Apostila Eletromagnetismo 2021

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INSTITUTO FEDERAL SUL-RIO-GRANDENSE 
CAMPUS PELOTAS 
CURSO TÉCNICO EM ELETROTÉCNICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO 
 
 
 
Volume Único 
4ª Edição 
 
 
 
 
 
 
 
PROFESSORES: 
WAGNER I. PENNY 
ADILSON M. TAVARES 
SÉRGIO H. BRAUSTEIN 
 
 
2021 
2 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
PREFÁCIO 
O curso técnico em eletrotécnica é um dos cursos mais antigos do atual Instituto Federal 
Sul-rio-grandense e que mais emprega seus alunos. A formação do técnico em 
eletrotécnica deve ser a mais ampla possível a fim de melhor prepará-lo para o mercado 
de trabalho. As disciplinas de Eletricidade III (Integrado) e a de Eletromagnetismo 
(Subsequente) são o alicerce do conhecimento do aluno na área do magnetismo e 
eletromagnetismo, princípios básicos para o entendimento de conhecimentos posteriores 
contidos nas disciplinas de Máquinas Elétricas, Medidas Elétricas, Projetos e Instalações 
Elétricas. Até então a apostila utilizada nessas disciplinas mostrava-se um tanto quanto 
desatualizada em relação aos conteúdos, surgiu então a necessidade da criação de um 
novo material, baseado na apostila anteriormente utilizada no curso complementando 
seus conteúdos. 
Um agradecimento especial fica aos professores Adilson Tavares, Luciano Barboza e 
Sérgio Braustein, autores da edição anterior da apostila de eletromagnetismo; aos 
professores Flávio Franco e Francisco Brongar, autores da apostila de medidas elétricas, 
e também ao professor Alvacir Tavares, autor da apostila de eletromagnetismo do curso 
de Eletromecânica, a qual também serviu de base para a confecção deste material. 
Esta apostila contém seis unidades, as quais contemplam os conteúdos programáticos da 
disciplina de Eletromagnetismo do curso subsequente. Na primeira unidade são 
abordados conteúdos e conceitos básicos relacionados ao magnetismo. Na segunda 
unidade são abordados os primeiros conceitos do eletromagnetismo, com a definição de 
campo indutor e o cálculo do mesmo para as mais variadas formas geométricas. A terceira 
unidade aborda forças e torques eletromagnéticos. A quarta unidade aborda o cálculo de 
circuitos magnéticos. A quinta unidade aborda a indução eletromagnética, relacionando 
lei de Faraday e Lenz. Por fim, a sexta unidade aborda as perdas nos circuitos magnéticos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
SUMÁRIO 
1. Magnetismo...........................................................................................................4 
2. Eletromagnetismo................................................................................................22 
3. Força e Torque Eletromagnéticos........................................................................57 
4. Circuitos Magnéticos...........................................................................................75 
5. Indução Eletromagnética.....................................................................................93 
6. Perdas nos Circuitos Magnéticos.......................................................................119 
Apêndice..................................................................................................................126 
Referências Bibliográficas.......................................................................................130 
 
4 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
1. MAGNETISMO 
1.1 Introdução 
 As primeiras manifestações do magnetismo foram observadas na Grécia Antiga, 
na região chamada Magnésia, antes do nascimento de Cristo. Foram encontradas pedras 
especiais que atraiam pedaços de ferro e se atraiam e repeliam mutuamente. Tal pedra foi 
chamada de magnetita e hoje se sabe que é uma espécie de óxido de ferro (Fe2O3). Este é 
o ímã natural que deu origem a este importante ramo da Física: o Magnetismo. 
 
 
 
Figura 1.1 - Ímã atraindo pedaços de ferro (pregos) 
 
O único ímã natural é a magnetita. Sua utilidade é, no entanto, apenas histórica, 
pois é rara, fraca e de difícil industrialização. Os ímãs usados para qualquer utilidade 
prática são artificiais. 
 Os ímãs permanentes, também denominados magnetos, retêm sua magnetização 
por tempo praticamente ilimitado, após cessar o campo magnetizante que os imantou. A 
tabela abaixo mostra os materiais usados para fabricação de ímãs permanentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
 
Tabela 1.1 - Tipos de ímãs permanentes 
 Ano Material 
 1930 Ímãs de Cromo + Tungstênio 
 Ímãs de Cromo + Cobalto 
 1940 Ímãs de ALNICO 
(Ferro+Alumínio+Níquel+Cobalto) 
 1947 Ímãs de cerâmica ferrite 
 (SrFe12O19) / (BaFe12O19) 
 
1974 
Ímãs de Terras Raras 
Sámario-Cobalto (SmCo5) 
Neodímio-Ferro-Boro (Nd12Fe14B) 
 
1.2 Representação do Campo Magnético 
O campo magnético é a região do espaço onde se observam os efeitos magnéticos, 
isto é, a atração e repulsão de ímãs e pedaços de ferro. O campo magnético é invisível 
assim como também são o campo gravitacional e o campo elétrico. 
Quando um ímã é aproximado de pedacinhos de ferro nota-se que estes são 
atraídos para determinadas regiões do ímã como se ali estivessem concentradas todas as 
propriedades dos mesmos. Por estes motivos, estas regiões são chamadas de polos do 
ímã. Um ímã sempre possui dois polos, um NORTE (N) e um SUL (S). 
Cada região destas possui propriedades diferentes (inversas) da outra. Verifica-se 
que, ao serem aproximadas regiões diferentes, há atração entre as mesmas e se as regiões 
forem de mesma natureza, há repulsão. Daí surge uma das primeiras leis do magnetismo: 
 
Polos magnéticos iguais se repelem e polos contrários se atraem. 
 
Para facilidade de estudo adotou-se o conceito de linhas de indução ou linhas de 
força magnéticas. Tais linhas são coincidentes com as linhas formadas pela orientação 
das limalhas de ferro quando espargidas sobre uma folha de papel dentro de um campo 
magnético. 
6 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
Conforme a distribuição do campo magnético no espaço obtém-se um espectro 
magnético característico. De qualquer modo convencionou-se que o sentido das linhas 
de indução é tal que elas saem do polo Norte e dirigem-se para o polo Sul fora do ímã. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.2 – Distribuição das linhas de força de força para ímãs em forma de barra e em 
forma de ferradura. 
 
1.3 Magnetismo Terrestre 
Na antiguidade os chineses observaram que quando pedaços de magnetita eram 
suspensas livremente ou flutuavam em substância leve em um receptáculo com água, elas 
tendiam a assumir a posição aproximada norte-sul. Provavelmente, os navegadores 
chineses usaram pedacinhos de magnetita, presos em madeira e flutuando dentro de um 
vaso com líquido, funcionando como bússolas rudimentares. Naquela época, não era 
conhecido que a Terra age como um ímã e, então, aquelas pedras eram encaradas com 
considerável temor supersticioso e chamadas pedras guias. 
Como já foi dito, a Terra é um grande ímã. As polaridades magnéticas da Terra 
são as indicadas na figura. Os polos geográficos também são mostrados em cada 
extremidade do eixo de rotação da Terra. O eixo magnético não coincide com o eixo 
geográfico e, desta forma, os polos magnéticos e geográficos não estão no mesmo lugar 
sobre a superfície da Terra. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.3 - Polos magnéticos e geográficos da Terra. 
S N 
N 
S 
NG SM 
SG NM 
7 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnicoem Eletrotécnica 
Os antigos usuários da bússola encaravam a extremidade da agulha da bússola que 
aponta na direção aproximadamente norte como sendo um polo norte. A outra 
extremidade foi encarada como sendo um polo sul. Em alguns mapas, o polo magnético 
da Terra, para o qual o polo norte da agulha apontava, foi designado como polo 
magnético. Esse polo magnético foi obviamente chamado de polo norte, em virtude de 
sua proximidade com o polo norte geográfico. 
No entanto, quando se soube que a Terra era um ímã e que polos opostos se 
atraíam, foi necessário denominar o polo magnético localizado no hemisfério norte como 
POLO SUL MAGNÉTICO e o polo magnético localizado no hemisfério sul como POLO 
NORTE MAGNÉTICO. A razão das denominações foi arbitrária. Obviamente a 
polaridade da agulha da bússola que aponta para o norte deve ser oposta à polaridade do 
polo magnético terrestre ali situado. 
 Em virtude de os polos magnéticos e geográficos não coincidirem, uma bússola 
(exceto em algumas posições da Terra) não apontará para uma direção (geográfica) 
verdadeira. Quer dizer, ela não se alinhará segundo uma linha de direção que passe pelos 
polos geográficos norte e sul, mas sim segundo uma linha de direção que faz um ângulo 
com aquela. Este ângulo é chamado ângulo de VARIAÇÃO ou DECLINAÇÃO. 
 
1.4 Fluxo magnético () 
Fluxo magnético é a quantidade de linhas de indução (ou de força) que atravessa 
certa superfície. O fluxo é, portanto, uma grandeza associada a uma certa área. 
Sua unidade, no Sistema Internacional de Unidades (SI ou MKS), é o Weber (Wb). 
Um Weber é uma unidade bastante grande e representa uma quantidade de 108 linhas de 
força, por isto são usadas geralmente os submúltiplos mili (m) e micro (). 
 
1 mWb =10-3 Wb 1 Wb = 10-6 Wb 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.4 – Fluxo magnético através da superfície S 
N S 
S 
8 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
Observação: No sistema CGS o fluxo tem como unidade uma linha ou um Maxwell (Mx) 
e as relações existentes entre elas são: 
 
1 Weber = 108 Maxwell = 108 linhas 
 
1.5 Indução Magnética ou Densidade de Fluxo Magnético () 
Indução magnética () é uma grandeza vetorial que caracteriza o campo 
magnético ponto a ponto em módulo, direção e sentido. Sua direção e seu sentido são os 
mesmos das linhas de força e o seu módulo é a razão entre o fluxo que passa numa seção, 
colocada perpendicularmente às linhas de força, e a área desta seção. 
 A indução ou densidade magnética expressa, então, o grau de concentração das 
linhas de força num dado ponto do campo magnético. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.5 – Definição de indução magnética 
 
 Como se pode ver no desenho, uma área unitária (exemplo: 1cm2, 1m2) colocada 
próxima ao polo será atravessada por maior número de linhas que a área colocada mais 
afastada, significando que no primeiro caso o campo é mais intenso. 
 
SI 2
1 Wbu( )
B= u(B)= u(B) = = 1 Tesla
Sn u(Sn) 1 m
 
 (T) 
 
Observação: No sistema CGS a unidade de indução é um Maxwell por centímetro 
quadrado ou um Gauss (G), tendo a seguinte relação: 
 
1 Tesla = 104 Gauss 
N S 
1cm2 
1cm2 
 
 
9 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
A indução pode ser medida diretamente por teslímetro ou gaussímetro enquanto 
que o fluxo, quando a secção for perpendicular à indução, pode ser calculado pelo produto 
da indução pela área da seção. Quando a indução não é perpendicular à seção pode-se 
decompô-la em duas componentes ortogonais: 
A componente B n é normal (perpendicular) ao plano da superfície enquanto que 
B t é tangencial a este plano. Evidentemente, é a componente normal que determina o 
fluxo que atravessa a superfície. Portanto, da observação da figura 1.6 obtém-se: 
 
 
n=B S=(Bcosγ) S 
 
 =BScosγ (1.1) 
 
onde  é o ângulo entre a normal à superfície e a indução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.6 – Componentes do vetor indução magnética 
 
1.6 Eletricidade e Magnetismo 
Até 1820, a eletricidade e o magnetismo eram considerados e estudados como se 
fossem fenômenos completamente independentes. Neste ano, Hanz Christian Oersted 
(dinamarquês) notou que uma bússola deflexionava quando havia corrente em condutores 
próximos. Havia descoberto, então, a primeira relação entre a eletricidade e o 
magnetismo, ou seja, que a corrente elétrica é capaz de criar campo magnético. A partir 
daquele momento, o magnetismo passou a ser considerado como um dos efeitos da 
corrente elétrica. 
 
Bn 
n 
Bt 
 
S 
10 
 
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Figura 1.7 – Campo magnético produzido por corrente elétrica 
 
1.7 Inseparabilidade dos polos de um ímã 
 Se um ímã em forma de barra, como o da figura 1.8, for quebrado em dois, jamais 
se conseguirá separar um ímã com um polo sul e o outro com o polo norte, sempre se 
formarão dois polos nos novos ímãs. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.8 – Inseparabilidade dos polos de um ímã 
 
Os polos de um ímã são inseparáveis porque as linhas de indução são fechadas, 
portanto, para cada pedaço, o ponto de saída das linhas de força será norte e o ponto de 
entrada será sul. Não existe, portanto, monopolo magnético. 
 
 
 
N 
N N 
N N N N 
N N N N N N N N 
S 
S 
S S S S 
S S S S S S S S 
S 
11 
 
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1.8 Teoria de Weber-Ewing 
A constatação da inseparabilidade dos polos de um ímã levou estes cientistas a 
concluírem que um material magnetizável é composto por ímãs elementares ou ímãs 
moleculares. 
 Cada átomo contém elétrons circulando em órbitas elípticas em torno do núcleo. 
A circulação dos elétrons nada mais é do que micro correntes elétricas. É sabido que os 
fenômenos magnéticos são originados das correntes elétricas. O fato de que este 
movimento de elétrons produz efeitos magnéticos não implica que todos os materiais 
tenham propriedades magnéticas, pois o efeito causado por um elétron girando na sua 
órbita é totalmente cancelado pelos outros elétrons devido às suas órbitas serem mais ou 
menos aleatórias. 
Os materiais magnéticos têm átomos cujas órbitas dos elétrons são mais ou menos 
coincidentes e produzem efeitos magnéticos não-nulos. O ferro, níquel e cobalto e suas 
ligas apresentam estas características. 
 Grupos destes átomos formam pequenos domínios (regiões) que são os chamados 
ímãs elementares. 
 
Enunciado da teoria de Weber-Ewing: 
 Os materiais magnéticos são compostos por ímãs ou domínios elementares. 
Quando o material está desmagnetizado estes ímãs estão orientados ao acaso e o seu 
efeito magnético externo é nulo. Submetendo-se este material a um campo 
magnético indutor externo há um processo de orientação dos ímãs elementares. 
 
Desta forma o material passa a apresentar seu próprio campo magnético (campo induzido) 
e reforça o campo naquela região. 
 
 
 
 
 
(a) (b) 
 
Figura 1.9 - Material magnético: (a) desmagnetizado (b) magnetizado 
 
N S N S N S N S 
N S N S N S N S 
N S N S N S N S 
N S N S N S N S 
N N N N 
N N N 
N N N 
S 
S 
S S S 
S S S 
S S S 
N 
12 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
Quando se aproxima um pedaço de ferro de um ímã, seus ímãs elementares se 
orientam e este pedaço de ferro se transforma num ímã temporário com polaridades tais 
que sempre há atração. Se for aproximado outro pedaço de ferro deste primeiro, este 
último também será imantado de forma a haver atração.Figura 1.10 – Ímã atraindo pregos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.11 – a) Ímã atraindo uma barra de ferro b) Atração e repulsão entre ímãs 
 
 
 
 
 
 
N S 
N S 
N 
S 
 
13 
 
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1.9 Experimentos 
 
Experimento 1.1 
 
Título: Polos de um ímã. Forças de atração e repulsão. 
 
Material necessário: 
 
- 01 prego pequeno - 01 pequeno pedaço de fio de cobre 
- 01 parafuso - 01 pequeno pedaço de fio de níquel-
cromo 
- 02 ímãs permanente - 01 lata de alumínio 
 
Roteiro 
 
1 – De acordo com seus estudos, defina polo magnético. 
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
............................................................................................................................................. 
2 - Cite, entre os materiais listados, os que você imagina que serão atraídos pelo ímã. 
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
............................................................................................................................................. 
3 - Aproxime o ímã de cada material e verifique se existe atração ou não. Complete a 
tabela abaixo. 
 Materiais Magnéticos Materiais não-magnéticos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
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4 - Descreva onde estão localizados os polos de cada um dos ímãs utilizados no 
experimento. 
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
......................................................... 
5 - Aproxime dois polos de mesmo nome (mesma marcação) e verifique se existe 
atração entre eles. 
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
...................................... 
6 - Aproxime dois polos de nomes contrários (marcações diferentes) e verifique se 
existe atração entre eles. 
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
...................................... 
7 - Anote conclusões a respeito da interação entre ímãs 
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
........................................................ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Experimento 1.2 
 
Título: Uma Bússola Rudimentar 
 
Material necessário: 
 
- 01 alfinete - 01 pequeno pedaço filme de poliéster 
- 01 ímã permanente - 01 bússola 
- 01 prato fundo 
 
Roteiro 
 
1 - Magnetize o alfinete, atritando sua ponta com um dos polos do ímã. 
 
2 - Coloque água no prato e, a seguir, coloque o alfinete sobre o pedaço de filme de 
poliéster a boiar no prato. 
 
3 - Gire a agulha e verifique se ela retorna para a posição inicial. Anote conclusões. 
........................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
............................................................................................................................................. 
 
4 - Aproxime o imã lentamente de uma das extremidades do alfinete. Relate o que 
observou. 
........................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................. 
 
5 - Aproxime o outro polo do ímã da mesma extremidade do alfinete. Relate o que 
observou. 
........................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
............................................................................................................................................. 
 
 
 
16 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
6 - Anote conclusões. 
........................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
............................. 
 
7 - Com base nos resultados do experimento, complete o desenho abaixo, com a posição 
do alfinete, e indique no mesmo os pontos cardeais Norte, Sul, Leste e Oeste. 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 – Tome uma bússola industrializada e compare com a bússola rudimentar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bancada 
número ____ 
Prato 
Parede 
17 
 
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1.10 Exercícios 
 
1. Sabendo-se que o sol mostrado na figura deste exercício está nascendo, responda: 
a) Dos pontos M, P, Q e R, qual deles indica o sentido do norte geográfico? 
b) Observe os pontos A e B indicados na bússola e diga qual deles é o polo norte e qual é 
o polo sul da agulha magnética. 
 
2. Um ímã AB é partido em três pedaços, originando os novos ímãs AC, DE e FB. Indique, 
na figura abaixo, o nome (norte ou sul) de cada um dos polos A, C, D, E e B assim obtidos. 
 
 
 
 
 
3. Quando uma bússolaestá afastada de outros ímãs (ou de pedaços de ferro), sua agulha 
magnética toma a orientação indicada em linha pontilhada na figura abaixo, com a seta 
apontando para o norte. Aproxima-se desta bússola um ímã bem “forte”, nas posições 
indicadas em cada caso mostrado na figura. Represente na mesma figura a direção e o 
sentido que a agulha tomará em cada situação. 
Obs.: A faixa preta indica o polo norte do ímã. 
 
 
 
 
 
 
A B 
A C D E F B 
N S 
18 
 
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4. Para a situação abaixo, explique o motivo da atração dos parafusos de aço pelo ímã 
permanente e indique nestes as polaridades magnéticas induzidas. 
 
 
 
 
 
5. Faça um desenho representando as linhas de força magnéticas e seu sentido para cada 
um dos casos abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
6. As figuras abaixo mostram várias espiras circulares microscópicas colocadas sob a 
ação de vários ímãs diferentes. Responda as questões abaixo e justifique: 
a) Observando as figuras A e B, onde o fluxo é maior? 
b) Observando as figuras A e B, onde a indução é maior? 
c) Observando as figuras C e D, onde o fluxo é maior? 
d) Observando as figuras C e D, onde a indução é maior? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N S 
S N 
N 
S 
A B 
D C 
19 
 
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7. Uma espira circular com diâmetro D = 50 mm está colocada em um plano horizontal e 
imersa em um campo magnético. Considerando que o vetor indução magnética possui um 
módulo de 1,0 T e forma um ângulo de 60° com o plano horizontal, pede-se: 
 
a) calcular as componentes horizontal e vertical do vetor indução magnética. 
Respostas: componente horizontal = 0,50 T e componente vertical = 0,87T 
b) explicar qual das duas componentes calculadas acima determina o fluxo magnético na 
espira. 
c) calcular o fluxo magnético através da espira, apresentando a resposta com os prefixos 
mili e micro. 
Respostas: 1,71 mWb e 1707,3 Wb 
 
8. Calcule o fluxo magnético que atravessa a espira quadrada (10cm x 10cm) em cada 
posição, considerando que há um deslocamento de 300 entre uma posição e outra. Dado 
B=0,5 T. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
  = 5mWb = 4,33mWb = 2,50mWb =0 
 
9. Execute as conversões 
a) 7500 Gauss para Tesla Resposta: 0,75T 
b) 100 mWb para Wb e para Maxwell Respostas: 0,1Wb e 10x106 Mx 
c) 85 Wb para mWb Respostas: 0,085 mWb 
 
 
 
 
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10. Uma espira retangular, com 15cm de largura, por 20cm de comprimento encontra-se 
imersa em um campo de indução magnética uniforme e constante, de módulo 10T. As 
linhas de indução formam um ângulo de 60° com o plano da espira, conforme mostra a 
figura: 
 
 
 
Qual é o valor do fluxo de indução magnética que passa pela espira? Resp. 
mWb259 
11. Um campo magnético atua perpendicularmente sobre uma espira circular de raio 
10cm, gerando um fluxo de indução magnética de 1Wb. Qual a intensidade do campo 
magnético? Resp. B=31,84 T 
 
12. Uma espira quadrada de lado L= 2cm é imersa em um campo magnético uniforme de 
intensidade 2T. Qual é o fluxo de indução nessa espira em cada um dos seguintes casos: 
a) o plano da espira é paralelo às linhas de indução; Resp. 0 
b) o plano da espira é perpendicular às linhas de indução; ; Resp. Wb 800 
c) a reta normal ao plano forma um ângulo de 60° com as linhas de indução. Resp. 
Wb 400 
13. Um campo magnético com indução constante B = 5 T atravessa uma superfície plana 
e retangular de 10 cm X 5 cm, formando um ângulo de 60o com o plano horizontal, 
conforme mostra a Figura. Determinar o fluxo magnético através desta superfície. 
Resp. mWb21 
 
 
 
 
 
14. Caracterize o ímã natural e os ímãs artificiais. 
15. O que é polo de um ímã? Como se dá a interação magnética entre dois ímãs? 
21 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
16. Comente as denominações polos sul e norte magnético, comparando-os com os polos 
geográficos. 
17. Indique a polaridade do ímã abaixo, em função do sentido das linhas de força 
magnéticas, justificando-a. 
 
