função de variável complexa

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TEOREMA DE ROUCHÉ E APLICAÇÕES
Thesis · December 2015
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Rodrigo Silva
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
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 INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E 
TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO SUL 
CÂMPUS CAXIAS DO SUL 
 
 
 
 
 
TEOREMA DE ROUCHÉ E APLICAÇÕES 
 
 
 
 
 
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO 
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
LUCAS PINTO DUTRA 
 
 
 
 
 
CAXIAS DO SUL 
2014 
 
 
LUCAS PINTO DUTRA 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DE ROUCHÉ E APLICAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho de Conclusão de Curso 
apresentado como requisito parcial para 
obtenção do grau de Licenciado em 
Matemática, pelo Instituto Federal de 
Educação, Ciência e Tecnologia do Rio 
Grande do Sul – Câmpus Caxias do Sul. 
 
Área de concentração: Matemática. 
 
Orientadores: 
 
Prof. Me. Nicolau Matiel Lunardi Diehl – 
IFRS/Câmpus Caxias do Sul. 
 
Prof. Me. Rodrigo Sychocki da Silva – 
IFRS/Câmpus Caxias do Sul. 
 
 
 
 
 
CAXIAS DO SUL 
2014 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul, Câmpus Caxias 
do Sul. 
Ficha catalográfica elaborada pela Bibliotecária Jaçanã Pando CRB 10/1936. 
 
51 
D978t Dutra, Lucas Pinto 
 Teorema de Rouché e aplicações / Lucas Pinto Dutra; orientadores, 
Nicolau Matiel Lunardi Diehl, Rodrigo Sychocki da Silva – Caxias do Sul, 
RS, 2014. 
48 p. 
Trabalho de Conclusão de Curso (graduação) - Instituto Federal de 
Educacação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul, Câmpus Caxias 
do Sul. Graduação em Matemática. 
Inclui referências 
1. Matemática. 2. Análise complexa. 3. Variáveis complexas. 4. Funções 
de uma variável complexa. 5. Teorema de Rouché. I. Diehl, Nicolau Matiel 
Lunardi. II. Silva, Rodrigo Sychocki da. III. Instituto Federal de Educação, 
Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul. Graduação em Matemática. IV. 
Título. 
 
 
LUCAS PINTO DUTRA 
 
 
 
 
 
TEOREMA DE ROUCHÉ E APLICAÇÕES 
 
 
 
 
 
A banca examinadora, abaixo assinada, aprova o Trabalho de Conclusão de Curso 
“Teorema de Rouché e Aplicações” elaborado por Lucas Pinto Dutra como requisito 
parcial para obtenção do grau de Licenciado em Matemática, pelo Instituto Federal 
de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul – Câmpus Caxias do Sul. 
 
 
 
 
 
_________________________________ 
Profa. Dra. Greice da Silva Lorenzzetti 
Andreis – IFRS/Câmpus Caxias do Sul 
 
 
_________________________________ 
Prof. Dr. Diego Marcon Farias – 
UFRGS/IM 
 
 
_________________________________ 
Prof. Dr. Rene Carlos Cardoso Baltazar 
Junior – FURG/IMEF 
 
 
 
 
Caxias do Sul, 25 de novembro de 2014. 
 
 
AGRADECIMENTOS 
 
 Agradeço aos professores orientadores Nicolau Matiel Lunardi Diehl e 
Rodrigo Sychocki da Silva, pelas orientações tão significativas e importantes para a 
realização deste trabalho. Desde o momento que escolhi realizar o Trabalho de 
Conclusão de Curso nessa área, tive certeza de que vocês teriam participação 
fundamental na realização. As dificuldades que tive durante essa trajetória puderam 
ser compreendidas com seu auxílio. 
 Agradeço ao Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio 
Grande do Sul – Câmpus Caxias do Sul pela oportunidade e ao meu colega e amigo 
Érick Scopel pela ajuda e parceria. Agradeço também a todos que tiveram alguma 
participação neste trabalho. 
Por fim, agradeço aos meus familiares, em particular Adelar e Eliane, meus 
pais, e Andressa, minha namorada, que souberam entender os momentos de 
ausência para realização de estudos e escrita do texto, bem como souberam dar 
todo o apoio necessário para essa realização. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMO 
 
Neste trabalho é apresentada uma demonstração do Teorema de Rouché utilizando 
conteúdos relacionados às variáveis complexas e inclui também a abordagem de 
algumas aplicações do teorema. O método utilizado para a realização foi a pesquisa 
bibliográfica, que possibilitou o estudo a partir de teoria consolidada sobre os 
conteúdos abordados. O trabalho conta com a apresentação de algumas noções 
preliminares de números complexos e funções de variável complexa, além das 
concepções da teoria de Cauchy e de singularidades, em conceitos fundamentais 
para o decorrer do propósito principal do estudo. O Teorema de Rouché é uma 
importante ferramenta de variáveis complexas e é útil ao longo deste texto para 
contar os zeros de funções complexas. Além de obter- se uma demonstração 
bastante simples para o Teorema Fundamental da Álgebra, o Teorema de Rouché 
permite contar o número de zeros de uma função de variável complexa em regiões 
limitadas, ilimitadas ou no plano todo, desde que saiba-se comparar esta função a 
uma outra função onde o número de zeros é conhecido. Este trabalho, apresenta 
ainda, como aplicação, o teorema do ponto fixo para funções complexas holomorfas 
em uma bola de raio um. 
 
Palavras-chave: Análise complexa. Funções de uma variável complexa. Teorema 
de Rouché.Variáveis complexas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ABSTRACT 
 
This work presents one proof of Rouché’s Theorem by using related content to the 
complex variables and also includes the approach of some applications of the 
theorem. The used method to the realization of the work was the literature research, 
which enable the study from prepared material about the content covered. The paper 
also contains the presentation of some preliminary notions about complex numbers, 
functions of one complex variable, conceptions of Cauchy’s theory and a study about 
singularities, in fundamental concepts for the main purpose of the study. The 
Rouché’s Theorem is an important tool of complex variables and it’s useful 
throughout this paper to count the zeros of complex functions. Besides obtaining a 
simple demonstration to the Fundamental Theorem of Algebra, the Rouché’s 
Theorem allows us to count the number of zeros of functions of one complex variable 
in limited, unlimited or the entire complex plane, provided we can compare this 
function with another function which the number of zeros is known. We also present, 
as an application, a Fixed Point Theorem for holomorphic functions in the ball of 
radius one. 
 
Keywords: Complex analysis. Functions of one complex variable. Rouché’s 
Theorem. Complex Variables. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1 – Representação do número complexo 𝑧 no plano ..................................... 14 
Figura 2 – Representação polar do número complexo 𝑧 no plano ............................ 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 8 
2 METODOLOGIA ..................................................................................................... 11 
3 TEORIA PRELIMINAR ........................................................................................... 13 
3.1 NÚMEROS COMPLEXOS .................................................................................. 13 
3.2 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA ....................................................... 15 
3.3 TOPOLOGIA COMPLEXA .................................................................................. 18 
3.4 FUNÇÕES HOLOMORFAS ................................................................................ 20 
3.5 TEORIA DE CAUCHY ......................................................................................... 22 
3.6 SINGULARIDADES ............................................................................................. 32 
4 TEOREMA DE ROUCHÉ E APLICAÇÕES ............................................................ 36 
4.1 TEOREMA DE ROUCHÉ .................................................................................... 36 
4.2 APLICAÇÕES DO TEOREMA DE ROUCHÉ ...................................................... 39 
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 45 
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 46
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Determinar o número ou até mesmo a existência de raízes de funções 
polinomiais é uma questão presente na matemática desde muito tempo, e foi 
material de estudo de diversos matemáticos, como Nicolo Fontana (Tartaglia)1, 
Girolamo Cardano2, Ludovico Ferrari3, Paolo Ruffini4, Évariste Galois5, Niels Henrik 
Abel6, entre outros. 
No ano de 1600 a.C., já haviam estudos da resolução de equações 
polinomiais quadráticas pelos babilônios e alguns séculos depois pelos gregos, 
através de construções geométricas. 
A equação de grau 3, que havia sido dividida em casos pelos matemáticos 
Renascentistas, teve sua solução proposta por Tartaglia e, segundo Eves (2004, p. 
303), “arrancada por Cardano após este ter feito um juramento de segredo”. Porém, 
este fato culminou na publicação da solução de Nicolo, por Cardano, feita em 1545 
no Ars Magna, grande tratado de álgebra escrito em latim. 
A equação polinomial de quarto grau foi estudada por Cardano, porém teve 
resolução proposta por seu discípulo Ludovico Ferrari, por meio de um método que 
reduzia essa equação a uma equação cúbica. Essa resolução também foi publicada 
em Ars Magna. A busca por formulações para solucionar o problema seguiu durante 
muitos anos. Em 1824, foi “demonstrado independente e conclusivamente pelo 
matemático norueguês Niels Henrik Abel” (EVES, 2004, p. 306) o importante 
resultado de que não há uma solução geral através de radicais para equações 
polinomiais de grau 5 ou superior, no teorema chamado teorema de Abel-Ruffini. 
Ainda neste contexto, Évariste Galois mostrou através da sua Teoria dos 
Grupos, que alguns irracionais algébricos não têm possibilidades de serem 
expressos por meio de fórmulas algébricas. Para maiores detalhes sobre esse tema, 
consulte Katz (2010, p. 859). 
Antes mesmo dos fatos históricos expressos no último parágrafo, foram 
realizadas, por Carl Friedrich Gauss7, algumas afirmações concretas sobre 
 
1
 Matemático italiano (1499-1557). 
2
 Matemático italiano (1501-1576). 
3
 Matemático italiano (1522-1565). 
4
 Matemático italiano (1765-1822). 
5
 Matemático francês (1811-1832). 
6
 Matemático norueguês (1802-1829). 
7
 Matemático alemão (1777-1855). 
9 
 
polinômios expressas no teorema da sua tese de doutorado, conhecido como 
Teorema Fundamental da Álgebra (TFA), que diz que todo polinômio complexo de 
grau maior ou igual a 1 possui pelo menos uma raiz complexa. 
Neste contexto, temos que a busca por soluções de equações polinomiais e 
zeros de funções polinomiais é um assunto de grande relevância na matemática. 
Uma ideia natural é tentar estender estes estudos a funções complexas mais gerais, 
ou seja, podemos determinar o número de zeros de uma função complexa não 
polinomial? 
Uma releitura do teorema fundamental da álgebra, apresentada na subseção 
3.1.2, afirma que uma função polinomial de grau 𝑛 possui exatamente 𝑛 raízes 
complexas. Porém, essa decorrência trata apenas de funções polinomiais. Além 
disso, dado um conjunto limitado, o teorema nada afirma sobre o número de raízes 
neste conjunto. Entretanto, através do teorema de Rouché, podemos obter o número 
de raízes de uma função complexa 𝑓 em um dado conjunto 𝐴, desde que 
consigamos comparar a função complexa com uma função 𝑔 na fronteira do 
conjunto 𝐴 e que saibamos a priori o número de zeros de 𝑔 em 𝐴. 
Alguns objetivos preliminares foram desenvolvidos no intuito de responder à 
seguinte questão norteadora da pesquisa: Dado um conjunto 𝐴 ⊂ ℂ e 𝑓: 𝐵 → ℂ, com 
𝐴 ⊂ 𝐵 ⊂ ℂ, qual é o número de zeros de 𝑓 em 𝐴?, sendo estes, de forma geral, a 
realização da pesquisa sobre funções complexas e algumas de suas propriedades, 
e, especificamente, o resgate de alguns conceitos vistos durante a graduação, a 
análise de funções complexas sobre aspectos do teorema de Rouché, a 
determinação de zeros de funções complexas através do mesmo teorema e também 
a aplicação do teorema de Rouché a alguns casos particulares. Este trabalho trata 
de responder essa pergunta. 
Abordamos a concepção metodológica utilizada durante a realização do 
estudo no capítulo 2. A metodologia utilizada foi a pesquisa bibliográfica, pelas 
possibilidades que o conteúdo nos proporcionou. 
No capítulo 3, fazemos as primeiras considerações a respeito de número 
complexo, com a definição desse conceito e de outros aspectos que são pertinentes 
ao desenvolvimento deste estudo, além da abordagem topológica necessária para o 
bom entendimento do conteúdo do trabalho, seguida do estudo sobre funções 
holomorfas. Alémdestes, dedicamos o capítulo ao tratamento do tópico da Teoria de 
Cauchy, com alguns dos resultados mais importantes sobre funções complexas, em 
10 
 
particular a integração e também abordamos a teoria preliminar de singularidades 
que se faz necessária. 
O capítulo 4 é dedicado ao objeto chave do estudo, o Teorema de Rouché e 
as suas aplicações. Neste capítulo, demonstraremos o teorema e trataremos de 
aplicações envolvendo zeros de funções complexas no plano todo e em regiões 
limitadas ou ilimitadas. Além destas aplicações, traremos um teorema de ponto fixo e 
uma prova muito simples para o TFA. 
No capítulo 5, são realizadas as considerações finais sobre o estudo, com as 
conclusões sobre o tópico abordado e suas implicações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
2 METODOLOGIA 
 
A pesquisa foi iniciada com a escolha e delimitação do tema a partir do qual 
elaboramos a seguinte questão: “Podemos, através do estudo de variáveis 
complexas, determinar o número de zeros de uma função complexa em um 
determinado domínio?”. Temos o estudo de funções complexas sendo analisadas 
sob aspectos do Teorema de Rouché como uma boa ferramenta para tentar 
responder essa questão. 
Pela forma na qual foi conduzido, este trabalho fica caracterizado como uma 
pesquisa bibliográfica, ou seja, um estudo realizado a partir de material já elaborado, 
tais como livros e artigos científicos. 
A pesquisa bibliográfica tem como objetivo, segundo Gonçalves (2005, p. 58), 
“revisitar a literatura já existente e não repetir o tema de estudo ou experimentação”. 
Temos ainda, de acordo com Traina e Traina Jr. (2009, p. 1), que essa modalidade 
de pesquisa “é uma das tarefas que mais impulsionam nosso aprendizado e 
amadurecimento na área de estudo”. 
Como qualquer espécie de pesquisa científica, a pesquisa bibliográfica é 
composta e determinada por algumas etapas características. Gil (2010, p. 45) 
aponta alguns estágios principais aos quais a pesquisa bibliográfica segue 
minimamente: 
 
a) escolha do tema; 
b) levantamento bibliográfico preliminar; 
c) formulação do problema; 
d) elaboração do plano provisório de assunto; 
e) busca das fontes; 
f) leitura do material; 
g) fichamento; 
h) organização lógica do assunto; e 
i) redação do texto. 
 
