo o R2, pois f(x, y) = x e
g(x) = x2 são contínuas e h(x, y) = g(f(x, y)) = g(x) = x2.
Exemplo 1.2. A função h(x, y) = |x| é contínua em todo o R2, pois f(x, y) = x e
g(x) = |x| são contínuas e h(x, y) = g(f(x, y)) = g(x) = |x|.
Exemplo 1.3. A função h(x, y) = sin(x) é contínua em todo o R2, pois f(x, y) = x e
g(x) = sin(x) são contínuas e h(x, y) = g(f(x, y)) = g(x) = sin(x).
Além disto, atentar para a resolução do exercício adicional 4.1(g) da lista 5.
Os gráficos das funções trabalhadas nos exemplos 1.1, 1.2 e 1.3 estão nas figuras inse-
rigas em seguida:
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Figura 1: Gráfico da função h(x, y) = x2
Figura 2: Gráfico da função h(x, y) = |x|
texto em branco!
Figura 3: Gráfico da função h(x, y) = sin(x)
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2 Teorema extra 2
Teorema extra 2: Sejam
f : A ⊆ R2 → R
e
~γ : I ⊆ R→ R2
tais que Im{~γ} ⊆ A. Se ~γ é contínua em t0 ∈ I e se f é contínua em (x0, y0) = ~γ(t0) ∈ A,
então a função composta
g = f ◦ ~γ : I → R
é contínua em t0.
O diagrama seguinte ilustra a composição destas funções:
I
~γ //
g ��
A
f
��
R
2.1 Demonstração do teorema extra 2
Exercício!
A resolução está nas próximas páginas.
Antes de continuar a ler tente fazer este exercício.
A dica é adptar a demonstração do teorema extra 1
para o contexto deste teorema.
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texto em branco!
Página intencionalmente deixada em branco!
5
texto em azul
Esta também foi deixada em branco!
Ora, tente fazer o exercício deixado para o leitor(a)!
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3 Resolução do exercício deixado para o leitor(a)
Para se provar que a função g = g(t) = f(~γ(t)) é contínua em t0 deve-se mostrar que
lim
t→t0
g(t) = g(t0) = f(~γ(t0)) = f(x0, y0) ,
ou seja, deve-se mostrar que
∀� > 0,∃δ > 0 : |t− t0| < δ ⇒ |g(t)− g(t0)| < � .
Das hipóteses deste teorema vêm as seguintes idéias:
Como f = f(x, y) é contínua em (x0, y0) sabe-se que
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = f(x0, y0)⇔ ∀� > 0,∃δ0 > 0 : ||(x, y)− (x0, y0)|| < δ0 ⇒
⇒ |f(x, y)− f(x0, y0)| < �
Sendo ~γ = ~γ(t) é contínua em t0 sucede que
lim
t→t0
~γ(t) = ~γ(t0)⇔ ∀δ0 > 0,∃δ > 0 : |t− t0| < δ ⇒
⇒ ||~γ(t)− ~γ(t0)|| < δ0
Toma-se (x, y) = ~γ(t).
Das duas últimas afirmações conclui-se que
∀� > 0,∃δ > 0 : |t− t0| < δ ⇒ ||(x, y)− (x0, y0)|| = ||~γ(t)− ~γ(t0)|| < δ0 ⇒
⇒ |f(x, y)− f(x0, y0)| = |f(~γ(t))− f(~γ(t0))| = |g(t)− g(t0)| < �
em conformidade ao que se queria demonstrar.
3.1 Exemplos de aplicação do teorema extra 2
Para resolver o exercício adicional 4.3 da lista 5 deve-se construir uma função de uma
variável real da forma:
g = g(t) = f(~γ(t))
que pelo teorema anterior é contínua; com isso, é possível aplicar o teorema do valor
intermediário à função g.
Atentar também para a resolução do exercício 4.8 da lista 5.
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4 Teorema extra 3 - Teorema do Valor Intermediário - TVI
Teorema extra 3 (TVI): Sejam A ⊆ R2 conexo por caminhos (ver a definição deste
conceito na lista 5) e
f : A ⊆ R2 → R
Se f é contínua em A e se
f(x0, y0) < m < f(x1, y1) ,
então existe ao menos um ponto (c, d) ∈ A tal que
f(c, d) = m .
