Unidade 3 - Modelagem matemática de sistemas dinâmicos equações de estado

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TEORIA DE 
CONTROLE E 
SERVOMECANISMO
Eduardo Scheffer
Saraiva
 
Modelagem matemática 
de sistemas dinâmicos 
— equações de estado
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Identificar as variáveis presentes na modelagem dos sistemas 
dinâmicos.
 � Relacionar as funções de transferência e equações no espaço de 
estados.
 � Representar os sistemas dinâmicos no espaço de estados.
Introdução
Neste capítulo, você estudará a modelagem de sistemas dinâmicos. 
Quando falamos de um sistema de controle adequado às nossas neces-
sidades e que permita que a variável de interesse atenda aos critérios 
que estabelecemos, isso só será possível se tivermos o conhecimento 
do comportamento dinâmico de cada uma das partes que compõem 
o sistema. 
A tarefa de modelagem consiste em descrever, com base em leis 
físicas, o comportamento do sistema por meio de equações matemá-
ticas. Essa tarefa é fundamental para o projeto de controladores, pois a 
combinação adequada dessas equações possibilita ao engenheiro de 
controle o entendimento completo do sistema de interesse.
Variáveis de estado
Com o crescimento da complexidade das tarefas realizadas por sistemas de 
engenharia e com requisitos cada vez mais rigorosos, junto à facilidade de 
acesso a soluções numéricas avançadas, iniciou-se o desenvolvimento da teoria 
de controle moderno, como uma nova maneira de analisar e projetar sistemas 
de controle complexos. Essa nova abordagem se baseia no conceito de estado.
O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de valores de va-
riáveis, de modo que, se conhecemos o valor inicial dessas variáveis, bem 
como os valores do sinal de entrada, podemos determinar completamente o 
comportamento do sistema em qualquer instante.
Variáveis de estado de um sistema dinâmico, por sua vez, são as grandezas 
cujo conjunto de valores determina o estado do sistema. Se n variáveis de 
estado são necessárias para descrever completamente o comportamento de um 
dado sistema, então essas n variáveis podem ser consideradas as componentes 
de um vetor de estados.
Para analisarmos um sistema dinâmico usando variáveis de estados, pre-
cisamos primeiro colocar o sistema na forma de espaço de estados. Para isso, 
na modelagem, analisaremos três tipos de variáveis: variáveis de entrada, 
variáveis de saída e variáveis de estado.
Sistemas dinâmicos devem apresentar elementos que memorizem os valores 
de excitação para t ≥ ti. Utilizando os sinais de saída dos integradores que têm 
por característica se comportar como dispositivos de memória em sistemas de 
controle contínuos no tempo, podemos considerar tais sinais como as variáveis 
que definem o estado interno de sistemas dinâmicos.
Admitamos um sistema que possua múltiplas entradas e múltiplas saídas 
e que também apresente n integradores. Definindo as n variáveis de saída dos 
integradores como variáveis de estado com valores: x1 (t), x2 (t), …, xn (t), o 
sistema poderá então ser descrito como:
Os valores dos sinais de saída y1 (t), y2 (t), …, ym (t) do sistema são dados por:
Modelagem matemática de sistemas dinâmicos — equações de estado2
Podemos então definir o sistema como:
Assumindo que essas equações são lineares e invariantes no tempo, po-
demos reescrevê-las da seguinte maneira:
Funções de transferência e espaço de estados
Uma ferramenta muito importante na modelagem de sistemas dinâmicos é a 
correlação entre a função de transferência e as equações no espaço de estados 
apresentada a seguir:
Esse sistema pode ser representado no espaço de estados pelas seguinte 
equações:
Em que x é o vetor de estados, u é a entrada e y é a saída.
3Modelagem matemática de sistemas dinâmicos — equações de estado
Realizando a transformada de Laplace das equações acima, obtemos que:
sX(x) – x(0) = AX(s) + BU(s)
Y(s) = CX(s) + DU(s)
Admitindo que as condições iniciais são nulas, temos que x(0) = 0.
sX(s) – AX(s) = BU(s)
(sI – A)X(s) = BU(s)
Multiplicando-se a equação do lado esquerdo da igualdade por (sI – A)–1, 
obtemos que:
X(s) = (sI – A)–1 BU(s)
Substituindo a equação acima, na equação da saída, obtemos:
Assim, obtemos a função de transferência em função de A, B, C e D.
Considere o sistema dado pelas equações no espaço de estados apresentado a seguir:
Modelagem matemática de sistemas dinâmicos — equações de estado4
Utilizando a fórmula G(s) = C(sI – A)–1B + D:
Como:
Então:
Sistemas dinâmicos no espaço de estados
Podemos descrever um sistema dinâmico por meio de equações diferenciais 
ordinárias nas quais o tempo é a variável independente. Considerando que 
se conhece a entrada do sistema e sua dinâmica, podemos determinar com-
pletamente o comportamento futuro do sistema. Assim, podemos descrever 
a evolução de um sistema ao longo do tempo, definindo:
5Modelagem matemática de sistemas dinâmicos — equações de estado
Reescrevendo a definição anterior apenas em função dos estados:
Ou podemos reescrever em forma matricial, da seguinte maneira:
Em que:
A saída pode ser dada por:
Ou seja, y = Cx, em que . 
Considere o sistema mecânico apresentado:
Esse é um sistema de segunda ordem, isto é, apresenta dois integradores. Para colocar 
na forma de espaço de estados, definimos as variáveis de estado como:
Modelagem matemática de sistemas dinâmicos — equações de estado6
Resultando em:
A equação de saída é:
y = x1
Reescrevendo em forma de espaço de estados:
Na forma padrão do espaço de estados, temos que:
Em que:
1. Considere a seguinte dinâmica para um sistema massa-mola-amortecedor: 
. Determine a função de transferência que 
descreve essa dinâmica.
a) 
7Modelagem matemática de sistemas dinâmicos — equações de estado
b) 
c) 
d) 
e) 
2. Considerando que e que o seguinte sistema é apresentado: 
 
. Coloque o sistema na forma de espaço de 
estados.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
3. Considere o seguinte modelo em espaço de estados: 
 
. Obtenha a função de 
 
transferência do sistema.
a) 
b) 
c) 
Modelagem matemática de sistemas dinâmicos — equações de estado8
d) 
e) 
4. Dada a seguinte função de transferência: . 
 
Obtenha a representação em espaço de estados.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
5. Dada a seguinte função de transferência: . 
 
Obtenha a representação em espaço de estados.
a) 
b) 
c) 
9Modelagem matemática de sistemas dinâmicos — equações de estado
d) 
e) 
KLUEVER, C. A. Sistemas dinâmicos: modelagem, simulação e controle. Rio de Janeiro: 
LTC, 2018. 
OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011.
SOUZA, A. C. Z.; PINHEIRO, C. A. M. Introdução à modelagem, análise e simulação de 
sistemas dinâmicos. Rio de Janeiro: Interciência, 2008. 
Modelagem matemática de sistemas dinâmicos — equações de estado10
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