SEGUNDO SIMULADO

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Roberval Lima prepara para o PROFMAT
SEGUNDO SIMULADO
QUESTÃO 1
O maior número de 2 algarismos que tem um número ímpar de divisores é:
(A) 64 (B) 72 (C) 81 (D) 96 (E) 99
QUESTÃO 2
O maior divisor comum de dois números é 75; o maior deles é 300 e o menor é diferente de
75. O menor números é:
(A) 2× 3× 52 (B) 3× 52 (C) 53 (D) 3× 53 (E) 32 × 52
QUESTÃO 3
O maior valor inteiro de x que satisfaz a inequação x− 7x− 3
4
> 1 é:
(A) −1 (B) −2 (C) 0 (D) 1 (E) 2
QUESTÃO 4
Considere a equação x2+kx+36 = 0. Se x1 e x2 são as raízes dessa equação e
1
x1
+
1
x2
=
5
12
então o valor de k é:
(A) 12 (B) 15 (C) 0 (D) −15 (E) −12
QUESTÃO 5
A diferença das raízes da equação 4x2 − 15x+ p = 0 é 9
4
. O valor de p é:
(A) 9 (B) 3 (C) −9 (D) 15
4
(E)
4
15
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QUESTÃO 6
Em um triângulo isósceles ABC, AB = AC = 5, BC = 6 e a altura AD = 4. Qual o raio do
círculo inscrito no triângulo?
(A) 1 (B) 3 (C)
3
2
(D)
3
4
(E)
3
5
QUESTÃO 7
Na �gura, os dois triângulos são equiláteros. Qual é o valor do ângulo x?
(A) 30o (B) 40o (C) 50o (D) 60o (E) 70o
QUESTÃO 8
Na �gura, todas as circunferências menores têm o mesmo raio r e os centros das circunferên-
cias que tocam a circunferência maior são vértices de um quadrado. Sejam a e b as áreas cinzas
indicadas na �gura. Então a razão
a
b
é igual a:
(A)
1
2
(B)
2
3
(C) 1 (D)
3
2
(E) 2
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QUESTÃO 9
Os inteiros positivos x e y satisfazem a equação√
x+
1
2
√
y −
√
x− 1
2
√
y = 1
Qual das alternativas apresenta um possível valor de y?
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9
QUESTÃO 10
O número (2 +
√
2)3(3−
√
2)4 + (2−
√
2)3(3 +
√
2)4 é
(A) inteiro ímpar (B) inteiro par (C) racional não inteiro
(D) irracional positivo (E) irracional negativo
QUESTÃO 11
Se x− 1
x
= 3, então o valor de x2 − 1
x3
+ x3 +
1
x2
é:
(A) 11 (B) 27 (C) 36 (D) 47 (E) 63
QUESTÃO 12
A partir de dois vértices opostos de um retângulo de lados 3 cm e 5 cm, marquemos, sob
seus lados, quatro segmentos de comprimento x, conforme a �gura abaixo.
As extremidades desses segmentos formam um paralelogramo de área máxima. O valor de x
é:
(A) 2, 0 cm (B) 1, 8 cm (C) 0, 5 cm (D) 1, 0 cm (E) 1, 5 cm
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QUESTÃO 13
Um vendedor ambulante compra sete canetas por cinco reais, para comercializá-las ao preço
de quatro canetas por três reais. Qual o lucro percentual do vendedor?
(A) 0, 05% (B) 0, 5% (C) 5% (D) 15% (E) 50%
QUESTÃO 14
Considere que um dado honesto é lançado duas vezes e que os números observados na face
superior são anotados. A probabilidade de que a soma dos dois números anotados seja múltiplo
de 4 é igual a:
(A)
1
5
(B)
1
6
(C)
3
4
(D)
1
4
(E)
3
5
QUESTÃO 15
Um número natural N de três algarismos, menor que 500, é escolhido ao acaso. A probabi-
lidade de que log2N seja um número natural é:
(A) 0, 001 (B) 0, 005 (C) 0, 01 (D) 0, 05 (E) 0, 1
QUESTÃO 16
Na �gura abaixo, as circunferências C1 e C2 são tangentes.
Sabendo que a distância entre os centros delas é igual a 1 cm e que a área da região hachurada
é igual a cinquenta por cento da área da circunferência C2, então os raios de C1 e C2 são dados,
respectivamente, por:
(A) 1 +
√
2 e 2 +
√
2 (B) 1−
√
2 e 2−
√
2 (C) 3 +
√
8 e 4 +
√
8
(D) 1 + 2
√
2 e 2 + 2
√
2 (E) 2 +
√
2 e 3 +
√
2
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QUESTÃO 17
Em qual das alternativas seguintes não está expresso um número inteiro?
