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Revisar envio do teste: QUESTIONÁRIO UNIDADE IIIÁLGEBRA 6153-60_15402_R_E1_20221 CONTEÚDO
Usuário viviane.oliveira26 @aluno.unip.br
Curso ÁLGEBRA
Teste QUESTIONÁRIO UNIDADE III
Iniciado 28/03/22 16:21
Enviado 28/03/22 16:36
Status Completada
Resultado da tentativa 4 em 4 pontos  
Tempo decorrido 14 minutos
Resultados exibidos Todas as respostas, Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários, Perguntas respondidas incorretamente
Pergunta 1
Resposta Selecionada: a. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
Para veri�car se E = ℤ e a operação de�nida por x * y = x + y + xy é um grupo comutativo, foram veri�cadas as propriedades: associativa, elemento neutro, elemento
simetrizável e comutativa descritas a seguir: 
I. Como (x * y) * z = x * (y * z), dizemos 
que essa operação * é associativa. 
II. Como , dizemos que a operação * possui elemento neutro e este é 
III. Como x’ * x = x * x’ 
= 0, ∀x ∈ E, dizemos que a operação * possui todos os seus elementos simetrizáveis e, portanto, (E, *) é um grupo. 
IV. Como x * y = y * x, dizemos que a operação * é comutativa. Logo, (E, *) é um grupo comutativo. 
Conclui-se que:
Todas são verdadeiras.
Todas são verdadeiras.
Todas são falsas.
I, II e III são falsas.
UNIP EAD BIBLIOTECAS MURAL DO ALUNO TUTORIAIS LABORATÓRIOS
viviane.oliveira26 @aluno.unip.br 4
CONTEÚDOS ACADÊMICOS
0,4 em 0,4 pontos
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https://ava.ead.unip.br/webapps/portal/execute/tabs/tabAction?tab_tab_group_id=_25_1
https://ava.ead.unip.br/webapps/login/?action=logout
d. 
e. 
Comentário da
resposta:
I, II e III são verdadeiras.
I e IV são verdadeiras.
Resposta: A 
Comentário: para veri�car se (E, *) é um grupo comutativo ou abeliano, devemos checar as propriedades associativa, elemento neutro, elemento
simetrizável e comutativa. Então iniciaremos pela propriedade associativa: 
I. (Associativa) 
Devemos mostrar que (x * y) * z = x * (y * z). (x * y) * z = (x + y + xy) * z 
= (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z 
= x + y + xy + z + xz + yz + xyz 
Por outro lado, 
x * (y * z) = x * (y + z + yz) 
= x + (y + z + yz) + x(y + z + yz) 
= x + y + z + yz + xy + xz + xyz 
Como (x * y) * z = x * (y * z), dizemos 
que essa operação * é associativa. 
  
II. (Elemento neutro) 
Devemos determinar ℯ, de modo que veri�que as condições de: 
ℯ ∗ x = x = x ∗  ℯ; ∀x ∈ E.
Da outra igualdade, teremos:
Como e * x = x * e = x, ∀x ∈ E dizemos que a operação * possui elemento neutro, que a partir de agora será utilizado como e = 0. 
  
III. (Elemento simetrizável) 
Devemos determinar x’, de modo que veri�que as condições de x’ * x = x * x' = e; ∀x ∈ E
Note que nessa operação 𝑒 = 0, como calculado anteriormente.
x' * x = 0
x' + x + x'x = 0
x' + x'x = -x
x'(1 + x) = -x
x' = -x
1 + x
Da outra igualdade, teremos:
x * x' = 0
x + x' + xx' = 0
x' + xx' = -x
x'(1 + x) = -x
x' = -x
1 + x
Como x’ * x = x * x’ = 0, ∀x ∈ E, dizemos que a operação * possui todos os seus elementos simetrizáveis e, portanto, (E, *) é um grupo. 
Agora veremos se o grupo é também um grupo comutativo, para isso basta veri�car a propriedade comutativa. 
