P1 G

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1. Problema
Marque a alternativa correta:
(a) A probabilidade da intersecção de eventos é o produto das probabilidades dos eventos.
(b) Um espaço amostral infinito pode ser equiprovável (os elementos do espaço amostral
possuem mesma probabilidade).
(c) Se A e B são eventos independentes, então Ac e B também são independentes.
(d) Se A está contido em B, então P (A) é diferente de P (B).
(e) Um evento A jamais será independente de si mesmo.
Solução
(a) Falso. Esta propriedade é válida apenas se os eventos forem independentes entre si.
(b) Falso. Caso os elemnentos de um espaço amostral infinito tenham mesma probabilidade,
a soma das probabilidades será infinita.
(c) Verdadeiro. Se dois eventos são independentes, os originais e complementares são todos
independentes entre si.
(d) Falso. Não necessariamente. Se P (B −A) = 0, então P (A) = P (B).
(e) Falso. Um evento A pode ser independente de si mesmo caso P (A) seja 0 ou 1.
2. Problema
Considere o lançamento de duas moedas idênticas, mas desequilibradas. Para cada moeda,
a probabilidade de ocorrer cara é 25% maior do que a probabilidade de obter coroa. Qual é
a probabilidade de obter 2 caras dado que se obteve pelo menos 1 cara?
(a) 0.333
(b) 0.500
(c) 0.556
(d) 0.385
(e) 0.273
Solução
Seja “A” o evento saiu cara e “O” saiu coroa.
Em um lançamento, a probabilidade de obter cara P(A) ou coroa P(O) é igual a 1. Como a
probabilidade de obter cara é 25% maior do que a probabilidade de obter coroa, temos que
P (O) + (1 + 0.25)P (O) = 1
Portanto, P (O) = 0.4444 e P (A) = 0.5556. E as probabilidades em dois lançamentos são
dadas por:
P (AA) = 0.5556× 0.5556 = 0.3086
P (AO) = 0.5556× 0.4444 = 0.2469
P (OA) = 0.2469
P (OO) = 0.4444× 0.4444 = 0.1975
Logo, a probabilidade desejada é
P (AA|AA ∪AO ∪OA) = P (AA)
P (AA ∪AO ∪OA)
=
0.3086
0.8025
= 0.385.
(a) Falso
(b) Falso
1
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
3. Problema
Considere uma questão de múltipla escolha com 5 alternativas. Suponha que um aluno pode
ter certeza da resposta correta com probabilidade de 15%, ter dúvida quanto a resposta
correta com probabilidade de 39% ou não ter nenhuma ideia da resposta correta com prob-
abilidade de 46%. Ao ter certeza, o aluno sempre acerta a questão, enquanto que no caso
de dúvida ele acerta com probabilidade de 37% e, sem saber, ele faz uma escolha aleatória.
Qual a probabilidade do aluno acertar a questão?
(a) 0.333
(b) 0.409
(c) 0.386
(d) 0.294
(e) 0.523
Solução
Defina os eventos
C = “O aluno tem certeza da resposta correta.”
D = “O aluno tem dúvida quanto a resposta correta.”
N = “O aluno não sabe a resposta correta.”
Pelo teorema da probabilidade total, a probabilidade desejada é dada por
P (A) = P (A|C)P (C)+P (A|D)P (D)+P (A|N)P (N) = 1×0.15+0.37×0.39+0.2×0.46 = 0.386.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
4. Problema
No campeonato mundial de bridge de 1965, dois jogadores foram acusados de trapacear por
meio de sinais que indicavam o tamanho das sequências de cartas de copas que cada um
possúıa. Suponha que a probabilidade de que a dupla tenha trapaceado seja 0.5, e que,
trapaceando, a probabilidade de que ganhassem uma partida fosse 0.95, ao passo que sem
trapacear essa probabilidade fosse 0.5. Se sabemos que a dupla venceu uma partida, então
qual a probabilidade de que eles tenham trapaceado nesta partida?
(a) 0.655
(b) 0.725
(c) 0.475
(d) 0.250
(e) 0.345
2
Solução
Sejam os eventos
T=trapaceiam
G=ganham a partida
Pelo enunciado tem-se P (T ) = 0.5, P (G|T ) = 0.95, P (G|TC) = 0.5. Logo, pelo Teorema de
Bayes tem-se que P (T |G) = P (G|T )P (T )P (T ) =
P (G|T )P (T )
P (G|T )P (T )+P (G|TC)P (TC) =
0.950×0.500
0.950×0.500+0.500×0.500 =
0.655.
