_Estatistica_Bsica_-_2015-I

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RREESSUUMMOO 
DDEE 
EESSTTAATTÍÍSSTTIICCAA 
BBÁÁSSIICCAA 
 
 
2015
 
Resumo Estatística 
 2
 
 
 
Sumário 
 
 
1. Conceitos Básicos pag. 03 
2. Tabelas e Gráficos pag. 17 
3. Medidas de Posição pag. 45 
4. Medidas de Dispersão pag. 77 
5. Medidas de Assimetria e Curtose pag. 89 
6. Correlação Linear e Regressão Linear pag. 97 
7. Bibliografia pag. 106 
8. Anexos pag. 107 
 
 
 
 
 
Resumo Estatística 
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1 - CONCEITOS BÁSICOS 
 
1.1. INTRODUÇÃO 
 
ESTATÍSTICA é um conjunto de técnicas e métodos de pesquisa que compreende o 
planejamento da pesquisa, a coleta de dados, o processamento, a apresentação, a 
análise das informações, com vista a tomada de decisão. 
 A pode ser dividida em duas partes: Estatística Descritiva 
e Estatística Indutiva ou Inferencial. A Estatística Descritiva cuida 
da coleta, da organização, da descrição dos dados, do cálculo e 
da interpretação de coeficientes. Enquanto a Estatística Indutiva 
analisa e interpreta os dados, associado a uma margem de 
incerteza, de acordo com a teoria da probabilidade. 
 
 
HISTÓRICO 
Historicamente, a Estatística remonta à antiguidade, onde operações de contagem 
já eram utilizadas como um meio de obtenção de informações para a tributação ou fins 
militares. Isto envolvia: 
• as pessoas, 
• os animais, 
• a produção e 
• os recursos bélicos de uma determinada nação. 
Na Europa Ocidental, a partir da idade média, além da utilização da estatística para 
a tributação ou fins militares, as autoridades preocupadas com a difusão de doenças e 
pestes, começaram a obter e armazenar informações sobre a vida social dos seus 
súditos: 
• batizados, 
• casamentos e 
• funerais. 
No decorrer dos séculos XVI e XVII, com o advento do mercantilismo, o poder 
econômico passou a sustentar o poder político. Isto impulsionou a valorização das 
informações estatísticas referentes as variáveis econômicas: 
 
 
Análise 
 
Apresentação 
 
Organização 
 
Coleta de Dados 
 
Resumo Estatística 
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• a produção, 
• o comércio interno, o comércio externo (exportações e importações), 
• o consumo , etc. 
Atualmente a vida e as atividades são marcadas pela presença de dados estatísticos, 
apresentados de diversas formas (gráfico, tabelas, projeções, hipóteses, etc) e circulando 
em diferentes mídias (jornais, livros, revistas,...). A geração e disseminação de 
informações estatísticas criam uma demanda por conhecimento de técnicas e 
metodologias que tornam esse campo do saber um instrumento eficaz no auxilio de 
nossas decisões. 
 
Exemplo: Desde 1º de julho de 1994, quando o Plano Real foi lançado, o real tem sofrido 
variações em relação ao dólar. Isto pode ser observado nas informações sintetizadas no 
gráfico abaixo: 
 
Gráfico: Taxa de câmbio diário, de 1º de julho de 1994 a 29 de junho de 2012 
 
Fonte: Uma breve história do Plano Real, aos seus 18 anos, http://www.mises.org.br/Article.aspx?id=1294, 
acessado em 14/03/2015. 
 
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1.2. MÉTODO ESTATÍSTICO 
 
De uma forma simplificada podemos afirmar que método é um meio mais eficaz 
para atingir determinada meta. Nas ciências destacamos dois tipos de método: o método 
experimental e o método estatístico. 
O método experimental consiste em manter constante todas as causas, menos 
uma, que sofre variação para se observar seus efeitos, caso existam. 
Exemplo: Estudos da Química, Física, etc. 
O método estatístico é usando quando diante da impossibilidade de manter as 
causas constantes (nas ciências sociais), admitem todas essas causas presentes 
variando-as, registrando essas variações e procurando determinar, no resultado final, 
que influências cabem a cada uma delas. 
Exemplo: Quais as causas que definem o preço de uma mercadoria quando a sua oferta 
diminui? Seria impossível, no momento da pesquisa, manter constantes a uniformidade 
dos salários, o gosto dos consumidores, nível geral de preços de outros produtos, etc. 
 
 
FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO 
 
1º - DEFINIÇÃO DO PROBLEMA : Saber exatamente aquilo que se pretende 
pesquisar é o mesmo que definir corretamente o problema. 
 
 
2º - PLANEJAMENTO : Como levantar informações ? Que dados deverão ser obtidos ? 
Qual levantamento a ser utilizado? Censitário? Por amostragem? E o cronograma de 
atividades? Os custos envolvidos? Etc. 
 
 
3º - COLETA DE DADOS: Fase operacional. É o registro sistemático de dados, com um 
objetivo determinado. 
 
Dados primários: quando são publicados pela própria pessoa ou organização que os 
haja recolhido. 
Exemplo: tabelas do censo demográfico do IBGE. 
 
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Dados secundários: quando são publicados por outra organização. 
Exemplo: quando determinado jornal publica estatísticas referentes ao censo 
demográfico extraídas do IBGE. 
 
OBS: É mais seguro trabalhar com fontes primárias. O uso da fonte secundária traz o 
grande risco de erros de transcrição. 
 
Coleta Direta: quando é obtida diretamente da fonte. 
Exemplo: Empresa que realiza uma pesquisa para saber a preferência dos consumidores 
pela sua marca. 
 
Uma coleta de dados direta pode ser uma: 
• coleta contínua: registros de nascimento, óbitos, casamentos; 
• coleta periódica: recenseamento demográfico, censo industrial; 
• coleta ocasional: registro de casos de dengue. 
 
Coleta Indireta: É feita por deduções a partir dos elementos conseguidos pela coleta 
direta, por analogia, por avaliação,indícios ou proporcionalização. 
 
 
4º - APURAÇÃO DOS DADOS: Resumo dos dados através de sua contagem e 
agrupamento. É a condensação e tabulação de dados. 
 
 
5º - APRESENTAÇÃO DOS DADOS: Há duas formas de apresentação, que não se 
excluem mutuamente. A apresentação tabular, ou seja, é uma apresentação numérica 
dos dados em linhas e colunas distribuídas de modo ordenado, segundo regras práticas 
fixadas pelo Conselho Nacional de Estatística. A apresentação gráfica dos dados 
numéricos constitui uma apresentação geométrica permitindo uma visão rápida e clara do 
fenômeno. 
 
 
6º - ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS: A última fase do trabalho estatístico 
é a mais importante e delicada. Está ligada essencialmente ao cálculo de medidas e 
coeficientes, cuja finalidade principal é descrever o fenômeno (estatística descritiva). 
 
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 Fluxograma da Estatística Dedutiva e Estatística Indutiva 
 
 
 
 
1.3. DEFINIÇÕES BÁSICAS DA ESTATÍSTICA 
. 
 
POPULAÇÃO: é o conjunto total de elementos (entes, coisas, pessoas,...) que tem, 
pelo menos, uma característica comum. 
 
AMOSTRA: é uma parte representativa de uma população que é estudada com o 
propósito de tirarmos conclusões sobre a essa população. 
 
AMOSTRAGEM: É uma técnica para recolher amostras, que garantem, tanto quanto 
possível, o acaso na escolha. 
 
VARIÁVEL: é uma condição ou característica dos elementos da população; a variável 
pode assumir valores diferentes (é variável) em diferenteselementos. 
DADOS: são os valores coletados da variável em estudo. Sobre esses aplicamos os 
métodos estatísticos. 
São exemplos de variáveis: sexo, idade, grau de escolaridade das pessoas. Se você 
souber que Ana é do sexo feminino, tem 21 anos e é universitária, essas informações, 
são os dados dessa pessoa para as variáveis em questão: sexo, idade, graus de 
escolaridade. 
 
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As variáveis são classificadas em dois tipos: 
• Qualitativas ou categorias. 
• Quantitativas ou numéricas. 
 
VARIÁVEL QUALITATIVA: Quando seus valores são expressos por palavras 
(atributos): Exemplo: sexo, cor da pele, estado civil, escolaridade, etc. 
 
• VARIÁVEL QUANTITATIVA NOMINAL: expressos apenas por um nome. 
Exemplo: sexo (masculino e feminino) 
 
• VARIÁVEL QUANTITATIVA ORDINAL: expressa uma ordenação, hierarquia. 
Exemplo: grau de instrução (fundamental, médio, superior) 
 
 
VARIÁVEL QUANTITATIVA: Quando seus os dados são expressos por números, 
resultante de um processo de contagem ou medição. 
Exemplos: o número de páginas dos livros de uma biblioteca; O estado civil do 
bibliotecário. 
 
• VARIÁVEL QUANTITATIVA DISCRETA OU DESCONTÍNUA: Seus valores são 
expressos geralmente através de números inteiros não negativos. Resulta 
normalmente de contagens. 
 
Exemplo: Nº de alunos matriculados nas aulas de estatística nos quatro últimos 
semestres: 2º semestre/2009 = 48, 
1º semestre/2010 = 50, 
2º semestre/2010 = 55, 
1º semestre/2011 = 56. 
 
• VARIÁVEL QUANTITATIVA CONTÍNUA: Resulta normalmente de uma mensuração 
(medida), e a escala numérica de seus possíveis valores corresponde ao 
conjunto R dos números Reais, ou seja, podem assumir, teoricamente, qualquer valor 
entre dois limites. 
 
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Exemplo: Quando você vai medir a massa (“peso”) de seu corpo, o resultando pode 
ser qualquer número real. Exemplo: 62,5 kg, 62,58 kg. 
 
Resumindo 
 
 
• Quadro de Visualização rápida: 
 
• VARIÁVEL DEPENDENTE: assume certos valores em decorrência da variação de uma 
outra variável: em matemática se expressa por uma relação funcional (função). 
 y = f (x), y = variável dependente e x = variável independente 
 
 
PARÂMETROS: São valores singulares que existem na população e que servem 
para caracterizá-la. Para definirmos um parâmetro devemos examinar toda a população. 
Exemplo: Os alunos do curso de Administração da Unigranrio têm em média 1,67 
metros de estatura. 
 