18. Explique a teoria de Weber-Ewing, inclusive usando desenhos adequados para tal. 
19. Compare as características dos ímãs permanentes e dos eletroímãs. 
20. Defina fluxo magnético e indução magnética e cite suas unidades no sistema MKS 
(SI). 
21. Um reator de uma lâmpada fluorescente possui um fluxo de 0,36mWb e este passa 
por uma seção transversal retangular de ferro de 1,6cm x 1,5cm. Calcular a indução neste 
ponto do núcleo. R: 1,5T 
22. Calcular o fluxo que atravessa as espiras a seguir: 
a) Espira retangular 10cm x 5cm com indução perpendicular de 1,2T. 
b) Espira retangular 10cm x 5cm com indução de 1,2 T a 60º do plano da espira. 
c) Espira retangular 10cm x 5cm com indução de 1,2 T a 60º da normal da espira. 
 
 
 
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2. ELETROMAGNETISMO 
2.1 Introdução 
No Capítulo 1 mostrou-se a relação que existe entre a eletricidade e o magnetismo 
e, também, a Teoria de Weber-Ewing. É importante relembrar alguns conceitos e também 
a relação entre eletricidade e magnetismo descoberta por Oersted: 
 
Todo condutor percorrido por corrente elétrica produz um campo 
magnético. 
 
 Corrente Elétrica: Movimento ordenado de cargas elétricas. 
 Representação de vetores: 
 
 
 
 
 
(a) (b) 
Figura 2.1 – Representação de vetores: (a) vetor entrando no plano (b) vetor 
saindo do plano 
 
Serão vistas, a seguir, as diversas relações qualitativas e quantitativas entre a 
corrente elétrica e o campo magnético que ela produz nas suas proximidades. Para as 
diversas configurações do fio que conduz a corrente há uma análise particular. Também 
serão apresentadas as formas de magnetização e desmagnetização de materiais. 
 
2.2 Campo magnético criado por corrente elétrica 
2.2.1 Campo magnético de um fio retilíneo 
Um fio retilíneo que é atravessado por corrente elétrica produz ao seu redor um 
campo magnético com linhas de força circulares e concêntricas com o condutor. Isto pode 
ser observado com uma bússola ou com a experiência das limalhas de ferro. O sentido 
das linhas de força depende do sentido da corrente no condutor. Estabeleceu-se uma regra 
para descobrir o sentido das mesmas. 
 
 
23 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
Regra da mão direita para condutores 
Agarra-se o condutor com a mão direita de forma que o polegar fique apontando 
no sentido da corrente. Assim os outros quatro dedos indicarão o sentido das linhas de 
força ao redor do condutor. Esta regra também é aplicada a pequenos trechos de um 
condutor curvo. 
Figura 2.2 – Campo criado por fio retilíneo com corrente elétrica 
Observação: Em todas as análises desta disciplina e do próprio curso só será usado o 
sentido convencional da corrente. O aluno deve estar atento porque parte da bibliografia 
indicada usa o sentido eletrônico. 
 
2.2.2 Campo magnético de uma espira 
Nota-se que um fio retilíneo produz um campo magnético muito fraco em 
comparação com a quantidade de corrente circulante. Para aumentar o efeito magnético é 
necessário concentrá-loem pequena região do espaço. A primeira providência é formar 
uma volta com o condutor formando a chamada espira. Aplicando-se a regra da mão 
direita a cada pequeno pedaço da mesma verifica-se que os sentidos das linhas de força 
de cada trecho são coincidentes no interior da espira, tornando o campo mais intenso nesta 
região. 
24 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
Figura 2.3 – Campo produzido por espira com corrente 
 
2.2.3 Campo magnético de uma bobina 
Esta forma de acomodação das espiras é muito comum e é capaz de produzir fortes 
campos magnéticos, dependendo do número de espiras enroladas. Aplicando-se a regra 
da mão direita a cada trecho de condutor, percebe-se que entre as espiras vizinhas há 
anulação do campo, porém, no interior da bobina, há concordância dos campos 
magnéticos de todos os trechos de condutor. 
 
Figura 2.4 - Campo magnético criado por bobina percorrida por corrente 
Observando-se o sentido do campo resultante pode-se estabelecer outra regra da 
mão direita aplicável a bobinas de um modo geral. 
Regra da mão direita para bobinas 
B 
B 
B 
25 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
Agarra-se a bobina com a mão direita com os quatro dedos indicando o sentido da 
corrente na mesma, com isto o polegar estará indicando o sentido das linhas de força no 
interior da bobina. 
2.3 Intensidade de Campo Magnético e Permeabilidade Magnética 
Os fenômenos magnéticos são, de modo geral, proporcionais a uma grandeza 
muito importante: a indução magnética B. O conhecimento do valor da indução é, 
portanto, indispensável na maioria dos problemas. As formas de obtenção de uma indução 
magnética (B) são as seguintes: através de ímãs permanentes e através de corrente 
elétrica. 
Por questões didáticas, o estudo quantitativo será restringido apenas ao caso de 
produção de campo magnético por corrente elétrica. 
A indução magnética depende basicamente de duas grandezas a serem definidas: 
Intensidade de Campo Magnético (ou Campo Indutor) (H) e Permeabilidade Magnética 
(µ). 
 
2.3.1 Intensidade de Campo Magnético (H) 
Considere-se que no circuito magnético da figura 2.5 seja possível inserir um 
gaussímetro para medir a indução no núcleo. Aumentando-se a tensão aplicada na bobina, 
que produz um aumento de corrente, o gaussímetro mostra um crescimento na indução 
magnética. Portanto, a indução depende da corrente que circula pela bobina. 
 
A
B C
D
I
I
V
+
-
u
d
 
Figura 2.5 - Circuito magnético simples 
Considere-se agora que a bobina utilizada é substituída por outra bobina com 
maior número de espiras. Ajustando-se a tensão da fonte para que a corrente permaneça 
26 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
com a mesma intensidade do experimento anterior, observa-se que o gaussímetro acusa 
maior indução. Portanto, a indução também depende do número de espiras. 
 
Um terceiro experimento pode ser feito comparando dois circuitos com as 
seguintes características: 
 ambos núcleos de mesmo material (mesmo tipo de ferro); 
 ambos núcleos com mesma seção transversal; 
 ambas bobinas idênticas; 
 ambas bobinas percorridas pela mesma corrente; 
 ambos núcleos têm mesmo formato, porém com comprimentos diferentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) circuito 1 (b) circuito 2 
Figura 2.6 - Circuitos magnéticos com diferentes comprimentos médios 
 
Usando-se um gaussímetro em cada circuito magnético, observa-se que no núcleo 
de menor comprimento (circuito 2) a indução magnética é maior. Isto acontece porque 
existe um menor trecho de ferro para ser magnetizado, o que dá à bobina um maior poder 
magnetizante. Para quantificar o poder magnetizante de uma bobina criou-se a grandeza 
denominada intensidade de campo indutor (H) que é dada por: 
 
 N.I
H=
 
 
(2.1) 
 
Nesta equação tem-se que: 
N = número de espiras da bobina; 
I = corrente que percorre a bobina (Ampère, A); 
27 
 
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l = comprimento médio do circuito magnético (metro, m); 
H = intensidade de campo indutor (Ampère-espira/metro, Ae/m). 
 
Desta forma podemos definir a intensidade de campo magnético. 
Definição: A intensidade de campo indutor (ou campo magnético) (H) é um vetor 
cujo módulo é a razão entre as ampère-espiras magnetizantes e o comprimento do 
caminho a ser magnetizado e cujo sentido é o mesmo das linhas de força. 
Observações: 
 O sentido de H é dado pelas regras da mão direita já vistas; 
 O comprimento do circuito magnético depende da geometria do mesmo. 
 
Exemplo 2.1: Calcular a intensidade de campo indutor para o circuito 1 e para o 
circuito 2 da fig.2.6 que têm comprimentos médios de, respectivamente, 20 cm e 10 cm. 
Considere que ambas bobinas possuem 200 espiras e são percorridas por 1 A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
2.3.2 Permeabilidade Magnética () 
Nas análises anteriores não se levou em consideração a influência do tipo de 
material usado para o núcleo. A partir de agora esta situação será estudada tomando-se 
como referência o circuito magnético da Figura 2.5. 
Alimentando-se a bobina com uma fonte CC ajustável, e aumentando-se 
gradativamente a tensão aplicada, ocorre um aumento da corrente que circula pela bobina 
(I=V/R). Este aumento da corrente produz um aumento na intensidade do campo indutor 
(H = NI/l) que, por sua vez, provoca um aumento da indução no núcleo. 
A forma como o núcleo magnético responde à variação do campo indutor depende 
do tipo de material utilizado e é representada graficamente através da “Curva de 
Magnetização”. As figuras 2.7(a) e 2.7(b) mostram as curvas de magnetização do ferro 
fundido doce e do aço fundido. 
Figura 2.7 – Curvas de Magnetização 
 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
B
 (
T
)
H (Ae/m)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
B
 (
T
)
H (Ae/m)
(a) curva de magnetização 
do ferro fundido doce 
(b) curva de magnetização 
do aço fundido 
 
29 
 
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Nos pontos iniciais da curva o crescimento do campo indutor é acompanhado de 
um crescimento praticamente proporcional da indução. Por outro lado, nos pontos finais, 
o crescimento do campo indutor praticamente não produz crescimento na indução devido 
à saturação magnética (ordenação de praticamente todos os ímãs elementares). 
Analisando as curvas de magnetização do ferro fundido doce e do aço fundido 
observa-se que para um mesmo campo indutor obtém-se maior indução no ferro doce do 
que no aço, ou seja, o ferro doce se magnetiza mais facilmente do que o aço. A grandeza 
que leva em consideração este fenômeno é denominada permeabilidade magnética. 
Assim, pode-se definir permeabilidade magnética como a facilidade que o material possui 
de se magnetizar e expressá-la matematicamente como: 
 
 
H
B

 
 (2.2) 
 
No Sistema Internacional de Unidades tem-se: 
 
B = indução magnética (Tesla, T); 
H = campo indutor (Ampère-espira/metro, Ae/m); 
 = permeabilidade magnética (Tesla.metro/Ampère, T.m/A ou Henry/metro, 
H/m). 
Exemplo 2.2: Calcule a indução magnética e a permeabilidade do aço fundido 
para os seguintes campos indutores: 
a) H = 2000 Ae/m 
 
 
 
b) H = 4000 Ae/m 
 
 
 
c) H = 10000 Ae/m30 
 
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Os resultados deste exemplo mostram que a permeabilidade magnética do aço 
fundido depende da intensidade de campo indutor. Quanto maior o campo indutor, menor 
é a permeabilidade, ou seja, mais difícil é magnetizar o material. Este comportamento é 
apresentado por todos os materiais magnéticos. 
Os materiais não magnéticos possuem permeabilidade aproximadamente 
constante e bem menor do que a permeabilidade dos materiais magnéticos. Para efeito de 
cálculos, a permeabilidade dos materiais não magnéticos é considerada a seguinte 
constante magnética: 
m/H104 70 

 
Portanto, os meios não magnéticos como o ar, o alumínio e a madeira entre outros 
possui permeabilidade 
m/H104 70 

. 
Em muitos casos, a permeabilidade é expressa em relação a constante 0

. Assim, 
define-se como permeabilidade relativa à relação entre a permeabilidade do material e a 
constante magnética, ou seja: 
 
0
r



 
 
(2.3) 
Esta equação mostra que a permeabilidade relativa ( r ) é um número (sem 
unidade) que indica quantas vezes a permeabilidade do material ( ) é maior do que a 
permeabilidade dos materiais não magnéticos ( 0

). Para materiais não magnéticos a 
permeabilidade relativa é aproximadamente igual à unidade (µr ≈ 1) e para materiais 
magnéticos é bem maior do que a unidade ( r >>1). 
Tabela 2.1 – Permeabilidades Relativas de alguns materiais 
Material µr 
Ar 1 
Níquel 50 
Cobalto 60 
Ferro Fundido 30 a 800 
Aço 500 a 5000 
Ligas Especiais 100000 a 800000 
 
 
31 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
Assim se pode relacionar B, µ e H, considere que os seguintes solenoides possuem 
o mesmo formato, mesmo número de espiras, mesma corrente elétrica e mesmo 
comprimento. 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.8 – Comparação entre solenoides com diferentes núcleos 
Como N1=N2=N3; I1=I2=I3 e L1=L2=L3  H1=H2=H3, e como 
µ1<µ2<µ3B1<B2<B3. 
 
Exemplo 2.3: Uma fonte CC de 100V alimenta a bobina do circuito magnético da 
fig.4.4, que tem 1000 espiras e resistência de 100. Calcule: 
a) Corrente na bobina; 
b) Campo indutor; 
c) Indução magnética; 
d) Permeabilidade absoluta e permeabilidade relativa; 
e) Fluxo magnético. 
Dados: 
 l = 1 m (comprimento médio do circuito magnético) 
 S = 100 cm2 (seção transversal do núcleo) 
 O núcleo é de ferro doce. 
 
 
 
 
 
Figura 2.9 – Circuito magnético para o Exemplo 2.3 
32 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
2.4 Relações entre corrente elétrica e intensidade de campo indutor 
As relações entre corrente elétrica e intensidade de campo magnético dependem 
da geometria do condutor e são expressas pela Lei de Biot-Savart e pela Lei de Ampère. 
Será estudada apenas a Lei de Ampère, pois é mais facilmente aplicável a problemas 
práticos. Sua dedução é muito difícil, portanto será apenas enunciada e aplicada a 
exemplos clássicos. 
LEI DE AMPÈRE (SIMPLIFICADA): Dividindo-se uma linha de força 
magnética em trechos, tem-se que o somatório dos produtos da intensidade do campo 
magnético (H) pelo comprimento de cada trecho (∆l) é igual à corrente envolvida pela 
mesma. 
∑ 𝐻𝑖. ∆𝑙𝑖 = 𝐼𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑑𝑎
𝑚
𝑖=1 
𝐻1. ∆𝑙1 + 𝐻2∆𝑙2 +⋯+𝐻𝑚∆𝑙𝑚 = 𝐼𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑑𝑎 (2.4) 
 
Exemplo 2.4: Neste exemplo a corrente I5 não é envolvida pela linha de força 
(caminho que está sendo magnetizado). 
 
 
 
 
 
Figura 2.10 – Exemplo relativo à aplicação da Lei de Ampère 
 
Para a correta aplicação da Lei de Ampère a trajetória da linha de força deve ser 
bem conhecida, o valor da intensidade de campo magnético deve ser constante em toda a 
trajetória e todas as unidades devem estar no SI. 
 
2.4.1 Intensidade de campo magnético de um fio retilíneo infinito ou muito longo 
Nas figuras abaixo, tem-se um fio retilíneo infinito ou muito longo percorrido por 
uma corrente elétrica. Neste caso as linhas de força são circulares e concêntricas com o 
condutor. O sentido de H e B é tangente às linhas de força, de acordo com a regra da mão 
direita. A intensidade de campo indutor é constante em módulo em todos os pontos de 
uma dada trajetória. O valor da intensidade do campo indutor pode ser obtida pela Lei de 
Biot-Savart ou pela Lei de Ampère. 
 
33 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.11 – Intensidade de campo magnético e indução em um fio retilíneo 
 
De acordo com a Lei de Biot-Savart pode ser deduzida uma equação, que resulta 
em: 
𝐻 =
𝐼
2.𝜋.𝑟
 (2.5) 
Onde “I” é a corrente elétrica (A) e “r” é a distância (metro) do condutor até o 
ponto em que se deseja determinar a intensidade de campo magnético “H”(Ae/m). 
Aplicando a Lei de Ampère tem-se que ∑ 𝐻𝑖 . ∆𝑙𝑖 = 𝐼𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑑𝑎
𝑚
𝑖=1 , mas o somatório 
de todos os trechos do caminho a ser magnetizado resulta no perímetro de uma 
circunferência e a corrente envolvida é a própria corrente do condutor, assim 𝐻. 2. 𝜋. 𝑟 =
𝐼, o que resulta da mesma forma na equação 2.5. 
O valor de r é o raio da circunferência ou distância do condutor até o ponto em 
análise, na figura 2.11 o campo no ponto 1, a uma distância r1, possui determinado valor, 
e, no ponto 2, a uma distância r2, possui outro valor. 
A indução magnética depende do meio em que o campo magnético se encontra, 
como visto anteriormente, B = µ.H, assim: 
𝐵 =
𝜇.𝐼
2.𝜋.𝑟
 (2.6) 
Quando o condutor estiver num meio que seja ar ou vácuo: 
𝐵 =
𝜇0.𝐼
2.𝜋.𝑟
 (2.7) 
Onde µ é a permeabilidade magnética do material e µ0 é a permeabilidade 
magnética do vácuo. 
Exemplo 2.5: Calcular a intensidade de campo magnético e a indução, no ar, a 
uma distância de 12 mm do centro de um fio retilíneo com uma corrente de 500 A. 
 
34 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
2.4.2 Intensidade de campo magnético em um solenoide 
Num solenoide de “N” espiras percorrido por corrente, escolhendo-se uma linha 
de força qualquer, tem-se que a corrente total envolvida é “N” vezes a corrente da bobina. 
Pode-se afirmar que as linhas de força são concentradas em todo o seu interior, 
porém na parte externa, como há grande área para o fluxo distribuir-se, tem-se pequena 
concentração das linhas de força. Dessa forma, a intensidade de campo magnético no 
interior do solenoide é considerada constante e infinitamente maior que no exterior do 
solenoide, dessa forma a intensidade de campo magnético no exterior do solenoide é 
desprezada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.12 – Intensidade de campo magnético em um solenoide 
 
Equacionando-se através da Lei de Ampère se obtém que ∑ 𝐻𝑖 . ∆𝑙𝑖 =
𝑚
𝑖=1
𝐼𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑑𝑎, mas Ienvolvida = N.I e também que o somatório dos produtos de Hi.∆li nada mais 
é que o campo magnético do interior do solenoide multiplicado pelo comprimento do 
interior mais o campo magnético do exterior do solenoide multiplicado pelo comprimento 
do exterior. Assim, 
𝐻𝑒𝑥𝑡. 𝑙𝑒𝑥𝑡 + 𝐻𝑖𝑛𝑡. 𝑙𝑖𝑛𝑡 = 𝑁. 𝐼 
Mas Hext = 0, dessa forma 
𝐻 =
𝑁.𝐼
𝐿
 (2.8) 
Onde H é a intensidade de campo magnético (Ae/m), N é o número de espiras 
(admensional), I é a corrente elétrica (A) e L é comprimento do solenoide (m). 
Para se encontrar a indução basta multiplicar a intensidade de campo magnético 
pela permeabilidade magnética do materialque compõe o núcleo do solenoide. 
 
𝐵 =
𝜇.𝑁.𝐼
𝐿
 (2.9) 
Quando o solenoide possuir núcleo de ar ou vácuo: 
35 
 
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𝐵 =
𝜇0.𝑁.𝐼
𝐿
 (2.10) 
Onde µ é a permeabilidade magnética do material e µ0 é a permeabilidade 
magnética do vácuo. 
Nota-se que os fatores que influenciam o valor da indução magnética são a 
corrente, o número de espiras, o material do núcleo e o comprimento do solenoide. Sendo 
a indução diretamente proporcional aos três primeiros e inversamente proporcional ao 
comprimento. Quanto maior a corrente maior será o efeito magnético percebido e, se 
forem colocadas mais espiras, os efeitos magnéticos serão somados, resultando em uma 
maior indução. Se as espiras forem colocadas mais juntas (comprimento menor) haverá 
menor dispersão das linhas, de modo que a indução também acaba sendo maior. 
 
Exemplo 2.6: Calcular a indução e o fluxo dentro de um solenoide de seção 
circular, com núcleo de ar, cujo comprimento é 10 cm, o diâmetro interno é 2 cm, o 
número de espiras é 1000 e a corrente é 10 A. 
 