 
O levantamento bibliográfico preliminar foi realizado durante a própria 
apropriação do tema e das suas delimitações, com escolha de algumas fontes para 
iniciação no assunto de escolha, bem como em conceitos relacionados que 
poderiam ser abordados no presente estudo. É importante destacar que nesta etapa 
do trabalho foi realizada a correspondência com alguns trabalhos relacionados ao 
tema, nas áreas de ensino da matemática, matemática pura e também matemática 
12 
 
aplicada. Dentre estes, pode-se destacar Monzon (2012), que faz uma proposta 
didática envolvendo ensino diferenciado de números complexos e funções de 
variável complexa no ensino médio, Pinto Junior (2009) organizou um texto sobre a 
história dos números complexos. Maguiña (1995) formulou um curso de variáveis 
complexas para estudo de funções analíticas complexas, enquanto Sacchetto (2012) 
escreveu sobre aspectos geométricos, topológicos e analíticos da geometria 
complexa, contribuindo para a discussão do assunto. 
A questão norteadora do estudo anteriormente apresentada foi formulada no 
intuito de delimitar um problema de investigação e que também possibilitasse um 
aprofundamento nos conteúdos de variáveis complexas. É possível perceber que 
com o problema formulado foi possível determinar previamente alguns objetivos a 
serem atingidos durante o processo. Assim, elaboramos uma proposta de fazermos 
as leituras e definirmos alguns tópicos para o embasamento teórico do tema. 
Durante a busca das fontes, além dos trabalhos relacionados que já haviam 
sido visualizados, foram selecionadas algumas obras para estudo. Para essa 
escolha procuramos determinar algumas bibliografias no tema de variáveis 
complexas, como Lins Neto (2008) e Soares (2014). Para um levantamento histórico 
do tema o processo foi realizado da mesma maneira, com Eves (2004) e Katz 
(2010). 
Com algumas fontes principais bem definidas, foi possível realizarmos a 
leitura inicial sobre o tema e suas ramificações, e desse modo fazermos o 
fichamento de alguns conceitos importantes para a compreensão do ponto chave do 
presente estudo, o Teorema de Rouché, são eles: número complexo, domínio, 
funções holomorfas, e as devidas implicações desses conceitos. Assim, a redação 
do texto foi iniciada a partir da organização realizada conforme os passos citados. 
O trabalho seguiu-se através da explicitação de alguns conteúdos dos quais 
necessitávamos para demonstrar o Teorema de Rouché, ou seja, o estudo 
detalhado sobre funções holomorfas, estudo sobre integração complexa a partir da 
Teoria de Cauchy, estudo sobre singularidades, bem como as implicações destes. 
Do mesmo modo, foram avaliados alguns exemplos de aplicações do teorema 
semelhantes à citada durante o projeto de pesquisa, além da observação das raízes 
destas diferentes funções em discos e anéis. Dessa forma foi possível atingirmos os 
objetivos do estudo, bem como analisar o problema que serviu como norteador para 
a pesquisa. 
13 
 
3 TEORIA PRELIMINAR 
 
Para melhor entendermos o Teorema de Rouché, é necessário o 
conhecimento prévio sobre alguns conteúdos: número complexo, domínio, funções 
holomorfas, teoria de Cauchy, singularidades, além de suas implicações. Vamos 
agora definir estes conceitos e apresentar alguns resultados importantes para o 
desenvolvimento do trabalho. 
 
3.1 NÚMEROS COMPLEXOS 
 
Começaremos a noção de número complexo analisando as soluções da 
equação 𝑥2 + 1 = 0, ou, equivalentemente, 𝑥2 = −1. Sabemos que essa equação 
não tem solução em ℝ. Dessa maneira, temos a necessidade de definir um novo 
conjunto no qual seja possível construir uma solução dessa equação. 
Primeiramente, vamos definir um número complexo como um par de números 
reais com as operações de soma e produto, conforme a definição a seguir. 
 
Definição 3.1.1 (Número Complexo): Um número complexo 𝑧 é um par ordenado 
de números reais 𝑧 = (𝑥, 𝑦) com as operações de soma e produto definidas por: 
𝑖) 𝑧1 + 𝑧2 = (𝑥1, 𝑦1) + (𝑥2, 𝑦2) = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2) 
𝑖𝑖) 𝑧1 ∙ 𝑧2 = (𝑥1, 𝑦1) ⋅ (𝑥2, 𝑦2) = (𝑥1𝑥2 − 𝑦1𝑦2, 𝑥1𝑦2 + 𝑦1𝑥2) 
 
Dessa maneira definidas, a soma e o produto de números complexos têm as 
propriedades que o caracterizam como um corpo, representado pelo símbolo ℂ, 
conforme Fernandez e Bernardes Jr. (2008). 
Devemos considerar, no conjunto em ℂ dos complexos, o número (0, 1) como 
a unidade imaginária, representada pelo símbolo 𝒊. Eves (2004) aponta que a 
implantação da notação 𝒊 para a unidade imaginária se deve a Leonhard Euler8. 
Como veremos, 𝒊2 é identificado com -1 e, portanto, denotamos 𝒊 = √−1. 
Note que 𝒊 é solução da equação 𝑥2 + 1 = 0. Assim, por definição temos: 
(𝑦, 0). (0, 1) = (0, 𝑦), 
onde 
 
8
 Matemático suíço (1707-1783). 
14 
 
𝑧 = (𝑥, 𝑦) = (𝑥, 0) + (0, 𝑦) = (𝑥, 0) + (𝑦, 0). (0, 1) = 𝑥 + 𝑦𝒊. 
Como ℂ é um corpo, o produto é comutativo e temos 𝑦𝒊 = 𝒊𝑦, sendo que 
desse modo qualquer número complexo 𝑧 = (𝑥, 𝑦) também pode ser escrito como 
𝑧 = 𝑥 + 𝒊𝑦. 
Ainda sobre a noção de corpo, podemos relacionar o conjunto dos números 
complexos e o conjunto dos números reais. Segundo Lins Neto (2012, p. 3), 
 
 
Um fato que devemos ter em mente é que o corpo dos reais está 
naturalmente mergulhado em ℂ e para isto basta identificarmos um 
número real 𝑥 com o complexo 𝑥 + 𝒊0. Tendo-se em vista esta 
identificação, diremos que ℝ ⊂ ℂ. Observe que se 𝑧 = 𝑎 + 𝒊0 ∈ ℝ e 
𝑤 = 𝑏 + 𝒊0 ∈ ℝ então 𝑧 + 𝑤 e 𝑧 ∙ 𝑤 estão em ℝ. Portanto ℝ é um 
subcorpo de ℂ [...]. 
 
 
Apresentaremos agora outrosconceitos importantes oriundos da definição de 
número complexo. 
 
Definição 3.1.2 (Parte Real e Imaginária): Dado um número complexo 𝑧 = 𝑥 + 𝒊𝑦 
= (𝑥, 𝑦) ∈ ℂ, o número real 𝑥 é dito parte real de 𝑧 e o número real 𝑦 é dito parte 
imaginária de 𝑧, denotados por 𝑅𝑒(𝑧) e 𝐼𝑚(𝑧), respectivamente. 
 
Definição 3.1.3 (Coordenadas): Dado um número complexo 𝑧 = 𝑥 + 𝒊𝑦 = (𝑥, 𝑦) ∈ ℂ,
𝑅𝑒(𝑧) = 𝑥, 𝐼𝑚(𝑧) = 𝑦 são as coordenadas de 𝑧 no plano ℝ², ao qual chamamos 
plano complexo ℂ. 
 
Figura 1 – Representação do número complexo 𝑧 no plano. 
 
Fonte: Autor. 
 
Observação: Naturalmente, podemos considerar que os pontos estão em 
relação biunívoca com o número complexo 𝑧 = 𝑥 + 𝒊𝑦, conforme mostrado na Figura 
15 
 
1, com as operações de soma e produto definidas anteriormente. 
 
Definição 3.1.4 (Módulo): O módulo do número complexo 𝑧 = 𝑥 + 𝒊𝑦 é a distância 
do ponto 𝑧 = (𝑥, 𝑦) até a origem (0, 0): 
|𝑧| = √𝑥2 + 𝑦2. 
 
Definição 3.1.5 (Conjugado): Chamamos de conjugado do número complexo 
𝑧 = 𝑥 + 𝒊𝑦 ao número complexo 𝑧̅ = 𝑥 − 𝒊𝑦. 
Podemos ainda pensar na representação polar do número 𝑧 = 𝑥 + 𝒊𝑦. 
 
Figura 2 – Representação polar do número complexo 𝑧 no plano. 
 
Fonte: Autor. 
 
A Figura 2 permite que, através de relações trigonométricas, escrevamos 
sen 𝜃 =
𝑧𝑥̅̅̅̅
𝑂𝑧̅̅ ̅̅
 e cos 𝜃 =
𝑂𝑥̅̅ ̅̅
𝑂𝑧̅̅ ̅̅
, com 𝑧𝑥̅̅ ̅ = 𝑦, 𝑂𝑧̅̅̅̅ = 𝑟 e 𝑂𝑥̅̅̅̅ = 𝑥. Assim, segue que 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 
e 𝑦 = 𝑟 sen 𝜃, com 𝑧 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝒊𝑠𝑒𝑛 𝜃), onde 𝑟 = |𝑧|. É comum também a notação 
𝑒𝒊𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝒊𝑠𝑒𝑛 𝜃 (Identidade de Euler). Assim, 𝑧 = 𝑟𝑒𝒊𝜃 é também uma notação 
da forma polar do número complexo 𝑧. 
 
3.2 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA 
 
Esta seção retoma o Teorema Fundamental da Álgebra, que havia sido 
abordado de forma introdutória anteriormente. Esse teorema nos afirma que todo 
polinômio complexo de grau maior ou igual a 1 possui pelo menos uma raiz 
complexa, ou ainda, diz o número exato de zeros de uma função polinomial 𝑓: ℂ → ℂ, 
𝑥 ↦ 𝑓(𝑥). Devido a grande fundamentação que dá para o ensino de polinômios e da 
álgebra em geral, é considerado um dos grandes resultados da matemática 
moderna. 
16 
 
Teorema 3.2.1 (Teorema Fundamental da Álgebra): Todo polinômio complexo de 
grau maior do que ou igual a 1 possui pelo menos uma raiz complexa. 
Demonstração: Sejam 𝑧 = 𝑟𝑒𝒊𝜃, com 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋 e 𝑅 = 2 + |𝑎1| + |𝑎2| + ⋯+ |𝑎𝑛|. 
Definimos uma nova função 
𝑔(𝑧) = {
 𝑧 −
𝑃(𝑧)
𝑅𝑒𝒊(𝑛−1)𝜃𝑟
, 𝑠𝑒 |𝑧| ≤ 1
𝑧 −
𝑃(𝑧)
𝑅𝑧𝑛−1
, 𝑠𝑒 |𝑧| > 1
 . 
A função 𝑔, assim definida, é contínua. Com efeito, se |𝑧| ≤ 1 e 𝑧 = 𝑟𝑒𝒊𝜃, 
então 
𝑓(𝑧) =
1
𝑒𝒊(𝑛−1)𝜃𝑟
= cos[(𝑛 − 1)𝜃𝑟] − 𝒊𝑠𝑒𝑛[(𝑛 − 1)𝜃𝑟] 
é contínua nessa região. O único ponto problemático é a origem, porém podemos 
perceber a continuidade fazendo 𝑧𝑘 → 0 e 𝑧𝑘 = 𝑟𝑘𝑒
𝒊𝜃𝑘, assim 
lim
𝑧𝑘→0
𝑓(𝑧𝑘) = lim
𝑧𝑘→0
1
𝑒𝒊(𝑛−1)𝜃𝑘𝑟𝑘
= 1 = 𝑓(0). 
Quando |𝑧| > 1, então não há problemas de continuidade, já que 
1
𝑧𝑛−1
 é 
contínua. 
Vejamos que se 𝐷 é o círculo de centro na origem e raio 𝑅 então 𝑔(𝐷) ⊂ 𝐷. 
Note que para |𝑧| ≤ 1, temos 
|𝑔(𝑧)| ≤ |𝑧| +
|𝑃(𝑧)|
𝑅
≤ 1 +
|𝑎1| + |𝑎2| + ⋯+ |𝑎𝑛|
𝑅
≤ 1 + 1 ≤ 𝑅. 
Se 1 ≤ |𝑧| ≤ 𝑅, então 
|𝑔(𝑧)| ≤ |𝑧|
𝑅 − 1
𝑅
+
|𝑎1| + |𝑎2| + ⋯+ |𝑎𝑛|
𝑅
≤ 𝑅 − 1 +
𝑅 − 2
𝑅
< 𝑅, 
ambos os casos com |𝑔(𝑧)| ≤ 𝑅. Desse modo, temos que existe um ponto 𝑧0 ∈ 𝐷 tal 
que 𝑔(𝑧0) = 𝑧0, e assim, 𝑃(𝑧0) = 0, pelo teorema do ponto fixo
9 de Brouwer. ∎ 
Analisaremos agora um exemplo: 
 
Afirmação 3.2.2: 𝑃(𝑧) = 𝑧7 + 80𝑧6 + 65𝑧4 + 33𝑧3 + 40𝑧2 + 1025𝑧 + 3 tem uma raiz 
complexa. 
Prova: Devemos demonstrar que esse polinômio tem um zero, ou seja, que existe 
𝑧0 ∈ ℂ tal que 𝑃(𝑧0) = 0. Note que o coeficiente de 𝑧 é 1025, muito grande em 
 
9
 Para maiores informações sobre o teorema do ponto fixo de Brouwer, consulte Guzman (2002). 
 
17 
 
relação aos demais. Escrever 𝑃(𝑧0) = 0 é o mesmo que dizer que 𝑧0 − 
𝑃(𝑧0)
1025
= 𝑧0, ou 
seja, que a transformação ℎ de ℂ em ℂ definida por ℎ(𝑧) = 𝑧 −
𝑃(𝑧)
1025
 tem um ponto fixo 
𝑧0. Podemos observar que 
ℎ(𝑧) = −
𝑧7
1025
−
80
1025
𝑧6 −
65
1025
𝑧4 −
33
1025
𝑧3 −
40
1025
𝑧2 −
3
1025
 
é tal que, para |𝑧| ≤ 1, então 
|ℎ(𝑧)| ≤
1 + 80 + 65 + 33 + 40 + 3
1025
< 1 
e assim ℎ transforma um círculo 𝐷 de centro na origem e raio 1 numa figura contida 
em 𝐷, ou ainda, ℎ é uma transformação de 𝐷 em 𝐷. Além disso, temos que ℎ é uma 
função contínua. Portanto, pelo teorema de Brouwer, existe um ponto 𝑧0 tal que 
ℎ(𝑧0) = 𝑧0, e assim, 𝑃(𝑧0) = 0. 
Através do teorema fundamental da álgebra, podemos afirmar o seguinte 
teorema. 
 