 
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ESTIMATIVA: é um valor aproximado do parâmetro e é calculado com o uso da 
amostra. 
Exemplo: Uma amostra de 100 alunos do curso de Administração da Unigranrio 
apresentou média 1,67 metros de estatura. 
 
 
Exercícios 
 
1) Classifique as variáveis da 1ª coluna de acordo com os números indicados na segunda: 
 
Coluna 1 Coluna 2 
População: alunos de uma cidade 
( )Variável: cor dos olhos (1) variável qualitativa 
População: Estação meteorológica do uma cidade 
( )Variável: Precipitação pluviométrica durante um ano 
População: Bolsa de Valores de São Paulo, (2) variável quantitativa discreta 
Variável: número de ações negocia 
População: funcionários de urna empresa 
( ) Variável: salários (3) variável quantitativa contínua 
População: Parafusos produzidos por uma máquina 
( ) Variável: comprimento 
População: casais residentes em uma cidade 
( ) Variável: sexo dos filhos 
População: propriedades agrícolas 
( ) Variável: produção de algodão 
População: segmentos de reta. 
( ) Variável: comprimento 
População: bibliotecas da cidade do Rio de Janeiro 
Variável: número de livros 
População: aparelhos produzidos e numa linha de montagem 
( ) Variável: número de defeitos por unidade 
População: indústrias de uma cidade 
( ) Variável: índice de liquidez 
 
 
 
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2) Verifique se as afirmações abaixo são falsas (F) ou verdadeiras (V). 
( ) número de dependentes, dos funcionários de uma firma Variável Discreta 
( ) número de irmãos, dos alunos de uma escola Variável Contínua 
( ) número do calçado, dos integrantes de um grupo de dança Variável Discreta 
( ) número de questões certas, em uma prova teste Variável Discreta 
( ) número de dentes definitivos , das crianças de oito anos, de um bairro Variável 
Discreta 
( ) altura, de um grupo de universitários Variável Discreta 
( ) comprimento, de barras produzidas por um indústria, em R Variável Contínua 
nota , de uma prova, no intervalo [0 , 10] Variável Contínua 
( ) QI (quociente de inteligência) , de um conjunto de crianças, no intervalo [0 , 300] 
Variável Contínua 
 
VFVVFVVV 
 
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1.4. MÉTODOS PROBABILÍSTICOS de AMOSTRAGEM 
 
Exige que cada elemento da população possua determinada probabilidade de ser 
selecionado. Normalmente possuem a mesma probabilidade. Assim, se N for o tamanho 
da população, a probabilidade de cada elemento ser selecionado será 1/N. Trata-se do 
método que garante cientificamente a aplicação das técnicas estatísticas de inferências. 
Somente com base em amostragens probabilísticas é que se podem realizar inferências 
ou induções sobre a população a partir do conhecimento da amostra. 
 
 
I) AMOSTRAGEM CASUAL ou ALEATÓRIA SIMPLES 
 
 É o processo mais elementar e freqüentemente utilizado. É equivalente a um 
sorteio lotérico. Pode ser realizada numerando-se a população de 1 a n e sorteando-se, 
a seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, x números dessa seqüência, os 
quais corresponderão aos elementos pertencentes à amostra. 
 
Exemplo: Vamos obter uma amostra, de 10%, representativa para a pesquisa da estatura 
de 80 alunos de uma Universidade: 
1º - numeramos os alunos de 1 a 80. 
2º - escrevemos os números dos alunos, de 1 a 80, em pedaços iguais de papel, 
colocamos na urna e após mistura retiramos, um a um, nove números que formarão a 
amostra. 
OBS: quando o número de elementos da amostra é muito grande, esse tipo de sorteio 
torna-se muito trabalhoso. Neste caso utiliza-se uma Tabela de números aleatórios, 
construída de modo que os algarismos de 0 a 9 são distribuídos ao acaso nas linhas e 
colunas. 
. 
 
II) AMOSTRAGEM PROPORCIONAL ESTRATIFICADA: 
Quando a população se divide em estratos (sub-populações), convém que o sorteio 
dos elementos da amostra leve em consideração tais estratos, daí obtemos os elementos 
da amostra proporcional ao número de elementos desses estratos. 
 
 
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Exemplo: Vamos obter uma amostra proporcional estratificada, de 10%, do exemplo 
anterior, supondo, que, dos 80 alunos, 54 sejam homens e 26 sejam mulheres. São, 
portanto dois estratos (sexo masculino e sexo feminino). Logo, temos: 
 
SEXO POPULACÃO 10 % AMOSTRA 
MASC. 54 5,4 5 
FEMIN. 26 2,6 3 
Total 80 8,0 8 
 
Numeramos então os alunos de 01 a 80, sendo 01 a 54 homens e 55 a 80, mulheres e 
procedemos o sorteio casual com urna ou tabela de números aleatórios. 
. 
 
III)AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA: 
 
Quando os elementos da população já se acham ordenados, não há necessidade 
de construir o sistema de referência. São exemplos os prontuários médicos de um 
hospital, os prédios de uma rua, etc. Nestes casos, a seleção dos elementos que 
constituirão a amostra pode ser feita por um sistema imposto pelo pesquisador. 
 
Exemplo 1: Suponhamos uma rua com 700 casas, das quais desejamos obter uma 
amostra formada por 50 casas para uma pesquisa de opinião. Podemos, neste caso, usar 
o seguinte procedimento: como 700/50 = 14, escolhemos por sorteio casual um número 
de 01 a 14, o qual indicaria o primeiro elemento sorteado para a amostra; os demais 
elementos seriam periodicamente considerados de 14 em 14. Assim, suponhamos que o 
número sorteado fosse 2 a amostra seria: 2ª casa, 16ª casa, 30ª casa, 44ª casa, 58ª casa, 
etc. 
 
Exemplo 2: em uma linha de produção, a cada 10 itens fabricados, retira-se 1 para 
inspeção, tem-se uma amostra de 10 % da população. 
 
Exemplo 3: em um lote de 900 peças ordenadas, deseja-se uma amostra de 50. 900/50 
=18 (50 grupos de 18 peças cada). Faz-se um sorteio entre 1 e 18, por exemplo 4, então 
pesquisaríamos a 4o peça, a 22o , a 40o , 58o , assim por diante. 
 
 
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IV) AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS (ou AGRUPAMENTOS) 
 
Algumas populações não permitem, ou tornam extremamente difícil que se 
identifiquem seus elementos. Não obstante isso, pode ser relativamente fácil identificar 
alguns subgrupos da população. Em tais casos, uma amostra aleatória simples desses 
subgrupos (conglomerados) pode se colhida, e uma contagem completa deve ser feita 
para o conglomerado sorteado. Agrupamentos típicos são quarteirões, famílias, 
organizações, agências, edifícios etc. 
 
Exemplo: Num levantamento da população de determinada cidade, podemos dispor do 
mapa indicando cada quarteirão e não dispor de uma relação atualizada dos seus 
moradores. Pode-se, então, colher uma amostra dos quarteirões e fazer a contagem 
completa de todos os que residem naqueles quarteirões sorteados. 
 
Exercícios de População e Amostra 
1) Uma universidade apresenta o seguinte quadro (abaixo) relativo aos seus alunos do 
curso de Administração distribuídos nos quatro primeiros períodos. Obtenha uma amostra 
proporcional estratificada de 50 alunos. 
Série População Amostra 
1a 140 
2a 128 
3a 96 
4a 76 
Total 50 
16; 15; 11; 9 
2) Uma empresa Y apresenta o seguinte quadro relativo às quantidades de funcionários em cada 
um dos setores: 
Amostra 
Setor Homens Mulheres Total 
Homens Mulheres Total 
A 86 95 
B 102 120 
C 110 100 
D 134 228 
E 160 130 
F 300 290 
Total 100 
Obtenha uma amostra proporcional estratificada de 100 funcionários 
10; 13; 11; 19; 15; 32 
 
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1.5. MÉTODOS NÃO PROBABILÍSITCOS 
 
São amostragens em que há uma escolha deliberada dos elementos da 
amostra. Não é possível generalizar os resultados das pesquisas para a população, pois 
as amostras não-probabilísticas não garantem a representatividade da população. 
 
 
I) AMOSTRAGEM ACIDENTAL 
Trata-se de uma amostra formada por aqueles elementos que vão aparecendo, 
que são possíveis de se obter até completar o número de elementos da amostra. 
Geralmente utilizada em pesquisas de opinião, em que os entrevistados são 
acidentalmente escolhidos. 
Exemplo: Pesquisas de opinião em praças públicas, ruas de grandes cidades; 
 
 
II) AMOSTRAGEM INTENCIONAL 
De acordo com determinado critério, é escolhido intencionalmente um grupo de 
elementos que irão compor a amostra. O investigador se dirige intencionalmente a 
grupos de elementos dos quais deseja saber a opinião. 
Exemplo: Numa pesquisa sobre preferência por determinado cosmético, o pesquisador 
se dirige a um grande salão de beleza e entrevista as pessoas que ali se encontram. 
 
 
III) AMOSTRAGEM POR QUOTAS 
Um dos métodos de amostragem mais comumente usados em levantamentos 
de mercado e em prévias eleitorais. Ele abrange três fases: 
 
1ª - classificação da população em termos de propriedades que se sabe, ou presume, 
serem relevantes para a característica a ser estudada; 
2ª - determinação da proporção da população para cada característica, com base na 
constituição conhecida, presumida ou estimada, da população; 
3ª - fixação de quotas para cada entrevistador a quem tocará a responsabilidade de 
selecionar entrevistados, de modo que a amostra total observada ou entrevistada 
contenha a proporção e cada classe tal como determinada na 2ª fase. 
 