 
 
 
 
2.4.3 Intensidade de campo magnético em um toroide 
Uma bobina toroidal ou simplesmente um toroide é um solenoide em forma de 
anel, como mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.13 - Toroide 
36 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
Numa bobina de forma toroidal as linhas de força são circulares e encerradas 
dentro do núcleo. O valor do campo é constante em toda a extensão das linhas de força e 
é mais ou menos constante em toda a seção transversal. 
Os toroides são capazes de proporcionar a maior concentração das linhas de 
campo magnético no seu núcleo, o qual é um caminho fechado para as linhas. Este núcleo 
pode ser fabricado em qualquer material, desde ar até materiais ferromagnéticos. As 
seções transversais de um toroide podem ser circulares, retangulares ou quadradas. Antes 
de se demonstrar matematicamente a equação da intensidade de campo magnético de um 
toroide, é pertinente estabelecer algumas definições relacionadas a esta nova geometria. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.14 – Dimensões em um toroide 
Os raios do toroide são definidos como um raio interno ri, um raio externo re e um 
raio médio rm. No equacionamento da intensidade de campo magnético é considerado o 
raio médio pois fornece o comprimento médio a ser magnetizado pela linha de força, neste 
caso, o comprimento médio é o perímetro da circunferência com raio rm. 
Observação: O raio médio do toroide não deve ser confundido com o raio da seção 
transversal do núcleo, com o raio interno, com o raio externo ou com o raio das espiras. 
𝑟𝑚 =
𝑟𝑖+𝑟𝑒
2
 (2.11) 
Matematicamente pode ser comprovado que a intensidade de campo magnético 
na região com raio menor que ri e raio maior que re é NULA, pois como o núcleo tem 
forma circular ele é capaz de produzir um caminho magnético enlaçando todas as linhas 
de campo. O sentido das linhas de força pode ser determinado pela regra da mão direita 
para bobinas, como pode ser observado na figura 2.13. 
A equação da intensidade de campo magnético é dada por: 
𝐻 =
𝑁.𝐼
2.𝜋.𝑟𝑚
 (2.12) 
Para se encontrar a indução basta multiplicar a intensidade de campo magnético 
pela permeabilidade magnética do material que compõe o núcleo do toroide. 
37 
 
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𝐵 =
𝜇.𝑁.𝐼
2.𝜋.𝑟𝑚
 (2.13) 
Quando o núcleo for de um material que seja ar ou vácuo: 
𝐵 =
𝜇0.𝑁.𝐼
2.𝜋.𝑟𝑚
 (2.14) 
Exemplo 2.7: Um toroide de seção transversal quadrada tem 2000 espiras e um 
núcleo de ferro com permeabilidade relativa µr = 1000. O raio interno vale 10 cm e o raio 
externo vale 15 cm. Qual deve ser a corrente para produzir uma indução de 1 T no ponto 
médio do núcleo? 
 
 
 
 
 
2.5 Curvas de Magnetização e Desmagnetização dos Materiais Ferromagnéticos 
Para cada tipo de material magnético existe uma curva que relaciona a densidade 
de fluxo (indução) com a intensidade de campo magnético (curva BxH). A curva é obtida 
a partir de incrementos da força magnetizante (intensidade de campo magnético) e 
obtendo-se o resultado da indução. Existe um ponto no qual incrementos da intensidade 
de campo magnético em nada incrementam o valor da indução, neste ponto se diz que 
ocorreu a SATURAÇÃO MAGNÉTICA do material. A região do “joelho” da curva é o 
limite aproximado entre a parte linear e o início da saturação. Existe uma variedade muito 
grande dessas curvas para um mesmo material, em que o tipo de tratamento térmico 
modifica essa curva. Na figura abaixo estão exemplificadas as curvas de magnetização de 
alguns materiais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.15 – Curvas de magnetização de alguns materiais magnéticos 
38 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
2.6 Histerese Magnética 
Considere-se uma bobina enrolada em um núcleo magnético. A bobina é 
alimentada por uma fonte que permite variar o valor da corrente e inverter o seu sentido. 
Neste ensaio supõe-se que o material é magneticamente virgem, ou seja, nunca tenha sido 
magnetizado antes. Inicialmente aumenta-se a corrente na bobina, aumentando o campo 
indutor (H). A indução vai crescendo segundo a curva 0 - 1 até que seja atingida a 
saturação magnética quando todos os domínios estão orientados. 
Reduz-se o campo indutor e a indução decresce, porém o retorno não acontece 
sobre a linha original e sim segundo a linha 1-2. Quando o campo indutor se anula (H = 
0) ainda resta certa indução, ou seja, mesmo sem campo indutor externo os ímãs 
elementares se mantêm parcialmente orientados. Define-se como Indução Residual ou 
Remanente como sendo a indução que se mantém quando o campo indutor é anulado. 
Para anular a indução residual deve-se inverter a corrente (aplicar um campo 
indutor ao contrário) e ir aumentando gradativamente até que a indução anule-se (B 
= 0). O campo indutor capaz de levar a indução residual a zero é chamado de campo 
coercitivo ou força coercitiva ( Hc ). 
Aumentando-se o campo indutor (H) no sentido negativo chega-se à saturação do 
material em sentido contrário (ponto 4). 
Reduzindo-se a excitação da bobina magnetizadora a densidade magnética B 
diminui até chegar ao ponto 5 (H = 0) sobrando uma indução residual Br negativa. 
Para anular esta indução residual deve-se inverter o campo indutor e aumentá-lo 
até alcançar Hc . 
Continuando-se a aumentar o campo indutor chega-se novamente à saturação no 
sentido positivo. 
Como se percebeu o valor da indução segue o valor do campo indutor H com certo 
atraso, ou seja, quando H chega à zero B ainda não chegou, H atinge valores negativos 
antes dos valores de B atingirem. 
Histeresis, em grego, significa atraso por isto o laço de histerese magnética tem 
este nome, sendo também chamado de ciclo de histerese. Na figura 2.16 é apresentado 
um laço de histerese típico. 
De modo geral, quando o material não está magnetizado seus domínios 
magnéticos estão dispostos de maneira aleatória. Porém, ao aplicar-se uma força 
magnetizante, os domínios se alinham com o campo aplicado. Se invertermos o sentido 
do campo os domínios também inverterão sua orientação. Ao inverter sua orientação, os 
39 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnicadomínios precisam superar o atrito e a inércia. Ao fazer isto dissipam certa quantidade de 
energia na forma de calor, que é chamada de PERDA POR HISTERESE. Quanto maior 
a força coercitiva mais difícil se torna a desmagnetização do material e, portanto, mais 
perdas ocorrem. 
Pode-se provar matematicamente que a área dentro do laço de histerese representa 
as perdas histeréticas. Assim, para o trabalho com corrente variável (ou alternada), é 
necessário que o laço seja o mais estreito possível para que as perdas sejam o menor 
possível. Na figura 2.17 é apresentado um gráfico com a representação das perdas por 
histerese magnética. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.16 – Laço de Histerese 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.17 – Perdas por histerese magnética 
 
40 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
Para redução dessas perdas deve-se usar material de baixa força coercitiva, 
indução magnética baixa (material não saturado) e reduzir a frequência da variação do 
fluxo (quando for possível). 
A curva B-H dos materiais é que diferenciam as suas propriedades para fabricação 
de ímãs e de eletroímãs. 
Os ímãs permanentes ideais devem ter alta coercitividade para que sejam difíceis 
de serem desmagnetizados e alta remanência para que apresentem uma boa indução de 
trabalho. Os ímãs reais dificilmente apresentam as duas características completas juntas. 
Os materiais mais usados em ímãs permanentes são: Aço com alto teor de carbono, 
Ferrite, Alnico, Samário- Cobalto, Neodímio-Ferro-Boro. 
Para fabricar eletroímãs o importante é que a indução seja alta para pequenos 
valores de H (alta permeabilidade) e que a coercitividade e remanência sejam pequenas 
para que, quando a corrente seja extinta a indução residual anule-se facilmente. O material 
ideal para eletroímãs deve ter, portanto, o laço de histerese representando uma reta que 
passa pela origem e tenha grande inclinação (grande permeabilidade). 
Para fabricação de eletroímãs são usados normalmente aço-doce e o aço-silício. 
Estes materiais têm alta permeabilidade e pequena força coercitiva, porém, possuem alta 
indução residual, o que não chega a ser um problema pois é facilmente reduzida já que 
a força coercitiva é muito baixa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.18 – Característica do laço de histerese de ímãs permanentes e 
eletroímãs 
 
 
41 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
2.7 Fios Esmaltados 
Os fios usados para confecção de bobinas de motores, transformadores e outros 
equipamentos eletromagnéticos são feitos de cobre ou alumínio e revestidos por esmalte 
isolante. Alguns condutores podem possuir, adicionalmente ao esmalte, uma cobertura de 
papel Kraft, algodão ou fibra de vidro impregnada com diferentes tipos de vernizes. 
Os materiais isolantes usados em dispositivos eletromagnéticos devem ocupar 
pouco espaço e suportar temperaturas altas. Dependendo da temperatura máxima 
suportada, existe uma classificação em classes de isolamento, segundo o padrão IEC 
(International Electrotechnical Commission – Comissão Eletrotécnica Internacional), que 
se apresenta na Tabela 2.2. 
Tabela 2.2 – Classes de Isolamento 
Classe de Isolação Temperatura 
 Y (O) 900C 
A 1050C 
E 1200C 
B 1300C 
F 1550C 
H 1800C 
C >1800C (2000C/2200C) 
 
Os condutores podem ter seção transversal circular, quadrada ou retangular. Para 
pequenas seções usam-se, geralmente, fios circulares. 
Os condutores esmaltados são acondicionados em carretéis com pesos que vão 
desde frações de quilograma até mais de uma centena de quilogramas. Ao contrário dos 
condutores para instalações elétricas, que são vendidos por metro, os fios esmaltados são 
vendidos por quilograma. 
No Brasil a seção dos fios é especificada de duas formas: 
 Escala AWG ou B&S. 
 Escala milimétrica. 
Na escala milimétrica, também utilizada na Europa, os fios são especificados 
segundo o diâmetro, em milímetros, do condutor nú. (Tabela 2.3) 
A escala AWG (American Wire Gauge) ou B&S (Brown and Sharpe) tem origem 
nos Estados Unidos e está mostrada na Tabela 2.4. 
 
42 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
Exemplo 2.8: Com base nos valores da Tabela 2.4, calcule a área da seção 
transversal dos fios listados abaixo. 
 
a) 20 AWG diâmetro nominal (fio nu) = __________ Área = __________ 
b) 23 AWG diâmetro nominal (fio nu) = __________ Área =__________ 
c) 26 AWG diâmetro nominal (fio nu) = __________ Área =__________ 
d) 30 AWG diâmetro nominal (fio nu) = __________ Área =__________ 
Conclusões: 
 Somando 3 ao número de cada condutor a área cai aproximadamente à metade. 
 Somando 10 ao número de cada condutor a área cai aproximadamente à décima parte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
Tabela 2.3 – Escala Milimétrica 
Diâmetro do fio nu 
(mm) 
Resistência Elétrica 
/m a 200C - Fio de cobre 
 
Tipo S (grau 1) 
 
Tipo R (grau 2) 
 
Nominal 
 
Mínimo 
 
Máximo 
 
Mínima 
 
Nominal 
 
Máxima 
Acresc. 
Min. (mm) 
Diâm.Ext.max. 
(mm) 
Acresc. 
Min. (mm) 
Diâm.Ext.max 
(mm) 
0,020 0,019 0,021 50,4896 54,8800 59,2704 0,003 0,025 0,005 0,030 
0,025 0,024 0,026 32,3133 35,1232 37,9331 0,003 0,031 0,005 0,036 
0,032 0,031 0,033 19,7225 21,4375 23,1525 0,003 0,038 0,006 0,044 
0,040 0,038 0,042 12,6224 13,7200 14,8176 0,003 0,047 0,008 0,053 
0,050 0,048 0,052 8,07834 8,78080 9,48326 0,003 0,060 0,010 0,067 
0,063 0,060 0,066 5,08839 5,53086 5,97333 0,005 0,075 0,010 0,080 
0,070 0,067 0,073 4,11935 4,48000 4,89017 0,005 0,083 0,013 0,090 
0,080 0,077 0,083 3,18653 3,43000 3,70248 0,005 0,095 0,015 0,103 
0,090 0,088 0,093 2,53810 2,71012 2,83471 0,005 0,105 0,015 0,115 
0,100 0,097 0,103 2,06919 2,19520 2,33308 0,008 0,117 0,018 0,128 
0,112 0,109 0,115 1,65989 1,75000 1,84766 0,008 0,130 0,020 0,142 
0,125 0,122 0,128 1,33984 1,40493 1,47487 0,010 0,145 0,020 0,158 
0,140 0,137 0,143 1,07350 1,12000 1,16959 0,010 0,161 0,023 0,176 
0,160 0,157 0,163 0,826226 0,857500 0,890583 0,013 0,183 0,025 0,198 
0,180 0,177 0,183 0,655498 0,677531 0,700692 0,013 0,206 0,028 0,224 
0,200 0,197 0,203 0,532699 0,548800 0,565642 0,015 0,228 0,030 0,246 
0,250 0,247 0,253 0,342951 0,351232 0,359815 0,018 0,280 0,036 0,298 
0,280 0,277 0,283 0,274095 0,280000 0,286097 0,018 0,312 0,038 0,330 
0,315 0,312 0,318 0,217080 0,221235 0,225509 0,020 0,351 0,040 0,368 
0,355 0,351 0,359 0,170328 0,174188 0,178180 0,020 0,390 0,041 0,411 
0,400 0,396 0,404 0,134496 0,137200 0,139986 0,023 0,435 0,043 0,458 
0,450 0,445 0,455 0,106035 0,108405 0,110855 0,023 0,488 0,046 0,511 
0,500 0,495 0,505 0,086078 0,087808 0,089591 0,025 0,540 0,048 0,565 
0,5600 0,554 0,566 0,068524 0,070000 0,071524 0,025 0,602 0,050 0,628 
0,630 0,624 0,636 0,054270 0,055309 0,056377 0,027 0,673 0,053 0,701 
0,710 0,703 0,717 0,042701 0,043547 0,044418 0,028 0,755 0,055 0,783 
0,750 0,742 0,758 0,038206 0,039026 0,039872 0,029 0,797 0,057 0,825 
0,800 0,792 0,808 0,033624 0,034300 0,034996 0,030 0,848 0,058 0,878 
0,850 0,841 0,859 0,029750 0,030383 0,031037 0,030 0,899 0,060 0,930 
0,900 0,891 0,909 0,026567 0,027101 0,027651 0,030 0,951 0,063 0,981 
0,950 0,940 0,960 0,023819 0,024324 0,024844 0,031 1,002 0,065 1,033 
1,000 0,990 1,010 0,021519 0,021952 0,022398 0,032 1,053 0,066 1,085 
1,060 1,049 1,071 0,019537 0,034 1,114 0,067 1,147 
1,120 1,109 1,131 0,017500 0,035 1,175 0,070 1,208 
1,180 1,168 1,192 0,015766 0,036 1,237 0,072 1,270 
1,250 1,237 1,263 0,0140490,036 1,308 0,073 1,343 
1,320 1,307 1,333 0,012599 0,036 1,379 0,074 1,415 
1,400 1,386 1,414 0,011200 0,037 1,459 0,075 1,496 
1,500 1,485 1,515 0,009756 0,039 1,560 0,077 1,599 
1,600 1,584 1,616 0,008575 0,041 1,663 0,080 1,703 
1,700 1,683 1,717 0,007596 0,039 1,761 0,076 1,800 
1,800 1,782 1,818 0,006775 0,035 1,857 0,070 1,895 
1,900 1,881 1,919 0,006081 0,036 1,958 0,072 1,996 
2,000 1,980 2,020 0,005488 0,037 2,059 0,073 2,098 
2,120 2,099 2,141 0,004884 0,037 2,180 0,075 2,220 
2,240 2,218 2,262 0,004375 0,037 2,301 0,075 2,343 
2,360 2,336 2,384 0,003941 0,039 2,422 0,077 2,465 
2,500 2,475 2,525 0,003512 0,039 2,562 0,078 2,606 
2,650 2,623 2,677 0,003126 0,039 2,713 0,079 2,758 
2,800 2,772 2,828 0,002800 0,040 2,865 0,080 2,912 
3,000 2,970 3,030 0,002439 0,041 3,067 0,082 3,115 
3,150 3,118 3,182 0,002212 0,041 3,217 0,083 3,267 
3,350 3,316 3,384 0,001956 0,042 3,418 0,084 3,470 
3,550 3,514 3,586 0,001742 0,043 3,619 0,085 3,771 
3,750 3,712 3,788 0,001561 0,043 3,820 0,087 3,873 
4,000 3,960 4,040 0,001372 0,044 4,071 0,088 4,127 
4,250 4,207 4,293 0,001215 0,045 4,327 0,090 4,381 
4,500 4,455 4,545 0,001084 0,045 4,574 0,091 4,634 
4,750 4,702 4,798 0,000973 0,045 4,825 0,092 4,886 
5,000 4,950 5,050 0,000878 0,46 5,075 0,093 5,138 
44 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
Tabela 2.4 – Escala AWG 
Bitola 
 
Diâmetro do fio nu 
(mm) 
Resistência elétrica /m a 200C - Fio 
de cobre 
Tipo S (grau 1) Tipo R (grau 2) 
(AWG) Nom. Min. Max. Mín. Nom. Máx. Acresc. 
Min. (mm) 
Diâm. Ext. 
max. (mm) 
Acresc. 
Min. (mm) 
Diâm. Ext. 
max. (mm) 
52 0,020 0,019 0,021 50,4896 54,8800 59,2704 0,003 0,025 0,005 0,030 
51 0,022 0,021 0,023 41,7269 45,3554 48,9838 0,003 0,028 0,005 0,033 
50 0,025 0,024 0,026 32,3133 35,1232 37,9331 0,003 0,031 0,005 0,036 
49 0,028 0,027 0,029 25,7600 28,0000 30,2400 0,003 0,033 0,005 0,038 
48 0,032 0,031 0,033 19,7225 21,4375 23,1525 0,003 0,038 0,005 0,043 
47 0,036 0,034 0,038 15,8532 16,9383 18,2933 0,003 0,043 0,008 0,048 
46 0,040 0,038 0,042 12,6224 13,7200 14,8176 0,003 0,047 0,008 0,053 
45 0,045 0,043 0,047 9,97326 10,8405 11,7077 0,003 0,052 0,008 0,058 
44 0,051 0,048 0,054 7,76464 8,43983 9,11502 0,003 0,061 0,010 0,069 
43 0,056 0,053 0,059 6,44000 7,00000 7,56000 0,005 0,066 0,010 0,074 
42 0,064 0,061 0,067 4,89017 5,35938 5,89949 0,005 0,076 0,010 0,081 
41 0,071 0,068 0,074 4,00876 4,35469 4,74740 0,005 0,084 0,013 0,091 
40 0,079 0,076 0,082 3,26472 3,51739 3,80055 0,005 0,094 0,015 0,102 
39 0,089 0,086 0,092 2,59357 2,77137 2,96809 0,005 0,104 0,015 0,114 
38 0,102 0,099 0,105 1,99111 2,10996 2,23977 0,008 0,119 0,018 0,130 
37 0,114 0,111 0,117 1,60362 1,68914 1,78167 0,008 0,132 0,020 0,145 
36 0,127 0,124 0,130 1,29893 1,36103 1,42768 0,010 0,147 0,020 0,160 
35 0,142 0,139 0,145 1,04409 1,08867 1,13617 0,010 0,163 0,023 0,178 
34 0,160 0,157 0,163 0,82622 0,857500 0,890583 0,013 0,183 0,025 0,198 
33 0,180 0,177 0,183 0,65549 0,677531 0,700692 0,013 0,206 0,028 0,224 
32 0,203 0,200 0,206 0,515729 0,532699 0,548800 0,015 0,231 0,030 0,249 
31 0,226 0,223 0,229 0,41860 0,429791 0,441432 0,015 0,254 0,033 0,274 
30 0,254 0,251 0,257 0,33235 0,340257 0,348439 0,018 0,284 0,036 0,302 
29 0,287 0,284 0,290 0,26102 0,266508 0,272168 0,018 0,320 0,038 0,336 
28 0,320 0,317 0,323 0,21041 0,214375 0,218452 0,020 0,356 0,041 0,373 
27 0,361 0,357 0,365 0,16477 0,168446 0,172241 0,020 0,396 0,041 0,417 
26 0,404 0,400 0,408 0,13187 0,134497 0,137200 0,023 0,439 0,043 0,462 
25 0,455 0,450 0,460 0,10374 0,106036 0,108405 0,023 0,493 0,046 0,516 
24 0,511 0,506 0,516 0,08244 0,084068 0,085738 0,025 0,551 0,048 0,577 
23 0,574 0,568 0,580 0,06525 0,066627 0,068042 0,025 0,617 0,051 0,643 
22 0,643 0,637 0,649 0,05211 0,053095 0,054100 0,028 0,686 0,053 0,714 
21 0,724 0,717 0,731 0,04108 0,041879 0,042701 0,028 0,770 0,056 0,798 
20 0,813 0,805 0,821 0,03256 0,033212 0,033875 0,030 0,861 0,058 0,892 
19 0,912 0,903 0,921 0,02587 0,026393 0,026921 0,030 0,963 0,064 0,993 
18 1,024 1,014 1,034 0,020935 0,033 1,077 0,066 1,110 
17 1,151 1,139 1,163 0,016570 0,036 1,207 0,071 1,240 
16 1,290 1,277 1,303 0,013192 0,036 1,349 0,074 1,384 
15 1,450 1,435 1,465 0,010441 0,038 1,509 0,076 1,547 
14 1,628 1,612 1,644 0,008283 0,041 1,692 0,081 1,732 
13 1,829 1,811 1,847 0,006562 0,035 1,886 0,071 1,923 
12 2,052 2,031 2,073 0,005213 0,037 2,111 0,074 2,151 
11 2,304 2,281 2,327 0,004135 0,038 2,366 0,076 2,408 
10 2,588 2,562 2,614 0,003278 0,039 2,651 0,079 2,695 
09 2,906 2,877 2,935 0,002599 0,041 2,972 0,081 3,020 
08 3,264 3,231 3,297 0,002061 0,042 3,332 0,084 3,383 
07 3,665 3,628 3,702 0,001634 0,043 3,734 0,086 3,787 
06 4,115 4,074 4,156 0,001296 0,045 4,186 0,089 4,244 
05 4,620 4,574 4,666 0,001028 0,045 4,695 0,091 4,755 
04 5,189 5,137 5,241 0,000815 0,047 5,265 0,094 5,329 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
2.8 Formas de Magnetização 
De um modo geral, para magnetizar uma peça deve-se submetê-la à ação de um 
campo magnético externo, denominado genericamente de campo indutor. Porém, antes 
de um estudo mais detalhado, é conveniente fazer uma apresentação sucinta sobre os 
compostos de ferro. 
O ferro puro tem um uso limitado devido ao alto custo, assim, sempre existe uma 
percentagem de Carbono junto com o ferro. O ferro doce (dúctil, dócil, flexível, elástico) 
é aquele que tem até aproximadamente 0,36% de Carbono. O aço (duro) tem de 0,36% a 
1,5% de Carbono. O gusa tem mais de 2,5% de carbono. A quantidade de Carbono afeta 
a retentividade do ferro. Quanto maior a quantidade de Carbono presente no ferro, maior 
é a sua retentividade (capacidade de reter o magnetismo). 
A seguir serão estudados dois métodos de magnetização: 
 Método da bobina 
 Método do atrito 
 
Figura 2.19 – Métodos de Magnetização 
a) Método da bobina 
Para exemplificar este método, mostra-se na figura abaixo uma chave de fenda 
que é magnetizada pela ação da corrente que passa pela bobina. O campo magnético 
criado pela bobina ordena os ímãs elementares da chave de fenda que, então, cria o seu 
próprio campo magnético, denominado campo induzido. As ferramentas, tipo chave de 
fenda, tesoura e alicate entre outras, são feitas de aço carbono que tem alta retentividade, 
portanto, mesmo depois de cessado o campo indutor a peça fica magnetizada tornando-
se um ímã permanente. 
 