Teorema 3.2.3: Todo polinômio 𝑝(𝑥) com coeficientes reais, de grau 𝑛, pode ser 
fatorado na forma 𝑝(𝑥) = 𝑐(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)… (𝑥 − 𝑥𝑛), onde 𝑐 é um número real e 
𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 são raízes complexas de 𝑝(𝑥) (possivelmente repetidas). Além disso, 
essa fatoração é única, a menos de reordenação dos fatores. 
Demonstração: Se 𝑛 = 0, temos 𝑝(𝑥) = 𝑘, sendo 𝑘 uma constante. 
Se 𝑛 ≠ 0, pelo algoritmo da divisão para polinômios, combinado com o TFA, 
podemos escrever 𝑝(𝑥) como o produto de fatores de grau 1 
𝑝(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)… (𝑥 − 𝑥𝑚)𝑞(𝑥) 
onde 𝑞(𝑥) não possui raízes e 𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑚 são raízes complexas de 𝑝(𝑥). Note, 
pelo TFA, que se 𝑞(𝑥) possuísse grau 1, teria ao menos uma raiz. Logo, 𝑞(𝑥) não 
possui raízes, ou seja, é um polinômio constante. Desse modo, 
𝑝(𝑥) = 𝑐(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)… (𝑥 − 𝑥𝑚), 
para algum valor de 𝑐. 
Como 𝑝 tem grau 𝑛, o número de fatores de 1º grau de 𝑝 deve ser 𝑛. Logo, 
𝑚 = 𝑛, sendo provada a decomposição de 𝑝 em um fator constante e 𝑛 fatores de 
grau 1. 
Para a unicidade da decomposição, supomos que 𝑝 possui duas 
decomposições distintas, 
18 
 
 𝑝(𝑥) = 𝑐(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)… (𝑥 − 𝑥𝑛) 
e 
𝑝(𝑥) = 𝑐′(𝑥 − 𝑥1′)(𝑥 − 𝑥2′) … (𝑥 − 𝑥𝑛′). 
Podemos comparar o monômio de mais alto grau de ambas as 
decomposições e perceber 𝑐 = 𝑐′. Assim 
(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)… (𝑥 − 𝑥𝑛) = (𝑥 − 𝑥1′)(𝑥 − 𝑥2′) … (𝑥 − 𝑥𝑛′). (1) 
Fazendo 𝑥 = 𝑥1 em (1), temos: 
0 = (𝑥1 − 𝑥1′)(𝑥1 − 𝑥2′) … (𝑥1 − 𝑥𝑛′). 
Assim, um dos termos 𝑥1
′ , 𝑥2
′ , . . . , 𝑥𝑛′ é igual a 𝑥1. Podemos supor, sem perda 
de generalidade, que 𝑥1 = 𝑥1′. Assim, substituindo em (1), obtemos 
(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)… (𝑥 − 𝑥𝑛) = (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2′) … (𝑥 − 𝑥𝑛′) ⟹ 
⟹ (𝑥 − 𝑥2)… (𝑥 − 𝑥𝑛) = (𝑥 − 𝑥2′) … (𝑥 − 𝑥𝑛′). 
Repetindo o processo (𝑛 − 1) vezes (indução finita), obtemos a unicidade da 
fatoração. ∎ 
Para seguirmos e iniciarmos nosso estudo sobre funções complexas, 
definiremos no próximo capítulo alguns conceitos topológicos. 
 
3.3 TOPOLOGIA COMPLEXA 
 
Após as considerações sobre o conjunto dos números complexos e suas 
definições iniciais, abordaremos algumas noções topológicas necessárias para o 
estudo que se segue. 
 
Definição 3.3.1 (Diferença de conjuntos): Sejam 𝐴,𝑈 ⊂ ℂ subconjuntos do plano 
complexo e 𝑧 ∈ ℂ. A diferença do conjunto 𝐴 pelo conjunto 𝑈 é o conjunto formado 
pelos elementos que pertencem a 𝐴 e que não pertencem a 𝑈, ou seja, 𝑧 ∈ 𝐴 e 
𝑧 ∉ 𝑈. Denotamos 𝐴\𝑈. 
 
Definição 3.3.2 (Disco): Sejam 𝑧0 um ponto pertencente ao plano complexo ℂ e um 
número real positivo 𝑎. O conjunto formado pelos pontos 𝑧 do plano que satisfazem 
| 𝑧 – 𝑧0| < 𝑎 é chamado disco de raio 𝑎 e centro em 𝑧0. 
 
Definição 3.3.3 (Ponto de fronteira): Sejam 𝑈 ⊂ ℂ e 𝑧 ∈ ℂ. Dizemos que 𝑧 é ponto 
19 
 
de fronteira de 𝑈 se todo disco de centro em 𝑧 contém pontos de 𝑈 e também 
contém pontos do complementar de 𝑈. 
 
Definição 3.3.4 (Fronteira): Seja 𝑈 ⊂ ℂ. A fronteira de 𝑈 é o conjunto formado 
pelos pontos de fronteira de 𝑈. Denotaremosfronteira como 𝜕𝑈. 
 
Definição 3.3.5 (Aberto): Um subconjunto 𝑈 ⊂ ℂ é dito aberto se, dado qualquer 
ponto 𝑧 ∈ 𝑈, temos um real positivo 𝑎 tal que o disco de raio 𝑎 centrado em 𝑧 está 
inteiramente contido em 𝑈. 
 
Definição 3.3.6 (Caminho suave): Um caminho suave em ℂ é uma aplicação do 
tipo 𝛶: 𝐽 ⟶ ℂ que tem derivada contínua em todos os pontos de 𝐽, sendo 𝐽 ⊂ ℝ com 
𝐽 = [𝑎, 𝑏] e 𝑎 < 𝑏. 
Observação: Os pontos 𝛶(𝑎) e 𝛶(𝑏) são chamados ponto inicial e ponto 
terminal do caminho 𝛶. 
Devemos notar que nessa definição está subentendido o sentido de percurso 
do caminho, ou seja, o caminho é percorrido à medida que 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] cresce. 
Podemos inverter o sentido definindo 𝛶−, o caminho reverso de 𝛶, como 𝛶−(𝑡) =
𝛶(𝑎 + 𝑏 − 𝑡), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏. 
 
Definição 3.3.7 (Comprimento do caminho): Se 𝛶: [𝑎, 𝑏] ⟶ ℂ é um caminho 
suave e 𝛶(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)), seu comprimento é definido por: 
𝑙(𝛶) = ∫ |𝛶′(𝑡)|𝑑𝑡
𝑏
𝑎
= ∫√𝑥′(𝑡)2 + 𝑦′(𝑡)²
𝑏
𝑎
𝑑𝑡. 
 
Definição 3.3.8 (Caminho suave por partes): Um caminho suave Υ é dito por 
partes em ℂ se é uma coleção finita de caminhos suaves 𝛶1: [𝑎1, 𝑏1] ⟶ ℂ,
. . . , 𝛶𝑛: [𝑎𝑛, 𝑏𝑛] ⟶ ℂ, satisfazendo 𝛶𝑖(𝑏𝑖) = 𝛶𝑖+1(𝑎𝑖+1) para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1. Denotamos 
𝛶 = 𝛶1 ∗ . . .∗ 𝛶𝑛. 
Dizemos que o caminho suave por partes 𝛶 é fechado quando 𝛶1(𝑎1) =
 𝛶𝑛(𝑏𝑛). 
 
Definição 3.3.9 (Caminho suave por partes, fechado e simples): Dizemos que 
20 
 
um caminho Υ suave por partes e fechado é simples se a aplicação que o define é 
injetiva exceto pelos pontos inicial e terminal de cada 𝛶𝑖, para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. 
 
Definição 3.3.10 (Curva de Jordan suave por partes): Uma curva de Jordan suave 
por partes é um caminho suave por partes, fechado e simples. 
 
Definição 3.3.11 (Domínio): 𝑈 ⊂ ℂ é denominado domínio se 𝑈 é um conjunto 
aberto e se, dados 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑈, existe um caminho suave por partes Υ com 𝛶(𝐽) ⊂ 𝑈 
de ponto inicial 𝑝 e ponto terminal 𝑞. 
 
Definição 3.3.12 (Orientação compatível): Seja 𝑈 ⊂ ℂ um domínio e seja 𝑉 ⊂ 𝑈 
uma região fechada e limitada cuja fronteira 𝜕𝑉 é uma curva de Jordan suave por 
partes, com 𝑉\𝜕𝑉 domínio. Adotamos o sentido do percurso para o qual o interior da 
região 𝑉 esteja sempre à esquerda ao percorrermos ela. Assim, dizemos que 𝑉 e 𝜕𝑉 
têm orientação compatível. 
 
3.4 FUNÇÕES HOLOMORFAS 
 
Iniciaremos nosso estudo sobre funções holomorfas pensando na noção de 
função complexa para possibilitar a definição de alguns conteúdos importantes. 
Soares (2014, p. 34) afirma que 
 
 
A noção de função complexa envolve naturalmente a consideração 
de duas variáveis reais. [...] uma função complexa de variável 
complexa 𝑧 é uma correspondência 𝑓 que associa ao número 𝑧 um 
único número complexo 𝑤, chamado a imagem de 𝑧 por 𝑓, 𝑤 =
 𝑓(𝑧). 
 
 
Podemos escrever a imagem de 𝑓 como 𝑓(𝑧) = 𝑤. Escrevendo 𝑧 = (𝑥, 𝑦) e 
𝑤 = (𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣(𝑥, 𝑦)), temos 𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑤 = (𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣(𝑥, 𝑦)) = 𝑢(𝑥, 𝑦) +
𝒊𝑣(𝑥, 𝑦). 
Dessa maneira, podemos definir conceitos sobre funções complexas 
importantes e necessários para a compreensão do Teorema de Rouché. 
Iniciaremos com o conceito de limite para a função complexa, seguido da 
derivada para funções complexas e do conceito de função holomorfa. 
21 
 
Definição 3.4.1 (Limite): Seja 𝐴 um subconjunto aberto de ℂ e 𝑓: 𝐴 → ℂ uma função 
de 𝑧. Dado um número 𝑧0 ∈ 𝐴, dizemos que o número 𝑤0 ∈ ℂ é o limite de 𝑓 quando 
𝑧 ∈ 𝐴 tende a 𝑧0 se, dado 𝜀 > 0 qualquer, é possível obter 𝛿 > 0 tal que, se 𝑧 ∈ 𝐴 
satisfaz 0 < |𝑧 – 𝑧0| < 𝛿, então |𝑓(𝑧) – 𝑤0| < 𝜀. Neste caso, denotamos 
lim
𝑧 → 𝑧0
𝑓(𝑧) = 𝑤0. 
 
Definição 3.4.2 (Derivada): Sejam 𝐴 ⊂ ℂ um aberto, 𝑧0 um ponto pertencente a 𝐴 e 
𝑓: 𝐴 → ℂ uma função complexa. Se o limite 
𝑙𝑖𝑚
𝑧 → 𝑧0 
𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0)
𝑧 − 𝑧0
 
existir, esse é chamado derivada de 𝑓(𝑧) no ponto 𝑧0 e denotado por 𝑓′(𝑧0). 
 
Proposição 3.4.3: Seja 𝑓: ℂ → ℂ uma função complexa. Se 𝑓 é derivável em 𝑧0, 𝑓 é 
contínua em 𝑧0. 
Demonstração: Temos 
lim
𝑧 → 𝑧0
(𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0)) = lim
𝑧 → 𝑧0
𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0)
𝑧 − 𝑧0
(𝑧 − 𝑧0) = 𝑓
′(𝑧0)0 = 0. 
Assim, 
lim
𝑧 → 𝑧0
𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑧0) . ∎ 
 
Proposição 3.4.4 (Condições de Cauchy-Riemann): Sejam 𝐴 um subconjunto 
aberto de ℂ e 𝑓: 𝐴 → ℂ uma função de 𝑧, além de 𝑧0 ∈ 𝐴 um número complexo. Se 
𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝒊𝑣(𝑥, 𝑦) tem derivada em 𝑧0 = 𝑥0 + 𝒊𝑦0 então 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0) =
𝜕𝑣
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0) 𝑒 
𝜕𝑣
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0) = −
𝜕𝑢
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0). 
Demonstração: Sabemos, conforme Lins Neto (2012), que um número complexo 
está identificado com a matriz de transformação (
𝑎 −𝑏
𝑏 𝑎
). Como a função 𝑓 é 
derivável em 𝑧0, sua matriz jacobiana no ponto (𝑥0, 𝑦0) é dada por 
(
 
 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0)
𝜕𝑢
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0)
𝜕𝑣
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0)
𝜕𝑣
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0)
)
 
 
. (2) 
A matriz (2) representa um número complexo, que é da forma (
𝑎 −𝑏
𝑏 𝑎
). Logo, temos 
22 
 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0) =
𝜕𝑣
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0) 𝑒 
𝜕𝑣
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0) = −
𝜕𝑢
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0). ∎ 
 
Definição 3.4.5 (Função Holomorfa): Seja 𝑓: 𝐴 → ℂ, com 𝐴 ⊂ ℂ um aberto, uma 
função complexa. A função 𝑓 é dita holomorfa em 𝐴 se 𝑓′(𝑧) existe para todo ponto 
𝑧 ∈ 𝐴. 
 
Definição 3.4.6 (Ponto Singular): Sejam uma função 𝑓: 𝐴 → ℂ, 𝐴 ⊂ ℂ um aberto e 
𝑧0 ∈ 𝐴. Denotamos 𝑧0 um ponto singular de 𝑓 (ou singularidade isolada de 𝑓) caso 𝑓 
seja holomorfa no disco 𝐷(𝑧0, 𝑟), exceto em 𝑧0. 
 
3.5 TEORIA DE CAUCHY 
 
 Neste tópico serão abordadas as principais questões relativas às funções 
complexas, com alguns dos principais resultados necessários para o presente 
estudo. Poderemos perceber que as funções holomorfas têm a integral bem 
representada nos pontos interiores de um disco fechado através de uma integral ao 
longo da fronteira desse disco. 
 