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Exemplo: Numa pesquisa sobre o "trabalho das mulheres na atualidade", provavelmente 
se terá interesse em considerar: a divisão cidade e campo, a habitação, o número de 
filhos, a idade dos filhos, a renda média, as faixas etárias etc. 
A primeira tarefa é descobrir as proporções (porcentagens) dessas características na 
população. Imagina-se que haja 47% de homens e 53% de mulheres na população. Logo, 
uma amostra de 50 pessoas deverá ter 23 homens e 27 mulheres. Então o pesquisador 
receberá uma "quota" para entrevistar 27 mulheres. A consideração de várias categorias 
exigirá uma composição amostral que atenda ao n determinado e às proporções 
populacionais estipuladas. 
. 
 
 
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2 – TABELAS E GRÁFICOS 
 
 
2.1. TABELA 
TABELA é um quadro que resume um conjunto de dados dispostos segundo linhas 
e colunas de maneira sistemática. 
 
Elementos de uma tabela 
 
 
 
• Título: O título deve responder as seguintes questões: 
- O que? (Assunto a ser representado (Fato)); 
- Onde? (O lugar onde ocorreu o fenômeno (local)); 
- Quando? (A época em que se verificou o fenômeno (tempo)). 
• Cabeçalho: parte da tabela na qual é designada a natureza do conteúdo de cada coluna. 
• Corpo: parte da tabela composta por linhas e colunas. 
Linhas: parte do corpo que contém uma seqüência horizontal de informações. 
Colunas: parte do corpo que contém uma seqüência vertical de informações. 
Coluna Indicadora: coluna que contém as discriminações correspondentes aos valores 
distribuídos pelas colunas numéricas. 
Casa ou célula: parte da tabela formada pelo cruzamento de uma linha com uma coluna. 
• Rodapé: É o espaço aproveitado em seguida ao fecho da tabela, onde são colocadas as notas 
de natureza informativa (fonte, notas e chamadas). 
Fonte: refere-se à entidade que organizou ou forneceu os dados expostos. 
Notas e Chamadas: são esclarecimentos contidos na tabela (nota - conceituação geral; 
chamada - esclarecer minúcias em relação a uma célula). 
 
De acordo com a Resolução 886 do IBGE, nas casas ou células da tabela devemos 
colocar : 
• um traço horizontal ( - ) quando o valor é zero; 
• três pontos ( ... ) quando não temos os dados; 
 
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• zero ( 0 ) quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada; 
• um ponto de interrogação ( ? ) quando temos dúvida quanto à exatidão de determinado 
valor. 
 
Obs: O lado direito e esquerdo de uma tabela oficial deve ser aberto. 
 
 
Exemplo: 
Tabela 1 – Analfabetismo na faixa de 15 anos ou mais - Brasil - 1900/2000 
Populaçãode 15 anos ou mais 
Ano Total(1) Analfabeta(1) Taxa de Analfabetismo 
1900 
1920 
1940 
1950 
1960 
1970 
1980 
1991 
2000 
2010 
9,7 
17,6 
23,6 
30,2 
40,2 
53,6 
74,6 
94,9 
119,5 
144,8 
6,3 
11,4 
13,3 
15,3 
16,0 
18,1 
19,4 
18,7 
16,3 
13,9 
65,3 
65,0 
56,1 
50,6 
39,7 
33,7 
25,9 
19,7 
13,6 
9,6 
Fonte: IBGE, Censo Demográfico. 
Nota: (1) Em milhões 
 
 
Obs. Na tabela acima a Taxa de Analfabetismo foi obtida dividindo-se o número da 
população analfabeta pelo total da população e multiplicando por 100, em cada ano 
considerado. Em 1900 a taxa de Taxa de Analfabetismo foi de TA = (6348 / 9728).100 = 
65,2549342105... ≅ 65,3 %. (...) Em 2000 a taxa de Taxa de Analfabetismo foi de TA = 
(16295 / 119533).100 = 13,6322187178... ≅ 13,6 %. 
 
 
 
 
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2.2. SÉRIE ESTATÍSTICA 
 
SÉRIE ESTATÍSTICA é toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto 
de dados estatísticos em função da época, do local, ou da espécie. 
 
As Séries Estatísticas podem ser classificar em: histórica, geográfica, específica 
 
 
I) SÉRIES HISTÓRICAS (cronológicas, temporais) - descrevem os valores da variável, 
em determinado local, em função do tempo 
Exemplo: 
Tabela 2: XP VEÍCULOS LTDA. 
 Vendas no 1º bimestre de 2014 
Mês UNIDADES VENDIDAS 
JAN / 2014 200 
FEV / 2014 100 
TOTAL 300 
 Fonte: Dados Fictícios 
 
 
II) SÉRIES GEOGRÁFICAS (espaciais, territoriais ou de localização) - descrevem os 
valores da variável, em um determinado instante, em função da região 
Exemplo: 
Tabela 3: XP VEÍCULOS LTDA. 
 Vendas no 1º bimestre de 2014 
FILIAIS UNIDADES VENDIDAS 
São Paulo 130 
Rio de Janeiro 170 
TOTAL 300 
. Fonte: Dados Fictícios 
 
 
III) SÉRIES ESPECÍFICAS (categóricas) - descrevem os valores da variável, em um 
determinado instante e local, segundo especificações. 
 
Resumo Estatística 
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Exemplo: 
Tabela 4: XP VEÍCULOS LTDA. 
 Vendas no 1º bimestre de 2014 
MARCA UNIDADES VENDIDAS 
FIAT 190 
GM 110 
TOTAL 300 
. Fonte: Dados Fictícios 
 
 
IV) SÉRIES CONJUGADAS:Também chamadas de tabelas de dupla entrada. São 
apropriadas à apresentação de duas ou mais séries de maneira conjugada, havendo duas 
ordens de classificação: uma horizontal e outra vertical. 
 
O exemplo abaixo é de uma série geográfica-temporal. 
 
 Tabela 5: XP VEÍCULOS LTDA. 
Vendas no 1º bimestre de 2014 
UNIDADES VENDIDAS 
FILIAIS 
Janeiro / 14 Fevereiro / 14 
São Paulo 80 50 
Rio de Janeiro 120 50 
TOTAL 200 100 
. Fonte: Dados Fictícios 
 
 
 
• NÚMEROS-ÍNDICES 
 
É comum a necessidade de análise, onde o interesse predominante concentra-se 
em medir possíveis diferenças entre grupos de dados. Nesses casos, o número-índice 
constitui um instrumento poderoso, principalmente quando se procura estabelecer 
comparações entre grupos de variáveis distintas, mas relacionadas entre si. 
 
Resumo Estatística 
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Um número-índice pode ser concebido como uma medida estatística destinada a 
comparar, através de uma expressão quantitativa global, grupos de variáveis 
relacionadas e com diferentes graus de importância, formando um quadro resumido das 
mudanças ocorridas. 
As comparações decorrentes do emprego de números-índices podem ser 
consideradas sob três aspectos ou categorias: 
I) variações ocorridas ao longo do tempo; 
II) diferenças entre lugares; 
III) diferenças entre categorias semelhantes, como pessoas, produtos ou coisas. 
 
Costuma-se designar por índice qualquer série de números-índices: preço, 
quantidade e valor(o produto do preço pela quantidade). 
 
• Relativo (Relação) de Preço (Po, t) é Po, t = Pt / Po. onde 
o = época básica, base ou época de referência; 
t = época atual, época dada ou época a ser comparada; 
Po = preço do artigo na época básica; 
Pt = preço do artigo na época dada (atual). 
 
Exemplo: Um artigo foi adquirido por R$200,00 em 2008 e por R$ 230,00 no ano 
seguinte. Qual o relativo de preço em 2009, com base em 2008. 
Solução: 
P2008 = 200 
P2009 = 230 
Po, t = Pt / Po P2008, 2009 = P2009 / P2008 = 230 / 200 = 1,15 0u 115%. O preço do artigo 
corresponde a 115% de seu preço em 2009. 
Obs. O índice apenas estabelece a comparação, não fornecendo diretamente a variação. Para 
conseguir isso basta subtrair 1,00 ou 100% do valor calculado, isto é, a variação de preço = Po, t – 
1 = 1,15 – 1 = 0,15% (o preço em 2008 é 25% superior ao de 2008). 
 
 
• Relativo (Relação) de Quantidade (qo, t) é qo, t = qt / qo. onde 
o = época básica, base ou época de referência; 
t = época atual, época dada ou época a ser comparada; 
qo = quantidade de um produto na época básica; 
qt = quantidade desse mesmo produto na época dada (atual). 
 
Resumo Estatística 
 22
 
Exemplo: Uma concessionária de automóveis vendeu 500 veículos em 2008 contra 400 
em 2005. Calcular o relativo de quantidade em 2008, com base em 2005. 
Solução: 
q2005 = 400 
q2008 = 500 
qo, t = qt / qo q2005, 2008 = q2005 / q2008 = 500 / 400 = 1,25 0u 125%. A quantidade de 2008 
corresponde a 125% da quantidade em 2005. 
As vendas apresentou em 2008 um desempenho 25% superior ao de 2005. 
 
• Relativo (Relação) de Valor (qo, t) é vo, t = vt / vo. onde 
o = época básica, base ou época de referência; 
t = época atual, época dada ou época a ser comparada; 
vo = valor na época básica, po . qo; 
vt = valor na época dada (atual), pt . qt. 
Substituindo po . qo e pt . qt em vo, t = vt / vo temos: vo, t = (po . qo ) / (pt . qt) = po,t . qo,t. 
Exemplo: Uma empresa vendeu, em 2008, 12.000 unidades de um artigo ao preço 
unitário de R$ 500,00. Em 2009 vendeu 15.000 unidades do mesmo artigo ao preço 
unitário R$ 600,00. Com base em 2008, calcular o relativo de valor em 2009. 
Solução: 
q2008 = 12000 e p2008 = 500 
q2009 = 15000 e p2009 = 600 
vo, t = vt / vo v2008, 2009 = v2009 / v2008 = (600 . 15000) / (500 . 12000) =9000000/6000000 = 
1,5 0u 150%. 
O faturamento da empresa em 2009, com a venda do artigo considerado, foi 50% superior ao de 2008. 
 