46 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.20 – Magnetizando uma chave de fenda 
Executando o mesmo método em uma peça de ferro doce observa-se que quando 
o campo indutor cessa o material fica praticamente desmagnetizado. Isto ocorre porque o 
ferro doce tem baixa retentividade e presta-se para construção de ímãs temporários. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.21 – Magnetização de uma barra de ferro doce 
 
 
 
 
 
 
47 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
b) Método do atrito 
Atritando-se um ímã permanente com uma peça magnética também se consegue 
ordenar os ímãs elementares e criar um campo induzido. As observações do item anterior 
quanto ao tipo de ferro continuam válidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.22 – Magnetização por atrito 
Quando todos os ímãs elementares ficam ordenados de tal modo que mesmo 
aumentando o campo indutor o campo induzido não aumenta, o material atinge a 
saturação magnética. A saturação magnética existe em qualquer material magnético 
qualquer que seja o método de magnetização. 
 
2.9 Formas de desmagnetização 
 Pode ser obtida a desmagnetização de um materialatravés de vibração mecânica, 
com elevação de temperatura ou aplicação de um campo magnético contrário (vide laço 
de histerese). Tanto com vibração mecânica quanto com elevação de temperatura 
acontece uma agitação interna que provoca o desalinhamento dos domínios magnéticos 
(ímãs elementares). Existe uma temperatura para cada material na qual o mesmo perde 
todas as suas propriedades magnéticas, devido às agitações térmicas das moléculas. Esta 
temperatura é denominada PONTO DE CURIE. 
 
 
 
48 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
2.10 Experimentos 
Experimento 2.1 
 
Título: Campo Magnético de um Condutor Retilíneo 
 
Material necessário: 
 
- 01 Fonte de alimentação 
- 01 Bússola 
- Cabos 
 
Roteiro 
 
1 – Coloque a bússola sobre a bancada e afastada de qualquer ímã ou material magnético. 
Represente através de um desenho a orientação da agulha magnética. 
 
 
 
 
 
2 – Com a fonte desligada, gire os três potenciômetros da fonte cc totalmente em sentido 
anti-horário. 
 
3 – Gire o potenciômetro CORRENTE totalmente em sentido horário para que a fonte 
libere corrente. A chave de escala do amperímetro deve estar na posição X2. 
 
4 – Ainda com a fonte desligada, faça um curto-circuito entre seus terminais. Este 
procedimento somente é possível em função de a fonte possuir uma limitação interna de 
corrente. 
 
5 – Ligue a fonte e gire o potenciômetro de ajuste fino (FINA) lentamente até que a 
corrente seja 1,6A. 
 
6 – Desligue a fonte. 
49 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
 
7 - Coloque o condutor esticado sobre a bússola e paralelo a agulha magnética. 
 
8 – Ligue a fonte. 
 
9 – Represente no desenho abaixo o condutor, indicando o sentido da corrente, e a agulha 
magnética. 
 
 
 
 
 
10 – Repita o experimento, colocando o condutor embaixo da bússola. Represente através 
de desenho a orientação da agulha. 
 
 
 
 
 
11 – Repita os experimentos, invertendo o sentido da corrente no condutor. 
 condutor em cima da bússola condutor embaixo da bússola 
 
 
 
 
 
12 – Anote conclusões: 
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
............................................................................................................................................. 
50 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
 
Experimento 2.2 
 
Título: Campo Magnético de uma Bobina 
 
Material necessário: 
 
- 01 Fonte de alimentação - 01 Bússola 
- 01 Prego grande - Fita crepe e cartolina 
 -03 metros de fio de cobre esmaltado 26 AWG (ou 
próximo) 
- 02 cabos banana-jacaré 
- Ferramentas - 01 alfinete 
 
Roteiro 
 
1 – Coloque uma faixa de cartolina em torno do corpo do prego grande, formando um 
tubo. Prenda-a com fita crepe, porém, certifique-se que o prego ficou livre para ser 
introduzido ou retirado do tubo de cartolina. Enrole aproximadamente 150 espiras do fio 
esmaltado, bem próximas, em torno do tubo, conforme representado abaixo. Use a fita 
crepe para fixar a bobina na cartolina de forma que o fio não se desenrole. A seguir, raspe 
aproximadamente 2 cm de esmalte em cada extremidade do fio. 
 
2 – Usando a regra adequada, indique a polaridade do prego para a situação mostrada 
abaixo. Não execute as ligações na prática ainda. 
ATENÇÃO PARA O 
SENTIDO DO 
ENROLAMENTO! 
51 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
 
3 – Gire os três potenciômetros da fonte cc totalmente em sentido anti-horário. 
 
4 – Gire o potenciômetro CORRENTE totalmente em sentido horário para que a fonte 
libere corrente. A chave de escala do amperímetro deve estar na posição X2. 
 
5 – Conecte os terminais A e B da bobina, respectivamente, nos bornes positivo e negativo 
da fonte. Use os cabos banana-jacaré. 
 
6 – Ligue a fonte e gire o potenciômetro de ajuste fino (FINA), lentamente, até que a 
corrente seja 2,0 A. 
 
7 – Verifique a posição da agulha magnética nas posições 1, 2, 3 e 4 indicadas abaixo. 
Desenhe a agulha magnética em cada posição. 
Obs.: toque com cuidado na bobina e verifique o efeito térmico da corrente (Efeito Joule). 
 
8 – Agora, sem a bússola, aproxime o alfinete das posições 1 e 2 e relate o que aconteceu. 
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
...................................... 
9 – Represente algumas linhas de força do campo magnético. 
 
 
 
 
 
52 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
10 – Inverta o sentido da corrente na bobina e repita o item 7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 – Agora, sem a bússola e sem o prego do interior da cartolina, aproxime o alfinete 
das posições 1 e 2 e relate o que aconteceu. 
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
...................................... 
12 – Explique, sob o ponto de vista deste experimento, o que são campo indutor e 
campo induzido. 
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
............................................................................................................................................. 
13 – Anote conclusões. 
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
............................................................................................................................................. 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnicoem Eletrotécnica 
Experimento 2.3 
Título: Temperatura e Magnetização 
Material necessário: 
- 01 ímã permanente - 02 alfinetes 
- 01 vela - 01 alicate universal 
 
Roteiro 
1 – Magnetize os alfinetes usando o ímã permanente. 
 
2 – Verifique se os alfinetes atraem-se:..................................... 
 
3 – Acenda a vela e aqueça um alfinete de cada vez segurando-o com o alicate. 
 
4 – Aproxime os alfinetes e verifique se existe atração:............................... 
 
5 – Anote conclusões. 
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
............................................................................................................................................. 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
2.11 Exercícios 
1. Descreva a regra usada para determinar o sentido das linhas de força magnéticas 
criadas por um condutor retilíneo percorrido por corrente. 
2. Para o circuito abaixo, pede-se: 
a) represente a corrente que circula pela bobina; 
b) represente as linhas de força dos campos magnéticos da bobina e do ímã 
permanente; 
c) represente os ímãs elementares do núcleo de ferro sobre o qual está enrolada a 
bobina; 
d) indique os polos Norte e Sul do núcleo de ferro; 
e) determine se há atração ou repulsão entre o núcleo de ferro e o ímã permanente. 
 
 
3. Descreva os processos de magnetização e desmagnetização de materiais. 
 
4. Explique o que é saturação magnética. 
 
5. Explique o que é retentividade e descreva a influência do percentual de carbono sobre 
a retentividade do ferro. 
 
6. Explique o que é Temperatura de Curie. 
 
 
7. Qual a principal relação entre magnetismo e eletricidade? 
 
55 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
8. Determine o que se pede na figura a seguir: 
 
 
 
 
 Vetor entrando no plano Vetor saindo do plano 
 
9. Um fio retilíneo percorrido por corrente produz um campo magnético com qual 
formato? Qual regra nos dá o sentido dos vetores? Explique. 
10. Indique o sentido das linhas de força nas figuras a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Aonde o campo magnético é mais intenso, no fio ou na espira? Explique. 
11. Por que nos solenoides os campos magnéticos são mais intensos? 
12. Explique como funciona a obtenção do campo magnético resultante em um solenoide. 
13. Explique a regra da mão direita para bobinas. 
14. Calcule a intensidade de corrente que deve circular num fio retilíneo colocado no ar 
para produzir uma indução 0,5 T a uma distância de 5cm do centro do fio. R: 125000A 
15. Uma corrente num condutor esticado produz a 5 cm de distância do mesmo uma 
intensidade de campo de 7500Ae/m. Calcular a corrente no fio e a indução no ponto 
mencionado. R: I=2356 A, B=9,425mT 
16. Um solenoide com seção circular de 2cm de diâmetro por 10cm de comprimento tem 
1000 espiras enroladas bem juntas. Calcule a corrente para ser obtido um fluxo de 
0,1mWb. R:25,34 A 
56 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
17. Deseja-se construir um solenoide de 1,5cm de raio e 7,0cm de comprimento de modo 
que, percorrido por uma corrente de 600mA produza, no seu interior, um fluxo de 23 
µWb. Calcule o número de espiras necessárias. R: 3021 espiras 
18. Um toróide com seção quadrada com 750 espiras uniformemente distribuídas. Sabe-
se que o núcleo de ferro tem permeabilidade relativa de 1000. Calcule a indução e o fluxo 
produzido no mesmo para uma corrente de 0,5 A. O raio interno vale Ri=4cm e o externo 
vale Re=6cm. R: H=1194 Ae/m, B=1,5T, Ø=0,6mWb. 
19. Refaça o exercício anterior se a seção transversal for trocada para uma circular com 
diâmetro de 2cm. 
20. O que são fios esmaltados? Explique a diferença entre as duas escalas mais utilizadas. 
21. Determine o diâmetro e calcule a área para os seguintes fios: 
a) 52AWG 
b) 41AWG 
c) 05AWG 
22. Sabendo que a corrente I1 é igual a 5 A e que a corrente I2 é igual a 8 A, determine a 
intensidade de campo magnético e a indução magnética em módulo, direção e sentido nos 
pontos A, B e C, considerando que os condutores estão dispostos no ar. 
 
 
57 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
3. FORÇA E TORQUE ELETROMAGNÉTICOS 
3.1 Força sobre carga elétrica em movimento 
A interação entre eletricidade e magnetismo não acontece de forma universal, só 
em determinadas circunstâncias. A seguir são apresentadas algumas situações em que 
isto é analisado. 
 
Figura 3.1 – Interações entre eletricidade e magnetismo 
 
A interação mais simples possível é a ação de um campo magnético sobre uma 
carga elétrica em movimento. Nas pesquisas realizadas percebeu-se que a força, que age 
sobre uma carga lançada dentro de um campo magnético é sempre perpendicular ao plano 
formado pela velocidade (v) e pela indução (B). Verificou-se também que, o módulo da 
força é proporcional à indução magnética (B), à velocidade da carga (v), ao valor da carga 
(q) e ao seno do ângulo entre a velocidade da carga e as linhas de força (senα). 
Transformando a proporcionalidade em equação, tem-se no SI: 
𝐹 = 𝐵. 𝑣. 𝑞. 𝑠𝑒𝑛𝛼 (3.1) 
Com F em Newtons (N), v em metros por segundo (m/s) e q em Coulombs (C). 
O sentido da força é dado pela regra dos três dedos da mão esquerda (para carga 
positiva). Para conhecer o sentido da força dispõem-se os três dedos da mão esquerda a 
90° entre si. O indicador deve ficar no sentido de B, o dedo médio no sentido de v e o 
polegar fornece o sentido da força F sobre a carga elétrica em movimento. 
 
58 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.2 – Regra dos três dedos da mão esquerda para carga elétrica positiva 
em movimento imersa em campo magnético 
Caso a carga se desloque na mesma direção das linhas de força, nenhuma força 
aparecerá sobre ela, o mesmo acontecerá se a carga estiver em repouso. 
Este fenômeno eletromagnético é o princípio de muitos outros cuja utilidade é 
indiscutível na moderna tecnologia. Citam-se, por exemplo, a força mecânica sobre 
condutor percorrido por corrente imerso em campo magnético, a fem induzida em 
condutor em movimento dentro de campo magnético, o tubo de raios catódicos de uma 
TV de tubo, o efeito Hall, etc. 
Exemplo 3.1: Calcular a força mecânica que age sobre uma carga elétrica de 1nC, 
lançada perpendicularmente num campo magnético de 0,2T com uma velocidade de 120 
km/h. R: 6,67nN 
 
3.2 Força eletromagnética 
Neste adiantamento do curso já se sabe que um condutor percorrido por corrente 
elétrica cria um campo magnético na região que o envolve. Se este condutor estiver sob 
a ação de outro campo magnético, por exemplo, de um ímã permanente, existirão dois 
campos.Também se sabe que a existência de dois campos magnéticos dá origem a forças 
de atração ou repulsão. Assim, considere a sequência da figura 3.3 a seguir. 
I I
N N
S S
F
 
(a) (b) (c) 
Figura 3.3 – Força eletromagnética 
59 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
Na fig.3.3(a) está representado o campo magnético de um ímã permanente e na 
fig.3.3(b) o campo magnético de um condutor retilíneo percorrido por corrente. Na 
fig.3.3(c) o condutor está colocado entre os polos do ímã permanente. O campo resultante 
pode ser determinado ponto a ponto e, neste caso, observa-se que na região a direita do 
condutor há um enfraquecimento do campo, devido às linhas de força estarem em sentidos 
contrários, e na região a esquerda do condutor há um reforço do campo (linhas de força 
no mesmo sentido). A deformação do campo dá origem a uma força que tenta expulsar o 
condutor para que as linhas retornem para a posição indicada na fig.3.3(a). Pode-se dizer 
que as linhas agem como se fossem “elásticos distendidos” empurrando o condutor para 
um lado. Assim sendo, é possível apresentar, neste momento, um dos fundamentos do 
eletromagnetismo. 
 
“Todo condutor percorrido por corrente elétrica e imerso em um campo magnético 
sofre a ação de uma força mecânica de origem magnética (força eletromagnética).” 
 
A equação 3.2 mostra os fatores que determinam a intensidade desta força: 
𝐹 = 𝐵. 𝐼. 𝑙. 𝑠𝑒𝑛𝛼 (3.2) 
Nesta equação, tem-se que: 
F = força eletromagnética sobre o condutor (N); 
B = indução magnética (T); 
l = comprimento do condutor (m); 
I = corrente no condutor (A); 
 = ângulo entre o condutor e as linhas de força. 
Obs.: 
 Se o condutor está colocado paralelamente às linhas de força ( = 0  
sen=0) não existe força atuando no condutor. 
 Se o condutor está colocado perpendicularmente as linhas de força ( = 90  
sen=1) a força que atua no condutor é máxima. 
 
 
 
 
 
60 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
Sentido da força eletromagnética 
O sentido da força pode ser achado aplicando-se a regra de Fleming da mão 
esquerda. Dispõem-se ortogonalmente os dedos polegar, indicador e médio da mão 
esquerda. O dedo indicador aponta no sentido da indução magnética (B), o dedo médio 
aponta no sentido da corrente (I) e o polegar dá o sentido da força sobre o condutor (F). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.4 – Regra de Fleming da mão esquerda 
 
Exemplo 3.2: Calcular a força que age sobre um condutor retilíneo de 0,45m de 
comprimento que está imerso em um campo magnético, perpendicular às linhas de força, 
cuja indução vale 0,32 T sabendo-se que a corrente no mesmo vale 50 A. R: 7,2N 
 
 
 
Exemplo 3.3: Calcular a indução necessária para que um condutor retilíneo de 
25,4 cm de comprimento, percorrido por uma corrente de 3,8 A, estando a 30° com as 
linhas de força, produza uma força de 0,25 N. R: 0,52T 
 
 
 
 
3.3 Força de Atração de um Eletroímã 
Apesar dos eletroímãs serem equipamentos muito comuns e das mais diversas 
formas, seu equacionamento analítico é bastante limitado. As equações disponíveis 
sempre fazem uma série de restrições para que permaneçam confiáveis. A seguir será 
apresentada a força de atração cuja dedução é baseada na variação da energia magnética 
armazenada em função do comprimento do entreferro. (Resende, Materiais usados em 
61 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
Eletricidade, p.188, Fitzgerald, Máquinas Elétricas, p.89, Martignoni, Eletrotécnica, 
p.104). 
𝑓 =
𝐵².𝑆
2.𝜇0
 (3.3) 
Onde: 
f = força numa face polar com área S e indução B (N); 
S = área de uma face polar (m²); 
B = indução no entreferro (T); 
µ0 = permeabilidade magnética do vácuo (4π.10
-7 T.m/A). 
 Esta equação foi deduzida levando em conta as seguintes simplificações: 
a) A relutância do ferro é considerada desprezível em comparação com a do ar, ou 
seja, após a atração a equação deixa de ser precisa. 
b) A indução deve ser constante em toda a área do entreferro, ou seja, o entreferro 
não deve exceder alguns milímetros a fim de que o espraiamento e a dispersão 
magnética sejam desprezíveis. Lembrando que: 
i. Dispersão Magnética – Linhas de força que se fecham por um caminho 
externo ao núcleo, como na figura 2.5. A presença da dispersão faz com 
que o valor do fluxo obtido seja menor (e da indução também). 
ii. Espraiamento – Situação em que a seção do entreferro é um pouco maior 
do que a seção das faces do ferro, com o aumento de área há a diminuição 
da indução. 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) 
Figura 3.5 – Linhas de força no entreferro: a) Sem espraiamento b) Com espraiamento 
 
Exemplo 3.4: Calcule a força de atração de um eletroímã que possui face polar 
com seção circular com raio de 5 cm, submetido a uma indução de 0,2 T. R: 125N 
 
62 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
3.4 Revisão: Torque ou Conjugado 
O torque (também chamado de conjugado, momento ou binário) é a medida do 
esforço necessário para girar um eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
Se dobrarmos o comprimento r da manivela, a força F necessária será diminuída 
à metade. No exemplo da figura 3.1, se o balde pesa 20 N (aproximadamente 2 kgf) e o 
diâmetro do tambor é 20 cm (0,20 m), a corda transmitirá uma força de 20 N na superfície 
do tambor, isto é, a 0,10 m do centro do eixo. Para contrabalançar esta força, precisam de 
10N na manivela se o comprimento r for 20 cm (0,20 m). Se r for o dobro, isto é, 0,40m, 
a força F será a metade, ou seja, 5N. 
Como vemos, para medir o “esforço” necessário para fazer girar o eixo não basta 
definir a força empregada. É preciso também dizer a que distância do eixo a força é 
aplicada. O “esforço” é medido pelo torque (T), que é o produto da força (F) pela distância 
(r): 
𝑇 = 𝐹. 𝑟 (3.4) 
No exemplo citado, o torque vale: 
T = 20N . 0,10m = 10N . 0,20m = 5N . 0,40m = 2 Nm 
As unidades aqui utilizadas são do Sistema Internacional (SI). Outra unidade usual 
para torque é o quilogramaforça-metro (kgfm) (1Kgf = 9,8N). 
Exemplo 3.5: Se o cilindro da figura 3.6 tiver 25 cm de diâmetro, r for igual a 25 
cm, e a massa do balde valer 30 kg, considerando g=10m/s². Determine a força que deve 
ser aplicada à manivela para elevar o balde com velocidade constante. R: 150N 
 
 
 