Definição 3.5.1 (Integral ao longo de um caminho suave): Sejam 𝛶: [𝑎, 𝑏] → ℂ um 
caminho suave e 𝑓: 𝑈 → ℂ uma função contínua, com 𝑈 ⊂ ℂ um domínio. A integral 
da função 𝑓 ao longo do caminho Υ é o número complexo 
∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧
𝛶
= ∫𝑓(𝛶(𝑡))𝛶′(𝑡)𝑑𝑡.
𝑏
𝑎
 
 Devemos notar que tomando 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝒊𝑣(𝑥, 𝑦) temos 𝑓(𝛶(𝑡)) =
𝑢(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) + 𝒊𝑣(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)), com a expressão acima passando a se tornar 
∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧
𝛶
= ∫𝑓(𝛶(𝑡))𝛶′(𝑡)𝑑𝑡
𝑏
𝑎
 
= ∫[𝑢(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))𝑥′(𝑡) − 𝑣(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))𝑦′(𝑡)]𝑑𝑡
𝑏
𝑎
 
+𝒊∫[𝑢(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))𝑦′(𝑡) + 𝑣(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))𝑥′(𝑡)]𝑑𝑡
𝑏
𝑎
 
23 
 
ou seja, representamos ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧
Υ
 por duas integrais de linha ao longo de 𝛶. 
 Recordando a definição 3.3.7, percebendo 𝑑𝑥 = 𝑥′(𝑡)𝑑𝑡 e 𝑑𝑦 = 𝑦′(𝑡)𝑑𝑡, com 
𝑑𝑧 = (𝑥′(𝑡) + 𝒊𝑦′(𝑡))𝑑𝑡 e identificando o módulo |𝑑𝑧| = √𝑥′(𝑡)² + 𝑦′(𝑡)²𝑑𝑡, 
conseguimos o comprimento de um caminho suave 𝛶 a partir da representação 
𝑙(𝛶) = ∫ |𝑑𝑧|
𝛶
. 
 Temos ainda na definição da integral ao longo de um caminho suave a 
sensibilidade ao sentido do percurso. Assim, sendo 𝛶− o caminho reverso de 𝛶, 
∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧
𝛶
= − ∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧
𝛶−
. 
 
Definição 3.5.2 (Integral ao longo de um caminho suave por partes): Sejam 
𝑓: 𝑈 → ℂ uma função contínua, com 𝑈 ⊂ ℂ domínio e seja 𝛶 = 𝛶1 ∗ 𝛶2 ∗ . . .∗ 𝛶𝑛 um 
caminho suave por partes em 𝑈. A integral de 𝑓(𝑧) ao longo de 𝛶 é dada pelo 
número complexo 
∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧
𝛶
= ∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧
𝛶1
+⋯+ ∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧
𝛶𝑛
. 
 
Definição 3.5.3 (Primitiva): Seja 𝑓: 𝑈 → ℂ uma função contínua, com 𝑈 ⊂ ℂ 
domínio. Uma função 𝐹:𝑈 → ℂ é dita primitiva de 𝑓 se 𝐹 é holomorfa em 𝑈 e 
𝐹′(𝑧) = 𝑓(𝑧), ∀ 𝑧 ∈ 𝑈. 
 
Teorema 3.5.4: Sejam o domínio 𝑈 ⊂ ℂ e, 𝑓: 𝑈 → ℂ uma função contínua. 
Suponhamos que 𝑓 possua uma primitiva 𝐹:𝑈 → ℂ nesse domínio e 𝛶 um caminhosuave por partes em 𝑈 unindo dois pontos, 𝑧0 e 𝑧1. Assim 
∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 𝐹(𝑧1) − 𝐹(
𝛶
𝑧0). 
Demonstração: Supomos 𝛶(𝑡) = 𝑥(𝑡) + 𝒊𝑦(𝑡) com 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏], 𝛶(𝑎) = 𝑧0 e 𝛶(𝑏) = 𝑧1. 
Além disso, colocamos 𝜔(𝑡) = 𝑓(𝛶(𝑡))𝛶′(𝑡) e 𝜁(𝑡) = 𝐹(𝛶(𝑡)). Podemos escrever 
𝜔(𝑡) = 𝑢(𝑡) + 𝒊𝑣(𝑡) e 𝜁(𝑡) = 𝑈(𝑡) + 𝒊𝑉(𝑡), de modo que 𝐹′ = 𝑓 nos fornece 𝜁′(𝑡) =
𝑈′(𝑡) + 𝒊𝑉′(𝑡) = 𝑢(𝑡) + 𝒊𝑣(𝑡) = 𝜔(𝑡). Assim, 
24 
 
∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = ∫𝜔(𝑡)𝑑𝑡 = ∫𝑢(𝑡)𝑑𝑡 +
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎𝛶
𝒊∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡
𝑏
𝑎
 
e pelo Teorema Fundamental do Cálculo10, a última expressão torna-se 
𝑈(𝑏) − 𝑈(𝑎) + 𝒊(𝑉(𝑏) − 𝑉(𝑎)) = 𝑈(𝑏) + 𝒊𝑉(𝑏) − 𝑈(𝑎) − 𝒊𝑉(𝑎) 
= 𝜁(𝑏) − 𝜁(𝑎) = 𝐹(𝑧1) − 𝐹(𝑧0). ∎ 
 
Lema 3.5.5: Sejam uma função contínua 𝑓: 𝑈 → ℂ, com 𝑈 ⊂ ℂ domínio e 𝛶(𝑡), 
𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏], um caminho suave por partes em 𝑈, com seu comprimento 𝑙(𝛶). Seja 
𝐾 ≥ 0 pertencente a ℝ, tal que |𝑓(𝛶(𝑡))| ≤ 𝐾 para todo valor de 𝑡. Tem-se 
|∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧
𝛶
| ≤ 𝐾𝑙(𝛶). 
Demonstração: Iniciaremos considerando as funções reais contínuas 𝛼 e 𝛽 e 
mostrando que 
|∫(𝛼(𝑡) + 𝒊𝛽(𝑡))𝑑𝑡
𝑏
𝑎
| ≤ ∫|𝛼(𝑡) + 𝒊𝛽(𝑡)|𝑑𝑡. (3)
𝑏
𝑎
 
Colocamos 𝐴 = ∫ 𝛼(𝑡)𝑑𝑡
𝑏
𝑎
 e 𝐵 = ∫ 𝛽(𝑡)𝑑𝑡
𝑏
𝑎
. Assim temos 
√𝐴² + 𝐵² = |𝐴 + 𝒊𝐵| = |∫(𝛼(𝑡) + 𝒊𝛽(𝑡))𝑑𝑡
𝑏
𝑎
|. 
Temos também 
𝐴² + 𝐵² = (𝐴 − 𝒊𝐵)(𝐴 + 𝒊𝐵) = ∫(𝐴 − 𝒊𝐵)(𝛼(𝑡) + 𝒊𝛽(𝑡))𝑑𝑡
𝑏
𝑎
 
= ∫[𝐴
𝑏
𝑎
𝛼(𝑡) + 𝐵𝛽(𝑡)]𝑑𝑡 + 𝒊∫[𝐴
𝑏
𝑎
𝛽(𝑡) − 𝐵𝛼(𝑡)]𝑑𝑡. 
Porém, a parte imaginária da equação é nula, pois 𝐴² + 𝐵² é um número real, e 
assim 
𝐴² + 𝐵² = ∫[𝐴
𝑏
𝑎
𝛼(𝑡) + 𝐵𝛽(𝑡)]𝑑𝑡. (4) 
 O integrando da igualdade (4) é o produto escalar entre os vetores (𝐴, 𝐵) e 
(𝛼(𝑡), 𝛽(𝑡)), de modo que já conhecemos a desigualdade 𝐴𝛼(𝑡) + 𝐵𝛽(𝑡) ≤
 
10
 Para maiores informações sobre o Teorema Fundamental do Cálculo, consulte Lima (2013). 
25 
 
|(𝐴, 𝐵). (𝛼(𝑡), 𝛽(𝑡))| ≤ |(𝐴, 𝐵)||(𝛼(𝑡), 𝛽(𝑡)|. 
Logo, 
∫[𝐴
𝑏
𝑎
𝛼(𝑡) + 𝐵𝛽(𝑡)]𝑑𝑡 ≤ ∫ |(𝐴, 𝐵)||(𝛼(𝑡), 𝛽(𝑡)|𝑑𝑡
𝑏
𝑎
= √𝐴2 + 𝐵2∫|
𝑏
𝑎
𝛼(𝑡) + 𝒊𝛽(𝑡)|𝑑𝑡 
e por (4) ficamos com 
𝐴² + 𝐵² ≤ √𝐴2 + 𝐵2∫|
𝑏
𝑎
𝛼(𝑡) + 𝒊𝛽(𝑡)|𝑑𝑡 
de modo que 
|∫(𝛼(𝑡) + 𝒊𝛽(𝑡))𝑑𝑡
𝑏
𝑎
| = √𝐴2 + 𝐵2 ≤ ∫|
𝑏
𝑎
𝛼(𝑡) + 𝒊𝛽(𝑡)|𝑑𝑡 
com a desigualdade (3) demonstrada. 
 Assim, 
|∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧
𝛶
| = |∫𝑓(𝛶(𝑡))𝛶′(𝑡)𝑑𝑡
𝑏
𝑎
| ≤ ∫ |
𝑏
𝑎
𝑓(𝛶(𝑡))||𝛶′(𝑡)|𝑑𝑡 ≤ ∫𝐾|𝛶′(𝑡)|𝑑𝑡 = 𝐾𝑙(𝛶)
𝑏
𝑎
. 
O lema está demonstrado. ∎ 
 
Teorema 3.5.6: Seja uma função contínua 𝑓: 𝑈 → ℂ, definida em 𝑈 ⊂ ℂ, um domínio. 
As afirmações equivalem: 
(𝑖) 𝑓 tem uma primitiva em 𝑈. 
(𝑖𝑖) ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 0
𝛶
 para qualquer caminho 𝛶, suave por partes e fechado, em 𝑈. 
(𝑖𝑖𝑖) ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧
𝜆
 só depende dos pontos inicial e terminal de qualquer caminho suave 
por partes 𝜆 em 𝑈. 
Demonstração: O Teorema 3.5.4 trata de mostrar que (𝑖) ⇒ (𝑖𝑖) e (𝑖) ⇒ (𝑖𝑖𝑖). Para 
percebermos a equivalência entre (𝑖𝑖) e (𝑖𝑖𝑖) tomando dois caminhos suaves em 𝑈, 
𝛶1 e 𝛶2, ligando os pontos 𝑧0 ∈ ℂ e 𝑧1 ∈ ℂ. Consideramos o caminho suave por partes 
𝛶1 ∗ 𝛶2
−, que é um caminho fechado, de modo que vale (𝑖𝑖) e temos: 
0 = ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧
𝛶1∗𝛶2
−
= ∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧 −
𝛶1
∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧
𝛶2
 
e assim temos (𝑖𝑖𝑖). Mostraremos agora que (𝑖𝑖𝑖) ⇒ (𝑖), inicialmente fixando 𝑧0 ∈ 𝑈 e 
tomando um caminho 𝛶 ligando o ponto 𝑧0 a um ponto 𝑧 ∈ 𝑈. Definimos 𝐹:𝑈 → ℂ, 
𝐹(𝑧) = ∫ 𝑓(𝑤)𝑑𝑤
𝛶
, onde ∫ 𝑓(𝑤)𝑑𝑤
𝛶
 só depende dos pontos 𝑧0 e 𝑧, não de 𝛶. 
26 
 
Devemos agora provar que 𝐹′ = 𝑓. Iniciamos tomando o caminho definido por 
𝜓(𝑡) = 𝑧 + 𝑡ℎ, 𝑡 ∈ [0,1], unindo 𝑧 a 𝑧 + ℎ, que pertence a 𝑈, pois 𝑈 é um aberto, e ℎ 
pode ter |ℎ| suficientemente pequeno. Pela definição de 𝐹 temos que 
𝐹(𝑧 + ℎ) = ∫ 𝑓(𝑤)𝑑𝑤 =
𝛶∗𝜓
∫𝑓(𝑤)𝑑𝑤 + ∫𝑓(𝑤)𝑑𝑤
𝜓𝛶
 
⇒
𝐹(𝑧 + ℎ) − 𝐹(𝑧)
ℎ
=
1
ℎ
∫𝑓(𝑤)𝑑𝑤
𝜓
. (5) 
Além disso, temos 
∫𝑓(𝑤)𝑑𝑤
𝜓
= 𝑓(𝑧) ∫𝑑𝑤
𝜓
= 𝑓(𝑧)ℎ∫𝑑𝑡
1
0
= 𝑓(𝑧)ℎ. (6) 
Através das igualdades (5) e (6), obtemos 
𝐹(𝑧 + ℎ) − 𝐹(𝑧)
ℎ
− 𝑓(𝑧) =
1
ℎ
∫𝑓(𝑤)𝑑𝑤
𝜓
−
1
ℎ
∫𝑓(𝑧)𝑑𝑤
𝜓
= ∫
𝑓(𝑤) − 𝑓(𝑧)
ℎ
𝑑𝑤.
𝜓
 
Considerando |𝑤 − 𝑧| pequeno o bastante e por 𝑓 ser contínua, temos que dado 
𝜀 > 0, |𝑓(𝑤) − 𝑓(𝑧)| < 𝜀. Pelo Lema 3.5.5, obtemos 
|∫
𝑓(𝑤) − 𝑓(𝑧)
ℎ
𝑑𝑤
𝜓
| ≤
𝜀
|ℎ|
𝑙(𝜓) =
𝜀
|ℎ|
|ℎ| = 𝜀 
e por 𝜀 ser arbitrário, 
lim
ℎ→0
∫
𝑓(𝑤) − 𝑓(𝑧)
ℎ
𝑑𝑤
𝜓
= 0 
⇒ lim
ℎ→0
𝐹(𝑧 + ℎ) − 𝐹(𝑧)
ℎ
= 𝑓(𝑧) 
ou seja, 𝐹′ = 𝑓. ∎ 
 
Definição 3.5.7 (Domínio estrelado): Seja 𝑈 ⊂ ℂ um domínio. Se existe 𝑧0 ∈ 𝑈 tal 
que ∀ 𝑧 ∈ 𝑈, o segmento 𝑧0𝑧̅̅ ̅̅ satisfaz 𝑧0𝑧̅̅ ̅̅ ⊂ 𝑈, 𝑈 é dito estrelado. Denotamos 𝑧0 um 
centro do domínio em 𝑈. 
 