Exercícios 
1) Calcular o relativo de preço, considerando os dados da tabela abaixo, tomando por 
base o ano de 2006: 
Ano Preço Índice de Preço 2006 = 1,00 
2006 
2007 
2008 
2009 
2010 
200 
250 
300 
390 
468 
 
 
[1,00;1,25;1,50;1;95;2,34] 
 
Resumo Estatística 
 23
2) A tabela abaixo apresenta Evolução das Exportações de calçado para os Estados 
Unidos da América 1990-2008. 
Calcular o relativo de quantidade tomando como base 1990. 
 
Fonte: MDIC/SECEX/ABICALÇADOS 
 
Resumo Estatística 
 24
2.3. GRÁFICOS ESTATÍSTICOS 
 
 
São representações visuais dos dados estatísticos que devem corresponder, mas 
nunca substituir as tabelas estatísticas. Os gráficos estatísticos produzem no leitor uma 
impressão mais rápida e viva do fenômeno em estudo. 
 
Características: Uso de escalas, sistema de coordenadas, simplicidade, clareza e 
veracidade. 
 
Gráficos de informação: São gráficos destinados principalmente ao público em geral, 
objetivandoproporcionar uma visualização rápida e clara. São gráficos tipicamente 
expositivos, dispensando comentários explicativos adicionais. As legendas podem ser 
omitidas, desde que as informações desejadas estejam presentes. 
 
Gráficos de análise: São gráficos que prestam-se melhor ao trabalho estatístico, 
fornecendo elementos úteis à fase de análise dos dados, sem deixar de ser também 
informativos. Os gráficos de análise freqüentemente vêm acompanhados de uma tabela 
estatística. Inclui-se, muitas vezes um texto explicativo, chamando a atenção do leitor 
para os pontos principais revelados pelo gráfico. 
 
 
• Uso indevido de Gráficos: Podem trazer uma idéia falsa dos dados que estão sendo 
analisados, chegando mesmo a confundir o leitor. Trata-se, na realidade, de um 
problema de construção de escalas. 
 
Classificação dos gráficos: Diagramas, Estereogramas, Pictogramas e Cartogramas. 
. 
 
 
I - DIAGRAMAS: 
 São gráficos geométricos dispostos em duas dimensões. São os mais usados na 
representação de séries estatísticas. Eles podem ser: 
 
 
Resumo Estatística 
 25
2.3.1 – Diagrama de caule e folha 
Outra forma de apresentaras dados é o diagrama de caule e folha. Ele apresenta 
mais informações sobre a distribuição dos dados que o diagrama de medidas de 
dispersão. 
Ex: Considere os dados brutos: 
34, 48, 7, 15, 27, 18, 21, 14, 24, 57, 25, 12, 30, 37, 42, 35, 3, 43, 22, 34, 5, 43, 45, 22, 49, 
50, 34, 12, 33, 39, 55 
 
1º) Ordenando os dados 
03, 05, 07, 12, 12, 14, 15, 18, 21, 22, 22, 
24, 25, 27, 30, 33, 34, 34, 34, 35, 37, 39, 
42, 43, 43, 45, 48, 49, 50, 55, 57 
 
2º) Para fazer um diagrama de caule e folha, faça um seguimento vertical com mais 
espaço a direita que à esquerda. Coloque os dados acima, dispondo as dezenas na 
coluna do “caule” e as unidades de cada número no lado direito, como as “folhas”. As 
dezenas, que formam o caule, só aparecem uma vez, mas as unidades são repetidas 
para cada dado existente. 
 
0 3 5 7 
 
1 2 2 4 5 8 
 
2 1 2 2 4 5 7 
 
3 0 3 4 4 4 5 7 9 
 
4 2 3 3 5 8 9 
 
5 0 5 7 
 
 
Podemos utilizar o programa Estat D+ 
para organizar, representar e obter 
medidas de um conjunto de dados. 
Neste caso os dados são brutos, 
do tipo discreto. Digita-se cada valor 
no campo de entrada e aberta o botão 
Diag. Ramos e folhas. 
Leitura: 
 
Resumo Estatística 
 26
2.3.2 – Gráficos em barras horizontais. 
Nesses gráficos os retângulos têm a mesma altura e os comprimentos são 
proporcionais aos respectivos dados, como no gráfico a seguir 
Gráfico: DOENÇAS QUE MAIS MATAM NO MUNDO (2004) 
 
 
2.3.3 – Gráficos em barras verticais (colunas). 
Quando as legendas não são breves usa-se de preferência os gráficos em barras 
horizontais. Nesses gráficos os retângulos têm a mesma base e as alturas são 
proporcionais aos respectivos dados. 
• A ordem a ser observada é a cronológica, se a série for histórica, e a 
• decrescente, se for geográfica ou categórica. 
 
 Produção Brasileira de mangas (toneladas). 
 
 Fonte: FAO, 2008. 
 
Resumo Estatística 
 27
2.3.4 – DIAGRAMA DE PARETO 
 
O Diagrama de Pareto* é um gráfico de barras ordenadas, das mais altas para as 
mais baixas (ordenadas de acordo com as frequências da categoria). O diagrama de 
Pareto é usado em gestão de qualidade quando se procuram os erros mais comuns, os 
motivos das perdas, as causas das reclamações. 
 
 Gráfico: Reclamações no PROCON por área em determinado ano 
 
 
 
 
 
 
2.3.5 – Gráficos em colunas compostas. 
 
 
Fonte: IBGE, Diretoria de Pesquisas, Coordenação de Trabalho e Rendimento, Pesquisa Nacional por Amostra de 
 
* Vilfredo Pareto (1848-1923) foi um cientista político, sociólogo e economista italiano. O Diagrama de Pareto está ligado com a Lei de 
Pareto, também conhecida como lei 20/80. De acordo com esta lei, 80% das consequências decorrem de 20% das causas. Durante as 
suas pesquisas, Pareto descobriu que 80% da riqueza estava nas mãos de apenas 20% da população. 
 
Resumo Estatística 
 28
Domicílios 2007-2008. 
 
2.3.6 – Gráficos em colunas superpostas. 
• Eles diferem dos gráficos em barras ou colunas convencionais apenas pelo fato de 
apresentar cada barra ou coluna segmentada em partes componentes. Servem para 
representar comparativamente dois ou mais atributos. 
 
 
2.3.7 – Gráficos em linhas ou lineares. 
 
São freqüentemente usados para representação de séries cronológicas com um 
grande número de períodos de tempo. As linhas são mais eficientes do que as colunas, 
quando existem intensas flutuações nas séries ou quando há necessidade de se 
representarem várias séries em um mesmo gráfico. 
 
Exemplo 1: O gráfico abaixo mostra a taxa de analfabetismo de 1940 a 2010. 
A taxa de analfabetismo entre pessoas com mais de 15 
anos ou mais de idade, entre 1900 e 2010
19,7
25,9
33,7
39,7
50,6
65,3
13,6 9,6
56,1
65,0
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
70,0
1900 1920 1940 1950 1960 1970 1980 1991 2000 2010
 
 
Exemplo 2: O gráfico abaixo mostra a participação do agronegócio no PIB do Brasil, de 
1999 a 2009. 
Fonte: IBGE 
 
Resumo Estatística 
 29
 
 
• As séries temporais geralmente não são representadas por este tipo de gráfico. 
• Quando representamos, em um mesmo sistema de coordenadas, a variação de dois 
fenômenos, a parte interna da figura formada pelos gráficos desses fenômenos é 
denominada de área de excesso. 
 
Exemplo 3: O gráfico abaixo mostra a inflação de preços observada e a meta estipulada 
pelo Banco Central, de 1999 a 2013. 
Gráfico: inflação de preços acumulada de acordo com a meta estipulada pelo Banco 
Central (linha azul); inflação de preços observada (linha vermelha) 
 
Fonte: Um pequeno histórico das políticas monetárias do real em http://www.mises.org.br/Article.aspx?id=1601, 
acessado em 14/03/2015. 
 
 
Resumo Estatística 
 30
No gráfico abaixo a linha azul mostra como seria a inflação de preços acumulada de 1999 
caso o Banco Central de fato conseguisse manter a inflação de preços dentro da meta por 
ele próprio estipulada. Já a linha vermelha mostra a verdadeira inflação de preços 
acumulada. 
 
 
2.3.8 – Gráficos em setores. 
Este gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado sempre que 
desejamos ressaltar a participação do dado no total. O total é representado pelo círculo, 
que fica dividido em tantos setores quantas são as partes. Os setores são tais que suas 
áreas são respectivamente proporcionais aos dados da série. O gráfico em setores só 
deve ser empregado quando há, no máximo, sete dados. 
 
Exemplo: Exportações Brasileiras de frutas frescas (2006) 
 
 
Fonte: Brazilian Fruit, 2008. 
 
 
 
2.3.9 – PICTOGRAMAS: 
São construídos a partir de figuras representativas da intensidade do fenômeno. Este 
tipo de gráfico tem a vantagem de despertar a atenção do público leigo, pois sua forma é 
atraente e sugestiva. Os símbolos devem ser auto-explicativos. A desvantagemdos 
 
Resumo Estatística 
 31
pictogramas é que apenas mostram uma visão geral do fenômeno, e não de detalhes 
minuciosos. 
 
Veja o exemplo abaixo: 
 
Fonte: IBGE. 
 
2.3.10 – CARTOGRAMAS: 
São ilustrações relativas a cartas geográficas (mapas). O objetivo desse gráfico é o 
de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou 
políticas. 
Exemplo: Escolas de Ensino médio no estado do Rio de Janeiro - 2012 (1) (ESCOLAS) 
 
 
 
Resumo Estatística 
 32
2.4. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
 
É um tipo de tabela que condensa uma coleção de dados conforme as 
freqüências (repetições de seus valores). 
 
Exemplo 1: Os dados a seguir refere-se ao número de itens de informática vendidos 
diariamente durante os 20 primeiros dias de 2014 numa loja de departamento: 
45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41 ,50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51. 
 
Vamos organizar esses dados numa distribuição de frequência, para isto vamos primeiro 
ordená-los e depois apresentá-los na tabela. 
 