 É sabido, pela experiência 
prática, que para levantar um peso 
por um processo semelhante ao 
usado em poços de água (fig.3.6), a 
força F que é preciso aplicar à 
manivela depende do comprimento r 
da manivela. Quanto maior for a 
manivela, menor será a força 
necessária. Figura 3.6 – Sistema usado em poços d’água 
63 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
3.5 Torque de um ímã permanente 
Um ímã permanente colocado sob a ação de um campo magnético externo sofre a 
ação de forças magnéticas e produz torque no sentido de alinhar o seu eixo magnético 
(vetor n) com o campo externo (vetor B) (fig.3.7). Neste caso, o torque depende, dentre 
outros fatores, do ângulo () entre o eixo magnético do ímã (vetor n) e o campo externo. 
Observa-se, experimentalmente, que se =0° não existe torque e se =90° o torque é 
máximo. 
S

n
 S
B
N
S
N
F
 N
 F
 
 Figura 3.7 – Torque de um ímã permanente 
 
3.6 Torque eletromagnético de uma bobina 
Sempre que houver um condutorpercorrido por corrente imerso em um campo 
magnético haverá uma força eletromagnética agindo sobre este condutor. Quando se tiver 
uma espira ou uma bobina de N espiras, dentro de um campo magnético, fixa a um eixo 
de rotação, ela sofrerá uma torção ao ser percorrida por uma corrente elétrica (fig.3.8). O 
torque atua no sentido de alinhar o eixo magnético da bobina n com o vetor indução 
magnética B. O ângulo entre os vetores n e B é designado por  (ângulo de torque). 
64 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
I
I
I
I
F
F
l
2r
rn
B

I
I
F
F

n
B
II
FF
 
n
B

F
R
F
T
S S
N N
F
R
F
T
(a)
(b)
(c)
 
Figura 3.8 – Torque eletromagnético de uma bobina 
 
Sobre cada um dos lados ativos da bobina (lados perpendiculares às linhas de 
força) surge uma força, cujo sentido é dado pela regra de Fleming da mão esquerda e cujo 
módulo é calculado por: 
𝐹 = 𝑁. 𝐵. 𝐼. 𝑙. 𝑠𝑒𝑛𝛼 (3.5) 
Percebe-se que estas forças podem ser decompostas em duas componentes 
(fig.3.8b): 
 A componente radial FR tem sua reta suporte passando pelo eixo da espira. As 
componentes radiais cancelam-se mutuamente e não produzem torque. 
 A componente tangencial FT tem a sua direção perpendicular ao raio. As duas 
componentes tangenciais são as responsáveis pela produção do torque. 
O torque é expresso pelo somatório dos momentos das forças que agem sobre cada 
lado ativo da bobina. Só as forças tangenciais causam conjugado, portanto: 
 𝑇 = ∑𝐹𝑇 . 𝑟 = 2. 𝐹𝑇 . 𝑟 (3.6) 
 
65 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
Mas, da fig.3.8b, obtém-se: 
𝐹𝑇 = 𝐹. 𝑠𝑒𝑛𝛼 (3.7) 
 Substituindo-se a eq.3.5 na eq.3.7, chega-se em: 
𝐹𝑇 = 𝑁.𝐵. 𝐼. 𝑙. 𝑠𝑒𝑛𝛼 (3.8) 
O torque fica assim estabelecido: 
𝑇 = 2. 𝑟. 𝑁. 𝐵. 𝐼. 𝑙. 𝑠𝑒𝑛𝛼 (3.9) 
Mas a área da bobina é dada por S=2rl. Então, finalmente, obtém-se a seguinte 
expressão para o torque produzido pela bobina: 
 𝑇 = 𝑁.𝐵. 𝐼. 𝑆. 𝑠𝑒𝑛𝛼 (3.10) 
 
Nesta equação, tem-se que: 
T = torque eletromagnético (N.m); 
B = indução magnética (T); 
I = intensidade de corrente (A); 
S = área da bobina (m2); 
 = ângulo entre o eixo magnético da bobina (vetor n) e o vetor indução 
magnética; 
N = número de espiras da bobina. 
 
Exemplo 3.6: Uma bobina com 500 espiras está imersa num campo magnético 
com indução de 0,5 T. A bobina possui área de 200 cm² e é percorrida por uma corrente 
de 2A. No instante em que o eixo magnético da bobina forma um ângulo de 60º com o 
vetor indução qual é o valor do torque que atua na espira? R: 8,67N.m 
 
 
 
 
Exemplo 3.7: Uma bobina possui área de 50 mm², 1000 espiras e é percorrida por 
uma corrente de 3 A. Se esta bobina estiver imersa em um campo magnético com indução 
de 0,2 T qual será o torque que atua na bobina se o plano paralelo à superfície da bobina 
forma um ângulo de 60° com as linhas de força? R: 0,015N.m 
 
 
66 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
3.7 Aplicações Práticas 
 
MOTOR DE CORRENTE CONTÍNUA (CC) 
Um motor elétrico de corrente contínua é uma máquina elétrica a qual aproveita 
as forças já estudadas para produzir trabalho. Dessa forma, o motor elétrico, de maneira 
geral (tanto CC quanto CA) converte energia elétrica em energia mecânica. 
Partes Construtivas - Possui duas partes principais: 
a) Estator (Indutor) – Parte que é fixa à carcaça, pode ser formada por ímãs 
permanentes ou eletroímãs. 
b) Rotor (Induzido) – Também chamado de armadura, é a parte móvel a qual é 
constituída de condutores de cobre dispostos em ranhuras existentes em um núcleo 
cilíndrico, também é constituída de um conjunto denominado comutador ou 
coletor e das escovas, as quais são fabricadas em carvão e possuem a função de 
transmitir a corrente elétrica, através dos anéis coletores, ao rotor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.9 – Partes construtivas Motor CC 
 
Todos os motores elétricos valem-se de um dos principais princípios do 
eletromagnetismo: “Todo condutor percorrido por corrente imerso em campo magnético 
ficará sujeito à ação de uma força”. 
Princípio de Funcionamento: Quando se liga o motor, a corrente chega à bobina 
de campo, determinando os polos norte e sul (ou estes polos já estão determinados caso 
utilize ímãs permanentes). Há o fornecimento de corrente à armadura, o que determina 
polos norte e sul na armadura. Partido do princípio que polos opostos se atraem e polos 
iguais se repelem, o ímã da armadura, tendo movimento livre, gira, a fim de que seu polo 
norte encontre o polo sul do estator e que seu polo sul encontre o polo norte do estator. 
Se nada mais acontecesse o motor pararia, pois uma situação de equilíbrio seria alcançada. 
67 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
O que acontece, é que pouco antes dos polos opostos se encontrarem, a corrente na 
armadura é invertida (através do uso do comutador), invertendo, assim, a posição de seus 
polos, o norte passa a ser o polo próximo ao polo norte do estator e o polo sul passa a ser 
o polo próximo ao polo sul do estator, dessa forma acontece nova repulsão e o motor 
continua em movimento. 
 
INSTRUMENTO DE BOBINA MÓVEL E ÍMÃ PERMANENTE (BMIP) 
Possui uma bobina móvel que é percorrida por corrente elétrica e ímãs 
permanentes fixos (campo indutor); os lados da bobina, ao serem percorridos por corrente 
ficam sujeitos a um par de forças, as quais formam um binário e imprimem movimento à 
bobina, tem-se fixo à bobina um ponteiro, o qual se desloca sobre uma escala graduada, 
mostrando o valor medido. Maiores detalhes do funcionamento do instrumento de bobina 
móvel e ímã permanente serão estudados na disciplina de Medidas Elétricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.10 – Aspectos construtivos do instrumento BMIP 
 
 
 
68 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
3.8 Experimentos 
Experimento 3.1 
Título: Motor de Corrente Contínua 
Material necessário: 
- módulo didático de eletromagnetismo - resistor de 4,7 / 40W 
- fonte cc - bússola 
- amperímetro DC 1 A - cabos 
 
Roteiro 
 
1 – Coloque somente o rotor no suporte, na posição indicada e execute as ligações. 
 
2 – Ajuste a tensão da fonte para 6V e meça a corrente: I = __________ 
3 – Utilizando a bússola, determine onde estão localizados os pólos NORTE e SUL do 
rotor, representando-os na figura acima. Represente também o sentido da corrente na 
bobina do rotor. 
4 – Gire manualmente o rotor em 180o e repita o item 3. Os pólos trocaram de lugar? 
5 – Monte a estrutura do estator de modo que o pólo inferior seja NORTE e o superior 
SUL. 
 
6 – Coloque o rotor na posição indicada, dê partida e verifique o sentido de rotação. 
69 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
 
7 – Explique porque a rotação desenvolveu-se no sentido indicado. 
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................................................... 
8 – Coloque o rotor na posição indicada e dê partida. O rotor girou? Por que? 
 
 
 
70 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
9 – Inverta o sentido de rotação. Descreva como foi feito. 
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
......................................................... 
10 – Repita o experimento substituindo o comutador pelos dois anéis. 
 
11 – Anote conclusões. 
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
..................................................................................................................................... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
71 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
3.9 Exercícios 
1. Nos desenhos abaixo, identifique na figura A os polos Norte e Sul dos ímãs 
permanentes, represente, na figura B, o sentido da corrente no condutor retilíneo e, na 
figura C, o campo resultante e a força sobre o condutor. 
2. Descreva a regra usada para determinar o sentido da força mecânica de origem 
magnética criada sobre um condutor percorrido por corrente dentro de um campo 
magnético. 
 
 
 
 
 
4. A figura abaixo representa uma bobina imersa em um campo magnético. Sabendo-se 
que B=0,5T, l = 0,20 m, r =0,05 m, N = 100 espiras, I = 5 A, pede-se: 
a) calcular a força que atua sobre cada um dos lados ativos da bobina; Rta: F=50N 
b) calcular o torque da bobina em suas diferentes posições, considerando que o ângulo 
entre a normal e as linhas de força está variando entre 0o e 180o com intervalos de 30o. 
Rta: Tmax=5Nm 
 
 
 
 
 
 
3. Descubra o sentido e o módulo da força 
sobre o condutor percorrido por corrente. 
B = 0,3 T, l = 50 cm, I = 5 A. 
Resposta: F = 0,75 N para baixo. 
 
N S 
I 
N 
I 
B 
 r 
r N S 
n 
F 
F 
 
 S 
72 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
5. Um fio de massa igual a 10g e 60cm de comprimento está suspenso por um par de 
condutores espirais flexíveis num campo de 0,08T. Qual o valor e o sentido da corrente 
que, passando pelo condutor, anula o valor da tensão nos dois fios do suporte? 
 
 
B
 
Resposta: I = 2,04 A. 
6. A figura abaixo mostra uma espira retangular CDEG, situada no plano da folha de 
papel, colocada entre os polos de um ímã. Observando o sentido da corrente na bobina, 
responda: 
a) Qual é o sentido da força que atua em cada um dos lados GE, ED e DC da espira? 
b) Qual é o movimento que a espira tende a adquirir, com o observador no ponto O? 
 
I
P
O
C
D E
G
NS
 
7. Cite o tipo de conversão de energia feita pelos motores elétricos. 
 
8. Desenhe um motor cc elementar (ver experimento 3.1), indicando o nome de todas as 
partes e explique o funcionamento. 
Dica: 
Força Peso (P): 
P = mg 
g=9,8m/s² 
g = 9,8 m/s² 
 
P = mg 
 
g = 9,8 m/s² 
Eixo de rotação 
73 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
9. Um fio retilíneo de comprimento l = 40 cm transporta uma corrente de sentido direita 
para esquerda com I= 2 A. Este condutor está situado em uma região onde existe um 
campo saindo do plano da folha de intensidade B= 0,15T. 
a) Represente este problema no papel. 
b) Indique o sentido da força 
c) Calcule a força magnética atuante no condutor. F=0,12 N 
 
10. Um condutor elétrico retilíneo e de pequeno diâmetro tem 20 cm de comprimento e é 
percorrido por uma corrente de intensidade I = 10A, da esquerda para a direita, e se 
encontra numa região onde existe um campo de indução magnética 5x10-2T entrando no 
plano da folha. Qual o módulo, direção e sentido da força que age nesse condutor? 
Resposta: F=0,1 N força para cima. 
 
11. Para as situações abaixo faça o que se pede: 
 a) Represente a corrente na bobina. 
 b) Defina a polaridade das bobinas. 
 c) Mostre o sentido de giro do motor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
74 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
12. (IFSul, 2011) A fonte de tensão estabelece contato elétrico com a bobina retangular 
“RXYZ” por meio dos anéis “a” e “b”, o quais garantem a continuidade elétrica entre 
fonte-bobina enquanto esta se encontrar em movimento. A bobina “RXYZ”, de fio de 
cobre, é composta por 20 espiras, possui área de 65cm² e resistência elétrica de 15Ω. 
Conforme observado na figura abaixo, a bobina se encontra inicialmente em um plano 
vertical e está no interior de um campo magnético uniforme de indução magnética com 
módulo igual a 0,3 T. Quando o interruptor “c” é fechado, o observador percebe que em 
função das forças eletromagnéticas na bobina a mesma gira no 
sentido_____________________. Após a bobina ter se movimentado 30º em relação a 
sua posição inicial, o seu torque possui módulo aproximadamente igual a 
______________________, sendo que a mesma ________________descrever uma volta 
completa. Os termos que preenchem corretamente as lacunas são: (Lembrete: V = R.I) 
a) anti-horário, 6,75 x 10-2 N.m, não consegue. 
b) horário, 3,9 x 10-2 N.m, consegue. 
c) anti-horário, 6,75 x 10-2 N.m, consegue. 
d) anti-horário, 3,9 x 10-2 N.m, não consegue. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13. A espira circular unitária da figura abaixo possui área igual a 10cm². Sabendo que o 
campo magnético está saindo do plano da folha, que módulo da indução vale 3T e que a 
corrente que circula na bobina é igual a 2 A. Determine o valor do torque que atua na 
espira. Caso a bobina se desloque 30°, qual será o novo valor do torque? 
Rta: 0N.m e 0,003N.m 
 
 
 
 
 
 
14. Deseja-se construir um motor CC que possua torque de 3,79 N.m quando o plano da 
seção transversal da bobina estiver a 30° das linhas de força externas . Possui-se uma 
estrutura que fornece área de seção transversal para a bobina de 50cm² e um conjunto de 
ímãs permanentes com indução de 700mT. A fonte de tensão CC para alimentar o rotor é 
de 25 V e o fio utilizado possui resistência total igual a 10Ω. Quantas vezes o fio deverá 
ser enrolado para atender estes quesitos. Rta: 500 espiras 
75 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
4. CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
4.1 Introdução 
Nos equipamentoseletromagnéticos, tais como transformadores, motores, 
geradores e outros, são utilizados núcleos de material magnético para canalizar o fluxo e 
concentrá-lo em determinada região. O núcleo magnético e a bobina (ou as bobinas) 
formam o que se denomina circuito magnético. 
O termo circuito magnético vem de uma analogia com o circuito elétrico, pois 
ambos podem ser tratados de forma semelhante. Assim como o circuito elétrico possui 
um caminho fechado para a corrente elétrica, o circuito magnético possui um caminho 
magneticamente fechado. As linhas de força são naturalmente linhas fechadas. 
Os circuitos magnéticos, assim como os circuitos elétricos, podem ter uma 
infinidade de configurações diferentes, porém, para um estudo inicial, considere a 
configuração apresentada na figura 4.1. 
A
B C
D
I
I
V
+
-
u
d
 
Figura 4.1 - Circuito magnético simples 
 
A corrente I, ao passar pela bobina de N espiras, produz certo fluxo magnético . 
Uma parcela deste fluxo fica confinada no núcleo, sendo denominado de fluxo útil (u), 
e percorre o caminho ABCDA indicado por linha tracejada. A outra parcela do fluxo 
produzido pela bobina, muito menor que a primeira, escapa (“vaza”) do núcleo e fecha-
se pelo ar na região próxima a bobina. Este fluxo é denominado de fluxo disperso (d). 
Assim, tem-se que: 
 = u+ d (4.1) 
onde  é o fluxo produzido pela bobina; u é o fluxo útil e d é o fluxo disperso. 
76 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
Na análise que segue, o fluxo disperso será desprezado. Desta forma, o fluxo é 
constante em todo o núcleo, ou seja: 
O fluxo é constante, mesmo que a seção transversal do núcleo seja variável. Neste 
caso, a indução magnética no núcleo é que varia com a área. 
4.2 Cálculos de Circuitos Magnéticos 
Neste item serão apresentadas as seguintes grandezas básicas associadas à teoria 
de circuitos magnéticos: 
 Intensidade de Campo Indutor; 
 Permeabilidade Magnética; 
 Força Magneto-motriz e Relutância Magnética. 
 
4.2.1 Intensidade de Campo Indutor (H) 
Considere-se que no circuito magnético da figura 4.1 seja possível inserir um 
gaussímetro para medir a indução no núcleo. Aumentando-se a tensão aplicada na bobina, 
que produz um aumento de corrente, o gaussímetro mostra um crescimento na indução 
magnética. Portanto, a indução depende da corrente que circula pela bobina. 
Considere-se agora que a bobina utilizada é substituída por outra bobina com maior 
número de espiras. Ajustando-se a tensão da fonte para que a corrente permaneça com a 
mesma intensidade do experimento anterior, observa-se que o gaussímetro acusa maior 
indução. Portanto, a indução também depende do número de espiras. 
Um terceiro experimento pode ser feito comparando dois circuitos com as seguintes 
características: 
 ambos núcleos de mesmo material (mesmo tipo de ferro); 
 ambos núcleos com mesma seção transversal; 
 ambas bobinas idênticas; 
 ambas bobinas percorridas pela mesma corrente; 
 ambos núcleos têm mesmo formato, porém com comprimentos diferentes. 
 
 
 
 
 
 AB=BC=CD=DA= 
77 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
 
 
 
 
 
 
 (a) circuito 1 (b) circuito 2 
Figura 4.2 - Circuitos magnéticos com diferentes comprimentos médios 
Usando-se um gaussímetro em cada circuito magnético, observa-se que no núcleo 
de menor comprimento (circuito 2) a indução magnética é maior. Isto acontece porque 
existe um menor trecho de ferro para ser magnetizado, o que dá à bobina um maior poder 
magnetizante. Para quantificar o poder magnetizante de uma bobina criou-se a grandeza 
denominada intensidade de campo indutor (H) que é dada por: 
 
 N.I
H= 
(4.2) 
 
Nesta equação tem-se que: 
N = número de espiras da bobina; 
I = corrente que percorre a bobina (Ampère, A); 
l = comprimento médio do circuito magnético (metro, m); 
H = intensidade de campo indutor (Ampère-espira/metro, Ae/m). 
 
Exemplo 4.1: Calcular a intensidade de campo indutor para o circuito 1 e para o 
circuito 2 da fig.4.2 que têm comprimentos médios de, respectivamente, 20 cm e 10 cm. 
Considere que ambas bobinas possuem 200 espiras e são percorridas por 1 A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
78 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
4.2.2 Permeabilidade Magnética () 
Nas análises anteriores não se levou em consideração a influência do tipo de 
material usado para o núcleo. A partir de agora esta situação será estudada tomando-se 
como referência o circuito magnético da fig.4.1. 
Alimentando-se a bobina com uma fonte cc ajustável, e aumentando-se 
gradativamente a tensão aplicada, ocorre um aumento da corrente que circula pela bobina 
(I=V/R). Este aumento da corrente produz um aumento na intensidade do campo indutor 
(H = NI/l) que, por sua vez, provoca um aumento da indução no núcleo. 
A forma como o núcleo magnético responde à variação do campo indutor depende 
do tipo de material utilizado e é representada graficamente através da “Curva de 
Magnetização”. As figuras 4.3(a) e 4.3(b) mostram as curvas de magnetização do ferro 
fundido doce e do aço fundido. 
Figura 4.3 – Curvas de Magnetização 
 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
B
 (
T
)
H (Ae/m)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
B
 (
T
)
H (Ae/m)
(a) curva de magnetização 
do ferro fundido doce 
(b) curva de magnetização 
do aço fundido 
 
79 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
Nos pontos iniciais da curva o crescimento do campo indutor é acompanhado de 
um crescimento praticamente proporcional da indução. Por outro lado, nos pontos finais, 
o crescimento do campo indutor praticamente não produz crescimento na indução devido 
à saturação magnética (ordenação de praticamente todos os ímãs elementares). 
Analisando as curvas de magnetização do ferro fundido doce e do aço fundido 
observa-se que para um mesmo campo indutor obtém-se maior indução no ferro doce do 
que no aço, ou seja, o ferro doce se magnetiza mais facilmente do que o aço. A grandeza 
que leva em consideração este fenômeno é denominada permeabilidade magnética. 
Assim, pode-se definir permeabilidade magnética como a facilidade que o material possui 
de se magnetizar e expressá-la matematicamente como: 
 
 
H
B

 
 (4.3) 
 
No Sistema Internacional de Unidades tem-se: 
 
B = indução magnética (Tesla, T); 
H = campo indutor (Ampère-espira/metro, Ae/m); 
 = permeabilidade magnética (Tesla.metro/Ampère, T.m/A ou Henry/metro, 
H/m). 
Exemplo 4.2: Calcule a indução magnética e a permeabilidade do aço fundido 
para os seguintes campos indutores: 
a) H = 2000 Ae/m 
 
 
b) H = 4000 Ae/m 
 
 
c) H = 10000 Ae/m 
 
 
Os resultados deste exemplo mostram que a permeabilidade magnética do aço 
fundido depende da intensidade de campo indutor. Quanto maior o campo indutor, menor 
80 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
é a permeabilidade, ou seja, mais difícil é magnetizar o material. Este comportamento é 
apresentado por todos os materiais magnéticos. 
Os materiais não magnéticos possuem permeabilidade aproximadamente 
constante e bem menor do que a permeabilidade dos materiais magnéticos. Para efeito de 
cálculos, a permeabilidade dos materiais não magnéticos é considerada a seguinte 
constante magnética: 
m/H104 70 

 
Portanto, os meios não magnéticos como o ar, o alumínio e a madeira entre outros 
possui permeabilidade 
m/H104 70 

. 
Em muitoscasos, a permeabilidade é expressa em relação a constante 0

. Assim, 
define-se como permeabilidade relativa à relação entre a permeabilidade do material e a 
constante magnética, ou seja: 
 
0
r



 
 
(4.4) 
Esta equação mostra que a permeabilidade relativa ( r ) é um número (sem 
unidade) que indica quantas vezes a permeabilidade do material ( ) é maior do que a 
permeabilidade dos materiais não magnéticos ( 0

). Para materiais não magnéticos a 
permeabilidade relativa é aproximadamente igual à unidade (µr ≈ 1) e para materiais 
magnéticos é bem maior do que a unidade ( r >>1). 
 