Teorema 3.5.8 (Cauchy-Goursat): Seja 𝑈 ⊂ ℂ um domínio e 𝑓: 𝑈 → ℂ uma função 
holomorfa. Seja ∆⊂ 𝑈 um triângulo. Então temos 
∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 0.
∆
 
27 
 
Demonstração: Consideramos ∆ com orientação compatível, formado pela 
justaposição de três caminhos suaves 𝛶1 ∗ 𝛶2 ∗ 𝛶3. Tomamos agora pontos médios 
dos lados do triângulo e unimos eles por segmentos de reta, formando quatro 
triângulos contidos em ∆. Desse modo, temos a integral ao longo de ∆ como a soma 
de quatro integrais ao longo dos triângulos formados, que nos fornecem quatro 
números complexos. Escolhemos agora dentre esses números, o de maior módulo 
(chamando o respectivo triângulo ∆(1)), obtendo 
|∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧
∆
| ≤ 4 | ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧
∆(1)
|. 
Da geometria plana, sabemos que o perímetro 𝑙 do perímetro dos triângulos 
∆𝑖 está relacionado com o perímetro de ∆ por 𝑙(∆𝑖) =
1
2
𝑙(∆), 𝑖 = 1, 2, 3, 4. Em 
particular 𝑙(∆(1)) =
1
2
𝑙(∆). A mesma relação ocorre para o lado de maior 
comprimento 𝛿. 
 Podemos repetir o procedimento feito com ∆ para ∆(1), dividindo-o em quatro 
novos triângulos formados a partir dos pontos médios e obter as mesmas relações 
para um triângulo ∆(2). Seguindo o procedimento para ∆(2) e sucessivamente durante 
𝑛 etapas, obtemos 
|∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧
∆
| ≤ 4𝑛 | ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧
∆(𝑛)
| 
𝑙(∆(𝑛)) = (
1
2
)
𝑛
𝑙(∆) 
𝛿(𝑛) = (
1
2
)
𝑛
𝛿. 
Existe um ponto 𝑧0 em comum entre os triângulos ∆
(𝑖), 𝑖 ≥ 1, pelo teorema 
dos compactos encaixantes11. Podemos, visto que 𝑓 é holomorfa, tomar 𝑟 > 0 tal 
que, para dado 𝜀 > 0: 
𝑖) o disco 𝐷(𝑧0, 𝑟) está contido em 𝑈 e 
𝑖𝑖) 0 < |𝑧 − 𝑧0| < 𝑟 ⇒ |
𝑓(𝑧)−𝑓(𝑧0)
𝑧−𝑧0
− 𝑓(𝑧0)| < 𝜀, que equivale a |𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0) −
𝑓′(𝑧0)(𝑧 − 𝑧0)| < 𝜀|𝑧 − 𝑧0|. 
 Tomando 𝑛 suficientemente grande, de modo que 𝛿(𝑛) < 𝑟, temos a região 
 
11
 Para mais detalhes sobre o teorema dos compactos encaixantes, consulte Lima (1983). 
28 
 
∆(𝑛) contida em 𝐷(𝑧0, 𝑟). Pelo Teorema 3.5.4, ∫ 𝑑𝑧∆(𝑛) = 0 e ∫ 𝑧𝑑𝑧∆(𝑛) = 0. Assim: 
∫ 𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0) − 𝑓
′(𝑧0)(𝑧 − 𝑧0)𝑑𝑧
∆(𝑛)
 
= ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 +
∆(𝑛)
[𝑓′(𝑧0)(𝑧0) − 𝑓(𝑧0)] ∫ 𝑑𝑧
∆(𝑛)
− 𝑓′(𝑧0) ∫ 𝑧𝑑𝑧
∆(𝑛)
 
⇒ ∫ 𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0) − 𝑓
′(𝑧0)(𝑧 − 𝑧0)𝑑𝑧
∆(𝑛)
= ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧
∆(𝑛)
 
e por 3.5.5, temos 
| ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧
∆(𝑛)
| = | ∫ 𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0) − 𝑓
′(𝑧0)(𝑧 − 𝑧0)𝑑𝑧
∆(𝑛)
| 
≤ ∫|𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0) − 𝑓
′(𝑧0)(𝑧 − 𝑧0)||𝑑𝑧|
∆(𝑛)
≤ 𝜀 ∫|𝑧 − 𝑧0||𝑑𝑧|
∆(𝑛)
 
≤ 𝜀𝛿(𝑛) 𝑙(∆(𝑛)) = 𝜀 (
1
2
)
𝑛
𝛿 (
1
2
)
𝑛
𝑙(Δ) = (
1
4
)
𝑛
𝜀𝛿𝑙(Δ), 
de modo que conseguimos relacionar o módulo do número ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧
∆(𝑛)
 com algo 
arbitrário. Logo, obtemos 
|∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧
∆
| ≤ 4𝑛 | ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧
∆(𝑛)
| ≤ 4𝑛 (
1
4
)
𝑛
𝜀𝛿𝑙(Δ) = 𝜀𝛿𝑙(Δ), 
concluindo, pela arbitrariedade de 𝜀, que |∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧
∆
| = 0 e completando a 
demonstração. ∎ 
 
Corolário3.5.9: Seja 𝑓: 𝑈 → ℂ uma função holomorfa no domínio estrelado 𝑈. Então 
𝑓 admite uma primitiva em 𝑈. 
Demonstração: Definimos, sendo 𝑧0 um centro do domínio 𝑈, a função 𝐹:𝑈 → ℂ 
como 
𝐹(𝑧) = ∫ 𝑓(𝑤)𝑑𝑤
𝑧0 𝑧̅̅ ̅̅ ̅̅
. 
Devemos agora mostrar que 𝐹 é derivável, com 𝐹′(𝑧) = 𝑓(𝑧), para todo 𝑧 ∈ 𝑈. Com 
efeito, tomamos ℎ com |ℎ| suficientemente pequeno, para termos 𝑧 𝑧 + ℎ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ⊂ 𝑈. Assim 
𝐹(𝑧 + ℎ) = ∫ 𝑓(𝑤)𝑑𝑤
𝑧0 𝑧+ℎ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
 
Observe que o triângulo ∆ de vértices 𝑧0, 𝑧 e 𝑧 + ℎ está contido em 𝑈 e o 
29 
 
Teorema 3.5.8 nos forneece ∫ 𝑓(𝑤)𝑑𝑤
∆
= 0. Além disso, temos que 
∫𝑓(𝑤)𝑑𝑤
∆
= ∫ 𝑓(𝑤)𝑑𝑤
𝑧0 𝑧̅̅ ̅̅ ̅̅
+ ∫ 𝑓(𝑤)𝑑𝑤
𝑧 𝑧+ℎ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
− ∫ 𝑓(𝑤)𝑑𝑤,
𝑧0 𝑧+ℎ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
 
o que nos implica em 
𝐹(𝑧 + ℎ) − 𝐹(𝑧) = ∫ 𝑓(𝑤)𝑑𝑤
𝑧 𝑧+ℎ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
⇒ 
⇒
𝐹(𝑧 + ℎ) − 𝐹(𝑧)
ℎ
− 𝑓(𝑧) =
1
ℎ
∫ 𝑓(𝑤)𝑑𝑤
𝑧 𝑧+ℎ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
− 𝑓(𝑧). 
Note que 
𝑓(𝑧) =
1
ℎ
∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑤
𝑧 𝑧+ℎ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
⇒ 
⇒
𝐹(𝑧 + ℎ) − 𝐹(𝑧)
ℎ
− 𝑓(𝑧) =
1
ℎ
∫ [𝑓(𝑤) − 𝑓(𝑧)]𝑑𝑤.
𝑧 𝑧+ℎ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
 
Pela continuidade de 𝑓 e sendo 𝜀 positivo arbitrário, temos 𝛿 > 0 satisfazendo 
0 < |𝑤 − 𝑧| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑤) − 𝑓(𝑧)| < 𝜀. Assim, se 0 < |ℎ| < 𝛿, pelo Lema 3.5.5, temos 
que 
|
1
ℎ
∫ [𝑓(𝑤) − 𝑓(𝑧)]𝑑𝑤
𝑧 𝑧+ℎ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
| ≤
1
|ℎ|
∫ |𝑓(𝑤) − 𝑓(𝑧)||𝑑𝑤|
𝑧 𝑧+ℎ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
<
𝜀|ℎ|
|ℎ|
 
∴ |
𝐹(𝑧 + ℎ) − 𝐹(𝑧)
ℎ
− 𝑓(𝑧)| < 𝜀, 
ou seja, 𝐹′(𝑧) = 𝑓(𝑧), com a demonstração concluída. ∎ 
 
Corolário 3.5.10 (Cauchy-Goursat – revisitado): Sejam 𝑈 ⊂ ℂ um domínio 
estrelado e 𝑓: 𝑈 → ℂ uma função holomorfa. Se 𝛶 é um caminho suave por partes 
fechado contido em 𝑈, então 
∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 0.
𝛶
 
Demonstração: Pelo Colorário 3.5.9 tem-se uma primitiva de 𝑓 no domínio 𝑈 e pelo 
Teorema 3.5.6 ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 0.
𝛶
 ∎ 
 
Teorema 3.5.11 (Fórmula integral de Cauchy): Seja 𝑓: 𝑈 → ℂ holomorfa, definida 
em 𝑈 ⊂ ℂ, com 𝑈 domínio. Sejam também �̅�(𝑧0, 𝑟0) um disco fechado, inteiramente 
30 
 
contido no domínio 𝑈, de fronteira 𝜓 orientada de forma compatível. Se 𝑧 é um ponto 
no interior de �̅�(𝑧0, 𝑟0), 
𝑓(𝑧) =
1
2𝜋𝒊
∫
𝑓(𝑤)
𝑤 − 𝑧
𝑑𝑤
𝜓
. 
Demonstração: Observe que podemos tomar 𝐷(𝑧0, 𝑅) com 𝑅 > 𝑟0, de modo que 
𝐷(𝑧0, 𝑅) ⊂ 𝑈. Fixamos agora 𝑧 ∈ 𝐷(𝑧0, 𝑟0) e pensamos na função 𝑔(𝑤) =
𝑓(𝑤)
𝑤−𝑧
, 
holomorfa em todos os pontos de 𝐷(𝑧0, 𝑅), exceto 𝑧. Consideramos agora o diâmetro 
de 𝐷(𝑧0, 𝑅) que passa pelo ponto 𝑧 e limita dois segmentos de reta com extremos 
em 𝑧, denotados 𝐴1 e 𝐴2. Com a obtenção desses segmentos, temos dois domínios 
estrelados associados a 𝐷(𝑧0, 𝑅), 𝐷(𝑧0, 𝑅)\𝐴1 e 𝐷(𝑧0, 𝑅)\𝐴2, nos quais 𝑔(𝑤) é 
holomorfa. O próximo passo é isolar o ponto 𝑧 com um disco 𝛶 centrado nele, de raio 
𝑟 > 0 pequeno o suficiente para se ter 𝛶 ⊂ 𝐷(𝑧0, 𝑟0). Sabemos que 𝜓 e �̅�(𝑧0, 𝑟0) são 
orientados compativelmente, ou seja, devemos percorrer 𝜓 no sentido anti-horário. 
 Obtemos dois caminhos 𝛼 e 𝛽, suaves por partes, formando domínios 
estrelados dividindo o círculo 𝐷(𝑧0, 𝑟0) pelos segmentos 𝐴1, 𝐴2 e retirando o disco 𝛶. 
Como 𝛼 e 𝛽 são fechados em domínios estrelados, pelo Teorema 3.5.10, temos 
∫
𝑓(𝑤)
𝑤 − 𝑧
𝑑𝑤
𝛼
= ∫
𝑓(𝑤)
𝑤 − 𝑧
𝑑𝑤
𝛽
= 0 ⇒ 
⇒ ∫
𝑓(𝑤)
𝑤 − 𝑧
𝑑𝑤
𝛼
+ ∫
𝑓(𝑤)
𝑤 − 𝑧
𝑑𝑤
𝛽
= ∫
𝑓(𝑤)
𝑤 − 𝑧
𝑑𝑤
𝜓
+ ∫
𝑓(𝑤)
𝑤 − 𝑧
𝑑𝑤
𝛶−
= 0, 
e assim 
∫
𝑓(𝑤)
𝑤 − 𝑧
𝑑𝑤
𝜓
= ∫
𝑓(𝑤)
𝑤 − 𝑧
𝑑𝑤. (7)
𝛶
 
Analisando o segundo termo da igualdade (7), temos 
∫
𝑓(𝑤)
𝑤 − 𝑧
𝑑𝑤 = ∫
𝑓(𝑤) − 𝑓(𝑧) + 𝑓(𝑧)
𝑤 − 𝑧
𝑑𝑤
𝛶𝛶
= ∫
𝑓(𝑤) − 𝑓(𝑧)
𝑤 − 𝑧
𝛶
𝑑𝑤 + 𝑓(𝑧)∫
𝑑𝑤
𝑤 − 𝑧
𝛶
 
pois 𝑧 está fixado e assim 𝑓(𝑧) é constante. Temos 𝛶(𝑡) = 𝑧 + 𝑟𝑒𝒊𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋, então 
𝑓(𝑧)∫
𝑑𝑤
𝑤 − 𝑧
𝛶
= 𝑓(𝑧)∫
𝑟𝒊𝑒𝒊𝑡
𝑟𝑒𝒊𝑡
2𝜋
0
𝑑𝑡 = 2𝜋𝒊𝑓(𝑧). 
Note agora que pela continuidade de 𝑓, sendo 𝜀 > 0, temos 𝛿 > 0 
satisfazendo 0 < |𝑤 − 𝑧| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑤) − 𝑓(𝑧)| < 𝜀. Assim, escolhendo o raio 𝑟 de 𝛶 
satisfazendo 𝑟 < 𝛿, pelo Lema 3.5.5, temos que 
31 
 
|∫
𝑓(𝑤) − 𝑓(𝑧)
𝑤 − 𝑧
𝛶
𝑑𝑤| ≤ ∫
|𝑓(𝑤) − 𝑓(𝑧)|
|𝑤 − 𝑧|
𝛶
|𝑑𝑤| <
𝜀
𝑟
2𝜋𝑟 = 𝜀2𝜋. 
Assim, ∫
𝑓(𝑤)−𝑓(𝑧)
𝑤−𝑧𝛶
𝑑𝑤 = 0, portanto ∫
𝑓(𝑤)
𝑤−𝑧𝛶
𝑑𝑤 = 2𝜋𝒊𝑓(𝑧) e, por (7), 
𝑓(𝑧) =
1
2𝜋𝒊
∫
𝑓(𝑤)
𝑤 − 𝑧
𝑑𝑤,
𝜓
 
com o teorema demonstrado. ∎ 
 
Teorema 3.5.12 (Cauchy): Seja 𝑓: 𝑈 → ℂ uma função holomorfa definida em 𝑈 ⊂ ℂ, 
um domínio. Seja 𝑉 ⊂ 𝑈 uma região fechada e limitada cuja fronteira 𝜕𝑉 é uma curva 
de Jordan suave por partes, com domínio 𝑉\𝜕𝑉. Então 
∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 0
𝜕𝑉
. 
Demonstração: Iniciamos tomando 𝑉 e 𝜕𝑉 com orientação compatível. Escrevendo 
𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝒊𝑣(𝑥, 𝑦), temos: 
∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧
𝜕𝑉
= ∫(𝑢 + 𝒊𝑣)(𝑑𝑥 + 𝒊𝑑𝑦) = ∫𝑢𝑑𝑥 − 𝑣𝑑𝑦
𝜕𝑉
+ 𝒊 ∫𝑢𝑑𝑦 + 𝑣𝑑𝑥.
𝜕𝑉𝜕𝑉
 