1º) Iniciaremos a organização fazendo o ROL† (é obtido após a ordenação dos dados - 
crescente ou decrescente). 
 
41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45, 46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60. 
 
2º) Distribuição de freqüência SEM INTERVALOS DE CLASSE: É a simples 
condensação dos dados conforme as repetições de seu valores. 
 
Dados Freqüência 
41 3 
42 2 
43 1 
44 1 
45 1 
46 2 
50 2 
51 1 
52 1 
54 1 
57 1 
58 2 
60 2 
Total 20 
 
 
Resumo Estatística 
 33
Para um rol de tamanho razoável esta distribuição de freqüência sem intervalos de 
classe é inconveniente, já que exige muito espaço. 
 
Exemplo 2: Uma empresa X fabricante de instrumentos de precisão está interessada em 
saber o número de aparelhos defeituosos rejeitados pela seção encarregada do controle 
de qualidade. As estatísticas, fornecidas por essa seção, referem-se ao período de 2006 a 
2009 e estão expressas na tabela abaixo: 
 
TABELA: EMPRESA X 
 Número de aparelhos defeituosos 
Ano \ Mês J F M A M J J A S O N D 
2006 
2007 
2008 
2009 
6 
10 
3 
7 
2 
9 
6 
2 
5 
7 
7 
5 
6 
6 
9 
8 
0 
3 
3 
6 
8 
4 
1 
4 
7 
6 
4 
2 
6 
4 
6 
5 
3 
5 
5 
1 
4 
4 
3 
6 
5 
0 
5 
5 
8 
1 
4 
2 
 
Utilizando os dados da Tabela acima, construir uma tabela de freqüências de valores não-
agrupados em classe, ou seja, uma tabela onde os valores da variável Números de 
Aparelhos com Defeitos aparecem individualmente. 
 
TABELA: Distribuição de frequências do Número Mensal de Aparelhos 
Defeituosos da Empresa X de 2006-2009. 
Número de Aparelhos 
Defeituosos 
 Frequência 
fi . 
 Frequência relativa
fR . 
Porcetagem 
(%) 
Freqüência Acumulada 
FAC 
 0 2 0,0417 4,17 2 
1 3 0,0625 6,25 5 
2 4 0,0833 8,33 9 
3 5 0,1042 10,42 14 
4 7 0,1458 14,58 21 
5 8 0,1667 16,67 29 
6 9 0,1875 18,75 38 
7 4 0,0833 8,33 42 
8 3 0,0625 6,25 45 
9 2 0,0417 4,17 47 
10 1 0,0208 2,08 48 
Total 48 1,0000 1,0000 - 
 
 
† [Do fr. rôle.] Substantivo masculino. Lista, Sequência. Rol é uma sequência ordenada dos Dados Brutos. 
 
Resumo Estatística 
 34
Obs. I) As frequências absolutas (fi) corresponde ao número de vezes que ocorreu o 
número de defeitos correspondente. Isto é, quantas vezes ocorreram o 0 (zero aparelhos 
defeituosos), quantas vezes ocorreram o 1 (um aparelho defeituoso), quantas vezes 
ocorreram o 2 (dois aparelhos defeituosos) e assim sucessivamente. 
II) As frequências relativas (fR) corresponde a razão entre as frequências 
absolutas (fi) e o total (neste caso é igual a 48), ou seja: 2/48=0,0417, 3/48=0,0625, 
4/48=0,0833, 5/48=0,1042, 7/48=0,1458, 9/48=0,1875, ... . 
III) As Porcentagem (%) corresponde as frequências relativas (fR) multiplicada por 
100: 0,0417×100=4,17, 0,0625×100=6,25, 0,0833×100=8,33, 0,1042×100=10,42, 
0,1458×100=14,58, 0,1875×100=18,75, ... . 
IV) As frequências Acumuladas (FAC) corresponde a soma das frequências 
absolutas (fi) do elemento considerado com as frequências absolutas (fi) dos elementos 
que o antecedem: 
F1=2, F2=2+3=5, F3=2+3+4=9, F4=2+3+4+5=14, F5=2+3+4+5+7=21, 
F6=2+3+4+5+7+8=29, F7=2+3+4+5+7+8+9=38, F8=2+3+4+5+7+8+9+4=42, 
F9=2+3+4+5+7+8+9+4+3=45, F10=2+3+4+5+7+8+9+4+3+2=47 e 
F11=2+3+4+5+7+8+9+4+3+2+1=48 
 
B) Distribuição de freqüência COM INTERVALOS DE CLASSE: Quando o tamanho da 
amostra é elevado, é mais racional efetuar o agrupamento dos valores em vários 
intervalos de classe. Para os dados do exemplo 1, podemos construir a seguinte 
distribuição com intervalos de classe. 
Exemplo: 
Classes Freqüências 
41 |----- 45 7 
45 |----- 49 3 
49 |----- 53 4 
53 |----- 57 1 
57 |----- 61 5 
Total 20 
 
 
ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA (com intervalos de classe) 
 
Resumo Estatística 
 35
 CLASSE: são os intervalos de variação da variável e é simbolizada por i e o número 
total de classes simbolizada por k. Ex: na tabela anterior k = 5 e 49 |---- 53 é a 3ª classe, 
onde i = 3. 
 
LIMITES DE CLASSE: são os extremos de cada classe. O menor número é o limite 
inferior de classe ( Linf ) e o maior número, limite superior de classe ( Lsup ). 
Exemplos: em 49 |---- 53,... Linf3 = 49 e Lsup3 = 53. O símbolo |----- representa um 
intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. O dado 53 do ROL não pertence a 
classe 3 e sim a classe 4 representada por 53 |----- 57. 
 
AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE: é obtida através da diferença entre o limite 
superior e inferior da classe e é simbolizada por h = Lsup - Linf. 
Exemplo: na tabela anterior h = 53 - 49 = 4. Obs: Na distribuição de freqüência c/ classe o 
h será igual em todas as classes. 
AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO: é a diferença entre o limite superior da 
última classe e o limite inferior da primeira classe. AT = L(max) - L(min). 
Exemplo: na tabela anterior AT = 61 - 41= 20. 
 
 AMPLITUDE TOTAL DA AMOSTRA (ROL): é a diferença entre o valor máximo e o 
valor mínimo da amostra (ROL). Onde AA = Xmax - Xmin. 
Exemplo: Em nossa distribuição de frequência anterior AA= 60 - 41=19. 
Obs: AT sempre será maior que Amplitude Amostral (AA). 
 
 PONTO MÉDIO DE CLASSE: é o ponto que divide o intervalo de classe em duas 
partes iguais. .Ex: em 49 |----- 53 o ponto médio x3 = (53 + 49) / 2 = 51, ou seja x3 = ( 
Linf3 + L sup3) / 2. 
 
 
Método prático para construção de uma Distribuição de Freqüências c/ Classe 
 
1º- Organize os dados brutos em um ROL. 
 
2º- Calcule a Amplitude Amostral AA. 
No nosso exemplo a Amplitude Amostral é: AA = 60 - 41 = 19 
 
 
Resumo Estatística 
 36
3º- Calcule o número de classes através da "Regra" k = √n: √20 ≅ 5 [ou da regra de 
Sturges: k = 1 + 3,3.log n, substituindo n por 20 temos, k = 1 + 3,3.log 20 = 1 + 3,3.1,3010 ≅ 5] 
No nosso exemplo: n = 20 dados, então, a princípio, a regra sugere a adoção de 5 
classes. 
 
4º- Decididoo nº de classes, calcule então a amplitude do intervalo de classe h >AA /k. 
No nosso exemplo: AA/k = 19/5 = 3,8 . Obs: Como h > AA/k um valor ligeiramente 
superior para haver folga na última classe. Utilizaremos então h = 4 
 
5º- Temos então o menor nº da amostra, o nº de classes e a amplitude do intervalo. 
Podemos montar a tabela, com o cuidado para não aparecer classes com freqüência = 0 
(zero). 
No nosso exemplo: o menor nº da amostra = 41 + h = 45, logo a primeira classe será 
representada por 41 |----- 45. As classes seguintes respeitarão o mesmo procedimento. 
O primeiro elemento das classes seguintes sempre serão formadas pelo último elemento 
da classe anterior. 
 
Obs: Qualquer regra para determinação do nº de classes da tabela não nos levam a uma decisão final; 
esta vai depender, na realidade de um julgamento pessoal, que deve estar ligado à natureza dos 
dados. 
 
Exercícios 
1) O objetivo desta atividade é partir dos dados brutos, isto é, desorganizados, obter uma 
apresentação formal. 
O quadro abaixo representa as notas que o professor de Estatística registrou durante a 
entrega da primeira avaliação. Observe que, nessa Tabela, as notas não estão 
numericamente organizadas. Esse tipo de tabela denomina-se Tabela primitiva. 
Partindo dessa Tabela, é difícil identificar o comportamento das notas, isto é: onde se 
concentram? Qual a maior? Qual a menor? Quantos alunos estão abaixo ou acima de 
uma determinada nota? Esses dados estão, de fato, desorganizados, por isso, vamos 
organizá-los. 
 
Resumo Estatística 
 37
 
 
a) A maneira mais simples é realizando uma ordenação (crescente ou decrescente). Após 
essa ordenação dos dados, a Tabela recebe o nome de rol. Faça esta reordenação. 
 
 
b) Calcule a amplitude total. 
c) Dispor os dados dessa maneira é melhor do que da forma anterior, mas ainda é 
inconveniente. Isso porque exige muito espaço. Uma alternativa é agrupar os dados. Para 
desenvolver tal tarefa, é comum, em primeiro lugar, distribuir os dados em classes ou 
categorias em uma Tabela. Essa Tabela receberá o nome de Distribuição de 
Freqüência ou Tabela de Freqüência. Preencha a Distribuição de Freqüência com 
intervalo de classe abaixo. 
 
 
d) Após o preenchimento da tabela calcule a porcentagem das notas em cada classe. 
 