(A) [0, 125]−1 (B) 3
√
−64 (C) 3 · (0, 666...) (D) [ 3
√
6]6 (E)
1
0, 375
QUESTÃO 18
Uma escola de educação básica possui 12 professores de matemática, sendo que 8 atuam
exclusivamente no Ensino Fundamental e 4 atuam exclusivamente no Ensino Médio. Para
a organização da 1a Olimpíada de Matemática da escola, será formada uma comissão de 5
professores de matemática, de modo que pelo menos um deles seja professor do Ensino Médio.
De quantas maneiras essa comissão poderá ser formada?
(A) 112 (B) 336 (C) 344 (D) 456 (E) 736
QUESTÃO 19
Na �gura, se AB = AC, a área do triângulo ABC é:
(A)
1
2
(B)
3
4
(C)
1
4
(D)
3
2
(E)
4
3
QUESTÃO 20
Considere f : R→ R, tal que f(x2) + f(2x) = 3x+ 2. O valor de f(4) é igual a:
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 10
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QUESTÃO 21
Uma folha de papel ABCD de formato retangular é dobrada em torno do segmento EF de
maneira que o ponto A ocupe a posição G, como mostra a �gura.
Se AE = 3 e BG = 1, então a medida do segmento AF é igual a:
(A)
3
√
5
2
(B)
7
√
5
8
(C)
3
√
5
4
(D)
3
√
5
5
(E)
√
5
3
QUESTÃO 22
Uma das dimensões de um certo retângulo é o dobro da outra. A expressão algébrica da área
A, desse retângulo, em função do seu perímetro P , é:
(A)
P 2
18
(B)
P 2
9
(C)
P 2
6
(D)
P 2
4
(E)
P 2
2
QUESTÃO 23
Seja ABC um triângulo sobre o qual sabemos que a medida do ângulo em B é 15◦, a medida
em C é 45◦ e a medida do lado BC é 18 cm. A medida do lado AB, em cm, é:
(A)
√
6 (B)
√
3
2
(C)
√
6
2
(D) 6
√
6 (E)
√
6
2
QUESTÃO 24
Se o trinômio x2 + 36x+ c é um quadrado perfeito, o número real c é divisível por:
(A) 243 (B) 216 (C) 72 (D) 27 (E) 24
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QUESTÃO 25
O conjunto solução da inequação quociente
x+ 1
2x− 1
> 1 é S = {x ∈ R; a < x < b}. Então,
podemos a�rmar que o valor de
∣∣∣∣ ba
∣∣∣∣ é:
(A)
1
2
(B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
QUESTÃO 26
Na �gura abaixo, tem-se AC = 3, AB = 4 e CB = 6. O valor de CD é:
(A)
17
12
(B)
19
12
(C)
23
12
(D)
25
12
(E)
29
12
QUESTÃO 27
A soma das soluções da equação 2cos2x− 2sen2x− 1 = 0, no intervalo [0, 2π], é:
(A)
11π
16
(B) 3π (C) 4π (D) 5π (E)
23π
6
QUESTÃO 28
Pelos estudos de hidrostática, sabe-se que a pressão na superfície da água no mar é de 1 atm
(atmosfera). Sabendo-se também que a pressão da água no mar varia com a profundidade e
que a cada 5 m de profundidade a pressão sofre um acréscimo de 0, 5 atm, a expressão que dá
a pressão p (em atmosferas) em função da profundidade a (em metros) é:
(A) p = 0, 5a+ 1 (B) p = 0, 5a (C) p = 1− 0, 5a (D) p = 0, 1a (E) p = 0, 1a+ 1
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QUESTÃO 29
Dois números reais são tais que a média aritmética entre eles é 25 e a média geométrica é 20.
Quais são esses números?
(A) 10 e 30 (B) 20 e 30 (C) 10 e 40 (D) 15 e 35 (E) 5 e 45
QUESTÃO 30
Uma distribuidora de água possui dois tanques com capacidade de 60.000 litros cada, um
deles completamente vazio e o outro completamente cheio. No mesmo instante, o primeiro
começa a ser enchido a uma taxa constante, de forma a estar completamente cheio em seis
horas, e o segundo começa a ser esvaziado, também a uma taxa constante, de forma a estar
completamente vazio em três horas. Em quanto tempo, após o começo do processo, os tanques
possuirão exatamente a mesma quantidade de água?
(A) 1 hora (B) 1 hora e 30 minutos
(C) 2 horas (D) 2 horas e 30 minutos (E) 3 horas
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