Aplicando o Teorema de Green12, obtemos: 
∫𝑢𝑑𝑥 − 𝑣𝑑𝑦
𝜕𝑉
=∬(−
𝜕𝑣
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑉
 
e 
∫𝑢𝑑𝑦 + 𝑣𝑑𝑥 =
𝜕𝑉
∬(
𝜕𝑢
𝜕𝑥
−
𝜕𝑣
𝜕𝑦
)𝑑𝑥𝑑𝑦.
𝑉
 
Como a função 𝑓 é holomorfa, as condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas e 
tem-se 
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 0 e 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
−
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= 0. Logo, ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 0
𝜕𝑉
. ∎ 
 
Teorema 3.5.13 (Fórmula Integral de Cauchy – Revisitado): Seja 𝑓: 𝑈 → ℂ uma 
função holomorfa definida em 𝑈 ⊂ ℂ, um domínio. Seja 𝑉 ⊂ 𝑈 uma região fechada e 
limitada cuja fronteira 𝜕𝑉 orientada no sentido anti-horário é uma curva de Jordan 
suave por partes, com domínio 𝑉\𝜕𝑉. Se 𝑧0 pertence ao interior de 𝑉, então 
𝑓(𝑧0) =
1
2𝜋𝒊
∫
𝑓(𝑤)
𝑤 − 𝑧0
𝑑𝑤.
𝜕𝑉
 
 
12
 Para maiores informações sobre o Teorema de Green, consulte Soares (2014). 
32 
 
Demonstração: Temos um disco �̅�(𝑧0, 𝑟) centrado no ponto 𝑧0 e inteiramente 
contido em 𝑉\𝜕𝑉. Olhando para 𝑊 = 𝑉\𝐷(𝑧0, 𝑟) temos uma região fechada, limitada, 
contida em 𝑈 e com a fronteira 𝜕𝑊 sendo as curvas de Jordan suaves por partes 𝜕𝑉 
e 𝜕�̅�(𝑧0, 𝑟). Orientamos agora 𝑊 e 𝜕𝑊 de forma compatível. A função 𝑔(𝑧) =
𝑓(𝑧)
𝑧−𝑧0
 é 
holomorfa em 𝑈\{𝑧0}, um domínio que contém a região 𝑊. Assim, o Teorema 3.5.12 
afirma que ∫ 𝑔(𝑧)𝑑𝑧 = 0
𝜕𝑊
. Mas 
∫𝑔(𝑧)𝑑𝑧 =
𝜕𝑊
∫𝑔(𝑧)𝑑𝑧 + ∫ 𝑔(𝑧)𝑑𝑧
𝜕�̅�(𝑧0,𝑟)−𝜕𝑉
 
⇒ ∫𝑔(𝑧)𝑑𝑧 = ∫ 𝑔(𝑧)𝑑𝑧
𝜕�̅�(𝑧0,𝑟)𝜕𝑉
. 
Logo, o Teorema 3.5.11 implica em 
∫
𝑓(𝑧)
𝑧 − 𝑧0
𝑑𝑧 = ∫
𝑓(𝑧)
𝑧 − 𝑧0
𝑑𝑧
𝜕�̅�(𝑧0,𝑟)
=
𝜕𝑉
2𝜋𝒊𝑓(𝑧0). ∎ 
 
3.6 SINGULARIDADES 
 
 Nesta seção, realizaremos um breve estudo introdutório sobre singularidades 
nas funções holomorfas. Poderemos observar que a Fórmula Integral de Cauchy 
demonstrada na seção anterior nos permite obter a descrição de uma função 
holomorfa em torno, recordando a definição 3.4.6, de um ponto singular. Segundo 
Soares (2014, p. 131), “essa descrição envolve o conceito de série de Laurent, uma 
generalização de série de potências [...]”. 
 
Definição 3.6.1 (Anel): Sejam 𝜌1 e 𝜌2 números reais satisfazendo 0 ≤ 𝜌1 < 𝜌2 e 𝑧0 
um número complexo. Definimos o anel 𝐴(𝑧0, 𝜌1, 𝜌2) como o conjunto aberto 
𝐴(𝑧0, 𝜌1, 𝜌2) = {𝑧 ∈ ℂ / 𝜌1 < |𝑧 − 𝑧0| < 𝜌2}. Dizemos ainda que 𝑧0 é o centro do anel 
𝐴, 𝜌1 seu raio interno e 𝜌2 seu raio externo. 
 
Teorema 3.6.2 (Laurent): Seja 𝑓 uma função holomorfa em 𝐴(𝑧0, 𝜌1, 𝜌2). Então 
𝑓(𝑧) = ∑ 𝑏𝑚
1
(𝑧 − 𝑧0)𝑚
+∑𝑎𝑛(𝑧 − 𝑧0)
𝑛
∞
𝑛=0
∞
𝑚=1
 
sendo que 
33 
 
∑ 𝑏𝑚
1
(𝑧 − 𝑧0)𝑚
∞
𝑚=1
 
converge absolutamente fora do disco fechado �̅�(𝑧0, 𝜌1) e 
∑𝑎𝑛(𝑧 − 𝑧0)
𝑛
∞
𝑛=0
 
converge absolutamente em 𝐷(𝑧0, 𝜌2). Essa expansão é chamada série de Laurent 
de 𝑓, é única e tem-se 
𝑏𝑚 = 
1
2𝜋𝒊
∫𝑓(𝑧)(𝑧 − 𝑧0)
𝑚−1𝑑𝑧, 𝑚 ≥ 1 
𝜓
 
e 
𝑎𝑛 =
1
2𝜋𝒊
∫
𝑓(𝑤)
(𝑤 − 𝑧0)𝑛+1
𝑑𝑤 , 𝑛 ≥ 0.
𝜓
 
Demonstração: A demonstração será omitida e pode ser obtida em Lins Neto 
(2012). 
 
Definição 3.6.3 (Categorias de Singularidades Isoladas): Sejam 𝑓 uma função 
holomorfa definida em 𝐴(𝑧0, 0, 𝜌) e a sua série de Laurent em torno de 𝑧0 
𝑓(𝑧) = ∑ 𝑏𝑚
1
(𝑧 − 𝑧0)𝑚
+∑𝑎𝑛(𝑧 − 𝑧0)
𝑛
∞
𝑛=0
∞
𝑚=1
. 
𝑧0 é singularidade removível de 𝑓 se 𝑏𝑚 = 0 para 𝑚 ≥ 1. 𝑧0 é polo de ordem 𝑘 de 𝑓 
se 𝑏𝑘 ≠ 0 e 𝑏𝑚 = 0 para 𝑚 > 𝑘. 𝑧0 é singularidade essencial de 𝑓 se 𝑏𝑚 ≠ 0 para 
infinitos valores de 𝑚. 
 
Definição 3.6.4 (Resíduo): Seja 𝑓 uma função holomorfa em 𝐴(𝛼, 0, 𝜌). Definimos o 
resíduo de 𝑓 em 𝛼 como o coeficiente 𝑏1 do termo 
1
𝑧−𝛼
 de sua expansão de Laurent 
de centro 𝛼. Denotamos 𝑟𝑒𝑠(𝑓, 𝛼) para designar o resíduo da função 𝑓 em 𝛼. 
 
Teorema 3.6.5 (Resíduos - Cauchy): Seja 𝑓 uma função holomorfa em 𝑈\
{𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑚}. Se 𝛶 ⊂ 𝑈\{𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑚} é uma curva de Jordan suave por partes, 
orientada no sentido anti-horário, cuja região limitada por ela contém todos os 
pontos 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑚 e está contida em 𝑈, então 
34 
 
1
2𝜋𝒊
∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 
𝛶
 𝑟𝑒𝑠(𝑓, 𝑎1) + 𝑟𝑒𝑠(𝑓, 𝑎2) + ⋯+ 𝑟𝑒𝑠(𝑓, 𝑎𝑚). 
Demonstração: Iniciamos escolhendo um círculo 𝛶𝑗 centrado em 𝑎𝑗 para cada 
singularidade 𝑎𝑗 de 𝑓, de modo que 𝛶𝑘 não tenha ponto em comum com 𝛶𝑛 se 𝑘 ≠ 𝑛 
e 𝛶𝑗 não tem ponto em comum com 𝛶, para 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚. Orientamos os 𝛶𝑗 no sentido 
anti-horário. Pelo Teorema 3.5.12, 
∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 
𝛶∪𝛶−1∪…∪𝛶−𝑚
0, 
o que equivale a 
∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 
𝛶
∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧 + ∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧 + ⋯+ ∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧.
𝛶𝑚
 
𝛶2
 
𝛶1
 
Devemos agora calcular ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧
𝛶𝑗
, 𝑗 = 1, 2, … ,𝑚. Com efeito, temos que, pelo 
Teorema 3.6.2., se 
∑ 𝑏𝑚
1
(𝑧 − 𝑎𝑗)
𝑚
+∑𝑐𝑛(𝑧 − 𝑎𝑗)
𝑛
∞
𝑛=0
∞
𝑚=1
 
é a série de Laurent em torno de 𝑎𝑗, então 
𝑏1 =
1
2𝜋𝒊
∫𝑓(𝑧)𝑑𝑧
𝛶𝑗
. 
Assim, ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧
𝛶𝑗
= 2𝜋𝒊𝑟𝑒𝑠(𝑓, 𝑎𝑗), com a demonstração concluída. ∎ 
 
Proposição 3.6.6: Seja 𝑓 holomorfa em 𝐴(𝑎, 0, 𝜌). Se 𝑎 é um polo de ordem 1 de 𝑓, 
então 
𝑟𝑒𝑠(𝑓, 𝑎) = lim
𝑧→𝑎
(𝑧 − 𝑎)𝑓(𝑧). 
Demonstração: Temos que a série de Laurent de 𝑓 no anel 𝐴(𝑎, 0, 𝜌) é 
𝑓(𝑧) = 
𝑟𝑒𝑠(𝑓, 𝑎)
𝑧 − 𝑎
+∑𝑎𝑛(𝑧 − 𝑎)
𝑛
∞
𝑛=0
. 
Assim, 
(𝑧 − 𝑎)𝑓(𝑧) = 𝑟𝑒𝑠(𝑓, 𝑎) +∑𝑎𝑛(𝑧 − 𝑎)
𝑛+1
∞
𝑛=0
 
⇒ lim
𝑧→𝑎
(𝑧 − 𝑎)𝑓(𝑧) = 𝑟𝑒𝑠(𝑓, 𝑎). ∎ 
 
35 
 
Proposição 3.6.7: Seja 𝑓 uma função holomorfa em 𝐴(𝑎, 0, 𝜌). Suponha que 𝑎 é um 
polo de ordem 𝑘 > 1 de 𝑓 e considere a função 𝑔(𝑧) = (𝑧 − 𝑎)𝑘𝑓(𝑧). Então 
𝑟𝑒𝑠(𝑓, 𝑎) =
𝑔(𝑘−1)(𝑎)
(𝑘 − 1)!
. 
Demonstração: A série de Laurent de 𝑓 em 𝐴(𝑎, 0, 𝜌) é 
𝑓(𝑧) =
𝑏𝑘
(𝑧 − 𝑎)𝑘
+
𝑏𝑘−1
(𝑧 − 𝑎)𝑘−1
+⋯+ 
𝑟𝑒𝑠(𝑓, 𝑎)
𝑧 − 𝑎
+∑𝑎𝑛(𝑧 − 𝑎)
𝑛
∞
𝑛=0
. 
Multiplicando a série por (𝑧 − 𝑎)𝑘, temos 
𝑔(𝑧) = 𝑏𝑘 + 𝑏𝑘−1(𝑧 − 𝑎) + ⋯+ 𝑟𝑒𝑠(𝑓, 𝑎)(𝑧 − 𝑎)
𝑘−1 +∑𝑎𝑛(𝑧 − 𝑎)
𝑛+𝑘
∞
𝑛=0
. (8) 
Podemos notar que 𝑔 é holomorfa no disco 𝐷(𝑎, 𝜌) e a expressão (8) é sua série de 
Taylor de centro em 𝑎. Logo, o coeficiente de (𝑧 − 𝑎)𝑘−1 é 
𝑔(𝑘−1)(𝑎)
(𝑘−1)!
. ∎ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
4 TEOREMA DE ROUCHÉ E APLICAÇÕES 
 
Neste capítulo, o principal do estudo, analisaremos o objeto chave do 
trabalho, o Teorema de Rouché, bem como algumas aplicações, tais como o número 
de zeros de funções complexas. 
 
4.1 TEOREMA DE ROUCHÉ 
 
 Nesta seção, abordaremos a demonstração do Teorema de Rouché e alguns 
resultados importantes para realizá-la, iniciando com o teorema chamado Princípio 
do Argumento. 
 