Demonstração. Como A é conexo por caminhos, para qualquer (x0, y0) ∈ A e qual-
quer (x1, y1) ∈ A, existe uma curva ~γ : [a, b] → A contínua e tal que ~γ(a) = (x0, y0) e
~γ(b) = (x1, y1).
A função f ◦ ~γ : [a, b]→ R é contínua (ver teorema extra 2) de uma variável real e
f(x0, y0) = (f ◦ ~γ)(a) < m < (f ◦ ~γ)(b) = (x1, y1)
Pelo TVI de funções de uma variável real existe um k ∈ (a, b) tal queria
(f ◦ ~γ)(k) = m ,
isto é, existe um par (c, d) = ~γ(k) tal que f(c, d) = m. �
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5 Teorema extra 4 - Teorema de Wierstrass
Teorema extra 4 (Wierstrass): Sejam A = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} e
f : A ⊆ R2 → R
Se f é contínua em A, então existem pontos (x0, y0) e (x1, y1) em A tais que
f(x0, y0) ≤ f(x, y) ≤ f(x1, y1)
para todo (x, y) ∈ A. Nestas condições, os pontos (x0, y0) e (x1, y1) são chamados
de ponto de mínimo e ponto de máximo, respectivamente. E ainda, os valores
f(x0, y0) e f(x1, y1) são chamados de valor mínimo de f e valor máximo de f ,
respectivamente.
Sua demonstração pode ser encontrada nos volumes 1 e 2 do livro de cálculo chamado
“Um Curso de Cálculo” de autoria de Hamilton Luiz Guidorizzi (obras [G1] e [G2]).
Demonstração. Supor, por absurdo, que a f não é limitada em A. Então existirá
(x1, y1) ∈ A tal que |f(x1, y1)| > 1.
Tomando-se o ponto médio de cada lado do retângulo A divide-se A em quatro re-
tângulos menores; em um deles, chamado A2, a f não será limitada, logo existirá
(x2, y2) ∈ A2 tal que |f(x2, y2)| > 2.
Tomando-se o ponto médio de cada lado do retângulo A2 divide-se A2 em quatro re-
tângulos menores; em um deles, chamado A3, a f não será limitada, logo existirá
(x3, y3) ∈ A3 tal que |f(x3, y3)| > 3.
Procedendo-se assim forma-se uma família de retângulos encaixantes:
A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ . . . ⊃ An ⊃ . . .
e a seqüência de pontos (xn, yn) ∈ A tal que |f(xn, yn)| > n, ∀n ∈ N?, ou seja,
lim
n→+∞
|f(xn, yn)| = +∞ (?)
Existe um único ponto (α, β) que pertence a todos Ai, isto é, (α, β) ∈ ∩i∈N?Ai. A
seqüência (xn, yn) converge para este ponto, ou seja,
lim
n→+∞
(xn, yn) = (α, β)
E ainda, como f é contínua em A
lim
n→+∞
f(xn, yn) = f(α, β) (♣)
Os resultados apresentados em (?) e em (♣) são contraditórios; esta contradição vem
de assumir que f não é limitada em A.
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Portanto, a f é limitada em A. �
6 Fontes bibliográficas.
Todas as referências aqui citadas, sempre no formato ([AAA]), referem-se a:
[S2] James STEWART. CÁLCULO, volume II. Editora Cengage Learning, 2a edição, 2011. (Tradução da sexta edição norte-americana.)
[G1] Hamilton Luiz GUIDORIZZI. UM CURSO DE CÁLCULO, volume I. Editora LTC, 5a edição, 2011.
[G2] Hamilton Luiz GUIDORIZZI. UM CURSO DE CÁLCULO, volume II. Editora LTC, 5a edição, 2011.
[LL2] Louis LEITHOLD. O CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA, volume II. Editora Harbra, 1994.
[MF2] Mustafa A. MUNEM; David FOULIS. CÁLCULO, volume II. Editora LTC, 1982.
[GS2] George F. SIMMONS. CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA, volume II. Editora Pearson Makron Books, 1a edição,
1988, reimpressão de 2010.
[B2] Paulo BOULOS. INTRODUÇÃO AO CÁLCULO - cálculo diferencial: várias variáveis, volume III. Editora Edgard Blucher,
1974.
[GBT2] George B. THOMASJr. CÁLCULO, volume II. Editora Pearson, 12a edição, 2012.
[ABD] Howard ANTON; Irl BIVENS; Stephen DAVIS. CÁLCULO, volume II. Editora Bookman, 8a edição, 2007.
[W] www.wolframalpha.com
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