  
IV. (Comutativa) 
Devemos mostrar que x * y = y * x. De um lado da igualdade, temos: 
x * y = x + y + xy 
Por outro lado, 
y * x = y + x + yx = x + y + xy. Como x * y = y * x, dizemos que a operação * é comutativa. 
Logo, (E, *) é um grupo comutativo.
Pergunta 2
Resposta
Selecionada: c. 
Com base nas estruturas de grupo em relação à operação *, dizemos que:
Sendo E = ℕ (conjunto dos números naturais) e a operação de�nida por 
x * y = x + y (operação de adição),  não tem a estrutura de grupo, pois não satisfaz a propriedade de simetrizável.
0,4 em 0,4 pontos
Respostas: a.
b.
c. 
d.
e.
Comentário
da resposta:
Sendo E = {1,2,3} e a operação de�nida por x * y = mdc(x, y), satisfaz as propriedades de elemento neutro e a simetrizável, com isso dizemos que
essa não possui a estrutura de grupo.
Sendo E = {1,2,3} e a operação de�nida por x * y = mdc(x, y), não satisfaz as propriedades do elemento regular e a distributiva, com isso dizemos que
essa  possui a estrutura de grupo.
Sendo E = ℕ (conjunto dos números naturais) e a operação de�nida por 
x * y = x + y (operação de adição),  não tem a estrutura de grupo, pois não satisfaz a propriedade de simetrizável.
Sendo E = ℝ (conjunto dos números reais) e a operação de�nida por  satisfaz as propriedades associativa, elemento neutro e
simetrizável, com isso dizemos que ela não possui a estrutura de grupo.
Sendo E = ℝ (conjunto dos números reais) e a operação de�nida por  não satisfaz as propriedades associativa,
elemento neutro e simetrizável, com isso dizemos que ela possui a estrutura de grupo. 
Resposta: C 
Comentário: sendo E = ℕ (conjunto dos números naturais) e a operação de�nida por x * y = x + y (operação de adição), não tem a estrutura de
grupo. O conjunto dos números naturais, com a operação de adição, não tem a estrutura de grupo, pois não satisfaz 
a propriedade de simetrizável, observe que se tornarmos o número 2, não existe nenhum elemento oposto x’ dentro do próprio conjunto, de modo
que 2 + x = 0.
Pergunta 3
Resposta Selecionada:
b. 
Respostas:
a. 
Algumas aplicações preservam as operações, transformando, às vezes, as somas dos elementos do domínio na soma dos elementos do conjunto da imagem. Outras
vezes, transformam um produto de elementos do domínio no produto de elementos do conjunto imagem. Desta forma, a aplicação , dada por 
,  m  :
É um homomor�smo de em 
É um mor�smo de em 
0,4 em 0,4 pontos
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da
resposta:
É um homomor�smo de em 
Não é um homomor�smo de em 
Não é um mor�smo de em 
É um automor�smo de em 
Resposta: B 
Comentário: a aplicação dada por , é um homomor�smo de em Seja m e n 
Pergunta 4
Resposta Selecionada:
d. 
Respostas:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da resposta:
Considerando os grupos  e a função f de�nida por , f é um homomor�smo de grupos, pois:
Resposta: D
Comentário: 
0,4 em 0,4 pontos
Pergunta 5
Resposta Selecionada:
e. 
Respostas:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da
resposta:
Seja  dado por  , então f:
É um isomor�smo de 
É um automor�smo de 
É um endomor�smo de 
É um monomor�smo de 
É um epimor�smo de 
É um isomor�smo de 
Resposta: E 
Comentário: seja  ,  dado por , então f é um homomor�smo de 
Sejam x, y . A função é bijetora, então é um
isomor�smo.
Pergunta 6
Resposta Selecionada:
a. 
Com relação ao conceito de anel de uma estrutura algébrica é incorreto a�rmar que:
 não é um anel, com as operações usuais de adição e multiplicação de matrizes.
