Juros Compstos

Prévia do material em texto

Matemática Financeira 
Messala Reis
Juros compostos
No regime de capitalização composta, ou regime de juros compostos, o cálculo dos
juros ocorre sempre de forma cumulativa, ou seja, os juros gerados em cada período
são incorporados ao capital formando o montante (capital mais juros) do período.
Este montante passará a render juros no período seguinte formando um novo
montante.
Para visualizarmos como se dá a capitalização nos juros compostos, vamos ver um
exemplo:
Juros compostos
Uma pessoa aplicou a quantia de R$ 100 no Banco do Futuro, pelo prazo de 3 meses, 
com uma taxa de 10 % ao mês, no regime de juros compostos. Determinar o saldo 
final acumulado nesta aplicação.
Demonstraremos a resolução do exercício passo a passo:
Este cálculo também pode ser resolvido da 
seguinte maneira: 
1.000 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) = 133,10
Observe que o valor inicial de R$ 100,00 foi 
multiplicado pelo fator três vezes 
Juros compostos
Como vimos no exemplo anterior, podemos escrever uma fórmula para calcular os 
juros compostos: 
𝑀 = 𝑐(1 + 𝑖)𝑛
M=montante
C=capital
i=taxa
N=tempo
Juros compostos
Exemplo:
Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 78.000, pelo prazo de 7 
meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3 % ao mês.
Juros compostos
Exemplo:
Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 78.000, pelo prazo de 7 
meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3 % ao mês.
Resolução: Primeiro calcularemos o valor futuro (FV) para depois encontrarmos os 
juros
C= $ 78.000
n = 7 meses
i = 3 % a.m. = 3/100 = 0,03
M =?
J = ?
𝑀 = 𝑐(1 + 𝑖)𝑛
𝑀 = 78000(1 + 0,03)7
𝑀 = 78000(1,03)7
𝑀 = 78000(1,229874)
𝑀 =95.930,16
J=M-C
J=95930,16-78000
J=17.930,16
Taxas equivalentes
As taxas de juros se dizem equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de
tempo, produzem os mesmos juros.
No regime de juros simples vimos que 1 % ao mês é proporcional a 12 % ao ano. Isto quer dizer que, se
aplicarmos um capital durante 12 meses a uma taxa de 1 % ao mês, é equivalente a aplicarmos o mesmo
capital, durante o mesmo período só que a 12% ao ano, ou seja, no final obteremos o mesmo montante.
Já em juros compostos não podemos fazer este tipo de transformação, pois os juros são calculados de
forma exponencial. Veja o exemplo a seguir:
Taxas equivalentes
Calcular os montantes acumulados no final de 1 ano, a partir de um capital inicial de R$
100,00, no regime de juros compostos, com as seguintes taxas de juros:
a)1 % ao mês
b)12,6825 % ao ano
Taxas equivalentes
Calcular os montantes acumulados no final de 1 ano, a partir de um capital inicial de R$
100,00, no regime de juros compostos, com as seguintes taxas de juros:
a)1 % ao mês
b)12,6825 % ao ano
Taxas equivalentes
Mas como fazer essa transformação? Como encontrar a taxa equivalente anual de uma 
taxa mensal no regime de juros compostos?
Consideraremos as duas situações do exemplo anterior:
Taxa mensal = 1% ao mês
FV = PV x (1+𝑖𝑚)
12
(1+𝑖𝑚)
12= (1+𝑖𝑎)
1
Taxa anual = ?
FV = PV x(1+𝑖𝑎)
1
Taxas equivalentes
Agora calcularemos a taxa anual (ia) equivalente a uma taxa mensal (im) de 1% ao 
mês:
Taxas equivalentes
Agora calcularemos a taxa anual (ia) equivalente a uma taxa mensal (im) de 1% ao 
mês: