Flexão - Flambagem

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Resistência dos Materiais II
Aula 9: Flexão: Flambagem
INTRODUÇÃO
Esta aula apresenta a �ambagem, fenômeno de instabilidade ligado a elementos comprimidos. Como esse fenômeno
pode reduzir a capacidade de carga de compressão, torna-se fundamental seu estudo. Os elementos comprimidos
mais comuns são barras de treliça, estroncas e colunas (pilares).
Nesta aula, você vai conhecer o fenômeno e o modelo matemático que representa seu comportamento e permite que
sejam estimadas as de�exões, cargas e tensões críticas, fundamentais no projeto estrutural.
OBJETIVOS
Explicar o fenômeno da �ambagem em elementos comprimidos;
Aplicar o modelo matemático associado ao fenômeno da �ambagem;
Aplicar o modelo matemático para estimar cargas e tensões críticas de elementos comprimidos.
A �ambagem
É um fenômeno de instabilidade que se manifesta em elementos comprimidos e provoca deslocamentos laterais
acentuados que comprometem a segurança do elemento.
A esbeltez (glossário) do elemento é o fator que determina o risco de �ambagem de um elemento comprimido.
CARGA DE EULER OU CARGA CRÍTICA
Fonte da Imagem:
Estudos de Leonhard Euler (glossário), datados de 1757, levaram à determinação da chamada Carga de Euler ou Carga
Crítica, que é a intensidade de força de compressão máxima que um elemento pode suportar antes de entrar em
processo de �ambagem.
, Pensando apenas no domínio linear elástico, qualquer elemento pode sofrer �ambagem?, , A resposta é não. , , Mesmo sendo
possível se determinar a Carga Crítica, pode ser que ela seja elevada a ponto de ser superior à carga máxima resistida pelo
elemento no domínio linear elástico., , Portanto, dependendo da esbeltez do elemento, ele se torna mais ou menos suscetível à
�ambagem, como já foi dito.
Pegue uma régua comum, dessas de plástico com 30cm e aplique uma compressão com as mãos, uma em cada
extremidade. Inicie de forma a comprimir levemente e aumente a intensidade aos poucos. 
O que acontece?
Ela �amba em torno da direção mais frágil.
Fonte da Imagem:
Da mesma forma que a régua de plástico comum, uma coluna esbelta carregada axialmente (em eixo longitudinal)
também �amba em torno do eixo de menor inércia, no caso da �gura, em torno do eixo a-a.
CHEGOU A HORA DO MODELO MATEMÁTICO
Os estudos de Euler foram desenvolvidos para a chamada coluna ideal, ou seja, perfeitamente reta, composta por
material homogêneo, submetida à carga de compressão aplicada exatamente no centroide da seção transversal e
vinculada em suas extremidades por dois pinos que liberam a rotação. Sendo que o pino da base impede os
deslocamentos e o pino do topo apenas o deslocamento lateral.
CHEGOU A HORA DO MODELO MATEMÁTICO
Fonte da Imagem:
Os estudos de Euler foram desenvolvidos para a chamada coluna ideal, ou seja, perfeitamente reta, composta por
material homogêneo, submetida à carga de compressão aplicada exatamente no centroide da seção transversal e
vinculada em suas extremidades por dois pinos que liberam a rotação. Sendo que o pino da base impede os
deslocamentos e o pino do topo apenas o deslocamento lateral.
Admite-se, ainda, que a �ambagem ocorre em um único plano, compatível com a menor inércia do elemento.
Para determinar a Carga Crítica e a con�guração deformada do elemento quando �ambado, utiliza-se a expressão que
relaciona o momento �etor à forma de�etida.
O valor do momento pode ser avaliado pelo produto entre a força de compressão P e a de�exão lateral v.
,
, , Trata-se de uma equação diferencial linear homogênea de 2ª ordem, cuja solução geral é:, ,
, , Aplicando as condições de contorno:, , V é nulo em x=0 e em x=L, pois estão apoiados e não podem se deslocar., ,
, , Como C deve ser diferente de zero,, ,
, , deve ser múltiplo de π (rad) para que o valor do seno se anule., , Ou elevando os dois lados da expressão ao quadrado:, ,
, , Como de todos os valores possíveis para P, o que nos interessa é o menor, utilizaremos n=1, ou seja:, ,
, , Isso é chamada de Carga de Euler ou de Carga Crítica.