0,4 em 0,4 pontos
0,4 em 0,4 pontos
Respostas:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da
resposta:
 não é um anel, com as operações usuais de adição e multiplicação de matrizes.
  é um anel.
  é um anel.
  não é um anel.
  é um anel.
Resposta: A
Comentário: é um anel, com as
operações usuais de adição e multiplicação de matrizes, de�nidas por:
Pergunta 7
Resposta Selecionada:
b. 
Respostas:
a. 
b. 
No anel  das matrizes 2 por 2 com coe�cientes no anel dos inteiros, a matriz X =  é invertível , então X’ é igual a:
0,4 em 0,4 pontos
c. 
d. 
e. 
Comentário da resposta: Resposta: B 
Comentário: para encontrar a matriz inversa, basta fazer X.  X ′ = X ′ · X = I.
Pergunta 8
Resposta Selecionada: b. 
Respostas: a. 
b. 
c.d. 
e. 
A �gura 1 apresenta a tabela de operação de , em que aparecem apenas os restos das divisões de qualquer número inteiro por 4.
Figura 1
A linha em branco da �gura 1 deve ser preenchida com os seguintes números, respectivamente:
1, 2, 3 e 0.
0, 1, 2 e 3.
1, 2, 3 e 0.
2, 3, 1 e 0.
3, 2, 1 e 0.
2, 1, 0 e 3.
0,4 em 0,4 pontos
Comentário da resposta: Resposta: B 
Comentário: 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 2; 1 + 2 = 3 e 1 + 3 = 4 dividindo por 4 resta zero, portanto, marca zero no quadro.
Pergunta 9
Resposta Selecionada: e. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da resposta:
Sabendo-se que duas das raízes da equação x 4-5x 2-10x-6=0 são -1 e 3, as demais são:
- 1 + i e – 1 – i.
1 + i e - 1 – i.
- 1 - i e – 1 – i.
- 1 + i e 1 – i.
- 1 + i e 1 + i.
- 1 + i e – 1 – i.
Resposta: E 
Comentário: resolver a equação x 4-5x 2-10x-6=0, sabendo-se que duas de suas raízes são -1 e 3. 
Aplicando Briot-Ru�ni:
Para as demais raízes
Resolvendo por Bhaskara:
0,4 em 0,4 pontos
Logo, a solução é dada por:
S = {-1, 3, -1 + i, -1 -i}
Pergunta 10
Resposta Selecionada: d. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário da resposta:
Dados os polinômios: A(a) = 3a 2 + 2a – 4, B(a) = 5a – 3, C(a) = 2a + 5 e as seguintes a�rmações:
I. A + B + C = 3a2 + 9a - 2
II. AB - BC = 15a3 - 9a2 - 45a + 27
III. A2 - 2B = 9a4 + 12a3 - 20a2 - 26a + 22
É correto a�rmar que:
V, V e V.
F, F e F.
V, F e F.
V, V e F.
V, V e V.
F, V e F.
Resposta: D 
Comentário: 
I) A + B + C = (3a 2 + 2a – 4) + (5a – 3) + (2a + 5) = 3a² + 9a – 2 
II) AB – BC = B(A – C) 
(5a – 3)[(3a 2 + 2a – 4) – (2a + 5)] 
(5a – 3)(3a 2 – 9) 
15a³ – 45a – 9a² + 27 
15a³ – 9a² – 45a + 27 
III) A 2 – 2B 
(3a 2 + 2a – 4)² – 2*(5a – 3) 
0,4 em 0,4 pontos
Segunda-feira, 28 de Março de 2022 16h36min19s GMT-03:00
(3a 2 + 2a – 4)*(3a 2 
+ 2a – 4) – 10a + 6
9a4 + 6a3 - 12a2 + 6a3 + 4a2 - 8a - 12a2 - 8a + 16 - 10a + 6
9a4 + 12a3 - 20a2 - 26a + 22
← OK