AP1-MD2-2022-2 - GABARITO

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
GABARITO – AP1 – Métodos Determinísticos II – 2/2022
Código da disciplina EAD06077
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 1 E 2.
Para cada par de funções reais abaixo, determine f ◦ g e g ◦ f . Encontre também os domínios de f ◦ g e de
g ◦ f .
Questão 1 [1,0 pto] f (x) = ln(x) e g (x) =px
Solução: Sendo f (x) = ln(x) e g (x) =px, temos que
( f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f (px) = ln(px), donde Dom( f ◦ g ) =]0,+∞).
E também,
(g ◦ f )(x) = g ( f (x)) = g (l n(x)) =
√
ln(x), donde Dom(g ◦ f ) = [1,+∞), pois ln(x)> 0 ⇔ x > 1.
Questão 2 [1,0 pto] f (x) = 1
x
e g (x) = 3px
Solução: Sendo f (x) = 1
x
e g (x) = 3px, temos que
( f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f ( 3px) = 1
3
p
x
, donde Dom( f ◦ g ) =R− {0} .
E também,
(g ◦ f )(x) = g ( f (x)) = g
(
1
x
)
= 3
√
1
x
= 1
3
p
x
, donde novamente temos que Dom(g ◦ f ) =R− {0} .
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 3 E 4.
O lucro (ou prejuízo) médio por unidade de produto fabricada por uma indústria, em reais, é dado aproxi-
madamente pela função L(x) = 3− 10000
x
, onde x representa a quantidade de produto produzida.
Questão 3 [1,0 pto] Calcule o valor de L(2) e interprete o resultado obtido.
Solução: Observe que L(2) = 3− 10000
2
= 3−5000 =−4997.
Isso indica que, ao produzir duas unidades do produto, a empresa terá um prejuízo médio de R$4.997,00
por item, possivelmente pelo custo do maquinário, que só fornece algum lucro se for usado para fabricar
em grande quantidade de itens.
Questão 4 [1,0 pto] Calcule lim
x→+∞L(x) e interprete o resultado.
Solução: Temos que lim
x→+∞L(x) = limx→+∞3−
10000
x
= 3, pois lim
x→+∞
10000
x
= 0.
Portanto, o lucro médio por unidade tende a estabilizar no valor de R$ 3,00 por unidade para grandes quan-
tidades de produto fabricadas.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 5 E 6.
Considere a função f (x) = −5−2x
x2 +5x +6 e faça as questões 5 e 6, apresentando todos os cálculos efetuados.
Questão 5 [2,0 pts] Determine as assíntotas verticais do gráfico da função f .
Solução: Note que Dom( f )=R− {−3,−2}, pois x2 +5x +6 = (x +3)(x +2) 6= 0 ⇔ x 6= −3 e x 6= −2.
Logo, as retas x = −3 e x = −2 são candidatas a assíntotas verticais do gráfico da função f . Para compro-
var isso, precisaremos calcular os seguintes limites: lim
x→−3+
f (x), lim
x→−3− f (x), limx→−2+
f (x) e lim
x→−2− f (x). Dessa
forma,
lim
x→−3+
f (x) = lim
x→−3+
−5−2x
x2 +5x +6 = limx→−3+
↗1︷ ︸︸ ︷
−5−2x
(x +2)︸ ︷︷ ︸
↘−1
(x +3)︸ ︷︷ ︸
↘0+
=−∞;
lim
x→−3− f (x) = limx→−3−
−5−2x
x2 +5x +6 = limx→−3−
↗1︷ ︸︸ ︷
−5−2x
(x +2)︸ ︷︷ ︸
↘−1
(x +3)︸ ︷︷ ︸
↘0−
=+∞;
lim
x→−2+
f (x) = lim
x→−2+
−5−2x
x2 +5x +6 = limx→−2+
↗−1︷ ︸︸ ︷
−5−2x
(x +2)︸ ︷︷ ︸
↘0+
(x +3)︸ ︷︷ ︸
↘1
=−∞;
lim
x→−2− f (x) = limx→−2−
−5−2x
x2 +5x +6 = limx→−2−
↗−1︷ ︸︸ ︷
−5−2x
(x +2)︸ ︷︷ ︸
↘0−
(x +3)︸ ︷︷ ︸
↘1
=+∞.
Portanto, as retas x =−3 e x =−2 são assíntotas verticais do gráfico de f .
Questão 6 [1,0 pt] Determine as assíntotas horizontais do gráfico da função f .
Solução: Para verificar se o gráfico de f possui assíntotas horizontais, devemos calcular os limites lim
x→+∞ f (x)
e lim
x→−∞ f (x). Assim,
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
−5−2x
x2 +5x +6 = limx→+∞
x2
(−5
x2
− 2
x
)
x2
(
1+ 5
x
+ 6
x2
) = lim
x→+∞
−5
x2
− 2
x
1+ 5
x
+ 6
x2
= 0.
Analogamente, obtemos que lim
x→−∞ f (x) = 0.
Portanto, a reta y = 0 (eixo OX) é a única assíntota horizontal do gráfico de f .
2
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 7 A 9.
Calcule os limites abaixo, caso existam, apresentando todos os cálculos desenvolvidos. Caso algum limite
abaixo não exista, explique o porquê.
Questão 7 [1,0 pto] lim
x→7
|x −7|
x −7 +7
Solução: Note que
|x −7|
x −7 =
{
1, se x > 7
−1, se x < 7 .
Portanto,
lim
x→7+
|x −7|
x −7 +7 = 1+7 = 8 e limx→7−
|x −7|
x −7 +7 =−1+7 = 6.
Dessa forma, como os limites laterais calculados acima são distintos, concluímos que lim
x→7
|x −7|
x −7 + 7 não
existe.
Questão 8 [1,0 pto] lim
x→+∞
ex + 2x
7ex + 5x
Solução: lim
x→+∞
ex + 2x
7ex + 5x
= lim
x→+∞
ex
(
1+ 2xex
)
ex
(
7+ 5xex
) = lim
x→+∞
1+ 2xex
7+ 5xex
= 1
7
.
Questão 9 [1,0 pto] lim
x→0
p
x2 +9−px +9
5x
Solução: lim
x→0
p
x2 +9−px +9
5x
= lim
x→0
p
x2 +9−px +9
5x
× (
p
x2 +9+px +9)
(
p
x2 +9+px +9)
= lim
x→0
x2 +9− (x +9)
5x(
p
x2 +9+px +9)
= lim
x→0
x2 −x
5x(
p
x2 +9+px +9)
= lim
x→0
x(x −1)
5x(
p
x2 +9+px +9)
= lim
x→0
x −1
5(
p
x2 +9+px +9)
= −1
5× (3+3) =−
1
30
.
3