Tabela 4.1 – Permeabilidades Relativas de alguns materiais 
Material µr 
Ar 1 
Níquel 50 
Cobalto 60 
Ferro Fundido 30 a 800 
Aço 500 a 5000 
Ligas Especiais 100000 a 800000 
 
81 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
Assim se pode relacionar B, µ e H, considere que os seguintes solenoides possuem 
o mesmo formato, mesmo número de espiras, mesma corrente elétrica e mesmo 
comprimento. 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.4 – Comparação entre solenoides com diferentes núcleos 
Como N1=N2=N3; I1=I2=I3 e L1=L2=L3  H1=H2=H3, e como 
µ1<µ2<µ3B1<B2<B3. 
 
Exemplo 4.3: Uma fonte CC de 100V alimenta a bobina do circuito magnético da 
fig.4.4, que tem 1000 espiras e resistência de 100. Calcule: 
a) Corrente na bobina; 
b) Campo indutor; 
c) Indução magnética; 
d) Permeabilidade absoluta e permeabilidade relativa; 
e) Fluxo magnético. 
Dados: 
 l = 1 m (comprimento médio do circuito magnético) 
 S = 100 cm2 (seção transversal do núcleo) 
 O núcleo é de ferro doce. 
 
 
 
 
 
Figura 4.5 – Circuito magnético para o Exemplo 4.3 
82 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
4.2.3 Força Magneto-motriz () e Relutância Magnética () 
Considere o circuito magnético com a configuração utilizada até agora. Através 
das equações conhecidas, tem-se H =NI . No entanto H=B/  , logo se obtém: 
 B
=NI
μ
 
(4.5) 
mas 
B=
S

 
(4.6) 
de modo que 
=NI
μS

 ou =NI
μS
 
(4.7) 
O produto NI é definido como força magneto-motriz ou fmm () por ser a 
grandeza responsável pela criação do fluxo no núcleo. Seu símbolo é  e a sua unidade é 
o Ampère-espira (Ae), portanto: 
 NI (4.8) 
 
O termo l/S é definido como relutância magnética por se comportar como uma 
oposição à passagem do fluxo magnético. A relutância magnética é dada por: 
 
=
μS
 
(4.9) 
 
A unidade de relutância magnética é Ampère-espira por Weber (Ae/Wb). 
Com estas definições pode-se expressar a Lei de Hopkinson, que também é 
conhecida como Lei de Ohm do Eletromagnetismo, da seguinte forma: 
 
=


 
(4.10) 
 
Enunciado: O fluxo magnético num circuito é diretamente proporcional à fmm e 
inversamente proporcional à relutância. 
83 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
Exemplo 4.4: Calcule a relutância magnética do circuito magnético do exemplo 
4.3. 
 
 
4.2.4 Analogia entre circuito magnético e circuito elétrico 
As grandezas fmm e relutância não existem por acaso. Elas foram criadas 
justamente por analogia com o circuito elétrico (fig.4.6) a fim de melhorar a visualização 
dos fenômenos magnéticos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.6 - Circuito magnético e seu análogo elétrico 
 
No exemplo da fig.4.7, para o circuito elétrico e para o circuito magnético, têm-
se respectivamente: 
 
I
E
R R R

 1 2 3
 
321 

 
(4.11) 
 
(4.12) 
onde 1 e 3 representam a relutância do núcleo de ferro (metades superior e inferior) e 
2 representa a relutância do entreferro (ou gap), que é uma fresta de ar existente no 
circuito magnético. 
Os outros equacionamentos usados em circuitos elétricos também podem ser 
usados quase que sem restrição nos circuitos magnéticos. Deve-se salientar, no entanto, 
que o fluxo magnético não contém nenhum movimento físico de partículas ou algo 
 
1 
2 
3 
 
 R1 
R2 
R3 
E 
I 
84 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
semelhante. O fluxo é, na verdade, o produto da indução pela área da secção transversal 
e tem uma orientação dada pelo sentido das linhas de força. 
Exemplo 4.5: Desenhe o circuito elétrico equivalente ao circuito magnético da 
fig.4.7. 
I
 
Figura 4.7 – Circuito magnético para o Exemplo 4.5 
Exemplo 4.6: Uma fonte cc de 100V alimenta a bobina do circuito magnético da 
fig.4.8, que tem 1000 espiras e resistência de 100. Calcule: 
a) Corrente na bobina e força magnetomotriz; 
b) Relutância do núcleo, relutância do entreferro e relutância total; 
c) Fluxo magnético. 
Dados: 
ln = 60 cm (comprimento médio do núcleo) 
le = 1 mm (comprimento do entreferro) 
S = 100 cm2 (seção transversal do núcleo = seção transversal do entreferro) 
 = 3,14x10-3 H/m (permeabilidade do ferro) 
0 = 4x10
-7 H/m (permeabilidade do ar) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.8 – Circuito magnético para o Exemplo 4.6 
85 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
4.3 Circuitos Magnéticos Laminados 
Os circuitos magnéticos encontrados nas aplicações práticas não são maciços 
como os considerados até agora. Eles são construídos com lâminas de ferro, empilhadas 
e prensadas, paralelas ao fluxo magnético (fig.4.9). As razões para o uso de circuitos 
magnéticos laminados serão discutidas no Capítulo 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.9 – Circuito magnético laminado 
 
4.4 Força de Atração 
Muitos circuitos magnéticos possuem uma parte móvel, denominada âncora ou 
armadura, que é atraída pela parte fixa quando a bobina está alimentada. Aplicações: relé 
eletromecânico, campainha, solenóide, etc. 
I
Núcleo fixo
Âncora ou armadura
F
1
F
2
F
3
 
Figura 4.10 - Força de atração no circuito magnético 
 
 
 
86 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
4.4.1 Relé eletromecânico 
O relé é um tipo especial de interruptor que é acionado por corrente elétrica ou 
outra grandeza física. Os relés podem ser encontrados em diversos formatos e tamanhos, 
tendo como objetivos comandar ou proteger circuitos e equipamentos elétricos. 
Conforme o princípio de funcionamento, os relés podem ser classificados como 
eletromecânicos, a estado sólido (eletrônicos), térmicos, etc. O objetivo deste texto é 
mostrar características básicas, construtivas e de funcionamento, dos relés 
eletromecânicos (ou eletromagnéticos) usados em pequenos circuitos elétricos. 
A fig.4.11 mostra um relé bastante simples. 
 
Figura 4.11 – Relé eletromecânico 
 
Quando a bobina é alimentada por uma fonte, a corrente elétrica produz um campo 
magnético que atrai a armadura com uma força maior que a da mola e provoca o 
fechamento dos contatos. Quando a alimentação da bobina é retirada, a força da mola 
provoca a abertura dos contatos. Neste caso os contatos são denominados NA 
(normalmente abertos) porque esta é a situação quando a bobina não está alimentada. 
Um relé também pode ter contatos NF (normalmente fechados) ou reversores. Na 
fig.4.12 está representado esquematicamente um relé com contatos reversores. 
 
 
 
 
Figura 4.12 – Relé com contatos reversores 
 Tem-se nesta figura que: 
87 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
 2 e 7 são os terminais da bobina; 
 1 e 4 são contatos NF; 
 1 e 3 são contatos NA; 
 8 e 5 são contatos NF; 
 8 e 6 são contatos NA. 
Existe uma diversidade muito grande de circuitos com relés, porém, com o 
objetivode ilustrar algumas características básicas, considere o circuito da fig.4.13. 
Figura 4.13 – Exemplo de circuito com relé 
 
Com a chave S aberta, a bobina (bornes 2 e 7) não está energizada e os contatos 1 
e 3 estão abertos, mantendo o Motor 2 desligado. Os contatos 8 e 5 estão fechados, 
mantendo o Motor 1 ligado. Quando a chave S é pressionada, a bobina é energizada 
fechando os contatos 1 e 3, que ligam o Motor 2, e abrindo os contatos 8 e 5 que desligam 
o Motor 1. 
Este exemplo ilustra algumas características dos circuitos com relés: 
 Segurança - o comando é em 6V, portanto, mais seguro para o operador que os 
220V necessários para os motores; 
 Controle a distância – o circuito pode ser comandado de um ponto distante 
(remoto), levando apenas dois condutores finos até a chave visto que o consumo 
de corrente pela bobina é insignificante; 
 Acionamento múltiplo – o relé comanda duas ou mais cargas simultaneamente; 
 Versatilidade – os relés propiciam a construção de circuitos automáticos, 
temporizados, intertravamentos, etc. 
 
88 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
4.4.2 Campainha 
Na figura 4.14, está representado o circuito elétrico de uma campainha elétrica 
muito simples: L é uma lâmina de ferro flexível, e C é um contato que abre e fecha o 
circuito quando a lâmina se afasta dele ou encosta nele. Quando o circuito é fechado pelo 
interruptor I, a corrente no eletroímã faz com que L seja atraída, e o martelo M golpeie o 
tímpano T. Em virtude desse deslocamento de L, o circuito se interrompe em C e o 
eletroímã perde a imantação. A lâmina flexível L retorna a sua posição normal, 
estabelecendo o contato em C. Assim, o processo se repete e M golpeia T repetidas vezes 
enquanto o interruptor I estiver acionado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.4.3 Alto Falante 
O alto falante (fig.4.15) é um dispositivo que produz som a partir de uma corrente 
elétrica variável que passa na bobina de um eletroímã. Esta bobina está presa na base de 
um cone de papelão e encaixada (com folga) em um ímã permanente. Quando a corrente 
alternada passa pela bobina do eletroímã, ela é sucessivamente atraída e repelida pelo ímã 
permanente. O cone acompanha essas vibrações na bobina, provocando compressões e 
rarefações do ar, que constituem uma onda sonora. 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.14 – Circuito elétrico de uma campainha 
Figura 4.15 – Alto-Falante 
89 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
4.5 Exercícios 
1. Explique o que é fluxo disperso. 
2. Explique o que é relutância magnética. 
3. Explique o que é força magneto-motriz. 
4. A partir de um certo valor de campo indutor, a indução num material magnético cresce 
muito lentamente. Explique por que isto ocorre. 
5. Explique o que é permeabilidade magnética. 
6. Uma fonte cc de 12V alimenta a bobina do circuito magnético abaixo, que tem 100 
espiras e resistência de 3. Calcule: 
a) Corrente na bobina e força magnetomotriz 
(4A, 400Ae) 
b) Relutância do núcleo, relutância do entreferro e relutância total; 
(159235,7 Ae/Wb, 995222,9 Ae/Wb, 1154458,6 Ae/Wb) 
c) Fluxo magnético. 
(0,347mWb) 
Dados: 
ln = 40 cm (comprimento médio do núcleo magnético); le = 1 mm (comprimento do 
entreferro) 
S = 8 cm2 (seção transversal do núcleo = seção transversal do entreferro); r = 2500 
(permeabilidade relativa do ferro). 
 
7. Recalcule o fluxo no exercício 6 considerando que não exista entreferro. (2,5 mWb). 
 
8. Analise os resultados dos exercícios 6 e 7 e anote conclusões. 
90 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
9. Um circuito magnético de seção transversal variável é mostrado na figura abaixo; a 
parte de ferro tem a curva de magnetização mostrada. Dados: N=100 espiras; l1=40 cm, 
l2=10 cm, A1=10cm
2, A2=5cm
2, lg = 2 mm, indução no entreferro=0,6T. Desprezando-se 
o fluxo disperso, pede-se: 
a) desenhar o circuito elétrico equivalente; b) calcular o fluxo no entreferro; c) calcular 
as relutâncias do circuito magnético (observar que este circuito assemelha-se a um 
circuito elétrico em série, logo o fluxo é o mesmo em todo o circuito magnético, assim 
como a corrente elétrica num circuito série); d) calcular a fmm da bobina; e) calcular a 
corrente na bobina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
b) Фe = 600 µWb. 
c) 1 = 66667 Ae/Wb; 2 = 66667 Ae/Wb; e = 1591549,4 Ae/Wb. 
d)  = 1075 Ae. 
e) I = 10,75 A. 
 
10. Para valores de B abaixo do joelho da curva de magnetização do aço-silício, é possível 
considerar-se operação linear com r=4000. O núcleo tem a forma mostrada na figura 
abaixo. Os trechos BAFE e BCDE são iguais, possuindo cada um área da seção 
transversal de 1 cm2 e comprimento externo de 10 cm. O trecho BE tem uma área de 2,4 
cm2 e um comprimento de 3cm. Um enrolamento de 1.200 espiras em que flui uma 
corrente de 9 mA é colocado em torno do trecho BE. Pede-se: 
a) desenhar o circuito elétrico equivalente; 
b) calcular a relutância dos trechos BAFE, BCDE e BE; 
91 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
c) calcular o fluxo magnético em cada trecho (observar que existe divisão do fluxo no 
circuito magnético). 
 
 
Respostas: 
b) BAFE = 198807 Ae/Wb; BCDE = 198807 Ae/Wb; BE = 24851 Ae/Wb. 
c) ФBAFE = 43,46 µWb; ФBCDE = 43,46 µWb; ФBE = 86,92 µWb. 
 
 
 
 
 
 
 
92 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
5. INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA 
5.1 Introdução Histórica 
Até 1820 pensava-se que a eletricidade e o magnetismo eram dois fenômenos 
totalmente independentes. Neste ano, Hanz Christian Oersted demonstrou que uma 
corrente elétrica produzia uma deflexão numa bússola colocada nas proximidades desta. 
Isto mostrou que a corrente elétrica produz campo magnético. Desde então, surgiram 
pesquisas para tentar obter a eletricidade a partir do magnetismo. Dentre estes 
pesquisadores se destacaram Henry, Faraday e Lenz. 
 
5.2 Força Eletromotriz (f.e.m) e Diferença de Potencial (d.d.p) 
A energia elétrica é a modalidade de energia que pode ser obtida entre dois pontos 
de um material elétrico desde que haja um desequilíbrio elétrico entre estes pontos. 
A diferença de potencial elétrico (d.d.p.) entre dois pontos só ocorre quando existir 
força eletromotriz (f.e.m.), a qual é a verdadeira causa do deslocamento das cargas 
elétricas. A d.d.p. pode ser visualizada de forma simples através da figura 5.1. 
 
 
Vab=0 
VAB=0 
               
               
A B 
 Barra de cobre sem f.e.m., ou seja, sem 
agente que desloque as cargas elétricas 
positivas para provocar a d.d.p.. 
 O voltímetro não marca valor algum 
de tensão (d.d.p.), porque não há 
desequilíbrio elétrico (VAB = 0). 
 
93 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
 
Figura 5.1 – Força eletromotriz e diferença de potencial 
 
Caso a barra seja ligada a uma carga R, haverá um escoamento de cargas elétricas 
através do circuito. Então, o sentido da f.e.m. (e) e da corrente elétrica (i) serão os mesmos 
e estão representados na figura 5.2. Se a f.e.m. continuar existindo, continuará circulando 
corrente elétrica, mas se a f.e.m. cessar, a corrente se anulará no momento em que as 
carga positivas passarem do ponto A (excesso de cargas positivas) ao ponto B (falta de 
cargas positivas), neutralizando assim a d.d.p.. 
 
Figura 5.2 – Corrente elétrica e f.e.m. commesmos sentidos 
 
Para que exista a f.e.m é necessária alguma forma de energia para movimentar as 
cargas elétricas e criar a d.d.p.. As seis fontes básicas de energia que podem ser utilizadas 
para gerar f.e.m. são fricção, pressão, luz, calor, ação química e ação magnética. 
Estudaremos a ação magnética por ser esta a forma que nos proporciona grande 
quantidade de energia elétrica por longos períodos de tempo. 
 
 
VAB 
               
               
A B 
e 
  
 Se a barra de cobre apresenta d.d.p. é 
porque existe f.e.m. que foi gerada de 
alguma forma, o que veremos adiante. O 
voltímetro apresenta um determinado valor 
de tensão (VAB 0). 
 
B 
e 
 
 
A 
  
 R 
i 
94 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
5.3 Lei de Faraday 
Em 1831, Michael Faraday publicou seu trabalho enunciando o Princípio da 
Indução Eletromagnética a partir das experiências que serão descritas a seguir (Fig. 5.3). 
A experiência usava um ímã, uma bobina e um galvanômetro e, apesar de simples, foi 
decisiva para o desenvolvimento dos equipamentos eletromagnéticos indispensáveis nos 
dias de hoje como, por exemplo, o gerador elétrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.3 - Experiência de Faraday 
 
Foram realizadas as seguintes observações: 
1. O galvanômetro deflexiona o seu ponteiro apenas quando existe movimento 
relativo entre o ímã e a bobina seja por: 
 ímã em movimento e bobina parada; 
 bobina em movimento e ímã parado; 
 ímã e bobina em movimento relativo entre eles. 
V 
0 
N S 
V 
0 
N S 
V 
0 
N S 
V 
0 
N S 
v v 
v = 0 v = 0 v v 
B1 
B2 
I2 
I2 
B1 
B2 
I2 
I2 
B2 = 0 
I2 = 0 
B2 = 0 
I2 = 0 
B1 B1 
B1 é CONSTANTE no 
interior na bobina. 
 
B1 está AUMENTANDO 
no interior na bobina. 
 
B1 está DIMINUINDO 
no interior na bobina. 
 
B1 é CONSTANTE no 
interior na bobina. 
 
95 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
2. O sentido da deflexão do ponteiro do galvanômetro depende do sentido de 
deslocamento do ímã ou da bobina, ou seja, da aproximação ou do afastamento, assim 
como das polaridades do ímã. 
3. Quanto maior for a rapidez do movimento, maior será a deflexão do ponteiro. 
4. Substituindo a bobina por uma de maior número de espiras resulta também numa 
maior indicação no galvanômetro. 
As conclusões obtidas destas experiências foram: 
1. A geração de f.e.m. é causada pela variação de fluxo magnético dentro da bobina. 
Quando o movimento cessa, mesmo que exista um grande fluxo dentro da bobina, não é 
gerada nenhuma f.e.m. porque o fluxo se mantém constante. Existe uma energia 
mecânica, associada ao movimento, que é transformada em energia elétrica. 
2. O valor da f.e.m. é diretamente proporcional à velocidade com que ocorre a 
variação de fluxo dentro da bobina, ou seja, é proporcional à taxa de variação de fluxo. 
 
e
t



 
3. Quanto maior o número de espiras da bobina, maior será a f.e.m. induzida. 
e  N 
Então, pode-se dizer que: 
e N
t




 
Esta proporcionalidade pode se transformar em igualdade pela adoção de uma 
constante de proporcionalidade adequada. 
No Sistema Internacional de Unidades (MKS) esta constante é igual a 1, portanto 
a equação da f.e.m. induzida vem a ser: 
 
t
Ne


 
 
Enunciado da lei de Faraday ou da Indução Eletromagnética: 
 
Sempre que um circuito elétrico estiver sujeito a uma variação de fluxo 
magnético será induzido no mesmo uma f.e.m. 
 
96 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
O valor desta força eletromotriz induzida é calculado por: 
 
t
Ne


 
(5.1) 
onde: 
e = f.e.m. induzida ( Volt ); 
N = número de espiras da bobina; 
 / t = taxa de variação de fluxo (Weber/segundo). 
 
A expressão indução tem significado semelhante à influência, interação ou ação à 
distância. Sempre que uma f.e.m. é gerada por ação de um campo magnético ela será 
chamada de f.e.m. induzida. A corrente produzida pela f.e.m. induzida num circuito 
fechado é chamada de corrente induzida. Já o campo magnético que deu origem a estes 
fenômenos é chamado de campo indutor (causa) e o campo magnético criado pela 
corrente induzida é chamado de campo induzido (efeito). Não confundir este campo 
indutor com intensidade de campo indutor H. 
 
5.4 Lei de Lenz 
O físico russo, Emil Lenz, publicou em 1834 um trabalho que veio complementar 
a Lei de Faraday. A lei de Lenz, como passou a ser conhecida, estabeleceu de forma 
universal o sentido da f.e.m. gerada por indução eletromagnética. 
O Princípio da Conservação da Energia diz que a energia não pode ser criada nem 
destruída, mas apenas transformada de uma forma para outra. 
Quando o fluxo varia dentro de um circuito elétrico, gera-se f.e.m. e corrente 
induzidas, o que significa a presença de energia elétrica. Para surgir esta forma de energia, 
uma outra forma de energia deve ser obrigatoriamente consumida. 
O fluxo criado pela corrente induzida deve, então, tentar impedir a variação do 
fluxo indutor, que é a causa da f.e.m. induzida. 
Assim sendo, para manter a geração de energia elétrica, fica necessário o consumo 
de outra forma de energia para vencer esta oposição. 
Se o fluxo criado pela corrente induzida viesse a acelerar a variação do fluxo 
original, haveria uma espécie de “reação em cadeia” onde seria gerada energia elétrica 
gratuitamente, o que estaria ferindo o princípio da conservação da energia. 
 
