JUROS COMPOSTOS - Matemática Financeira

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JUROS COMPOSTOS
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
	Taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior.
	Na capitalização composta surge a questão do “juros sobre juros”. Efeito “bola de neve”
Variáveis:
 * VP = valor presente ou Capital
 * VF = valor futuro ou Montante
 * n = prazo
 * i = taxa de juros
 * J = juros
REPRESENTAÇÃO DO FLUXO DE CAIXA
VP = 100		n = 5 meses	i = 3% ao mês
VF = ?
FÓRMULAS
APLICAÇÕES PRÁTICAS
Para fazer os exercícios, é necessário seguir 3 passos:
Identifique as variáveis;
Verifique se i e n estão na mesma unidade de tempo;
Resolva a equação
Observação:
	O cálculo do montante poderá ser calculado de três maneiras:
Utilizando logaritmos decimais;
Recorrendo à tabela que determina ;
Utilizando uma calculadora eletrônica que possua tecla exponencial.
EXEMPLOS
1) Uma pessoa investiu dinheiro a juros compostos, aplicando R$ 2.000,00 hoje, a uma taxa de 1% ao mês, durante 15 meses. Quanto receberá de juros?
2) Após 2 anos, retirei R$ 5.000,00 de uma aplicação. Pergunta-se: qual foi o valor aplicado, sabendo-se que a taxa de juros foi de 1,5% ao mês?
Variáveis: VP = ?; i = 1,5 % a.m.; n = 2 anos; VF = 5000
3) Qual a taxa de juros mensal de um VP = 1.500 e VF = 1650, sabendo que o período é de 11 meses?
Propriedades de Logaritmos
 
 (Produto)
 (quociente)
(Se 
4) Em quantos meses um empréstimo de R$ 30.000,00 será quitado, em um único pagamento de R$ 51.310,18, sendo a taxa de juros de 5% ao mês?
n
5) Qual o montante que um capital inicial de R$ 8000,00 pode produzir, aplicado do dia 3 de março a 16 de julho, à taxa de 3% ao mês de juros compostos?
S: M ≅ 9138,00
6) Um capital de R$ 7500,00 aplicado durante 5 meses produziu um montante de R$ 9500,00. Qual foi a taxa mensal aplicada?
S: i ≅ 0,05 = 5% ao mês
Observação: 
Em juros compostos o valor presente (capital) não se refere necessariamente a um valor expresso no momento zero, mas pode ser apurado em qualquer data focal anterior à do valor futuro (montante).
Exemplo 1: Pode-se desejar calcular quanto será pago por um empréstimo de R$ 20.000,00 vencível de hoje a 14 meses ao se antecipar por 5 meses a data de seu pagamento. Sabe-se que o credor está disposto a atualizar a dívida à taxa composta de 2,5% ao mês. 
			PV = 
	
Exemplo 2: Suponhamos que uma pessoa tenha uma dívida de R$ 15000,00 que vence daqui a 1 mês e outra de R$ 16000,00 para daqui a 2 meses. Suponhamos ainda que ela consiga aplicar seu dinheiro a juros compostos, à taxa de 2% ao mês. Quanto essa pessoa deverá aplicar hoje àquela taxa para ter dinheiro suficiente para pagar a dívida?
S: R$ 30084,58
Importante:
As expressões de cálculo VP ou VF permitem capitalizações e atualizações envolvendo diversos valores e não somente um único capital ou montante.
Exemplo: Admita um empréstimo que envolve os seguintes pagamentos: R$ 15.000,00 de hoje a 2 meses; R$ 40.000,00 de hoje a 5 meses; R$ 50.000,00 de hoje a 6 meses e R$ 70.000,00 de hoje a 8 meses.
O devedor deseja apurar o valor presente (na data zero) destes fluxos de pagamento, pois está negociando com o banco liquidação imediata de toda a sua dívida. A taxa de juros considerada é de 3% ao mês.
 
Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas sobre um mesmo capital, durante o mesmo período de tempo, resultam no mesmo montante.
- Fórmula da taxa equivalente composta:
 
q = número de períodos da capitalização
TAXAS EQUIVALENTES
Exemplos:
A taxa equivalente composta mensal de 10,3826% ao semestre é:
Assim, um rendimento de 1,66% ao mês é equivalente a 10,3826% ao semestre.
Exemplos:
2. A taxa equivalente composta ao semestre de 1,66% ao mês é de:
Assim, um rendimento de 10,3826% ao semestre é equivalente a 1,66% ao mês.
Exemplos:
3. Um certo banco divulga que a rentabilidade oferecida por uma aplicação financeira é de 12% ao semestre (ou 2% ao mês). Na capitalização composta essas taxas são equivalentes?
	Desta maneira, uma aplicação de R$ 10.000,00 à uma taxa de 12% ao semestre produz, o montante de 
R$ 11.200,00().
E o mesmo valor aplicado a uma taxa de 2% ao mês durante 6 meses, produz o montante de 
R$ 11.262, 62 ().
Portanto, como essas taxas aplicadas sobre um mesmo capital, durante o mesmo período de tempo, resultam em montantes diferentes, elas não são equivalentes.
Exemplos:
Quais as taxas de juros compostos mensal e trimestral equivalentes a 25% ao ano?
Solução: 
25% a.a. é equivalente a 1,877% a.m.
25% a.a. é equivalente a 5,737 % a.t.
2. Quais as taxas de juros compostos bimestral e anual equivalentes a 9% ao mês?
Solução: 
9% a.m. é equivalente a 18,81% a.b.
9% a.m. é equivalente a 181,27% a.a.
		
3. Calcular o montante de uma aplicação financeira de R$ 80.000,00 admitindo-se os seguintes prazos:
 i = 9 % ao bimestre		
 n = 1 ano e 8 meses = 20 meses
Solução: 
M ≅ 189.389,10
Juros Compostos com taxa de juros variáveis
	Consideremos um capital C aplicado a juros compostos, durante n períodos de tempo, sendo a taxa no 1º período, a taxa no 2º período, a taxa no 3º período, e assim sucessivamente até a taxa no enésimo período.
	Para obtermos o montante final da aplicação, vamos calcular o montante em cada um dos períodos.
	Podemos concluir que o montante ao final do último período é dado por:
Exemplo: 
	Um investidor aplicou R$ 8000,00 num fundo de investimento por 3 meses. No 1º mês o fundo rendeu 1,2%, no 2º mês rendeu 1,7% e no 3º rendeu 1,5%. Qual o montante ao final do 3º mês?
Solução:
	M = 8000*(1,012)*(1,017)*(1,015)
	M = 8357,13
 e no
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Observação:
Relação entre Juros e Progressões
Num regime de capitalização a Juros Simples o saldo cresce em Progressão Aritmética (PA)
Num regime de capitalização a Juros Compostos o saldo cresce em Progressão Geométrica (PG).