 
Resumo Estatística 
 38
2.5. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO 
 
Histograma, Polígono de freqüência e Polígono de freqüência acumulada 
 
Em todos os gráficos acima utilizamos o primeiro quadrante do sistema de eixos 
coordenados cartesianos ortogonais. Na linha horizontal (eixo das abscissas) colocamos 
os valores da variável e na linha vertical (eixo das ordenadas), as freqüências. 
. 
HISTOGRAMA: é formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se 
localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam com os 
pontos médios dos intervalos de classe. A área de um histograma é proporcional à soma 
das freqüências simples ou absolutas. 
 
Exemplo: Histograma abaixo representa a frequências de vendas de um 
produto X nos quarenta primeiro dias de 2014 
 
 
Freqüências simples ou absolutas: são os valores que realmente representam o 
número de dados de cada classe. A soma das freqüências simples é igual ao número total 
dos dados da distribuição. 
 
Freqüências relativas: são os valores das razões entre as freqüência absolutas de 
cada classe e a freqüência total da distribuição. A soma das freqüências relativas é 
igual a 1 (100 %). 
. 
Polígono de freqüência: é um gráfico em linha, sendo as freqüências marcadas sobre 
perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de 
classe. Para realmente obtermos um polígono (linha fechada), devemos completar a 
 
Resumo Estatística 
 39
figura, ligando os extremos da linha obtida aos pontos médios da classe anterior à 
primeira e da posterior à última, da distribuição. 
 
 
Exemplo: O polígono de frequência abaixo representa a frequências de vendas de um 
produto X nos quarenta primeiro dias de 2009. 
 
 
 
 
Polígono de freqüência acumulada: é traçado marcando-se as freqüências 
acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos 
correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe. 
 
Exemplo: O polígono de frequência acumulada abaixo representa a frequências 
acumuladas da vendas de um produto X nos quarenta primeiro dias de 2009. 
 
 
 
Freqüência simples acumulada de uma classe: é o total das freqüências de todos os 
valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma determinada classe. 
 
Resumo Estatística 
 40
Freqüência relativa acumulada de uma classe: é a freqüência acumulada da classe, 
dividida pela freqüência total da distribuição. 
 
CLASSE fi xi fri Fi Fri 
50 |-------- 54 4 52 0,100 4 0,100 
54 |-------- 58 9 56 0,225 13 0,325 
58 |-------- 62 11 60 0,275 24 0,600 
62 |-------- 66 8 64 0,200 32 0,800 
66 |-------- 70 5 68 0,125 37 0,925 
70 |-------- 74 3 72 0,075 40 1,000 
Total 40 - 1,000 - - 
 
fi = freqüência simples; xi = ponto médio de classe; fri = freqüência simples acumulada; 
Fi = freqüência relativa e Fri = freqüência relativa acumulada. 
 
O gráfico (histograma) abaixo representa os dados da distribuição de frequência anterior. 
Histograma. 
7,5%
12,5%
20,0%
22,5%
10,0%
27,5%
0
2
4
6
8
10
12
50 |-------- 54 |-------- 58 |-------- 62 |------- 66 |------- 70 |------74
 
 Fonte: Dados fictícios 
 
• Obs: uma distribuição de freqüência sem intervalos de classe é representada 
graficamente por um diagrama onde cada valor da variável é representado por um 
segmento de reta vertical e de comprimento proporcional à respectiva freqüência. 
 
Resumo Estatística 
 41
Exercícios 
 
1) Uma pesquisa sobre a idade, em anos de uma classe de calouros de uma faculdade, 
revelou os seguintes valores: 
18, 17, 18, 20, 21, 19, 20, 18, 17, 19, 20, 18, 19, 18, 19, 21, 18, 19, 18, 18, 19, 19, 21, 20, 
17, 19, 19, 18, 18, 19, 18, 21, 18, 19, 19, 20, 19, 18, 19, 20, 18, 19, 19, 18, 20, 20, 18, 19, 
18, 18. 
a) Faça o ROL dos dados acima. 
b) Construa uma distribuição de freqüência, sem intervalos de classes, desses dados. 
c) Qual a porcentagem de alunos com idade superior a 19 anos? 
 
2) Uma indústria embala peças em caixas com 100 unidades. O controle de qualidade 
selecionou 48 caixas na linha de produção e anotou em cada caixa o número de peças 
defeituosas. Obteve os seguintes dados: 
2 0 0 4 3 0 0 1 0 0 1 1 2 1 
1 1 1 1 1 0 0 0 3 0 0 0 2 0 
0 1 1 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 1 0 
a) Faça o ROL dos dados acima. 
b) Construa uma distribuição de freqüência, sem intervalos de classes, desses dados. 
c) Qual a porcentagem de caixas com no máximo 1 peça defeituosa? 
 
3) Considere a seguinte tabela: 
Classes Frequência 
2,75 |---- 2,80 
2,80 |---- 2,85 
2,85 |---- 2,90 
2,90 |---- 2,95 
2,95 |---- 3,00 
3,00 |---- 3,05 
3,05 |---- 3,10 
3,10 |---- 3,15 
3,15 |---- 3,20 
3,20 |---- 3,25 
2 
3 
10 
11 
24 
14 
9 
8 
6 
3 
Total 90 
 
ResumoEstatística 
 42
Determinar o valor dos seguintes elementos da tabela acima: 
a) Freqüência simples absoluta da quinta classe. 
b) Freqüência total. 
c) Limite inferior da sexta classe. 
d) Limite superior da quarta classe. 
e) Amplitude do intervalo de classe. 
f) Amplitude total. 
g) Ponto médio da terceira classe. 
 
4) Um banco selecionou ao acaso 25 contas de pessoas físicas em uma agência, em 
determinado dia, obtendo os seguintes saldos em reais: 
 
a) Faça o ROL dos dados acima. 
b) Construa uma distribuição de freqüência, com intervalos de classes, desses dados. 
c) Qual a porcentagem de saldos com valor inferior a 21.881,00? 
 
5) Uma auditoria em uma grande empresa observou o valor de 50 notas fiscais emitidas 
durante um mês. Esta amostra apresentou os seguintes valores em reais: 
 
a) Faça o ROL dos dados acima. 
b) Construa uma distribuição de freqüência, com intervalos de classes, desses dados. 
c) Qual a porcentagem de notas com valor superior a 27.875,00? 
 
 
 
Resumo Estatística 
 43
6) Construa um histograma para a série representativa da idade de 50 alunos do primeiro 
período de uma Faculdade considerando a tabela abaixo: 
 
 
 
7) Construa um histograma para a série representativa de uma amostra dos salários de 
25 funcionários selecionados em uma empresa a partir da tabela abaixo: 
 
 
 
Resumo Estatística 
 44
Respostas: 
 
1) 6% 2) 
83,3% 
 
 
 
 
 
3) a) 24; 4) 64% 
b)90; 
c)3,05; 
d)2,95; 
e)2,80-2,75=2,85-2,80=...=3,25-3,20=0,05 
f)3,25-2,75=0,5; 
g) (2,85+2,90)/2 = 2,875 
 
 
5) 60% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) 7) 
 
 
 
 
 
Resumo Estatística 
 45
.3. MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
 
3.1. INTRODUÇÃO 
 
 São as estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos quanto à 
posição da distribuição em relação ao eixo horizontal do gráfico da curva de 
freqüência. 
 
• As medidas de posições mais importantes são as medidas de tendência central ou 
posição (verifica-se uma tendência dos dados observados a se agruparem em torno 
dos valores centrais). 
 
• As medidas de tendência central mais utilizadas são: média aritmética, moda e 
mediana. Outros menos usados são as médias: geométrica, harmônica, quadrática, 
cúbica e biquadrática. 
 
• As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam: a própria 
mediana, os decis, os quartis e os percentis. 
. 
 
 
3.2. MÉDIA ARITMÉTICA ( x ) 
 
 É igual ao quociente entre a soma dos valores do conjunto e o número total dos 
valores. 
n
x
 xou
n
x...xxx x
n
1
i
n321
∑
=
++++
= , 
onde xi são os valores da variável e n o número de valores. 
. 
A) DADOS NÃO-AGRUPADOS: Quando desejamos conhecer a média dos dados não-
agrupados em tabelas de freqüências, determinamos a média aritmética simples ( x ). 
 
Resumo Estatística 
 46
Exemplo: Sabendo-se que a venda diária de arroz tipo 1, num supermercado X, durante 
uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 toneladas, temos, para venda média 
diária na semana de: 
 
 toneladas14 
7
12181615131410 x =++++++= . 
 
I) Usando a calculadora científica casio fx-82ms ou similar de 2 linhas. 
 
1º) ligar (aperte on) 
2º) limpar a memória da calculadora:(aperte: Shift_Mode_3_=_=_=) 
3º) Escolher o modo estatístico para trabalhar(sd):(aperte: Mode_2) 
4º) Digitar cada um dos valores obedecendo a sequência: Valor_M+ 
Neste caso é assim: 10 M+; 14 M+; 13 M+; 15 M+; 16 M+; 
18 M+; 12 M+; 
Após a digitação os valores estão armazenados na memória e 
podem ser acessados e até modificados através do botão replay 
(para cima e para baixo) 
5º) Para acessar a média dos dados aperte: Shift_2_1_= 
O resultado esperado é 14. 
 
 
II) Usando a calculadora científica SHENG KD-105A ou similar de 1 linhas. 
 
1º) ligar (aperte ON/C) 
2º) Escolher o modo estatístico para trabalhar(STAT): 
 aperte: 2ndf_ON/C 
3º) Digitar cada um dos valores obedecendo a sequência: 
Valor_M+ 
Neste caso é assim: 10 M+; 14 M+; 13 M+; 15 M+; 16 M+; 
18 M+; 12 M+; 
Após a digitação os valores estão armazenados na memória. 
4º) Para acessar a média dos dados aperte a tecla (x M) 
O resultado esperado é 14. 
 
Resumo Estatística 
 47
III) Usando a calculadora HP12C. 
 
1º) ligar (aperte ON) 
2º) limpar a calculadora antes de usar: f + SST(Σ) 
3º) Digitar cada um dos valores: Valor Σ+ 
Neste caso é assim: 10 Σ+; 14 Σ+; 13 Σ+; 15 Σ+; 
16 Σ+; 18 Σ+; 12 Σ+; 
Após a digitação os valores estão armazenados 
na memória. 
4º) Para acessar a média dos dados aperte as tecla g e 0( x ) 
O resultado esperado é 14. 
 
