ANÁLISE COMBINATÓRIA

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1a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
O princípio da Casa dos Pombos é, sem dúvida, um dos enunciados mais simples e poderosos na solução de 
problemas de contagem, digamos, inusitados. Surpreendente, ele possibilita a solução elegante de 
problemas muitas vezes de difícil abordagem. Tendo este princípio em mente, uma caixa contém 7 bolas 
vermelhas, 8 azuis e 10 verdes. Qual o número mínimo de bolas que devemos retirar da caixa, sem olhar, 
para garantir que retiramos, pelo menos, duas bolas de cores diferentes? 
 
 
15 
 
25 
 
22 
 26 
 11 
Respondido em 19/09/2022 11:19:44 
 
Explicação: 
Como o maior número possível de bolas da mesma cor é 10 (bolas verdes), nas 10 primeiras retiradas é possível 
que todas tenham sido verdes! Logo, a próxima bola, necessariamente será de cor diferente. 
 
 
2a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
O princípio da Casa dos Pombos é, sem dúvida, um dos enunciados mais simples e poderosos na solução de 
problemas de contagem, digamos, inusitados. Surpreendente, ele possibilita a solução elegante de problemas 
muitas vezes de difícil abordagem. Tendo este princípio em mente, qual o número mínimo necessário de 
pessoas para garantir que pelo menos três delas aniversariem no mesmo dia da semana? 
 
 
36 
 
12 
 
25 
 
23 
 15 
Respondido em 19/09/2022 11:19:10 
 
Explicação: 
Como há 7 dias da semana diferentes, na pior das hipóteses 2 pessoas estarão associadas a cada um dos dias da 
semana, ou seja, 14 pessoas. Naturalmente que a 15ª pessoa ocupará o mesmo dia da semana que duas das 
anteriores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
O princípio da Casa dos Pombos é, sem dúvida, um dos enunciados mais simples e poderosos na solução de 
problemas de contagem, digamos, inusitados. Surpreendente, ele possibilita a solução elegante de 
problemas muitas vezes de difícil abordagem. Tendo este princípio em mente, uma caixa contém 7 bolas 
vermelhas, 8 azuis e 10 verdes. Qual o número mínimo de bolas que devemos retirar da caixa, sem olhar, 
para garantir que retiramos pelo menos, duas bolas da mesma cor? 
 
 
25 
 4 
 26 
 
16 
 
15 
Respondido em 19/09/2022 11:20:15 
 
Explicação: 
Ora, como há apenas três cores diferentes, a quarta bola tem que possuir a mesma cor que uma das bolas 
anteriormente retiradas! 
 
 
4a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Conjuntos como conhecemos são uma coleção ou grupos de objetos, ou símbolos aos quais chamamos de 
elementos. Um dos dados usados no jogo D & D é um dado dodecaédrico, que possui 12 faces pentagonais 
numeradas de 1 a 12. Se jogarmos simultaneamente um dado cúbico normal e um dado dodecaédrico, 
quantas são as possíveis somas distintas obtidas em uma única jogada? 
 
 
60 
 
20 
 
5 
 17 
 
12 
Respondido em 19/09/2022 11:21:39 
 
Explicação: 
Devemos somar cada natural entre 1 e 6 (dado cúbico) com cada natural de 1 a 12 (dado dodecaédrico)! 
Se você pensar numa tabela com a seguir, um tipo de tabela de tabuada das somas possíveis, é imediato 
perceber quais e quantos são os resultados diferentes possíveis: 12+5=17 valores diferentes. 
 
 
 
 
 
 
5a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Dentre os subconjuntos do conjunto {1; 2; 3; 4; 5; 6} com 3 elementos, quantos são os que não possuem 
dois números consecutivos? 
 