CARGA CRÍTICA EM FUNÇÃO DO RAIO DE GIRAÇÃO DA SEÇÃO
Alguns autores também expressam a Carga Crítica em função do raio de giração da seção, da seguinte forma:
1
Substituindo:
CARGA CRÍTICA EM FUNÇÃO DO RAIO DE GIRAÇÃO DA SEÇÃO
A esbeltez, já comentada no início da aula, é avaliada por uma grandeza adimensional, chamada índice de esbeltez, que
representa quantas vezes o comprimento livre da coluna ideal é maior do que o raio de giração da seção.
Portanto, quanto maior o índice de esbeltez, mais esbelto é o elemento.
Dessa forma, pode-se escrever que a Tensão Crítica vale:
É bom lembrar que o elemento que estamos analisando é birrotulado (coluna ideal) e que o comprimento L é a
distância entre os pinos.
E se o elemento não for �xado dessa forma?
Como a teoria só foi desenvolvida para a coluna dita ideal, teremos que improvisar. 
A ideia é criar, para cada elemento que não for birrotulado, um birrotulado equivalente que
irá representá-lo. 
Dessa forma, analisaremos o elemento original através do seu representante (“modelo”) em
forma de coluna ideal. 
Caso o nosso elemento seja engastado em uma extremidade e rotulado na outra, a
con�guração �etida será como na �gura. 
Consideraremos que o elemento será representado por um birrotulado equivalente, com
comprimento reduzido. 
Como o engaste impede a rotação, a con�guração deformada possui um ponto de in�exão
(mudança de curvatura, você deve lembrar das aulas de cálculo). 
Por conta disso, a ideia é criarmos uma representação birrotulada com comprimento que vai
do pino até o ponto de in�exão, trecho que possui con�guração deformada compatível com
a da coluna ideal. 
Essa aproximação possibilita o uso do modelo matemático desenvolvido para a coluna ideal
birrotulada no elemento engaste-apoio.
Mas onde �ca o ponto de in�exão?
Considera-se, de forma aproximada, que o ponto de in�exão �ca a 30% de L, contados a
partir do engaste. Portanto, nosso elemento será tratado como se fosse um elemento
birrotulado com comprimento de 70% do comprimento original.Esse raciocínio é estendido
para outros tipos de vínculo: 
Portanto, criando um modelo birrotulado equivalente através do ajuste do comprimento
(Le=kL), conseguimos aplicar a Teoria de Euler para colunas com todos os tipos de vínculos. 
Dessa forma: 
VAMOS PRATICAR UM POUCO?
Vamos analisar o caso de um coluna em aço A-36 (E=200GPa) com seção tubular circular com diâmetro externo de
75mm e parede de 6mm.
• Vamos considerar que a coluna está com a base engastada e o topo rotulado, e que possui um comprimento real L de
3,6m. 
• Vamos considerar que a coluna está com a base engastada e o topo rotulado, e que possui um comprimento real L de
3,6m. 
• Precisaremos determinar o momento de inércia da seção tubular circular.
Como a espessura da parede é 0,6cm, o diâmetro interno vale 6,3cm.
A tensão imposta pela Carga Crítica é de 𝜎 = 242,42/13 = 18,65 𝑘𝑁⁄ cm = 186,5 MPa
, O aço utilizado nessa coluna tem como Valor Limite de trabalho no domínio linear elástico (limite de proporcionalidade) a tensão
de 250Mpa. Portanto, na con�guração adotada para essa coluna, esta condição do material não seria atingida, pois a tensão
crítica obtida é de 186,5MPa. , , Temos aqui um exemplo de �ambagem elástica, que limita a capacidade de carga da coluna.
EXCENTRICIDADES DE CARGA E IMPERFEIÇÕES PREVIAMENTE
ADMITIDAS
As cargas em colunas nem sempre são impostas no centroide e, mesmo que sejam em projeto, a boa técnica
construtiva não consegue garantir com exatidão matemática a sua posição.
Outras questões construtivas também podem ser listadas, como a falta de
retilineidade perfeita do elemento e até mesmo a sua verticalidade perfeita
(prumo).
A precisão construtiva também depende do tipo de material. A construção em aço e concreto pré-moldado é mais
precisa do que a de concreto moldado no local, com suas formas montadas no local da obra. A precisão de um
elemento de aço também é maior do que o de uma peça de madeira, que pode, entre outros fatores, serafetada por
efeitos climáticos como a umidade, por exemplo.
Esses fatores levam as Normas Especí�cas de Projeto a adotarem critérios de projeto que consideram as imperfeições
da boa técnica construtiva e tratam dessas questões incluindo condições mínimas que devem ser obrigatoriamente
consideradas. Tudo isso será detalhado nas disciplinas especí�cas de projeto.