 
97 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
Enunciado da Lei de Lenz: 
 
O fluxo criado pela corrente induzida tem sempre sentido tal a se opor à 
variação do fluxo original do circuito, ou seja, tende a manter o fluxo constante. 
 
Assim sendo, quando o fluxo indutor está crescendo no circuito, o fluxo induzido 
tem sentido contrário ao mesmo. 
Quando o fluxo indutor está diminuindo no circuito, o fluxo induzido tem o 
mesmo sentido do fluxo indutor. 
Num circuito ideal, sem resistência alguma, o fluxo induzido teria intensidade tal 
que impediria totalmente a variação do fluxo; nos circuitos reais, o fluxo induzido apenas 
tenta impedir a variação do fluxo sem, no entanto, conseguir integralmente. 
 
Exemplo 5.1: 
Considere-se o ímã e a bobina em corte da figura 5.4. Quando o imã é aproximado, 
como em (a) e (b), o fluxo indutor aumenta no interior da bobina. Então, a f.e.m. gerada 
tem um sentido tal que a corrente induzida produz um fluxo induzido cujo sentido é 
oposto ao fluxo original, tentando mantê-lo constante, ou seja, tentando impedir o 
crescimento do fluxo indutor na bobina. 
Observando-se os polos gerados pela bobina, vê-se que os mesmos tendem a 
impedir que o ímã se aproxime para não aumentar o fluxo. Neste momento está expresso 
o princípio da conservação da energia. Para obter a corrente induzida e, portanto, a energia 
elétrica, torna-se obrigatório o consumo de energia mecânica para vencer esta força de 
repulsão e contrária ao movimento do ímã. A oposição à variação do fluxo se manifesta 
como uma oposição à aproximação do ímã. 
Considere-se, agora, o ímã afastando-se da bobina (fig.5.4) como em (c) e (d). 
Quando o fluxo indutor na bobina diminui, a f.e.m. induzida produz uma corrente que 
produz um fluxo induzido que tenta impedir o decréscimo do fluxo original, produzindo 
desta vez, um fluxo induzido no mesmo sentido do fluxo indutor. 
Observando-se novamente os polos gerados na bobina, é possível ser verificado 
que as forças, agora, são de atração, mas também se opõem ao movimento do ímã. Isto 
exige o gasto de energia mecânicapara manter a variação de fluxo indutor na bobina e, 
assim, manter a geração de energia elétrica por meio da ação magnética. 
98 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
Podemos concluir que, quando a variação de fluxo indutor é positiva (acréscimo), 
a f.e.m. produz corrente que produz fluxo em sentido contrário ao anterior e que, quando 
a variação de fluxo indutor é negativa (decréscimo), a f.e.m. produz corrente que produz 
fluxo no mesmo sentido do anterior. 
Assim sendo, pode-se enunciar a lei de Lenz também de outra forma: 
 
A f.e.m.induzida se opõe à própria causa que a gerou. 
 
Com relação a efeitos mecânicos, o fluxo induzido tem sempre sentido tal a causar 
uma oposição ao movimento mecânico que deu origem à f.e.m.. 
Matematicamente, este fenômeno físico deve ser expresso pelo sinal (-) na 
equação de Faraday : 
 
t
Ne




 
(5.2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.4 – Aplicação da Lei de Lenz 
 
 
 
 
99 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
5.5 F.e.m. mocional e f.e.m. variacional 
Nas análises feitas até o momento, a variação de fluxo sempre foi obtida a partir 
de movimento relativo entre a bobina e o ímã. A força eletromotriz induzida por este 
processo é classificada como sendo f.e.m. mocional. O termo mocional vem do inglês 
motion que significa movimento. 
Em muitas situações, a variação de fluxo ocorre devido à variação de corrente no 
circuito elétrico. Em consequência disto, a força eletromotriz induzida é denominada 
f.e.m. variacional. 
Nas seções que seguem, serão analisadas as duas situações e suas aplicações 
práticas. 
 
5.5.1 Força Eletromotriz Mocional 
Figura 5.5 – F.e.m. induzida por corte de fluxo 
 
A figura 5.5 mostra um condutor retilíneo que é deslocado, por um agente externo, 
dentro do campo magnético de indução B da posição ab para a posição a´b´. O condutor 
retilíneo está em contato com dois outros condutores formando um sistema de trilhos que 
estão ligados aos terminais de um resistor. Na análise que segue será desprezada qualquer 
força de atrito durante o movimento do condutor retilíneo. 
 
 
100 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
O conjunto forma uma espira retangular que sofre uma variação de fluxo devido 
à variação da área da espira. Conforme a Lei de Faraday, a variação de fluxo induz f.e.m. 
na espira. Assim, a Lei de Faraday pode ser enunciada de outra forma: 
 
Quando um condutor desloca-se dentro de um campo magnético cortando as 
linhas de força, é induzida neste condutor uma força eletromotriz. 
 
Esta forma de interpretar a Lei de Faraday é bastante prática para o estudo de 
máquinas elétricas girantes, tais como os motores e geradores elétricos. 
Considerando-se que o ângulo entre o movimento do condutor e as linhas de força 
é de 900, a variação do fluxo () é dada por 
 
=B.S=B.x.l (5.3) 
 
Onde S é a variação de área, x é o deslocamento do condutor e l é o seu 
comprimento. 
Usando-se a Lei de Faraday, tem-se que 
Portanto, tem-se que: 
 
 e = B.l.v (5.4) 
A f.e.m. induzida (e, Volts) em um condutor retilíneo que se desloca 
perpendicularmente às linhas de força do campo, depende do comprimento do condutor 
(l, metros), da velocidade com que ele é deslocado (v, metros/segundo) e da indução 
magnética que este está submetido (B, Tesla). 
O sentido da f.e.m. induzida pode ser determinado, de forma prática, através da 
Regra de Fleming da mão direita. Os três dedos são colocados a 900 entre si, de modo que 
estes apontem os seguintes sentidos: 
 polegar: velocidade do condutor (v) 
 indicador: indução magnética (B) 
 médio: f.e.m. induzida (e) 
Onde, 
N=1, pois se trata de espira única. 
x/t = v (velocidade do condutor). 
 
e = NBl
x
t


 
 
101 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
O desenho da figura 5.5 pode ser apresentado de outra forma (Fig.5.6). 
 
 
 
 
 
 
 
Se o condutor for movimentado paralelamente as linhas de força, como na Figura 
5.7, não haverá corte de linhas de força, portanto, não haverá f.e.m. induzida. 
 
 
 
 
 
 
 
Considere-se, agora, que o condutor é movimentado de tal maneira que o vetor 
que representa a velocidade do condutor forma um ângulo  com o vetor que representa 
o vetor indução magnética (fig.5.8). 
Decompondo-se a velocidade em duas componentes, uma perpendicular às linhas 
de força (v1) e outra paralela às linhas de força (v2), tem-se: 
 
v1 = v.sen  
v2 = v.cos  
 
 
 
B v 
e 
Figura 5.6 – Aplicando corretamente a 
Regra de Fleming da mão direita 
observa-se que a f.e.m. induzida está 
entrando no condutor pela extremidade 
mostrada. 
v 
e=0 
Figura 5.7 – Não há f.e.m. induzida no 
condutor. 
B 
v 
 
e 
Figura 5.8 – Movimento do condutor 
forma um ângulo  com as linhas de 
força 
 
v2 
v1 
102 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
A f.e.m. induzida é determinada somente pela componente perpendicular às linhas 
de força, uma vez que não há corte de linhas de força associado à componente paralela, 
sendo e=Blv1 ou 
 
 e = B.l.v.sen  (5.5) 
 
onde, 
e = f.e.m. induzida (V); 
B = indução magnética (T); 
l = comprimento do condutor (m); 
v = velocidade do condutor (m/s); 
 = ângulo entre o movimento do condutor e as linhas de força 
 
Exemplo 5.2: Na figura 5.9 o condutor faz parte de um circuito elétrico fechado 
com resistência R=0,1. A indução magnética entre os polos do ímã é 0,5T (5000 Gauss). 
Calcule: 
a) A f.e.m. induzida no condutor (módulo e sentido); 
b) A corrente no circuito (módulo e sentido) e a potência elétrica gerada; 
c) A força eletromagnética que se opõe ao movimento (módulo, direção e sentido) e a 
potência mecânica (Pmec = F.v) necessária consumida para deslocar o condutor. 
 
Figura 5.9 – Exemplo 5.2 
 
103 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
5.5.1.1 Aplicação prática da fem mocional - Alternadores 
A geração de f.e.m. para alimentação de grandes cargas acontece nos Geradores 
de Corrente Alternada ou Alternadores. O funcionamento destas máquinas está baseado 
na Lei de Faraday e serve como exemplo prático da f.e.m. mocional (ou rotacional). 
A f.e.m. é variável, porque o ângulo de corte das linhas de força é variável e 
também inverte seu sentido, porque os condutores, ao girarem, deslocam-se ora para um 
lado ora para outro em relação ao campo magnético. Portanto, a f.e.m. e a corrente por 
ela produzida são senoidais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.10 – Gerador de C.A. elementar 
 
 
104 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
 
Figura 5.11 – Um ciclo de tensão gerada por um Gerador de C.A. elementar 
 
5.5.2. Força Eletromotriz Variacional 
Como já comentamos, a f.e.m. variacional não está associada ao movimento, mas 
sim à variação de corrente no circuito elétrico. Associados à esta variação de corrente 
estão os fenômenos de auto-indução e mútua-indução. 
 
5.5.2.1. Auto-Indução 
Suponha-se uma bobina sendo ligada e desligada de uma fonte de corrente 
contínua conforme a figura 5.12. 
 
Figura 5.12 - F.e.m. induzida por variação de corrente 
105 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
O fechamento e aabertura da chave provocam uma variação de corrente que, por 
sua vez, produz uma variação de fluxo. Conforme a Lei de Faraday, a variação do fluxo 
induz f.e.m. na bobina, ou seja, existe uma f.e.m. devido ao fenômeno denominado auto-
indução. Segundo a Lei de Lenz, esta f.e.m. tenta impedir a variação da corrente para 
tentar impedir a variação do fluxo. 
No instante em que a chave é ligada a corrente cresce e o fluxo também. Segundo 
Lenz, a f.e.m. induzida atua em sentido contrário à corrente para não deixá-la crescer. Já 
no desligamento da chave a corrente diminui, então a f.e.m. age no mesmo sentido da 
corrente para não deixá-la diminuir. 
Conclui-se que a auto-indução introduz no circuito um efeito de inércia, opondo-
se à variação da corrente. 
 
Fatores que influenciam na f.e.m. de auto-indução 
O fluxo produzido pela bobina é determinado pela Lei de Hopkinson: 
 
Ni
 

 
Onde é a relutância magnética (oposição à passagem das linhas de força, para 
maior detalhamento vide capítulo 4). A f.e.m. induzida depende do número de espiras e 
da taxa de variação do fluxo: 
t
Ne




 
Portanto, a f.e.m. de auto indução é diretamente proporcional a taxa de variação 
da corrente: 
t
iNiN
t
Ne







2
)
.
( 
O termo N2/ é denominado de indutância e representado por L, portanto 
 
 


2N
L 
(5.6) 
 
t
i
Le


 
(5.7) 
 
 
106 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
onde: 
e = f.e.m. de auto-indução (Volts, V); 
i / t = taxa de variação da corrente (Ampère/segundo, A/s); 
 
L= indutância (Henry, H); 
N = número de espiras; 
= relutância magnética (Ae/Wb). 
 
A f.e.m. de auto-indução depende da indutância e da taxa de variação da corrente. 
Por sua vez, a indutância depende do quadrado do número de espiras e da relutância do 
circuito magnético. 
 
Indutância (L) 
A indutância é um parâmetro que relaciona a f.e.m. auto-induzida com a taxa de 
variação da corrente. 
A indutância é a medida da oposição à variação da corrente (inércia da corrente). 
Esta definição é a que tem maior aplicação prática na Eletrotécnica. A comparação com 
a inércia nos sistemas mecânicos é muito boa e pode ser bem explorada. Quando um 
corpo está em repouso e deseja-se colocá-lo em movimento, é necessário aplicar nele uma 
força maior do que aquela necessária para mantê-lo em movimento. Verificamos isto 
claramente quando empurramos um automóvel. Por outro lado, quando tentamos frear 
este mesmo corpo, observamos uma certa dificuldade em pará-lo. Isto se deve a inércia 
do corpo, ou seja, a oposição que ele apresenta à variação da sua velocidade. A inércia de 
um sistema mecânico é diretamente proporcional a sua massa. 
Um fenômeno análogo ocorre nos circuitos elétricos. A indutância se opõe à 
variação da corrente elétrica, ou seja, produz um atraso no crescimento ou no decréscimo 
da corrente. Porém, quando a corrente está constante a indutância não se manifesta, ou 
seja, não interfere no funcionamento do circuito. 
A indutância é algumas vezes desejável e, outras vezes, indesejável. Existem 
componentes com o claro objetivo de inserir a indutância no circuito elétrico. Estes 
componentes são denominados indutores. O indutor nada mais é do que uma bobina com 
núcleo magnético ou não-magnético, dependendo da aplicação. A indutância, a 
resistência e a capacitância são os parâmetros básicos dos circuitos elétricos e determinam 
o funcionamento dos mesmos. 
107 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
 
(a) (b) (c) 
Figura 5.13 – Símbolos do Indutor (a), do Resistor (b) e do Capacitor (c). 
 
Exemplo 5.3: Uma bobina de 200 espiras está enrolada em um núcleo magnético 
com relutância de 40 000 Ae/Wb. Calcule: 
a) a indutância da bobina; 
b) a f.e.m. de auto-indução (intensidade e sentido) quando a corrente varia de 100mA 
para 200mA em 1ms. 
 
 
 
 
 
 
 
5.5.2.2. Mútua-Indução 
Considere que, na figura 5.14, a corrente na bobina 1 é subitamente interrompida 
por ação da chave S. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.14 - F.e.m. de mútua-indução produzida pela abertura da chave S 
 
Considerando que o fluxo produzido pela bobina 1 enlaça a bobina 2, a variação 
da corrente na bobina 1 induz f.e.m. na bobina 1 (f.e.m. de auto-indução) e também induz 
f.e.m. na bobina 2, denominada f.e.m de mútua-indução. A f.e.m. de mútua-indução faz 
108 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
circular corrente pela bobina 2 que, por sua vez, produz um fluxo de reação oposto à 
variação do fluxo da bobina 1. Na figura 5.13, a abertura da chave produz diminuição de 
1. Portanto, 2 atua no mesmo sentido de 1 tentando impedir a sua variação. 
 
Exemplo 5.4: Considerando que, na figura 5.14, a chave é fechada, determine: 
a) o sentido de 1; b) o sentido de 2; c) o sentido de i2, de e2 e de e1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.15 - F.e.m. de mútua-indução produzida pelo fechamento da chave S 
 
Fatores que influenciam na f.e.m. de mútua-indução 
A f.e.m. de mútua-indução na bobina 2 é produzida pela variação de corrente na 
bobina 1. Define-se indutância-mútua (M) como sendo a constante que multiplicada pela 
taxa de variação da corrente em um circuito determina a f.e.m. induzida em outro circuito 
próximo. 
 
 
t
i
Me


 12 
(5.8) 
 
Considerando que o acoplamento magnético seja perfeito, ou seja, que todo o 
fluxo produzido pela bobina 1 enlace a bobina 2, também pode-se determinar a f.e.m. de 
mútua indução através da Lei de Faraday. 
t
Ne



1
22

 
109 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
Usando-se a Lei de Hopkinson 
 
t
iNNiN
t
Ne






 1211122
.
)
.
( 
e fazendo-se as devidas substituições, temos 
 
t
iNN
t
i
M





 1211 . 

 21
.NN
M 
Sabendo-se também que: 
 


2
1
1
N
L   .11 LN 


2
2
2
N
L   .22 LN , de modo que 



... 21 LL
M 
 
obtemos 
21.LLM  
A equação acima considera um acoplamento perfeito entre as bobinas, ou seja, 
que todo o fluxo produzido por uma bobina atravessa a outra bobina. Como isto nunca 
ocorre na prática, deve-se utilizar um fator de acoplamento entre as bobinas. 
 
 
21.LLkM  
(5.9) 
 
Onde: 
M = indutância mútua (H); 
L1 e L2 = indutâncias próprias das bobinas 1 e 2, respectivamente (H) 
k = coeficiente de acoplamento (0  k < 1). 
 
Quando o coeficiente de acoplamento for próximo de 1, diz-se que as bobinas 
estão firmemente acopladas. Isto ocorre quando as bobinas estão enroladas uma sobre a 
outra em um núcleo de alta permeabilidade. Quando as bobinas não possuem núcleo 
110 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
magnético, estão muito afastadas e/ou dispostas de maneira que o fluxo mútuo seja nulo, 
o coeficiente de acoplamento é nulo. 
 
Exemplo 5.5: Nas figuras ( a) e (b) abaixo, diga e justifique onde k=0 e onde k1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) (b) 
Figura 5.16 – Coeficiente de Acoplamento 
 
Conclui-se que a indutância mútua depende: 
- das indutâncias individuais das bobinas; 
- do coeficiente de acoplamento, ou seja, da distância e da disposição das bobinas. 
 
Exemplo 5.6: Considere duas bobinas com L1 = 2H, L2 = 2H e k=0,9. Se a 
corrente na bobina 1 varia de 10A para 11A em 1ms, calcule: 
a) a f.e.m. de auto-indução na bobina 1; 
 
 
 
 
 
b) a f.e.m. de mútua-indução na bobina 2. 
 
 
 
 
 
Bobina Bobina 2 
111 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica5.5.2.3. Aplicações práticas dos fenômenos de auto-indução e mútua-indução 
Os fenômenos de auto-indução e mútua-indução estão presentes em praticamente 
todos os equipamentos eletromagnéticos. O transformador e o reator convencional da 
lâmpada fluorescente são exemplos claros de utilização destes fenômenos. 
 
5.5.2.3.1 TRANSFORMADOR 
 
1 – Definição 
“Equipamento elétrico que, por indução eletromagnética, transforma tensão e 
corrente alternada entre dois ou mais enrolamentos, com a mesma freqüência e, 
geralmente com diferentes valores de tensão e corrente.” NBR – 5356 - 3.1 
 
2 – Utilização 
O transformador é basicamente utilizado para adequar a tensão às necessidades do 
usuário por um processo simples e com rendimento de quase 100%. Ele é, então, usado 
nas usinas para elevar a tensão para centenas de kV a fim de diminuir as perdas na 
transmissão. Na distribuição tem a finalidade de rebaixar a tensão ao nível que o sistema 
requeira chegando a valores baixos o suficiente para garantir a segurança dos usuários. 
Também é utilizado em circuitos eletrônicos (fontes, casamentos de impedâncias, etc). 
 
3 - Princípio de funcionamento 
O transformador é constituído de dois (ou 
mais) enrolamentos eletricamente isolados entre si, 
porém acoplados magneticamente através de um 
núcleo de pouca relutância que canaliza o fluxo de um 
enrolamento até o outro. Um dos enrolamentos recebe 
excitação de uma fonte CA (geralmente senoidal) que 
gera no mesmo um fluxo magnético variável que se 
concatena com o outro enrolamento gerando no 
mesmo uma f.e.m. de mútua indução. 
As f.e.m. nos dois enrolamentos são 
proporcionais ao número de espiras de cada um. As tensões nos terminais são muito 
próximas dos valores das f.e.m. devido às pequenas quedas de tensão internas. Assim 
pode-se dizer na maioria dos casos práticos que: 
V2 
X2 
 Figura 5.17 - Parte ativa de um transformador 
elementar 
X1 
X2 
 
H2 
H1 
V1 
 
X1 
112 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
 
Também se pode provar que as correntes nos enrolamentos são inversamente 
proporcionais ao seu número de espiras de forma que as f.m.m.s primária e secundária se 
contrabalancem, ou seja, no enrolamento de maior número de espiras tem-se maior tensão 
e menor corrente e no outro o contrário. Assim, as potências no secundário e no primário 
são consideradas iguais (P1=P2) até que se queira fazer uma análise mais apurada de 
perdas. 
 
 
 
Considera-se enrolamento primário o enrolamento que recebe energia e 
secundário o enrolamento que fornece energia. Quando o primário trabalha com maior 
tensão que o secundário diz-se que o transformador é rebaixador e, quando for o contrário, 
elevador. 
Na verdade qualquer dos enrolamentos pode ser o primário porque o 
transformador é uma máquina reversível, só dependerá de que lado vem a energia. 
 