 
Desvio em relação à média: é a diferença entre cada elemento de um conjunto de 
valores e a média aritmética, ou seja:. 
x x d ii −= 
 
Exemplo: No exemplo anterior temos sete desvios: 
 
d1 = 10 - 14 = - 4, ... d2 = 14 - 14 = 0, d3 = 13 - 14 = - 1, d4 = 15 - 14 = 1,... 
d5 = 16 - 14 = 2,.. d6 = 18 - 14 = 4 ...e. d7 = 12 - 14= -2. 
 
Observe graficamente: 
Volume de vendas de arroz no supermercado X nos 
primeiros 7 dias de março de 2015.
10
14
15
16
18
1213
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
1 2 3 4 5 6 7 Dia
Toneladas
 
 
Média=14 
 
Resumo Estatística 
 48
Propriedades da média aritmética 
 
1ª propriedade: A soma algébrica dos desvios em relação à média é nula. 
• No exemplo anterior: d1 + d2 + d3 + d4 + d5 + d6 + d7 = 0 
 -4 + 0 + (- 1) + 1+ 2 + 4 + (-2) = 0. 
 
 
2ª propriedade: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) a todos os valores de 
uma variável, a média do conjunto fica aumentada ( ou diminuída) dessa 
constante. 
• Se no exemplo original somarmos a constante 2 a cada um dos valores da variável 
temos: 
y = 12 + 16 + 15 + 17 + 18 + 20 + 14 / 7 = 16 toneladas ou 
y = x .+ 2 = 14 +2 = 16 toneladas 
 
 
3ª propriedade: Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por 
uma constante (c), a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por 
essa constante. 
• Se no exemplo original multiplicarmos a constante 3 a cada um dos valores da variável 
temos: 
z = 30 + 42 + 39 + 45 + 48 + 54 + 36 / 7 = 42 toneladas ou 
z = x . 3 = 14 x 3 = 42 toneladas 
 
 
Resumo Estatística 
 49
B) MÉDIA ARITMÉTICA DADOS AGRUPADOS: 
 
I) SEM INTERVALOS DE CLASSE Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias 
de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculino. 
Calcularemos a quantidade média de meninos por família: 
 
n
f x xou
n
fx...fxfxfx x iinn332211 ..... ∑=++++= 
 
.onde xi são os valores da variável, fi a frequência e n o número de valores. 
Nº de meninos freqüência = fi 
0 2 
1 6 
2 10 
3 12 
4 4 
total 34 
• Como as freqüências são números indicadores da intensidade de cada valor da 
variável, elas funcionam como fatores de ponderação,o que nos leva a calcular a 
média aritmética ponderada, dada pela fórmula: 
 
..xi. ..fi. ..xi.fi . 
0 2 0 
1 6 6 
2 10 20 
3 12 36 
4 4 16 
total 34 78 
 
onde x = 78 / 34 = 2,3 meninos por família 
 
 
 
Resumo Estatística 
 50
II) COM INTERVALOS DE CLASSE Neste caso, convencionamos que todos os valores 
incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e 
determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula: 
 
n
f. x x ii∑= .onde xi são os pontos médios das classes, fi a frequência e n o 
número de valores. 
 
Exemplo: Calcular a estatura média de bebês conforme a tabela abaixo. 
 
Estaturas (cm) freqüência = fi ponto médio = xi xi.fi. 
50 |--------- 54 4 52 208 
54 |--------- 58 9 56 504 
58 |--------- 62 11 60 660 
62 |--------- 66 8 64 512 
66 |--------- 70 5 68 340 
70 |--------- 74 3 72 216 
Total 40 - 2.440 
 
1º) Calculando os pontos médios, 
2º) multiplicando cada ponto médio pela sua respectiva frequência, 
3º) somando esses produtos e aplicando a fórmula acima temos: 
x = 2.440 / 40.= 61. 
Logo, a média das estaturas é x = 61 cm. 
 
 
Exercícios 
1) Determinar a média aritmética (simples ou ponderada) das seqüências de números 
abaixo: 
a) 10, 11, 15, 25 
b) 4, 4, 6, 6, 6, 9, 9, 10, 12, 15, 15, 15 
c) 7, 4, 6, 3 
d) 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 22 
e) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 
 
Resumo Estatística 
 51
f) 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 8 
g) 3, 18, 25 
h) 1,25; 2,5; 2,75; 2,75; 3,0; 3,25; 
i) 1,1; 2,2; 3,3; 4,4; 
j) 11, 12, 13, 14, 15 (observe que a média coincide com o termo central) 
k) 2, 6, 10 
l) 2, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 6, 6, 10, 10, 
m) 2, 2, 6, 6, 6, 6, 10, 10, 10 
 
2) Um estudante fez algumas provas em seu curso e obteve as notas 1,3; 3,4; 4,5; 2,6; 
1,9; 2,7; 5,0; 6,3; 8,1; 7,6; 5,2; 8,6; 9,2 e 9,8. Para ser aprovado ele precisa alcançar uma 
nota média igual ou superior a 6,0. Ele foi aprovado? 
 
3) Um produto é vendido em três supermercados por R$13,00 / kg, R$13,20 / kg e 
R$13,50 / kg. Determine quantos R$/kg se paga em média pelo produto. 
 
4) Um produto é vendido em três supermercados por R$130/kg, R$132/kg e R$135/kg. 
Determine, em média quantos quilos do produto se compra com R$1,00. 
 
5) Em 13 semanas consecutivas para o vendedor A e 12 semanas para o vendedor B, a 
comissão dos dois vendedor (A e B) em R$ foi de: 
Vendor A R$ 350 R$ 470 R$ 310 R$ 940 R$ 980 R$ 1000 R$ 150 R$ 100 R$ 1200 R$ 730 R$ 600 R$ 1840 R$ 130 
Vendor B R$ 600 R$ 800 R$ 850 R$ 900 R$ 960 R$ 930 R$ 680 R$ 750 R$ 860 R$ 930 R$ 830 R$ 880 
 
Calcule a comissão semanal média de cada vendedor. Interprete. 
 
6) O Banco X decidiu fazer um teste em duas agências para verificar se é melhor 
trabalhar com fila única nos caixas ou com várias filas. Para isso, decidiu-se analisar o 
tempo de espera na fila dos clientes destas duas agencias, sendo que na agencia A, 
optou-se em trabalhar com fila única e na agencia B com várias filas. O tempo de espera 
(em minutos) de 20 clientes na agencia A (fila única) e de 11 clientes na agencia B (várias 
filas) estão na tabela abaixo: 
Tempo de espera dos clientes na fila (em minutos) 
Agência A (fila 
única) 
4,0 4,1 5,8 6,2 7,7 7,7 8,5 9,3 10 4,3 4,2 7,7 7,8 7,3 9,3 9,5 9,5 9,5 4,2 7,5
Agência B 
(várias filas) 
6,9 6,5 6,9 6,6 6,8 6,9 7,6 7,8 7,5 7,7 7,7 
 
Resumo Estatística 
 52
Calcule o tempo médio de espera nas duas agencias separadamente e depois o tempo 
médio de espera nas duas agencias juntas. 
 
7) Calcule a média aritmética da série: 
xi Frequência 
2 1 
5 4 
6 3 
8 2 
Total 
 
8) Em certo dia foi realizado um levantamento a respeito das idades dos alunos de uma 
turma de Ciências Contábeis, obtendo-se a tabela abaixo: 
Idades (anos) Nº de Alunos 
16 |-- 20 8 
20 |-- 24 16 
24 |-- 28 12 
28 |-- 32 4 
∑ 40 
Considerando esta turma como uma população, determine: 
a) A percentagem de alunos com menos de 24 anos. 
b) O valor da média aritmética simples das idades dos alunos. 
 
9) Uma fabrica de calculadora compra mensalmente 5 tipos de matéria prima. O custo 
por quilo (em R$) de cada matéria prima adquirida em um determinado mês e a 
quantidade de quilo adquirida foi de: 
Matéria Prima Custo por quilo (em R$) Número de quilos adquiridos
1 3,00 1200 
2 3,40 500 
3 2,80 2750 
4 2,9 1000 
5 3,25 800 
Total - 6250 
 
a) Calcule o custo médio por quilo da empresa, usando a média aritmética simples. 
 
Resumo Estatística 
 53
b) Considerando o número de quilo adquiridos de cada matéria prima, calcule o custo 
médio da empresa para adquirir as 5 matérias-primas. 
 
 
 
Respostas 
 
1) a) 15,25 b) 9, 25 c) 5 d) 10 e) 4,5 
 f) 4,24 g)15,33 h) 2,58 i) 2,75 j) 13 
 k) 6 l)4,54 m) 6,44 
 
2) Sim, com média 6,3. 
 
3) 13,33 / kg 
 
4) 0,0076 kg/R$ 
 
5) Média Vendedor A = R$676,9 Média Vendedor B = R$830,8 
 
6) [4,0+4,1+5,8+6,2+7,7+7,7+8,5+9,3+10+4,3+4,2+7,7+7,8+7,3+9,3+9,5+9,5+9,5+4,2+7,5]/20 = 7,205 min, 
 [6,9+6,5+6,9+6,6+6,8+6,9+7,6+7,8+7,5+7,7+7,7]/11 =7,173 min e 7,194 min 
 
7) 
 
8) 60%; e 23,2 anos; 
 
9) a) Média= R$ 3,07 b) Média ponderada = R$ 2,96 
 
 
 
Resumo Estatística 
 54
OUTRAS MÉDIAS 
• MÉDIA GEOMÉTRICA ( Gx ) 
 
 É a raiz n-ésima do produto dos valores. 
 