 4 
 5 
 
6 
 
3 
 
8 
Respondido em 19/09/2022 11:34:46 
 
Explicação: 
Esse problema é tipicamente o problema resolvido pelo Lema 1 de Kaplansky, 
 
 
 
6a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Dispondo dos algarismos de 1 a 9, quantos são os núme¬ros de 4 algarismos diferentes podemos formar, 
sabendo-se que devemos usar pelo menos o algarismo 2 e o algarismo 5? 
 
 A94−A74A49−A47 
 A94A49 
 C94−C74C49−C47 
 C74C47 
 C72×4!C27×4! 
Respondido em 19/09/2022 11:34:44 
 
Explicação: 
Como os algarismos 2 e 5 tem que ser escolhidos, devemos calcular de quantas maneiras podemos escolher, 
dentre os 7 algarismos restantes, os 2 algarismos adicionais que desejamos usar. Isso corresponde 
a C72=7.6/2.1=21C27=7.6/2.1=21. 
Mas devemos, agora, permutar os algarismos de cada uma dessas escolhas para obter os números 
desejados. Ou seja, 21×P4=21×24=50421×P4=21×24=504. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
No cartão da Mega Sena, uma aposta corresponde à escolha de um conjunto de 6 números diferentes, 
dentre os 60 disponíveis. 
 
Se escolhermos oito números, ao invés de apenas seis, quantas apostas estão, na verdade, sendo 
realizadas? 
 
 
32 
 
3 
 28 
 
8 
 
2 
Respondido em 19/09/2022 11:28:48 
 
Explicação: 
Basta determinar quantos conjuntos diferentes podemos formar, com 6 números, a partir dos 8 escolhidos. 
C86=8.7/2=28C68=8.7/2=28 
 
 
8a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio. 
Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é aplicado em cálculos de 
probabilidades e estatísticas. Dados um conjunto A com 8 elementos onde x≠y são dois de seus elementos, 
quantos são os subconjuntos de A com 4 elementos, de tal forma que x pertença ao subconjunto, mas y não 
pertença ao subconjunto? 
 
 (84)(84) 
 (73)(73) 
 (63)(63) 
 (74)(74) 
 (64)(64) 
Respondido em 19/09/2022 11:34:31 
 
Explicação: 
Se x deve pertencer ao subconjunto, devemos escolher mais 3 elementos (para completar os 4 desejados) dentre 
os demais 7 elementos de A. Mas y não deve pertencer ao subconjunto! Logo, como x já foi escolhido, temos que 
escolher os 3 elementos adicionais apenas dentre os 6 restantes (sem o x nem o y). 
 
 
 
 
9a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio. 
Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é aplicado em cálculos de 
probabilidades e estatísticas. O somatório ∑k=100k=0(100k)2∑k=0k=100(100k)2pode ser interpretada da 
forma que se segue: Como (100k)=(100100−k)(100k)=(100100−k)podemos, a partir da igualdade :imaginar 
a que dispomos de 100 homens e 100 mulheres para formar comissões... Então, queimando alguns 
neurônios, podemos concluir que o somatório fornecido é 
igual (100k)=(100k)(100100−k)(100k)=(100k)(100100−k) 
 
 (200100)(200100) 
 (50100)(50100) 
 (100100)(100100) 
 (250100)(250100) 
 (500100)(500100) 
Respondido em 19/09/2022 11:34:16 
 
Explicação: 
Tudo se passa como se dispuséssemos de 200 pessoas e desejássemos formar comissões com 100 pessoas. 
 
 
10a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio. 
Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é aplicado em cálculos de 
probabilidades e estatísticas. O desenvolvimento de (x4+x2+1)6 possui termos ... 
 
 
Em x22 e em x9 
 Em x8 e em x2 
 
Em x7 e em x2 
 Em x24 e em x 
 
Em x5 e em x11 
Respondido em 19/09/2022 11:34:07 
 
Explicação: 
Note que multiplicando um total de 6 termos dentre os termos x4, x2 e 1, é impossível obtermos parcelas do tipo 
ximpar.