5.5.2.3.2 REATOR ELETROMAGNÉTICO DA LÂMPADA FLUORESCENTE 
O reator é um equipamento auxiliar utilizado em conjunto com as lâmpadas de 
descarga (lâmpadas fluorescentes, vapor de mercúrio, vapor de sódio e vapor metálico) 
que tem como objetivo limitar a corrente na lâmpada e fornecer características elétricas 
adequadas. Os tipos de reatores encontrados no mercado são: eletromagnéticos e 
eletrônicos. A correta aplicação dos reatores garante um melhor desempenho para os 
projetos elétricos e luminotécnicos, contribuindo diretamente para a manutenção do fluxo 
luminoso e a vida útil da lâmpada. Será estudado apenas o reator eletromagnético, o qual 
utiliza os princípios da fem variacional. 
O reator eletromagnético é constituído por um núcleo laminado de aço silício (com 
baixas perdas) e bobinas de fio de cobre esmaltado ou de alumínio. Geralmente são 
impregnados com resina de poliéster adicionado com carga mineral, tendo um grande 
poder de isolação e dissipação térmica. O reator eletromagnético pode ser de dois tipos: 
de partida convencional ou de partida rápida. 
a
N
N
V
V
2
1
2
1 
a
1
N
N
I
I
1
2
2
1 
113 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
 Reator Eletromagnético Partida Convencional – O reator fornece por alguns 
segundos uma tensão nos filamentos da lâmpada para pré-aquecê-lo em seguida, 
com a utilização de um starter proporciona o acendimento da lâmpada 
fluorescente. 
 Reator Eletromagnético Partida Rápida – Neste tipo de partida os filamentos são 
aquecidos constantemente pelo reator, o que facilita o acendimento da lâmpada 
em um curto espaço de tempo. Neste caso não é necessário o uso do starter. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.18 – Ligação da lâmpada fluorescente com reator convencional 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
114 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
5.6 Exercícios 
1. Enuncie a Lei de Faraday. 
 
2. Calcule a f.e.m. induzida (média) numa bobina de 1000 espiras quando o fluxo no 
seu interior varia de 1,0mWb para 2,0mWb em um intervalo de 0,1segundo. 
Resposta: e = 10 V 
 
3. Enuncie a Lei de Lenz. 
 
4. Em cada uma das figuras abaixo, represente: 
a) o fluxo indutor; 
b) o fluxo induzido; 
c) a corrente induzida; 
d) a polaridade (+ e -) da bobina; 
e) a força (atração ou repulsão) entre bobina e ímã. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
115 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
5. Um condutor desloca-se, perpendicularmente, a um campo magnético de indução 0,15 
T com uma velocidade de 100 m/s. O seu comprimento é de 20 cm e é conectado a um 
circuito de resistência 0,2 . Calcule : 
a) a f.e.m. induzida; Resposta: e=3V. 
b) a corrente elétrica induzida; Resposta: i=15A. 
c) a potência elétrica desenvolvida; Resposta: 45W. 
d) a força eletromagnética de oposição ao movimento; Resposta:0,45N 
e) a potência mecânica utilizada. Resposta: 45W 
 
6. Usando a regra de Fleming da mão direita, descubra o sentido da f.e.m. induzida nos 
seguintes casos. 
 
 
 
 
 
 
 
7. Desenhe um gerador de corrente alternada elementar, indicando o nome de todas as 
partes, e explique o funcionamento. 
 
8. Cite o tipo de conversão de energia feita pelos geradores elétricos. 
 
9. Explique o que é auto-indução. 
 
10. O que é indutância? De quais fatores depende a indutância de uma bobina? 
 
11. Uma bobina de 500 espiras está enrolada em um núcleo magnético com relutância de 
60000Ae/Wb. Calcule: 
a) a indutância da bobina; Resposta: 4,17H 
b) a f.e.m. de auto-indução (intensidade e sentido) quando a corrente varia de 
400mA para 200mA em 2ms. Resposta: 417V 
 
 
N S 
v 
N 
S 
+ + + + + + + + + + + + 
+ + + + + + + + + + + + + + 
+ + + + + + + + + + 
+ + + + + + + + + + + + 
+ + + + + + + + + + + + 
v 
B 
v 
v 
+ 
condutor 
116 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
12. Explique o que é mútua-indução. 
 
13. O que é indutância-mútua? De quais fatores depende a indutância-mútua? 
 
14. Considere duas bobinas com L1 = 0,5 H, L2 = 0,75 H e k=0,8. Se a corrente na bobina 
1 varia de 18A para 16A em 2ms, calcule: 
a) a f.e.m. de auto-indução; Resposta: 500V 
b) a f.e.m. de mútua-indução. Resposta: 489,9V 
 
15. Indique o sentido da f.e.m. induzida em cada bobina no instante em que o interruptor 
S é aberto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16. Em um circuito uma bobina possui 2000 espiras. Se, num intervalo de tempo de 0,25s 
o fluxo reduzir de 625mWb para 375mWb, qual será a fem induzida de acordo com 
Faraday-Lenz? 
17. É induzida em um condutor de 20cm uma fem de 5V. Este condutorse movimenta a 
30º das linhas de força com uma velocidade de 50m/s e é conectado a um circuito com 
resistência de 0,1Ω. Determine: 
a. A indução magnética e seu sentido. 
b. A corrente elétrica e seu sentido. 
c. A potência elétrica consumida. 
d. A força de oposição ao movimento e seu sentido. 
e. A potência mecânica utilizada. 
 
 
 
 
 
117 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
18. Uma bobina 1 com 1000 espiras está disposta em um núcleo magnético com relutância 
de 50000 Ae/Wb. Uma bobina 2 com 2500 espiras está disposta no mesmo núcleo e 
apenas 80% do fluxo produzido em 1 atravessa 2. Determine: 
a. A indutância própria da bobina 1. 
b. A indutância própria da bobina 2. 
c. A fem auto-induzida na bobina 1 se a corrente nesta bobina variar 3 
A/s. 
d. A indutância mútua e a fem de mútua indução na bobina 2. 
 
19. Um transformador monofásico possui 500 espiras no primário e 250 espiras no 
secundário, Sabendo que a tensão no primário é 13,8kV e que a potência do transformador 
é 25kW, e que não existem perdas. Determine: 
a. A relação de transformação a. 
b. A tensão secundária. 
c. As correntes primária e secundária se o transformador estiver a plena 
carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
118 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
 
6. PERDAS NOS CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
6.1 Perdas por Correntes de Foucault (correntes parasitas) 
Um circuito elétrico, quando submetido a uma variação de fluxo magnético no 
seu interior, é induzido de f.e.m.. Os circuitos, geralmente, são formados por 
espiras convenientemente isoladas, de forma que a f.e.m. e a corrente, induzidas, são 
canalizadas a um circuito consumidor. (Martignoni, Eletrotécnica, p.271 e p.403) 
Os circuitos elétricos, muitas vezes, são enrolados sobre um núcleo de material 
ferro-magnético, a fim de diminuir a relutância do circuito magnético e favorecer a 
criação de campos intensos. 
Como um material ferromagnético também é um condutor elétrico, se houver 
variações de fluxo, haverá indução de f.e.m. na massa metálica. Este núcleo comporta-
se como um circuito elétrico fechado de baixíssima resistência (um curto-circuito), 
logo as f.e.m. darão origem a fortes correntes dentro do núcleo magnético. 
 O sentido dessas correntes é tal que o seu campo magnético opõe-se à variação do 
campo magnético indutor. As correntes estão, portanto, num plano perpendicular à 
direção do campo magnético. Na fig.1 tem-se, por exemplo, o fluxo crescendo dentro do 
núcleo com o sentido indicado. As correntes parasitas farão aproximadamente o percurso 
mostrado, a fim de criar um campo induzido em sentido contrário ao do indutor. Estas 
correntes causam uma grande dissipação de calor, que geralmente não tem uso nenhum, 
mas consome energia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.1 - Núcleo maciço com correntes parasitas 
 
fluxo 
corrente 
parasita 
C.A. 
i 
119 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
Um procedimento tradicionalmente feito para reduzir as correntes de Foucault 
(pronuncia-se fucô) é fazer o circuito magnético de chapas isoladas em vez de ser maciço. 
A isolação pode ser feita por fina camada de verniz, oxidação natural da chapa e outros 
materiais mais evoluídos. A laminação deve ser no sentido do fluxo, para não aumentar a 
relutância e também para que o isolante fique transversal ao sentido da corrente e, com 
isto, dificultar a sua circulação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As correntes de Foucault não têm um caminho bem definido, portanto o seu 
equacionamento é bastante difícil. Resultados experimentais têm mostrado que as perdas 
por correntes parasitas podem ser expressas pela seguinte equação. 
 
 
Pp = kp.BM
2.f2.t2 (6.1) 
 
Onde: 
 Pp = perdas por correntes parasitas ( Watts/kg ) 
 kp = constante que depende da resistividade do material 
 BM = indução magnética máxima ( T ) 
 f = freqüência ( Hz ) 
 t = espessura das lâminas ( mm ) 
 
 
 
 
C.A. 
i 
 
chapa isolante 
Figura 6.2 - Circuito magnético laminado com correntes 
parasitas 
120 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
Podem-se reduzir as perdas ‘Foucault’ das seguintes maneiras: 
1. Usando chapas isoladas de pequena espessura; 
2. Aumentando a resistividade do material pelo acréscimo de pequenos percentuais 
de silício ao aço (1% a 5%); 
3. Trabalhando com indução relativamente baixa; 
4. Usando freqüência baixa (quando for possível). 
 
Como se pode ver, não é possível eliminar as correntes parasitas e sim reduzi-las 
a ponto de serem suportáveis. 
 
6.1.2 Aproveitamento das correntes parasitas 
As correntes parasitas geram calor e forças contrárias ao movimento, sendo que, 
em certas circunstâncias, podem ser benéficas tal como acontece nos seguintes 
equipamentos. 
 
1. Forno de indução: Neste equipamento, o material a ser fundido é colocado dentro 
do forno, onde um campo magnético variável, de frequência geralmente alta (400 a 
1000Hz), induz-lhe correntes parasitas, que o aquece até o ponto de fusão. Geralmente, 
estes fornos são usados para fundição de materiais com baixo teor de impurezas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.3 – Forno de Indução 
 
 
 
121 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
 
 
2. Freio de instrumentos: Quando um condutor é movido dentro de um campo 
magnético, gera-se uma f.e.m. e uma corrente (se o circuito estiver fechado). O sentido 
desta corrente induzida é tal que se geram forças em sentido contrário ao deslocamento 
do condutor. Em vários instrumentos, este princípio é aproveitado para que o seu ponteiro 
(ou mecanismo de medição) tenha um movimento amortecido (lento). 
Ex: O disco e o ímã dos medidores de energia elétrica residencial ou industrial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.4 – Medidor de energia elétrica 
3. Aquecedor indutivo para rolamentos: O aquecedor indutivo aproveita o calor 
gerado pelas correntes parasitas para aquecer o rolamento de forma que este dilate e 
aumente seu diâmetro, permitindo seu encaixe no equipamento de maneira adequada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.5 – Aquecedor Indutivo para Rolamentos 
122 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
6.2 Histerese Magnética e Perdas por Histerese Magnética 
Considere-se uma bobina enrolada em um núcleo magnético. A bobina é 
alimentada por uma fonte que permite variar o valor da corrente e inverter o seu sentido. 
Neste ensaio supõe-se que o material é magneticamente virgem, ou seja, nunca tenha sido 
magnetizado antes. Inicialmente aumenta-se a corrente na bobina, aumentando o campo 
indutor (H). A indução vai crescendo segundo a curva 0 - 1 até que seja atingida a 
saturação magnética quando todos os domínios estão orientados. 
Reduz-se o campo indutor e a indução decresce, porém o retorno não acontece 
sobre a linha original e sim segundo a linha 1-2. Quando o campo indutor se anula (H = 
0) ainda resta certa indução, ou seja, mesmo sem campo indutor externo os ímãs 
elementares se mantêm parcialmente orientados. Define-se como Indução Residual ou 
Remanente como sendo a indução que se mantém quando o campo indutor é anulado. 
Para anular a indução residual deve-se inverter a corrente (aplicar um campo 
indutor ao contrário) e ir aumentando gradativamente até que a indução anule-se (B 
= 0). O campo indutor capaz de levar a indução residual a zeroé chamado de campo 
coercitivo ou força coercitiva ( Hc ). 
Aumentando-se o campo indutor (H) no sentido negativo chega-se à saturação do 
material em sentido contrário (ponto 4). 
Reduzindo-se a excitação da bobina magnetizadora a densidade magnética B 
diminui até chegar ao ponto 5 (H = 0) sobrando uma indução residual Br negativa. 
Para anular esta indução residual deve-se inverter o campo indutor e aumentá-lo 
até alcançar Hc . 
Continuando-se a aumentar o campo indutor chega-se novamente à saturação no 
sentido positivo. 
Como se percebeu o valor da indução segue o valor do campo indutor H com certo 
atraso, ou seja, quando H chega à zero B ainda não chegou, H atinge valores negativos 
antes dos valores de B atingirem. 
Histeresis, em grego, significa atraso por isto o laço de histerese magnética tem 
este nome, sendo também chamado de ciclo de histerese. Na figura 2.16 é apresentado 
um laço de histerese típico. 
De modo geral, quando o material não está magnetizado seus domínios 
magnéticos estão dispostos de maneira aleatória. Porém, ao aplicar-se uma força 
magnetizante, os domínios se alinham com o campo aplicado. Se invertermos o sentido 
do campo os domínios também inverterão sua orientação. Ao inverter sua orientação, os 
123 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
domínios precisam superar o atrito e a inércia. Ao fazer isto dissipam certa quantidade de 
energia na forma de calor, que é chamada de PERDA POR HISTERESE. Quanto maior 
a força coercitiva mais difícil se torna a desmagnetização do material e, portanto, mais 
perdas ocorrem. 
Pode-se provar matematicamente que a área dentro do laço de histerese representa 
as perdas histeréticas. Assim, para o trabalho com corrente variável (ou alternada), é 
necessário que o laço seja o mais estreito possível para que as perdas sejam o menor 
possível. Na figura 2.17 é apresentado um gráfico com a representação das perdas por 
histerese magnética. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.6 – Laço de Histerese 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.7 – Perdas por histerese magnética 
 
124 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
 
A maioria dos autores expressa as perdas histeréticas por uma equação com 
coeficientes empíricos. (Martignoni, Eletrotécnica) 
Ph = kh.BM
1,6.f (6.2) 
Onde: Ph = perdas histeréticas ( Watts / kg ) 
 kh = coeficiente que depende do material ( coef. de Steinmetz ) 
 BM = indução máxima ( T ) 
 f = freqüência ( Hz ) 
Para redução dessas perdas deve-se usar material de baixa força coercitiva, 
indução magnética baixa ( material não saturado ) e reduzir a frequência da variação do 
fluxo ( quando for possível ). A curva B-H dos materiais é que diferenciam as suas 
propriedades para fabricação de ímãs e de eletroímãs. 
Os ímãs permanentes ideais devem ter alta coercitividade para que sejam difíceis 
de serem desmagnetizados e alta remanência para que apresentem uma boa indução de 
trabalho. Os ímãs reais dificilmente apresentam as duas características completas juntas. 
Os materiais mais usados em ímãs permanentes são: Aço com alto teor de carbono, 
Ferrite, Alnico, Samário- Cobalto, Neodímio-Ferro-Boro. Para fabricar eletroímãs o 
importante é que a indução seja alta para pequenos valores de H (alta permeabilidade) e 
que a coercitividade e remanência sejam pequenas para que, quando a corrente seja 
extinta a indução residual anule-se facilmente. O material ideal para eletroímãs deve ter, 
portanto, o laço de histerese representando uma reta que passa pela origem e tenha grande 
inclinação (grande permeabilidade). 
Para fabricação de eletroímãs são usados normalmente aço-doce e o aço-silício. 
Estes materiais têm alta permeabilidade e pequena força coercitiva, porém, possuem alta 
indução residual, o que não chega a ser um problema pois é facilmente reduzida já que 
a força coercitiva é muito baixa. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.8 – Característica do laço de histerese de ímãs permanentes e eletroímãs 
125 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
6.3 Exercícios 
1. Descreva o fenômeno de perdas por correntes parasitas (ou correntes Foucault ), 
abordando: 
a) causas de sua existência; 
b) consequências advindas do fenômeno. 
 
2. Cite as quatro maneiras possíveis de reduzir-se as perdas por correntes parasitas. 
 
3. Cite dois equipamentos que baseiam seu princípio de funcionamento nas correntes 
parasitas. 
 
4. Explique o que é perda por histerese magnética respondendo ao que se pede: 
a) Quais as causas? 
b) Quais as consequências? 
 
5. Cite as três formas possíveis de reduzirem-se as perdas por histerese magnética. 
 
6. Defina indução residual e força coercitiva. 
 
7. Desenhe os laços de histerese de materiais próprios para a construção de ímãs 
permanentes e eletroímãs e justifique. 
 
8. Porque um material magnético com força coercitiva alta é ruim para trabalho em um 
eletroímã alimentado com corrente alternada? 
 
9. Cite materiais tecnicamente adequados para a construção de ímãs permanentes e 
eletroímãs. 
 
 
 
 
 
 
 
126 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
APÊNDICE 
A.1 – Unidades do Sistema Internacional 
Tabela A.1 – Unidades no Sistema Internacional 
UNIDADES DO SISTEMA INTERNACIONAL 
BÁSICAS 
Grandeza Unidade Símbolo 
Comprimento metro m 
Massa quilograma kg 
Tempo segundo s 
Intensidade de corrente elétrica ampère A 
Temperatura Kelvin K 
Quantidade de matéria Mol mol 
Intensidade luminosa Candela cd 
DERIVADAS 
Área metro quadrado m² 
Volume metro cúbico m³ 
Força newton N 
Energia / Trabalho joule J 
Aceleração metro por segundo quadrado m/s² 
Velocidade metro por segundo m/s 
Tensão elétrica volt V 
Carga elétrica coulomb C 
Fluxo magnético weber Wb 
Indução magnética tesla T 
Permissividade elétrica farad por metro F/m 
Permeabilidade magnética henry por metro H/m 
Intensidade de campo magnético ampere espira por metro Ae/m 
Torque newton metro Nm 
Capacitância farad F 
Indutância henry H 
Potência wattt W 
Campo elétrico newton por coulomb N/C 
Relutância magnética ampere espira por weber Ae/Wb 
Força magnetomotriz ampere espira Ae 
Resistência elétrica ohm Ω 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
127 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
A.2 – Multiplicadores em Base 10 
Tabela A.2 – Múltiplos de Submúltiplos em base 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A.3 – Conversão de Unidades – Áreas e Volumes 
Tabela A.3.1 – Tabela de conversão de áreas 
TABELA DE CONVERSÃO - ÁREAS 
km² hm² dam² m² dm² cm² mm² 
 
 
Tabela A.3.2 – Tabela de conversão de volumes 
TABELA DE CONVERSÃO - VOLUMES 
km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³ 
 
 
Tabela A.3.3 – Tabela de conversão de áreas em base 10 
CONVERSÃO DE ÁREAS - BASE 10 
 km² hm² dam² m² dm² cm² mm² 
km² 1 102 104 106 108 1010 1012 
hm² 10-2 1 102 104 106 108 1010 
dam² 10-4 10-2 1 102 104 106 108 
m² 10-6 10-4 10-2 1 102 104 106 
dm² 10-8 10-6 10-4 10-2 1 102 104 
cm² 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2 1 102 
mm² 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2 1 
128 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
Tabela A.3.4 – Tabela de conversão de volumes em base 10 
CONVERSÃO DE VOLUMES - BASE 10 
 km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³ 
km³ 1 103 106 109 1012 1015 1018 
hm³ 10-3 1 103 106 109 1012 1015 
dam³ 10-6 10-3 1 103 106 109 1012 
m³ 10-9 10-6 10-3 1 103106 109 
dm³ 10-12 10-9 10-6 10-3 1 103 106 
cm³ 10-15 10-12 10-9 10-6 10-3 1 103 
mm³ 10-18 10-15 10-12 10-9 10-6 10-3 1 
 
A.4 – Cálculo de Perímetros (2p) e Áreas (A) 
Quadrado 
A = lado x lado 2p = lado + lado + lado + lado 
Retângulo 
A = base x altura 2p = base + base + altura + altura 
Triângulo 
A = (base x altura) / 2 
Circunferência 
A = π x raio² ou A = (π x diâmetro²) / 4 2p = 2 x π x raio 
 
A.5 – Revisão Trigonometria 
 
129 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
 
 
 
 Teorema de Pitágoras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
130 
 
Apostila de Eletromagnetismo Curso Técnico em Eletrotécnica 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
ALVARENGA, B., MÁXIMO, A. Curso de Física, São Paulo: 3a Ed. Harbra, 1994, vol.3. 
 
ARNOLD, R. Fundamentos de Eletrotécnica, São Paulo: EPU, 1976, vol.3. 
 
FOWLER, R. Eletricidade: Princípios e Aplicações, São Paulo: Makron Books, 1992, vol.1 e vol.2. 
 
TAVARES, A. M., BRAUNSTEIN, S. H.. Apostila de Eletromagnetismo, Curso de Eletrotécnica, Centro 
Federal de Educação Tecnológica de Pelotas, 2005. 
 
TAVARES, A. M., BARBOZA, L. V., BRAUNSTEIN, S. H. Apostila de Análise de Circuitos, Curso de 
Eletrotécnica, Centro Federal de Educação Tecnológica de Pelotas, 2005. 
 
GUSSOW, M. Eletricidade Básica, São Paulo: 2a Ed. Makron Books, 1996. 
 
MARTIGNONI, A. Eletrotécnica, Rio de Janeiro: 7a Ed. Globo, 1985. 
 
WOLSKI, BELMIRO. Fundamentos de Eletromagnetismo, Rio de Janeiro: 1a Ed. Ao Livro Técnico, 
2005. 
 
MEDEIROS FILHO, Solon de. Medição de Energia Elétrica. 3. Ed. Rio de Janeiro: Editora Guanabara, 
1976. 483 p. 
 
MEDEIROS FILHO, Solon de. Fundamentos de Medidas Elétricas. 2. Ed. Rio de Janeiro: Editora 
Guanabara, 1986. 307 p.