Dependência e Independência Linear

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Nota de Aula: Dependência e Independência Linear Rebello 2015 
 Para melhor compreender a ideia de dependência e independência linear, vamos verificar 
2 exemplos de combinação linear. 
Considere ⃗ ⃗ ⃗ onde: 
 ⃗⃗⃗ ⃗ [ ] ⃗ [ ] ⃗ [ ] 
Podemos fazer a seguinte combinação linear para escrever um novo vetor ⃗⃗⃗, veja: 
 ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 
 ⃗⃗⃗ [ ] [ ] [ ] ⃗⃗⃗ [ ] 
Vamos agora imaginar outra combinação linear: 
 ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ 
 ⃗⃗⃗ [ ] [ ] ⃗⃗⃗ [ ] 
Isso está errado? 
Não, apenas geramos ⃗⃗⃗ usando duas combinações lineares distintas. 
Porém, o interessante e mais conveniente, é produzirmos um vetor com um conjunto mínimo 
de elementos, portanto, o segundo exemplo se enquadra neste contexto. 
Assim, qualificamos o conjunto ⃗ ⃗ ⃗ como linearmente dependente ( L D ). 
Veja que, pelas combinações feitas, o vetor ⃗ é totalmente desnecessário, ou seja, um vetor 
supérfluo. 
Isso fica mais evidente, quando percebemos que ⃗ pode ser escrito da seguinte forma: 
 ⃗ ⃗ ⃗ 
Daí a ideia de dependência linear, pois, um dos elementos depende dos demais. 
Já o conjunto ⃗ ⃗ é dito linearmente independente ( L I ). 
 
Agora sim, vamos formalizar matematicamente a condição anterior. 
Considere os vetores ⃗ ⃗ ⃗ ( ) 
 
O conjunto ⃗ ⃗ ⃗ é dito linearmente independente ( L I ), se a equação ⃗ 
 ⃗ ⃗ ⃗⃗ só é satisfeita se 
 
Se existir alguma solução para algum então o conjunto ⃗ ⃗ ⃗ é dito 
linearmente dependente ( L D ). 
Obs.: Se o conjunto ⃗ ⃗ ⃗ é L D, então, existe necessariamente pelo menos um 
vetor que pode ser escrito como combinação linear dos demais. 
Do ponto de vista geométrico podemos exemplificar: 
a) O conjunto ⃗ ⃗ é L D , portanto, os vetores tem a mesma direção. Isto é, 
 ⃗ ⃗ pertencem a mesma reta que passa pela origem. 
 
 
b) O conjunto ⃗ ⃗ ⃗ é L D , portanto, os vetores são coplanares. Ou seja, pertencem 
ao mesmo plano que passa pela origem. 
 
Vamos agora verificar as maneiras técnicas para classificar um conjunto de vetores como LI 
ou LD. 
Digamos que queremos avaliar o conjunto ⃗ ⃗ ⃗ onde: 
 ⃗ [ ] ⃗ [ ] ⃗ [ ] 
Pela definição temos que: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ 
 [ ] [ ] [ ] [ ] 
Ou [
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
Na forma matricial: [
 
 
 
] {
 
 
 
} {
 
 
 
} 
 
Estamos agora diante de um sistema homogêneo e relembrando a teoria de sistemas lineares 
temos genericamente: [ ] 
# Se [ ] {
 
 
 
# Se [ ] {
 
 
 
 
Pela definição para conjuntos L I e LD, podemos concluir que: 
 Se [ ] 
 Se [ ] 
No exemplo apresentado temos: 
 [
 
 
 
] 
Portanto, ⃗ ⃗ ⃗ é linearmente independente ( LI ) 
Obs.: Note que a análise foi feita com matriz formada pelas componentes dos vetores 
dispostas em colunas. 
Se a disposição fosse em linhas, a análise seria a mesma já que o sistema teria o seguinte 
aspecto: 
[ ] [
 
 
 
] [ ] 
 
Mais um exemplo: 
Avaliando o conjunto ⃗ ⃗ ⃗ [ ] ⃗ [ 
 
 
 
 
 
 ] 
 [
 
 
 
 
 
 
] 
 
 
 
 
 
 
Portanto ⃗ ⃗ é LD. 
 
Outro exemplo: 
Dado o conjunto [ ] [ ] , classifique em LI ou LD. 
Agora, podemos notar que a ideia de usar o valor do determinante para avaliar o 
conjunto ⃗ ⃗ se torna inviável, pois, o determinante só tem sentido para matriz 
quadrada. 
Porém, a análise para solução do sistema linear homogêneo gerado é válida. 
 ⃗ ⃗ ⃗⃗ 
 [ ] [ ] [ ] 
Ou [
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
Na forma matricial: [
 
 
 
] {
 
 
} {
 
 
} 3 equações e 2 incógnitas 
Neste caso, o método mais interessante é por eliminação de Gauss (escalonamento). 
 [
 
 
 
] 
 
 
 
 
 
 
 
 [
 
 
 
] ( linhas não nulas ) 
 
Como a matriz escalonada apresenta posto 1 e o conjunto apresenta 2 vetores, concluímos 
que o conjunto ⃗ ⃗ é LD 
Mais um exemplo para deixar claro essa técnica: 
Classifique o conjunto ⃗ ⃗ ⃗ em LI ou LD, onde: 
 ⃗ [ ] ⃗ [ ] ⃗ [ ] 
 
Montando a matriz: 
 [ 
 
 
 
 
 ] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
]
 
 
 
 posto 2 
 
Portanto ⃗ ⃗ ⃗ é LD já que o posto < número de vetores 
Obs.: A análise por eliminação de Gauss é mais ampla e atende todos os casos. 
Em resumo, o conjunto será LI se o posto da matriz formada pelas componentes dos vetores 
tiver a mesma dimensão (cardinalidade) do conjunto de vetores analisado.