Em resistência dos materiais, temos que promover um modelo matemático que suporte essas ideias. Dessa forma,
vamos evoluir para a situação em que o momento que atua na coluna é proveniente de 2 fatores: uma excentricidade
inicial da carga e a excentricidade proveniente da deformação do elemento (2ª ordem).
2
COMO SURGIU ESSA EXPRESSÃO?
Com um pouquinho de matemática.
Vamos retornar à expressão que calcula a de�exão da coluna:
A solução da equação diferencial é:
Substituindo na equação, a 1ª parcela se anula, pois sen(0) é zero.
Como o cosseno de zero é 1:
Agora, vamos analisar a constante C1 com a condição de contorno que o outro apoio oferece (em x=L, v=0):
REARRUMANDO
Essa expressão pode ser simpli�cada com algumas substituições trigonométricas:
Como 1−cos𝜃=2sen (𝜃⁄2), então:
Como sen 𝜃=2 sen(𝜃⁄2) cos(𝜃⁄2), então:
2
SUBSTITUINDO
SIMPLIFICANDO
RETORNANDO
Retornando à equação original e substituindo a constante C :
PODEMOS MELHORAR ISSO?
Sim. Basta que a gente não se afaste de nossos objetivos.
O que nós estamos fazendo mesmo?
Queremos calcular o momento máximo associado à aplicação da carga excêntrica!
Como temos a expressão para determinar a de�exão da coluna com carga excêntrica (e), vamos determinar a de�exão
máxima que ocorre em L/2. 
1
AGORA SABEMOS COMO A EXPRESSÃO FOI CONSTRUÍDA!
Vamos prosseguir para determinar a Carga Crítica e a Tensão Crítica.
QUANDO OCORRE A DEFLEXÃO MÁXIMA?
Como o valor de e será conhecido (dado do problema), a de�exão máxima ocorrerá com a Carga Crítica.
Como é o comportamento da função secante?
Como a secante é a inversa da função cosseno, quando o cosseno tender a zero, a secante
irá para in�nito (1/0). Como o cosseno de 𝝅 /2 = 0, 𝐬𝐞𝐜 (𝝅⁄𝟐)=∞ . 
Dessa forma:
Mesmo resultado obtido anteriormente.
E a Tensão Crítica?
Rearrumando em função do raio de giração da seção da coluna: 
Onde: 
𝝈 : Tensão de compressão máxima que ocorre na coluna somados os efeitos da carga
normal e do momento; 
𝑷: Carga normal imposta à coluna, desde que seja inferior à P ; 
𝒆: Excentricidade de aplicação da carga P medida a partir do centroide da seção; 
𝒄: Distância medida do bordo da seção mais comprimida até o centroide da seção; 
𝑨: Área da seção transversa da coluna; 
𝑳:Comprimento livre da coluna birrotulada equivalente (Le) na direção analisada; 
𝑬: Módulo de elasticidade do material utilizado; 
𝒓: Raio de giração da seção transversal da coluna em relação ao eixo de �exão considerado.
FLAMBAGEM INELÁSTICA
A �ambagem inelástica é aquela que ocorre após a fase elástica. 
Vamos ter em mente, por exemplo, o diagrama tensão-deformação do aço.  
De uma maneira geral, colunas esbeltas (portanto, mais suscetíveis à �ambagem) atingem a Carga Crítica e �ambam
ainda na fase elástica.
max
cr
E QUANDO AS COLUNAS NÃO SÃO TÃO ESBELTAS?
Nesse caso, o valor da Carga Crítica aumenta, pois cresce o momento de inércia (I) e/ou diminui o comprimento (L).
Considerando cargas centradas, estaríamos comparando a tensão imposta por P à tensão que representa o limite de
proporcionalidade no diagrama “tensão x deformação”, que indica o �m da fase elástica.
No caso de um aço comum, estaríamos comparando a tensão imposta pela Carga Crítica à 250Mpa.
Se a tensão imposta pela Carga Crítica for inferior à 250Mpa, signi�ca que a �ambagem é elástica. Do contrário será
inelástica.
Essa curva é conhecida como a Hipérbole de Euler e representa a Tensão Crítica x Índice de Esbeltez e só é válida para
a fase elástica do material.
cr
Fonte da Imagem:
Essa curva é conhecida como a Hipérbole de Euler e representa a Tensão Crítica x Índice de Esbeltez e só é válida para
a fase elástica do material.