Média Geométrica Simples: x.....x.x.x x n n321G = ou . n
1
n321G )x.....x.x.(x x = 
Exemplo 1.: - Calcular a média geométrica dos seguintes conjuntos de números:E 
 
a) { 10, 60, 360 }.: = ( 10 . 60 . 360) ^ (1/3) R: 60 
 
b) { 2, 2, 2 }........: = (2 . 2 . 2) ^ (1/3) .. . R: 2 
 
c) { 1, 4, 16, 64 }: = (1 . 4 . 16 . 64) ^(1/4) .... R: 8 
. 
 
Exemplo 2 - Calcular a média geométrica dos valores da tabela abaixo: 
 
xi fi 
1 2 
3 4 
9 2 
27 1 
Total 9 
 
Gx = (1.1 . 3.3.3.3.3 . 9.9 . 27) 
(1/9) = (12 * 34 * 92 * 271) (1 / 9) R: 3,8296 
 
Aplicação: A média geométrica é usada para determinar taxas médias. Assim, por 
exemplo, suponhamos que um indivíduo tenha investido um capital de R$ 500,00 em 
2008. Após um ano de aplicação essa importância ascendeu a R$ 650,00. Reaplicando 
essa última quantia, ao final de mais um ano seu montante situava-se em torno de R$ 
910,00. A taxa média de aumento de capital será obtida mediante o cálculo de uma média 
geométrica. 
Solução: 
 
Resumo Estatística 
 55
Calculemos, inicialmente, as taxas de aumento de capital, período a período: 
Em 2008, a taxa foi de 650 / 500 = 1,3 
Em 2009, a taxa foi de 910 / 650 = 1,4 
Taxa média: 1,4 x 1,3Mg = = 1,3491 
A taxa média de aumento do capital investido no período de dois anos foi de 34,91%. 
 
• MÉDIA HARMÔNICA ( Hx ) 
 
 É o inverso da média aritmética dos inversos dos valores. 
. 
Média Harmônica Simples:. (para dados não agrupados) 
. 
n321
H
n321
H
x
1...
x
1
x
1
x
1
nx
n
1/x...1/x1/x1/x
1x
++++
=
++++
= ou 
 
Exemplo 1.: Calcular a média harmônica dos valores: 4, 6, 8 e 12. 
 
Solução: 
n = 4 e x1=4, x2=6, x3=8e x4=12 
12
1
8
1
6
1
4
1
4
x
1...
x
1
x
1
x
1
nx
n321
H
+++
=
++++
= 
4,6
5
32
15
244
24
15
4
24
2
24
3
24
4
24
6
4
==×==
+++
= 
Resp: A média harmônica é Hx = 6,4. 
Exemplo 2.: Calcular a média harmônica dos valores da tabela abaixo: 
classes ....fi.... ....xi.... ........1/xi........ 
1 |--------- 3 1 2 1/2 
3 |--------- 5 2 4 1/4 
5 |--------- 7 4 6 1/6 
7 |--------- 9 2 8 1/8 
 9 |--------- 11 1 10 1/10 
total 10 - - 
 
Resumo Estatística 
 56
 
Solução: 
Calculando os pontos médios das classes e substituindo na fórmula: 
10
1
8
1
8
1
6
1
6
1
6
1
6
1
4
1
4
1
2
1
10
x
1...
x
1
x
1
x
1
nx
n321
H
+++++++++
=
++++
= 
242
1200
242
12010
120
242
10
120
12
120
30
120
80
120
60
120
60
10
10
1
8
2
6
4
4
2
2
1
10xH =×==
++++
=
++++
= 
Resp: A média harmônica é Hx = 10 . 120/242 = 4,96. 
 
OBS: I) A média harmônica não aceita valores iguais a zero como dados de uma série. 
II) A igualdade HG xx x == só ocorrerá quando todos os valores da série forem iguais. 
III) Quando os valores da variável não forem muito diferentes, verifica-se 
aproximadamente a seguinte relação: 
2
x x
x HG
+
= 
Ex. Verificando a relação acima com os seguintes dados: z = {10,1; 10,1; 10,2; 10,4; 10,5} 
Média aritmética = 51,3 / 5 = 10,2600 
Média geométrica = 10,2587 
Média harmônica = 5 / 0,4874508 = 10,2574 
Comprovando a relação: 10,2600 + 10,2574 / 2 = 10,2587 = média geométrica 
 
APLICAÇÃO: Um veículo de carga de uma transportadora realizou o trajeto de ida e volta 
entre as cidades A e B. Na ida ele desenvolveu uma velocidade média de 40 km/h, na 
volta a velocidade média desenvolvida foi de 60 km/h. Qual a velocidade média para 
realizar todo o percurso de ida e volta? 
 
Solução: 
Calculando a velocidade média de ida e volta usando média harmônica: 
n =2 , x1=40 e x2=60 
48
5
240
5
1202
120
5
2
120
2
120
3
2
60
1
40
1
2x H ==×==
+
=
+
= 
Portanto a velocidade média de ida e volta é 48 km/h. 
 
 
Resumo Estatística 
 57
Obs. Isto pode ser verificado considerando-se que a distância entre as cidades A e B seja 
de 120 km. Portanto o tempo gasto na ida seria de 3 horas (120/40, que é a distância 
entre as cidades dividida pela velocidade média da ida). Analogamente na volta o tempo 
gasto seria de 2 horas. Então para realizar o percurso total de 240 km/h se gastaria 5 h, 
donde concluímos que a velocidade média foi de 240/(3+5) = 48 km/h: 
 
 
Exercícios 
 
1) Calcule a média geométrica para as séries: 
a) X: 1, 2, 4, 7, 16. 
b) Y: 81, 26, 10, 3, 1. 
 
2) Calcule a média harmônica das séries: 
a) X: 2, 4, 7. 
b) Y: 5, 10, 15, 20. 
 
3) Em uma grande capital, um ônibus faz o percurso de 180 km (da região norte até a 
região sul) com uma velocidade média de 90 km/h, e volta fazendo o mesmo caminho, 
mas a uma velocidade média de 60 km/h. Qual é a velocidade média de todo o percurso? 
De acordo com os dados, temos: 
 
4) Considerar três aumentos sucessivos de salário: de 15% no primeiro mês, 12% no 
segundo mês e 21% no terceiro mês. Determinar a média desses aumentos. [Sugestão 
as taxas percentuais devem ser transformadas em taxa unitárias] 
 
5) Se um investimento rende 5% no primeiro mês, 3% no segundo mês e 7% no terceiro 
mês, qual o rendimento médio desse investimento? 
 
 
Respostas 
 
1) a) 3,8946 b) 9,1225 
 
2) a) 3,36 b) 9,6 
 
Resumo Estatística 
 58
 
3) 
 
 
4) (1,15 .1,12 .1,21)1/3 = 1,1595 15,95% 
 
5) 
 
 
3.3. MODA (Mo) 
 
Moda é o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores. 
• Desse modo, o salário modal dos empregados de uma fábrica é o salário mais 
comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa fábrica. 
 
 
A MODA QUANDO DE DADOS NÃO-AGRUPADOS 
 
• A moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com definição, procurar o valor 
que mais se repete. 
Exemplo: Na série {7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12} a moda é igual a 10. 
 
• Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça 
mais vezes que outros. 
Exemplo: { 3 , 5 , 8 , 10 , 12 } não apresenta moda. A série é amodal. 
 
• Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, 
então, que a série tem dois ou mais valores modais. 
Exemplo: {2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9} apresenta duas modas: 4 e 7. A série é 
bimodal. 
 
.Obs: A moda é utilizada quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de 
posição ou quando a medida de posição deva ser o valor mais típico da 
 
Resumo Estatística 
 59
distribuição. Já a média aritmética é a medida de posição que possui a maior 
estabilidade. 
 
 
A MODA QUANDO DE DADOS AGRUPADOS 
 
A) Sem intervalos de classe: Uma vez agrupados os dados, é possível determinar 
imediatamente a moda: basta fixar o valor da variável de maior freqüência. 
 
 
Exemplo: Qual a temperatura mais comum medida no mês abaixo: 
Temperaturas Freqüência 
0º C 3 
1º C 9 
2º C 12 
3º C 6 
Resp: 2º C é a temperatura modal, pois é a de maior freqüência. 
. 
 
B) Com intervalos de classe: A classe que apresenta a maior freqüência é 
denominada classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda, neste caso, é o 
valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal. 
 
 
Exemplo: Calcule a estatura modal conforme a tabela abaixo. 
 
A distribuição das estaturas de um grupo de crianças 
Estatura (cm) Freqüência 
54 |------------ 58 9 
58 |------------ 62 11 
62 |------------ 66 8 
66 |------------ 70 5 
. 
 
Resumo Estatística 
 60
Método mais elaborado para encontrar a moda, de uma distribuição de frequência 
com intervalos de classes, é a fórmula de CZUBER: h . L M
21
1
inf o 





∆+∆
∆
+=
, onde
 
Linf = limite inferior da classe modal 
∆1 = freqüência da classe modal - freqüência da classe anterior à da classe modal 
∆2 = freqüência da classe modal - freqüência da classe posterior à da classe modal 
h = amplitude da classe modal 
 
• Primeiro precisamos encontra a classe que tem maior frequência (classe modal) da 
distribuição. Na tabela acima a classe modal é: 58 |---- 62. 
 
• A seguir encontrar os dados da fórmula, tomando como referencia a classe modal. 
Linf = 58 (limite inferior da classe modal 58 |---- 62) 
∆1 = FModal – Fanterior = 11 – 9 = 2 
∆2 = FModal – Fposterior = 11 – 8 = 3 
h = LSuperior – Linferior = 62 – 58 = 4 
Substituindo na fórmula: 
 
5
295
5
8 58 4 .
32
2 58 h . L M
21
1
inf o =+=





+
+=





∆+∆
∆
+= Mo = 59,6 cm 
A estatura modal da distribuição acima é Mo = 59,6 cm. 
 
Resumo Estatística 
 61
Exercícios 
1) Tempo, em minutos, de espera em uma fila de ônibus, durante 13 dias, de um cidadão 
que se dirige diariamente ao seu emprego: 
15 10 2 17 6 8 8 10 9 9 5 9 11 
Qual é a média e moda do tempo, em minutos? 
 
2) Consideremos a distribuição relativa ao número de filhos de 34