Aplicações da Integração Múltipla

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INSTITUTO MULTIDISCIPLINAR
DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIAS E LINGUAGENS
IM420 - MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA II
LISTA DE EXERCÍCIOS
Integração de Funções de Várias Variáveis
1) Calcule as integrais
a)
∫ 1
0
∫ 2
0
(x + 2) dy dx
b)
∫ 2
0
∫ 3
1
(x + y) dx dy
c)
∫ 1
0
∫ y
y2
x
1
2 dx dy
d)
∫ 1
0
∫ x
x2
√
x
y
dy dx
e)
∫ 1
0
∫ 1−x
0
∫ 1−y2
0
z dz dy dx
2) Esboce no plano xy a região R definida por
a) −2 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3
b) x = 0, x = 1 , y = 0, y = x2
c) 0 ≤ x ≤ 1, y =
√
x, y = x
d) −3 ≤ y ≤ 0, 0 ≤ x ≤ y
e) −1 ≤ x ≤ 1, x− 1 ≤ y ≤ x + 1
3) Calcule
∫ ∫
R
f(x, y) dA, onde
a) f(x, y) = xy2 e R é o retângulo definido por −1 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1.
b) f(x, y) =
x
y
e R é o retângulo definido por 1 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ e3.
c) f(x, y) = 2x + 4y e R é a região limitada por x = 1, x = 3, y = 0 e
y = x + 1.
d) f(x, y) = x + y e R é a região limitada por x = 0, x =
√
y, y = 0 e
y = 4.
4) Use uma integral dupla para encontrar o volume do sólido mostrado
na figura
a)
b)
c)
5) A densidade populacional de uma cidade litorânea de uma ilha é
descrita pela função
f(x, y) =
5000xey
1 + 2x2
, (0 ≤ x ≤ 4;−2 ≤ y ≤ 0)
onde x e y são medidos em milhas.
Quantas pessoas vivem na região R definida por R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 4;−2 ≤ y ≤ 0}?
6) O lucro semanal (em dólares) da Country Workshop, obtido na fa-
bricação e venda de escrivaninhas, é dado pela função lucro
P (x, y) = −0, 2x2 − 0, 25y2 − 0, 2xy + 100x + 90y − 4000
onde x é o número de escrivaninhas com acabamento e y é o número de
escrivaninhas sem acabamento que são vendidas semanalmente. Encontre o
lucro médio semanal para o caso em que o número semanal de escrivaninhas
com acabamento varia de 180 a 200 e o número semanal de escrivaninhas
sem acabamento varia de 100 a 200 unidades.
Respostas:
1)
a) 5
b) 12
c) 1/10
d) 1/5
e) 11/60
2)
3)
a) 0
b) 9/2
c) 188/3
d) 84/5
4)
5) aproximadamente 3779 pessoas.
6) $ 10460 por semana.