Se a coluna receber cargas cada vez maiores e conseguir ingressar no regime plástico sem �ambar, a Lei de Hooke não
pode mais ser aplicada e, por conta disso, o valor da Carga Crítica não é válido, pois o seu cálculo foi baseado no
comportamento do regime elástico.
A grande diferença é que o comportamento deixa de ser linear e o módulo de elasticidade passa a depender do nível de
tensão, podendo ser avaliado localmente pelo valor da inclinação da curva (tangente) no ponto de interesse.
, Nesses casos, são construídos diagramas de Carga Crítica versus Índice de Esbeltez para o material na fase plástica, onde
podemos veri�car o valor da Carga Crítica e o tipo de �ambagem para um dado material em função do índice de esbeltez do
elemento analisado.
Da mesma forma, o eixo horizontal representa o Índice de Esbeltez da coluna e o eixo vertical a Tensão Crítica.
A tensão correspondente ao limite de proporcionalidade (lp) divide as fases elásticas e inelásticas.
Indo da direita para a esquerda:
EXEMPLIFICANDO UM PROCESSO DE PLASTIFICAÇÃO
Da esquerda para a direita:
Imagine que estamos aumentando gradativamente os esforços na seção:
1 - Seção integralmente comprimida com diferentes níveis de tensão, todos abaixo da tensão de escoamento do
material (fy);
2 - A tensão máxima se iguala a fy;
3 - Como o material está no patamar de escoamento, ele continua a se deformar, mas a tensão não se altera
(plasti�cação da seção);
4 - Continua o processo de plasti�cação da seção (aumenta a deformação e a tensão não ultrapassa o limite de
escoamento);
5 - A seção se encontra integralmente plasti�cada com tensão constante igual à tensão de escoamento.
ATIVIDADES
1) Analise as barras AB e BD da treliça da �gura, considerando que: 
• Estão �xadas por pinos nas extremidades; 
• Possuem seção circular de 50mm de raio; 
• Aço com tensão de escoamento de 250Mpa e módulo de elasticidade de 200GPa. 
   Determine a Carga Crítica de �ambagem para as barras.
Resposta Correta
ATIVIDADES
2) Para a coluna de madeira da �gura, engastada no topo e na base, determine a carga máxima P que pode ser
aplicada, considerando escoamento e �ambagem. 
E=12 Gpa 
𝜎_𝑒=56𝑀𝑃𝑎
Resposta Correta
EXERCÍCIOS
1) Considere uma coluna de 9 metros de comprimento formada por 2 per�s U interligados conforme a �gura. Cada
per�l possui área de 1950mm e momentos de inércia Ix=21,6 . 10 e Iy=0,15 . 10 mm4, módulo de elasticidade de
200GPa e tensão de escoamento de 360Mpa. 
Desprezando a contribuição da interligação na resistência à �ambagem, determine a distância d, marcada na �gura, de
forma que a Carga Crítica de �ambagem seja a mesma nas duas direções.
2 6 6
104,9mm
209,8mm
206,8mm
103,4mm
155,2mm
Justi�cativa
2) Considere uma coluna de 9 metros de comprimento formada por 2 per�s U interligados conforme a �gura. 
Cada per�l possui área de 1950mm e momentos de inércia Ix=21,6 . 10 e Iy=0,15 . 106mm , módulo de elasticidade
de 200GPa e tensão de escoamento de 360Mpa. 
Desprezando a contribuição da interligação na resistência à �ambagem e que a distância d, marcada na �gura, é de
250mm, determine a Carga Crítica de �ambagem.
113,7kN
252,8kN
872,2kN
1052,8kN
1387,3kN
Justi�cativa
2 6 4
3) Para a estrutura da �gura, determine o fator de segurança à �ambagem para uma carga P de 20kN, considerando
que as barras estão conectadas por pinos e são de aço com módulo de elasticidade de 200GPa e tensão de
escoamento de 360Mpa.
1,85
2,08
3,00
3,95
2,22
Justi�cativa
Glossário
ESBELTEZ
A esbeltez é uma relação entre o comprimento do elemento e uma grandeza associada à seção do elemento, denominada raio de
giração, que já vimos nas primeiras aulas desta disciplina.
Uma peça esbelta possui um risco aumentado de �ambagem. Mais adiante veremos essa questão em detalhes.
LEONHARD EULER
Euler nasceu em Basiléia, na Suíça (1707), e desenvolveu profundos conhecimentos de matemática, medicina, astronomia eengenharia. Fez diversas descobertas importantes e in�uenciou tantas outras, principalmente na matemática. Escreveu mais de
500 livros e artigos.