ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA

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ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA CÁLCULO VETORIAL 
Aluno: Jose Andrevalter de Souza 
Matrícula: 01433498 
Curso: Engenharia Civil 
Prof: Karla Adriana Barbosa Mendes 
 
 Observando o trajeto de uma partícula em um campo vetorial conservativo 
 F1(x,y,z) = -1/2xi -1/2yj +1/4k ou F2(x,y,z) = xi + 2xj +zk de determinado maquinário que 
deve ter seu funcionamento de forma perfeita, sabendo que a trajetória concluída pela 
partícula é dada pela curva parametrizada em um espaço r(t) = cos(t)i + sen(t)j + tk sendo 
que a mesma se move do ponto A(1,0,0) até o ponto B(-1,0,4𝜋). Todo processo concluído 
pela partícula encontra-se na imagem abaixo. 
 
O objetivo é: 
 
1- Determine o trabalho que a partícula realiza ao longo do seu deslocamento em um 
determinado campo F? 
 
Para a solução tem-se a integral de linha de trabalho 
W = ∫ 𝐹. 𝑑𝑟 =
𝑐 
∫ 𝐹(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)). 𝑟′(t)dt
𝑏
𝑎
 
 
Os valores calculados do campo F com parâmetros (x(t), y(t), z(t) com o vetor tangente r’(t) 
definido o r(t) encontramos: 
 
r(t) = cos(t)i + sem(t)j + tk = x(t)i + y(t)j + z(t)k 
 
Conclui-se também o campo F em função de parâmetros 
 
 
 
F(x(t), y(t), z(t)) = -1/2cos(t)i, -1/2sen(t)j, + 1/4k 
 
Cálculo de r’(t): 
 
r(t) = cos(t)I + sen(t)j + tk → r’(t) = ∂cos(t)i + ∂sen(t)j +∂tk= ᶩ 
 ∂t ∂t ∂t 
 
 r ‘(t) = - sen(t)I + cos(t)j + tk 
 
Com o resultado do vetor tangente r ‘(t), busca-se definir a integral linha : 
 
W = ∫ 𝐹. 𝑑𝑟 =
𝑐 
∫ 𝐹(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)). 𝑟′(t)dt
𝑏
𝑎
 = ᶩ 
∫
𝑎
𝑏 
(-1/2(cos(t))I – 1/2(sen(t))j + 1/4k) . ᶩ (-sen(t)i + cos(t)j + tk)dt = ᶩ ᶩ 
∫
4𝜋
0
(-1/2(cos(t))I – 1/2(sen(t))j + 1/4k) . ᶩ (-sen(t)i + cos(t)j + tk)dt = ᶩ ᶩ 
∫
4𝜋
0
ᶩ ᶩ 
∫
4𝜋
0
(1/4)tl 4𝜋 = 4𝜋 
 0 0 
 
O percurso realizado pela partícula é posto pela integral escalar até seu vetor tangente usando 
um caminho nos limites da variável (t) e terá um resultado de forma a ser sempre escalar. 
 
2- Diante do pressuposto levantado pelo colega de trabalho, a dispor da relevância em 
apontar os aspectos a ser discutidos em uma suposta alteração ou não no 
trajeto da partícula entre os pontos A e B realizados pela mesma observa-se que: Por 
questão de operação ideal da máquina seu campo tende a ser conservativo, o trabalho 
independe do percurso ficando dependente porém do ponto inicial e final do caminho 
exercido pela partícula. Pelo campo gradiente observamos. 
 
∇f(x,y,z) = F(x, y, z) 
 
∇f(x, y, z) = ( 
 ∂f +∂f + ∂f 
∂x ∂y ∂z 
) = (-1/2x, -1/2y,+- 1/4z) 
 
Observa-se que não há alteração no trabalho realizado pela partícula logo não encontra-
se diferença de potencial no campo independente do trajeto percorrido entre os pontos, 
concluindo assim que o campo F seja conservativo. 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS 
 
https://www.youtube.com/watch?v=03LtadQMG7c 
 
J. Stewart. Cálculo, Volume 2, 6a Edição, São Paulo, Pioneira/ Thomson Learning. 
 
https://www.youtube.com/watch?v=-JOb4akerSc 
https://www.youtube.com/watch?v=03LtadQMG7c
https://www.youtube.com/watch?v=-JOb4akerSc