Teorema 4.1.1 (Princípio do Argumento): Sejam 𝑓 uma função holomorfa em 
𝑈\{𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑚} e 𝛶 ⊂ 𝑈\{𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑚} uma curva de Jordan suave por partes, 
orientada no sentido anti-horário, cuja região limitada por ela contém todos os 
pontos 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑚 e está contida em 𝑈. Suponha que os pontos 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑚 sejam 
polos de 𝑓 e que 𝑓 não tem zeros ao longo do caminho 𝛶. Então 
1
2𝜋𝒊
∫
𝑓′(𝑧)
𝑓(𝑧)
𝑑𝑧 = 𝑍 − 𝛲
𝛶
 
onde 𝑍 é o número de zeros de 𝑓 na região interior a 𝛶, contados com multiplicidade 
e 𝛲 é o número de polos de 𝑓 na região interior a 𝛶, contados tantas vezes quanto 
for sua ordem. 
Demonstração: Pelo Teorema 3.6.5 a integral acima é a soma dos resíduos de 
𝑓′(𝑧)
𝑓(𝑧)
 
na região interior ao caminho 𝛶. Temos três possibilidades, ao considerar um ponto 
𝑎 na região abordada: 
𝑖) 𝑓(𝑎) ≠ 0: esse caso não fornece algo para a integral, já que não há resíduo 
no ponto. 
𝑖𝑖) 𝑎 é zero de multiplicidade 𝑚 de 𝑓: nesse caso, tomando um disco 𝐷(𝑎, 𝛿), 
vale 𝑓(𝑧) = (𝑧 − 𝑎)𝑚𝑔(𝑧) em que 𝑔 é holomorfa e 𝑔(𝑎) ≠ 0. Vale também 𝑓′(𝑧) =
𝑚(𝑧 − 𝑎)𝑚−1𝑔(𝑧) + (𝑧 − 𝑎)𝑚𝑔′(𝑧). Daí 
𝑓′(𝑧)
𝑓(𝑧)
=
𝑚
𝑧 − 𝑎
+
𝑔′(𝑧)
𝑔(𝑧)
. 
Como 
𝑔′(𝑧)
𝑔(𝑧)
 é holomorfa no disco 𝐷, ela pode ser representada por uma série 
37 
 
de potências13, centrada em 𝑎, e assim 
𝑓′(𝑧)
𝑓(𝑧)
=
𝑚
𝑧 − 𝑎
+∑𝑐𝑛(𝑧 − 𝑎)
𝑛
∞
𝑛=0
, (9) 
em que esta é a série de Laurent de 
𝑓′(𝑧)
𝑓(𝑧)
 centrada em 𝑎, com resíduo 𝑚. 
𝑖𝑖𝑖) 𝑎 é polo de ordem 𝑘 de 𝑓: aqui, num disco 𝐷(𝑎, 𝛿), vale que (𝑧 −
𝑎)𝑘𝑓(𝑧) = 𝑔(𝑧), onde 𝑔(𝑎) ≠ 0 e 𝑔 é holomorfa. Assim, 𝑓(𝑧) =
𝑔(𝑧)
(𝑧−𝑎)𝑘
 e 𝑓′(𝑧) =
−𝑘𝑔(𝑧)
(𝑧−𝑎)𝑘+1
+
𝑔′(𝑧)
(𝑧−𝑎)𝑘
. Logo, 
𝑓′(𝑧)
𝑓(𝑧)
=
−𝑘
𝑧 − 𝑎
+
𝑔′(𝑧)
𝑔(𝑧)
. 
Tratando como no caso anterior, concluímos que o ponto contribui −𝑘 na integral. 
Portanto, cada zero é somado na integral conforme sua multiplicidade, e cada polo 
subtraído conforme sua multiplicidade. ∎ 
 
Corolário 4.1.2: Considerando as hipóteses do Teorema 4.1.1., com 𝑓 e ℎ funções 
holomorfas em 𝑈, então 
1
2𝜋𝒊
∫ℎ(𝑧)
𝑓′(𝑧)
𝑓(𝑧)
𝑑𝑧 =∑ℎ(
𝜏𝑗𝛶
𝜏𝑗)𝑚𝜏𝑗(𝑓) 
onde 𝜏1, 𝜏2, … , 𝜏𝑙 são os zeros de 𝑓 no interior de 𝛶 e 𝑚𝜏𝑗(𝑓) é a multiplicidade de 𝜏𝑗 
como zero de 𝑓. 
Demonstração: Pelo Teorema 3.6.5 a integral acima é a soma dos resíduos de 
ℎ(𝑧)
𝑓′(𝑧)
𝑓(𝑧)
 na região interior ao caminho 𝛶. Temos duas possibilidades, ao considerar 
um ponto 𝑎 nessa região: 
𝑖) 𝑓(𝑎) ≠ 0: esse caso não fornece algo para a integral, já que não há resíduo 
no ponto. 
𝑖𝑖) 𝑎 é zero de multiplicidade 𝑚 de 𝑓: por (9), temos que: 
𝑓′(𝑧)
𝑓(𝑧)
=
𝑚
𝑧 − 𝑎
+∑𝑐𝑛(𝑧 − 𝑎)
𝑛
∞
𝑛=0
. 
Já a função ℎ tem expansão centrada em 𝑎 dada por 
ℎ(𝑧) = ∑𝑏𝑛(𝑧 − 𝑎)
𝑛
∞
𝑛=0
= 𝑏0 +∑𝑏𝑛(𝑧 − 𝑎)
𝑛
∞
𝑛=1
. 
 
13
 Para maiores detalhes, consulte o capítulo 2 de Lins Neto (2012). 
38 
 
Assim, 
ℎ(𝑧)
𝑓′(𝑧)
𝑓(𝑧)
=
𝑏0𝑚
𝑧 − 𝑎
+𝑚∑𝑏𝑛+1(𝑧 − 𝑎)
𝑛
∞
𝑛=0
+ [∑𝑏𝑛(𝑧 − 𝑎)
𝑛
∞
𝑛=0
] [∑ 𝑐𝑛(𝑧 − 𝑎)
𝑛
∞
𝑛=0
]. 
Portanto, o resíduo da função ℎ(𝑧)
𝑓′(𝑧)
𝑓(𝑧)
 em 𝑎 é 𝑏0𝑚 = ℎ(𝑎)𝑚𝑎(𝑓). ∎ 
 Observação: Se ℎ ≡ 1, então o corolário 4.1.2 nos fornece 
1
2𝜋𝒊
∫
𝑓′(𝑧)
𝑓(𝑧)
𝑑𝑧 = 𝑍𝑓
𝛶
, 
sendo 𝑍𝑓 o número de zeros de 𝑓 na região interior à 𝛶, cada um deles contado 
tantas vezes quanto for a sua multiplicidade. 
 
Teorema 4.1.3 (Teorema de Rouché): Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções holomorfas, 
ambas definidas no domínio 𝑈 ⊂ ℂ. Seja 𝑉 ⊂ 𝑈 uma região fechada e limitada cuja 
fronteira 𝜕𝑉 é uma curva de Jordan suave por partes, com domínio 𝑉\𝜕𝑉. Se 
|𝑓(𝑧) – 𝑔(𝑧)| < |𝑔(𝑧)| para todo 𝑧 ∈ 𝜕𝑉, então as funções 𝑓 e 𝑔 têm o mesmo 
número de zeros no interior da região 𝑉, cada um deles contado tantas vezes quanto 
for a sua multiplicidade. 
Demonstração: Note que nem 𝑓 nem 𝑔 têm zeros ao longo de 𝜕𝑉, por hipótese. 
Tomando 𝛷(𝑧) =
𝑓(𝑧)
𝑔(𝑧)
 temos que 
𝛷′(𝑧)
𝛷(𝑧)
=
𝑓′(𝑧)
𝑓(𝑧)
−
𝑔′(𝑧)
𝑔(𝑧)
. 
Assim,pela observação supracitada, 
𝑍𝑓 − 𝑍𝑔 =
1
2𝜋𝒊
∫
𝑓′(𝑧)
𝑓(𝑧)
 − 
1
2𝜋𝒊
∫
𝑔′(𝑧)
𝑔(𝑧)
=
1
2𝜋𝒊
∫
𝛷′(𝑧)
𝛷(𝑧)
𝛶𝛶𝛶
 
e devemos mostrar que 
1
2𝜋𝒊
∫
𝛷′(𝑧)
𝛷(𝑧)
𝛶
= 0. 
Para calcular a integral orientamos o caminho 𝜕𝑉 no sentido anti-horário e supomos 
este caminho descrito por 𝛶(𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 1. Assim 
|𝑓(𝛶(𝑡)) − 𝑔(𝛶(𝑡))| < |𝑔(𝛶(𝑡))| ⇒ |𝛷(𝛶(𝑡)) − 1| < 1. 
Consideramos agora o caminho 𝜑(𝑡) = 𝛷(𝛶(𝑡)), 0 ≤ 𝑡 ≤ 1. Perceba que esse 
caminho é fechado e suave por partes (𝛷 é holomorfa ao longo de 𝛶), além de estar 
inteiramente contido no disco de raio 1 centrado em 1, visto que |𝛷(𝛶(𝑡)) − 1| < 1. 
39 
 
Desse modo, 
∫
𝛷′(𝑧)
𝛷(𝑧)
𝑑𝑧 = ∫
𝛷′(𝛶(𝑡))
𝛷(𝛶(𝑡))
𝛶′(𝑡)𝑑𝑡 = ∫
𝜑′(𝑡)
𝜑(𝑡)
𝑑𝑡.
1
0
1
0𝛶
 
Mas ∫
𝜑′(𝑡)
𝜑(𝑡)
𝑑𝑡
1
0
 é a integral de ℎ(𝑧) =
1
𝑧
 ao longo do caminho 𝜑. Como temos que 𝜑 
está contido no disco de centro em 1 e raio 1 e que 𝑙𝑜𝑔 𝑧 (ramo principal)14, é uma 
primitiva de ℎ(𝑧) nesse disco, o Teorema 3.5.6 nos diz que 
∫
𝛷′(𝑧)
𝛷(𝑧)
𝑑𝑧 = ∫
1
𝑧
𝜑𝛶
𝑑𝑧 = 0. ∎ 
 
4.2 APLICAÇÕES DO TEOREMA DE ROUCHÉ 
 
Abordaremos agora algumas aplicações nas quais podemos utilizar o que o 
teorema nos afirma, ou seja, determinar o número de zeros de algumas funções 
complexas em subconjuntos do plano complexo. 
 
Inicialmente, consideremos 𝑓(𝑧) = 3𝑧² − 𝑒𝑧, uma função de variável 
complexa. Note que não fazemos ideia do comportamento dessa função por ela não 
ser uma função polinomial. Desse modo, não podemos afirmar quantas raízes essa 
função possui em algum conjunto determinado, bem como não temos noção de 
quantas raízes ela possui em todo o plano. Porém, ao utilizarmos a ferramenta da 
qual fazemos referência neste estudo, temos a possibilidade de fazer algumas 
afirmações concretas sobre essa função. 
 
Aplicação 4.2.1: A função definida por 𝑓(𝑧) = 3𝑧² − 𝑒𝑧 possui dois zeros no disco 
|𝑧| < 1. 
Prova: Se duas funções ℎ e 𝑔 são deriváveis em um determinado ponto 𝑧0, a função 
soma (ℎ + 𝑔) também é derivável no ponto 𝑧0. Ainda, 𝑔(𝑧) = 3𝑧² (função 
polinomial) é holomorfa em todo o plano, bem como a função ℎ(𝑧) = −𝑒𝑧 é 
holomorfa em todo ℂ15. Desse modo, temos que 𝑓(𝑧) = 3𝑧² − 𝑒𝑧 é holomorfa no 
plano complexo. 
 
14
 Para mais detalhes sobre a função logarítmica e o ramo principal desta, consulte Nachbin e Zárate 
(2007). 
15
 Para maiores informações sobre derivação e propriedades das funções holomorfas, consulte 
Soares (2014). 
40 
 
Note que para fazermos a comparação com 𝑓(𝑧) = 3𝑧² − 𝑒𝑧 podemos 
considerar 𝑔(𝑧) = 3𝑧², que possui duas raízes no conjunto |𝑧| < 1, a saber 𝑧 = 0, 
com multiplicidade dois. {𝑧 ∈ ℂ, |𝑧| < 1} tem por fronteira uma curva de Jordan. 
Fazendo |𝑓(𝑧) – 𝑔(𝑧)|, obtemos |3𝑧² − 𝑒𝑧 – 3𝑧²| = | − 𝑒𝑧| = |𝑒𝑧| = 𝑒𝑅𝑒(𝑧). 
Temos, para |𝑧| = 1, que 𝑒𝑅𝑒(𝑧) ≤ 𝑒. Da mesma maneira, tomando |𝑔(𝑧)|, obtemos 
|3𝑧²|, que para |𝑧| = 1, resulta |𝑔(𝑧)| = 3. 
Portanto, para qualquer 𝑧 ∈ ℂ tal que |𝑧| = 1, temos |𝑓(𝑧) – 𝑔(𝑧)| < |𝑔(𝑧)|. 
Assim, percebemos que 𝑓(𝑧) tem o mesmo número de raízes que 𝑔(𝑧) no 
círculo |𝑧| < 1, ou seja, 𝑓(𝑧) possui 2 raízes no disco centrado em 0 e de raio 1. 
 
Agora, observamos como se pode estender o exemplo acima para o grau 𝑛 
da função polinomial. 
 
Aplicação 4.2.2: A função definida por 𝑓(𝑧) = 3𝑧𝑛 − 𝑒𝑧 possui 𝑛 zeros no disco 
|𝑧| < 1. 
Prova: Procederemos como no caso anterior, tomando para comparação a função 
𝑔(𝑧) = 3𝑧𝑛, possuidora de 𝑛 zeros no disco |𝑧| < 1. 
Obtemos que |𝑓(𝑧) − 𝑔(𝑧)| = |𝑒𝑧| = 𝑒𝑅𝑒(𝑧). Na fronteira |𝑧| = 1, 𝑒𝑅𝑒(𝑧) ≤ 𝑒. 
Além disso, |𝑔(𝑧)| = |3𝑧𝑛| = 3, para |𝑧| = 1. 
Novamente, para todo 𝑧 ∈ ℂ tal que |𝑧| = 1, temos |𝑓(𝑧) – 𝑔(𝑧)| < |𝑔(𝑧)|. 
Assim, 𝑓(𝑧) tem o mesmo número de zeros que 𝑔(𝑧) no círculo |𝑧| < 1, ou seja, 𝑛 
raízes nesse disco. 
 
 Abordaremos agora um exemplo que trata de uma função polinomial, da qual 
sabemos o número total de zeros pelo Teorema Fundamental da Álgebra, porém 
não fazemos ideia do número de raízes dessa função em determinado conjunto, 
como um disco ou um anel. 
 
Aplicação 4.2.3: A função 𝑓(𝑧) = 𝑧4 − 5𝑧 − 1 possui um zero no disco |𝑧| < 1 e três 
zeros no anel 1 < |𝑧| < 2. 
Prova: Em |𝑧| < 1: 
Sabemos que as funções polinomiais são holomorfas em todo o plano, e para 
a comparação neste caso usaremos a função auxiliar 𝑔(𝑧) = −5𝑧 − 1, também 
41 
 
polinomial, que é possuidora de somente um zero no disco de raio 1, que sabemos 
ser 𝑧 = −
1
5
. 
Fazendo 𝑓(𝑧) – 𝑔(𝑧), obtemos 𝑧4, de modo que temos na fronteira do disco 
de raio 1, |𝑓(𝑧) − 𝑔(𝑧)| = |𝑧4| = 1. Para analisarmos |𝑔(𝑧)| = |−5𝑧 − 1|, basta 
percebermos que na fronteira do disco, |𝑧| = 1, temos que |−5𝑧 − 1| ≥ 4. 
Desse modo, para todo 𝑧 tal que |𝑧| = 1, temos |𝑓(𝑧) − 𝑔(𝑧)| < |𝑔(𝑧)|. Pelo 
Teorema de Rouché, 𝑓(𝑧) e 𝑔(𝑧) possuem o mesmo número de zeros no disco 
|𝑧| < 1, ou seja, 𝑓(𝑧) e 𝑔(𝑧) têm um zero cada nesse disco. 
 
