ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA - CALCULO VETORIAL E EDO

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ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA
Nome Completo: Tatiana Ferreira de Souza Sales
Matrícula: 01343716
Curso: Engenharia Produção 
Na atividade contextualizada (av1 de Cálculo Vetorial e EDO), foi passado um exercício de acordo com o texto abordado:
O tratamento térmico das peças de um guindaste é muito importante. Ele evita que ocorram desgastes,corrosões e até mesmo que a estrutura do guindaste quebre com o passar do tempo. O guindaste é um tipo de equipamento que fica exposto a condições climáticas variadas,como o sol, calor, vento, chuva etc. Essa rotina juntamente com o esforço que esse equipamento sofre, pode causar o desgaste em sua carcaça e peças. Por isso, o tratamento térmico das peças do guindaste é tão importante, ele melhora a resistência do aço ao desgaste, corte/quebra e corrosão. Um dos processos é o de Normalização.
A normalização consiste no aquecimento das peças seguido de resfriamentoao ar,o que resulta em uma granulação mais refinada e uniforme.
Segundo a lei de Newton a velocidade de resfriamento de um corpo no ar é proporcional à diferença da temperatura T do corpo e a temperatura Ta do ambiente.
Mediante essas informações sobre a normalização e a segunda lei de Newton, resolva o seguinte problema:
Ao aquecer uma determinada peça de um guindaste,se a temperatura do ambiente é de 20°C e a temperatura do corpo cai em 20 minutos de 100 °C a60 °C, dentro de quanto tempo sua temperatura descerá para 30 °C?
·	Apresente a Equação Diferencial ordinária, que descreve a lei de resfriamento de Newton;
·	Apresente o desenvolvimento dos cálculos, para a determinação do tempo para que a temperatura decaia para 30°.
Resolução problema:
Para entendermos o conceito da Equação Diferencial ordinária, que descreve alei de resfriamento de Newton, abaixo segue como surgiu e curiosidades;
LEI DO RESFRIAMENTO DE NEWTON;
Newton, quanto tinha quase 60 anos, publicou anonimamente um artigointitulado "Scala Graduum Caloris", em 1701, em que descreve um método para medir temperaturas de até 1000◦C, algo impossível aos termômetros da época. O método estava baseado no que hoje é conhecido como a Lei do Resfriamento de Newton, em que a taxa de diminuição da temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperaturas entre o corpo e o ambiente (BARIVIERA et al., 2017).
Segundo Silva (2014), um corpo com temperatura T que não possui nenhuma fonte de calor em seu interior, quando deixado em um meio ambiente, tende a uma temperatura (Ta) do meio que o cerca. Desse modo, se a temperatura T do corpo é menor que a temperatura ambiente Ta, este corpo se aquecerá e, caso contrário,se resfriará.
Segundo a atividade proposta (A lei de Newton, a velocidade de resfriamentode um corpo no ar é proporcional à diferença da temperatura T do corpo e atemperatura Ta do ambiente. Se a temperatura do ambiente é de 20ºC e a temperatura do corpo cai em 20 minutos de 100 ºC a 60 ºC, dentro de quanto tempo sua temperatura descerá para 30 ºC?).
Para obter os seguintes resultados,se encontra abaixo todos os cálculos e fórmulas,usadas para realizar a seguinte questão:
Resolução:
A equação diferencial ordinária que descreve a lei de resfriamento de Newton é:
dT/dt = -k(T - Ta)
dT/dt é a taxa de variação da temperatura com o tempo (°C/min);
T é a temperatura do corpo (°C);
Ta é a temperatura ambiente (°C);
k é a constante de resfriamento (min^-1).
Para encontrar o tempo necessário para que a temperatura da peça do guindaste caia para 30ºC, precisamos resolver a equação diferencial acima, considerando que a temperatura inicial da peça é de 100ºC e que a temperatura ambiente é de 20ºC.
Primeiro, precisamos determinar a constante de resfriamento k. Para isso, podemos usar os dados fornecidos e a equação de resfriamento de Newton:
dT/dt = -k(T - Ta)
-20 = -k(100 - 20)
-20 = -k(80)
k = 20/80
k = 0,25 min^-1
Agora, podemos integrar a equação diferencial acima para encontrar a função que descreve a temperatura do corpo em função do tempo:
dT/dt = -0,25(T - 20)
dT/(T - 20) = -0,25 dt
Integrando ambos os lados da equação:
ln|T - 20| = -0,25 t + C
Aplicando as condições iniciais, temos:
ln|100 - 20| = C
C = ln(80)
Portanto, a equação que descreve a temperatura do corpo em função do tempo é:
ln|T - 20| = -0,25 t + ln(80)
T - 20 = e^(-0,25 t + ln(80))
T = e^(-0,25 t + ln(80)) + 20
Agora podemos substituir T por 30 e resolver para t:
30 = e^(-0,25 t + ln(80)) + 20
10 = e^(-0,25 t + ln(80)
ln(10) = -0,25 t + ln(80)
t = (ln(10) - ln(80)) / (-0,25)
t ≈ 37,33 minutos
Portanto, a temperatura da peça do guindaste levará cerca de 37,33 minutos para cair de 100ºC para 30ºC.
Fim