5 4_Teorema_Fundamental_do_Clculo

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Universidade Federal Rural do Semi-Árido – UFERSA
Centro Multidisciplinar de Pau dos Ferros – CMPF 
Departamento de Ciências Exatas e Naturais – DECEN 
CÁLCULO II
Paulo Henrique das Chagas Silva
2022
Teorema Fundamental do Cálculo
Teorema do valor médio para integrais definidas: Se f for contínua em [a, b], então em algum ponto c em [a, b]
𝑓 𝑐 =
1
𝑏 − 𝑎
.න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
(THOMAS et al., 2012, p. 313)
min𝑓. (𝑏 − 𝑎) ≤ න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ max𝑓 . (𝑏 − 𝑎)
Prova: Da desigualdade max – min, temos: 
⇒ min𝑓 ≤
1
𝑏 − 𝑎
.න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ max 𝑓
Como f é contínua, ela deve assumir todos os valores
entre min f e max f (teorema do valor intermediário).
(THOMAS et al., 2012, p. 94)
Deve, portanto, assumir o valor 
1
𝑏−𝑎
. 𝑎׬
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 em 
algum ponto c em [a, b].
Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1: Se f é contínua em [a, b], então 𝐹 𝑥 = 𝑎׬
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 é contínua em [a, b] e
derivável em (a, b), e sua derivada é f(x):
𝐹′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
.න
𝑎
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥)
(THOMAS et al., 2012, p. 314)
(THOMAS et al., 2012, p. 314)
Demonstração:
Aplicando a definição de derivada à F(x), quando x e x + h estão em (a, b):
𝐹′ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝐹 𝑥 + ℎ − 𝐹(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
1
ℎ
. 𝐹 𝑥 + ℎ − 𝐹(𝑥)
= lim
ℎ→0
1
ℎ
. න
𝑎
𝑥+ℎ
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 − න
𝑎
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
= lim
ℎ→0
1
ℎ
. න
𝑎
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 + න
𝑥
𝑥+ℎ
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 − න
𝑎
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
= lim
ℎ→0
1
ℎ
.න
𝑥
𝑥+ℎ
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 (pelo TVM)
= lim
ℎ→0
𝑓(𝑐) (com 𝑐 ∈ [𝑥, 𝑥 + ℎ])
Portanto,
𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥)
Isso também é válido quando x = a ou x = b
Exemplos: Determine 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
.
45. 𝑦 = න
0
𝑥
1 + 𝑡2 𝑑𝑡 Resposta: 1 + 𝑥2
47. 𝑦 = න
𝑥
0
𝑠𝑒𝑛 𝑡2 𝑑𝑡 Resposta: −
𝑠𝑒𝑛 𝑥
2 𝑥
Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2: Se f é contínua em qualquer ponto de [a, b] e se F é qualquer primitiva
de f em [a, b] então
න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
Demonstração:
Pela parte 1, existe 𝐺 𝑥 = 𝑎׬
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡, que é uma primitiva de f.
Definimos F(x) = G(x) + C como qualquer primitiva de f (com c cte e 𝑎 < 𝑥 < 𝑏)
Como F(x) e G(x) são contínuas em [a, b], F(x) = G(x) + C também se aplica quando x = a ou x = b. 
Então:
𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 = 𝐺 𝑏 + 𝐶 − [𝐺 𝑎 + 𝐶] = 𝐺(𝑏) − 𝐺 𝑎 = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 − න
𝑎
𝑎
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
Notação: ]𝐹(𝑥) 𝑎
𝑏
Exemplos: Calcule as seguintes integrais.
1.න
−2
0
2𝑥 + 5 𝑑𝑥 Resposta: 6
15.න
0
ൗ𝜋 4
𝑡𝑔2𝑥 𝑑𝑥 Resposta: 1 −
𝜋
4
23. න
1
2 𝑠2 + 𝑠
𝑠2
𝑑𝑠 Resposta: 2 −
4
8 + 1
27. න
−4
4
𝑥 𝑑𝑥 Resposta: 16
29. න
0
ln 2
𝑒3𝑥 𝑑𝑥 Resposta:
7
3
Determine a área da região sombreada.
Resposta: 𝜋
REFERÊNCIAS
THOMAS, G. B.; HASS, J.; WEIR, M. D. Cálculo. 12.ed. São Paulo: Pearson, 2012. 634 p. v.1.