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
5. Problema
O tempo até a falha (em milhares de horas) de um certo componente eletrônico pode ser
representado por uma variável aleatória seguindo distribuição exponencial com média igual
a 8. Instalados cinco desses componentes, qual a probabilidade de exatamente dois deles
estarem funcionando após 4 mil horas de uso?
(a) 0.306
(b) 0.224
(c) 0.694
(d) 0.345
(e) 0.694
Solução
Seja X o tempo de vida de um componente. Então X ∼ Exponencial(0.125). Logo, a
probabilidade de que um componente dure mais que 4 mil horas é dada por P (X > 4) =
e−0.125×4 = 0.607. Assim, se cinco componentes são instalados, o número Y de componentes
funcionando após 4 mil horas é uma variável aleatória seguindo distribuição binomial com
parâmentros n = 5 e p =0.607. Portanto, P (Y = 2) = 5!2!3!0.607
20.3933 = 0.224.
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
6. Problema
Suponha que a probabilidade de que um jogador de basquete acerte a cesta em um lance
livre seja 0.80, e que os lançamentos sejam independentes. Considere que o jogador continue
a realizar os lançamentos até que cometa um erro. Qual a probabilidade de que ele acerte
pelo menos 3 cestas antes de cometer o primeiro erro?
(a) 0.102
3
(b) 0.006
(c) 0.512
(d) 0.590
(e) 0.410
Solução
Seja X o número de cestas antes do primeiro erro. Então X ∼ Geométrica(0.20), isto é,
P (X = x) = 0.80x0.20. Assim, P (X ≥ 3) = P (acertar os 3 primeiros lances) = 0.803=0.512.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
7. Problema
Uma raspadinha contém 40 números (1, 2, 3, ..., 40), e o jogador deve escolher raspar exata-
mente 10 deles. Caso todos os números divisiveis por 10 presentes apareçam em uma única
cartela, o jogador ganha o prêmio. Qual é a probabilidade de um jogador que comprou 80
cartelas ganhar o prêmio?
(a) 0.0023
(b) 0.0043
(c) 0.1838
(d) 0.8928
(e) 0.0112
Solução
Seja X a variável aleatória quantidade de números divisiveis por 10 na amostra de tamanho
10, sem reposição, dos elementos (1, 2, 3, ..., 40). Então, X ∼ Hiperg(N = 40, r = 4, n = 10)
e a probabilidade desejada é dada por
80× P (X = 4) = 80×
(
4
4
)(
36
6
)(
40
10
) = 0.1838.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
8. Problema
Considere que o número de requisições que chegam a um determinado servidor, por minuto,
é uma variável aleatória que segue distribuição Poisson com variância igual a 1.73. Suponha
que a capacidade de atendimento do servidor é de, no máximo, 2 requisições por minuto.
Qual a probabilidade de que, em um intervalo de um minuto escolhido ao acaso, o servidor
não consiga atender a todas as requisições que forem feitas?
(a) 0.575
4
(b) 0.251
(c) 0.749
(d) 0.425
(e) 0.021
Solução
Seja X a variável aleatória referente ao número de requisições. Uma vez que a capacidade é
de, no máximo, 2 requisições por minuto, a probabilidade desejada é dada por
P (X > 2) = 1− P (X ≤ 2) = 1−
2∑
k=1
e−1.73
1.73k
k!
= 0.251.
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Falso
9. Problema
A chance de uma aposta simples (onde escolhe-se 6 números) ganhar a Mega Sena é de
uma em 50063860. A Mega Sena da Virada de 2017 arrecadou o equivalente a 254556391
apostas simples. Nesse contexto, considerando que os números em cada aposta tenham sido
escolhidos de maneira aleatória e independente (todos da Distribuição Uniforme discreta
de 1 a 60), qual era a probabilidade de que exatamente 2 apostadores ganhassem o prêmio
máximo?
(a) 0.264
(b) 0.920
(c) 0.736
(d) 0.080
(e) 0.172
Solução
O número de vencedores tem distribuição binomial com parâmetros 254556391 e 150063860 , ou
seja, X ∼ Bin(254556391, 150063860 ). Utilizando a aproximação de Poisson para a Binomial,
tem-se, aproximadamente, que X ∼ Poisson(np = 5.085). Portanto, a probabilidade de
observarmos exatamente X = 2, é dada por
P (X = 2|X ∼ Bin(254556391, 150063860 )) ≈ P (X = 2|X ∼ Poisson(5.085)) = 8%.
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Verdadeiro
(e) Falso
10. Problema
Seja X uma variável aleatória continua cuja função de densidade é dada por
fX(x) =

0, se x < 1;√
x
c , se1 ≤ x < 2;
0.031 exp(x), se 2 ≤ x < 3;
0, se x ≥ 3.
Qual é o valor de P(X > 1.7)?
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