Em 1 < |𝑧| < 2: 
Neste caso, usaremos para a comparação a função 𝑔(𝑧) = 𝑧4 e analisaremos 
as duas funções no disco centrado em 0 e de raio 2, inicialmente. 
Desse modo, temos |𝑓(𝑧) − 𝑔(𝑧)| = |−5𝑧 − 1|, que na fronteira |𝑧| = 2, resulta 
em |−5𝑧 − 1| ≤ 11. No caso de |𝑔(𝑧)| = |𝑧4|, temos que na fronteira do disco, 
|𝑧4| = 16. 
Assim, em |𝑧| = 2, obtemos |𝑓(𝑧) − 𝑔(𝑧)| ≤ 11 < 16 = |𝑔(𝑧)|. Como sabemos 
que a função 𝑔 possui 4 zeros no disco |𝑧| < 2, a saber 𝑧 = 0, com multiplicidade 4, 
temos que a função 𝑓 também possui 4 zeros nesse disco, pelo Teorema de 
Rouché. 
Podemos agora subtrair o único zero que 𝑓 possui em |𝑧| < 1 dos 4 que ela 
tem em |𝑧| < 2, obtendo a quantidade de zeros dessa função no anel 1 < |𝑧| < 2, ou 
seja 3. 
Descobrimos ainda, usando como ferramenta o Teorema de Rouché e o 
Teorema Fundamental da Álgebra, que todos os zeros da função 𝑓 estão no disco 
centrado em 0 e de raio 2. 
 
Aplicação 4.2.4: A função definida por 𝑓(𝑧) = 𝑧5 − 𝑠𝑒𝑛(𝑧) possui 5 zeros no disco 
|𝑧| < 3. 
Prova: A função −𝑠𝑒𝑛(𝑧)16 é holomorfa em ℂ e pode ser escrita como 
−𝑠𝑒𝑛(𝑧) = −(
𝑒𝒊𝑧 − 𝑒−𝒊𝑧
2𝒊
). 
Temos ainda, pelo mesmo motivo do que foi expresso na Aplicação 4.2.1, que 𝑓 é 
 
16
 Para maiores informações sobre a função sen(z), consulte Lins Neto (2012). 
42 
 
holomorfa em ℂ. 
 Neste caso, nossa função escolhida como auxiliar será 𝑔(𝑧) = 𝑧5, holomorfa 
em todo o plano e possuidora da raiz 𝑧 = 0, com multiplicidade 5, em |𝑧| < 3. 
 Analisando as funções, obtemos |𝑓(𝑧) − 𝑔(𝑧)| = |−𝑠𝑒𝑛(𝑧)| = |𝑠𝑒𝑛(𝑧)|. Em 
|𝑧| = 3 (fronteira do disco), temos 
|𝑠𝑒𝑛(𝑧)| = |
𝑒𝒊𝑧 − 𝑒−𝒊𝑧
2𝒊
| ≤
|𝑒𝒊𝑧| + |𝑒−𝒊𝑧|
2
≤ |𝑒𝒊𝑧| ≤ 𝑒3. 
No caso de |𝑔(𝑧)| = |𝑧5|, temos em |𝑧| = 3, |𝑔(𝑧)| = 35. 
 Desse modo, para todo 𝑧 ∈ ℂ tal que |𝑧| = 3, temos |𝑓(𝑧) − 𝑔(𝑧)| < |𝑔(𝑧)|. 
Logo, pelo Teorema de Rouché, as funções 𝑓 e 𝑔 possuem o mesmo número de 
zeros no disco |𝑧| < 3. Portanto, 𝑓(𝑧) = 𝑧5 − 𝑠𝑒𝑛(𝑧) possui 5 zeros nesse disco. 
 
Aplicação 4.2.5: Seja 𝜆 > 1. A função 𝑓(𝑧) = 𝜆 − 𝑧 − 𝑒−𝑧 tem exatamente um zero 
no semiplano 𝑉 = {𝑧: 𝑅𝑒(𝑧) > 0}. 
Prova: Seja 𝑧0 ∈ 𝑉. Consideremos o domínio 𝛶 ⊂ 𝑉, definido por 𝛶 = {𝑧 ∈
𝑉: |𝑧 − 𝑧0| < 2𝜆}. Como função auxiliar, tomamos 𝑔(𝑧) = 𝜆 − 𝑧, que possui uma raiz 
dentro de 𝛶, a saber 𝑧 = 𝜆. Note que 𝑓 e 𝑔 são holomorfas em 𝑉. Devemos notar 
que 𝜕𝛶 = 𝛶1 ∗ 𝛶2, em que 𝛶1 é o segmento de reta no qual a parte real de 𝑧 é nula e 
𝛶2 é o trecho em que |𝑧| = 2𝜆. 
 Ao analisarmos |𝑓(𝑧) − 𝑔(𝑧)| = |−𝑒−𝑧| = |𝑒−𝑧|, obtemos que para 𝛶1, |𝑒
−𝑧| 
vale 1, e para 𝛶2, |𝑒
−𝑧| ≤1. Além disso, temos que para todos os valores de 𝜕𝛶, 
|𝑔(𝑧)| = |𝜆 − 𝑧| ≥ 𝜆 > 1. 
 Desse modo, temos que para todo 𝑧 ∈ 𝜕𝛶, |𝑓(𝑧) − 𝑔(𝑧)| < |𝑔(𝑧)|. Assim, pelo 
Teorema de Rouché, 𝑓 e 𝑔 possuem 1 zero em 𝑉. 
 
Definição 4.2.6: Seja 𝑓: ℂ → ℂ uma função complexa. Se existir 𝑧∗ ∈ ℂ tal que 
𝑓(𝑧∗) = 𝑧∗, dizemos que 𝑧∗ é um ponto fixo de 𝑓. 
 
Aplicação 4.2.7: Seja 𝑓: ℂ → ℂ holomorfa na vizinhança de |𝑧| = 1. Se |𝑓(𝑧)| < 1 
para |𝑧| = 1, então existe um único 𝑧 com |𝑧| < 1 e 𝑓(𝑧) = 𝑧. 
Prova: Escrevemos 𝐹(𝑧) = 𝑓(𝑧) − 𝑧. Note que se 𝐹 possuir um zero em |𝑧| < 1, 
significa que 𝑓 tem um único ponto fixo. Como função auxiliar, tomamos 𝐺(𝑧) = −𝑧, 
possuidora de um zero em |𝑧| < 1, a saber 𝑧 = 0. 
43 
 
 Comparamos agora as duas funções, obtendo |𝐹(𝑧) − 𝐺(𝑧)| = |𝑓(𝑧)|, que na 
fronteira do disco é menor que 1, e |𝐺(𝑧)| = |−𝑧| = |𝑧| = 1. Logo, ∀ 𝑧 tal que |𝑧| = 1, 
temos |𝐹(𝑧) − 𝐺(𝑧)| < |𝐺(𝑧)|. 
 Assim, pelo Teorema de Rouché, as funções 𝐹(𝑧) e 𝐺(𝑧) possuem a mesma 
quantidade de zeros no disco de raio 1 centrado em 0. Logo, 𝑓(𝑧) = 𝑧 para um único 
𝑧 em |𝑧| < 1. 
 
Aplicação 4.2.8: Seja 𝑓 holomorfa. Se ∃ 𝑀 ∈ ℝ tal que |𝑓(𝑧)| < 𝑀 para |𝑧| = 𝑀, 
então 𝑓 tem um único ponto fixo no disco de raio 𝑀 centrado em 0. 
Prova: Novamente, escrevemos 𝐹(𝑧) = 𝑓(𝑧) − 𝑧. Como função auxiliar, tomamos 
𝐺(𝑧) = −𝑧, possuidora de um zero em |𝑧| < 𝑀, a saber 𝑧 = 0. 
 Para comparação entre as duas funções, fazemos |𝐹(𝑧) − 𝐺(𝑧)| = |𝑓(𝑧)| e 
também analisamos |𝐺(𝑧)|. Assim, na fronteira |𝑧| = 𝑀, temos que |𝐹(𝑧) − 𝐺(𝑧)| =
|𝑓(𝑧)| < 𝑀 = |𝐺(𝑧)|. 
 Portanto, pelo Teorema de Rouché, as funções 𝐹 e 𝐺 possuem a mesma 
quantidade de zeros no disco de raio 𝑀. Desse modo, temos que 𝑓 tem um único 
ponto fixo no disco de raio 𝑀 centrado em 0. 
 
Podemos também analisar o Teorema Fundamental da Álgebra como uma 
consequência do Teorema de Rouché, o que faremos na última aplicação. 
 
Aplicação 4.2.9 (Teorema Fundamental da Álgebra): Seja 𝑃: ℂ → ℂ uma função 
polinomial de grau 𝑛 ≠ 0. Então 𝑃(𝑧) tem exatamente 𝑛 zeros, contados com 
multiplicidade. 
Prova: Iniciamos escrevendo 𝑃(𝑧) = 𝑎𝑛𝑧
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑧
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑧 + 𝑎0 e tomando a 
função auxiliar 𝑄(𝑧) = 𝑎𝑛𝑧
𝑛 para comparação. Sabemos que 𝑄 possui 𝑛 zeros 
(𝑧 = 0), contados com multiplicidade. 
Assim, |𝑄(𝑧) − 𝑃(𝑧)| = |𝑎𝑛−1𝑧
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑧 + 𝑎0|. 
 Se 𝑧 ≠ 0, temos 
|
𝑄(𝑧) − 𝑃(𝑧)
𝑄(𝑧)
| = |
𝑎𝑛−1
𝑎𝑛𝑧
+ ⋯+
𝑎1
𝑎𝑛𝑧𝑛−1
+
𝑎0
𝑎𝑛𝑧𝑛
|. 
Assim, 
lim
|𝑧|→∞
|
𝑎𝑛−1
𝑎𝑛𝑧
+ ⋯+
𝑎1
𝑎𝑛𝑧𝑛−1
+
𝑎0
𝑎𝑛𝑧𝑛
| = 0, 
44 
 
de modo que podemos encontrar 𝑅 > 0 tal que se |𝑧| > 𝑅 obtemos 
|
𝑄(𝑧) − 𝑃(𝑧)
𝑄(𝑧)
| = |
𝑎𝑛−1
𝑎𝑛𝑧
+ ⋯+
𝑎1
𝑎𝑛𝑧𝑛−1
+
𝑎0
𝑎𝑛𝑧𝑛
| < 1. 
 Dessa maneira, ao escolhermos qualquer círculo com raio maior que 𝑅 temos 
que, ao longo da fronteira deste círculo, |𝑄(𝑧) − 𝑃(𝑧)| < |𝑄(𝑧)|. 
 Logo, pelo Teorema de Rouché, 𝑃 e 𝑄 têm o mesmo número de zeros, ou 
seja, 𝑃 possui exatamente 𝑛 zeros, contados com multiplicidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
 Através deste estudo respondemos, pelo menos parcialmente, a questão 
inicial de pesquisa, ou seja, foi possível avaliarmos qual é o número de zeros de 
alguns tipos de funções complexas em diferentes domínios. 
 Como ferramenta para respondermos as questões iniciais, utilizamos o 
Teorema de Rouché. Podemos perceber que este teorema é de grande importância 
em variáveis complexas, no sentido de que consegue determinar o número de raízes 
de uma função complexa que não é necessariamente um polinômio, desde que 
respeitadas algumas condições. 
 Abordamos ainda algumas aplicações do Teorema de Rouché. Uma destas 
torna possível a demonstração, de maneira bastante simples, do Teorema 
Fundamental da Álgebra, que havia sido demonstrado com uso de outra técnica na 
seção 3.2. As aplicações foram realizadas no sentido de tornar o trabalho mais 
acessível para a leitura, além de agregar originalidade ao estudo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
 
EVES, H. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. 
Campinas: Editora da Unicamp, 2004. 844 p. 
 
FERNANDEZ, C. S.; BERNARDES JR., N. C. Introdução às funções de uma 
variável complexa. 2. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2008. 224 p. 
 
GIL, A. C. Como elaborar projetos de pesquisa. 5. ed. São Paulo: Ática, 2010. 185 
p. 
 
GONÇALVES, H. A. Manual de metodologia da pesquisa científica. São Paulo: 
Avercamp, 2005. 142 p. 
 
GUZMAN, M. Mirar y ver. Madrid: Nivola, 2002. 126 p. 
 
KATZ, V. J. História da matemática. 2. ed. Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 
2010. 1120 p. 
 
LIMA, E. L. Curso de análise volume 1. 14. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2013. v. 1. 
 
LIMA, E. L. Espaços métricos. Rio de Janeiro: IMPA, 1983. 337 p. 
 
LINS NETO, A. Funções de uma variável complexa. 2. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 
2012. 468 p. 
 
MAGUIÑA, B. M. C. Um texto de variáveis complexas. 1995. 180 f. Dissertação 
(Mestrado em Matemática). Instituto de Matemática, Estatística e Ciência da 
Computação, Universidade Estadual de Campinas, Unicamp. 1995. Disponível em: 
<http://www.bibliotecadigital.unicamp.br/document/?code=000114909>. Acesso em: 
30 maio 2014. 
 
MONZON, L. W. Números complexos e funções de variável complexa no ensino 
médio: uma proposta didática com uso de objeto de aprendizagem. 2012. 134 f. 
Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática). Instituto de Matemática, 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul, UFRGS. 2012. Disponível em: 
<http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/56236/000860594.pdf?sequence=
1>. Acesso em: 30 maio 2014. 
 
NACHBIN, A.; ZÁRATE, A. R. Tópicos introdutórios à análise complexa 
aplicada. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. 110 p. Disponível em: 
<http://www.impa.br/opencms/pt/biblioteca/cbm/26CBM/26CBM_14.pdf>. Acesso 
em: 29 novembro 2014. 
 
PINTO JUNIOR, U. A História dos números complexos: das quantidades 
sofisticadas de Cardano às linhas orientadas de Argand. 2009. 94 f. Dissertação 
(Mestrado em Ensino de Matemática). Instituto de Matemática, Universidade Federal 
do Rio de Janeiro, UFRJ. 2009. Disponível em: 
<http://www.pg.im.ufrj.br/pemat/12%20Ulicio%20Pinto.pdf>. Acesso em: 30 maio 
2014. 
47 
 
 
SACCHETTO, L. K. Fundamentos da geometria complexa: aspectos geométricos, 
topológicos e analíticos. 2012. 152 f. Dissertação (Mestrado em Matemática). 
Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, USP. 2012. 
Disponível em: <http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/45/45131/tde-18062012-
194224/publico/Dissetacao_final_LucasKaufmannSacchetto.pdf>. Acesso em: 30 
maio 2014. 
 
SOARES, M. G. Cálculo em uma variável complexa. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 
2014. 196 p. 
 
TRAINA, A. J. M.; TRAINA JR., C. Como fazer pesquisa bibliográfica. Artigo 
científico publicado em repositório digital. SBC. 2009. 6 f. Disponível em: 
<http://www.univasf.edu.br/~ricardo.aramos/comoFazerPesquisasBibliograficas.pdf>. 
Acesso em: 21 maio 2014. 
 
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