Exercícios de Controle de Sistemas Dinâmicos

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Universidade de Braśılia
Departamento de Engenharia Elétrica
Controle de Sistemas Dinâmicos – 1º Semestre – 2020
Prof. Henrique C. Ferreira
2ª lista de exerćıcios
1. Trace o lugar geométrico das ráızes do sistema mostrado na figura 1 com as seguintes
funções de transferência
+
-
K G( )s
Y s( )R s( )
Figura 1: Sistema de controle
(a) G(s) =
s+ 1
s2
(b) G(s) =
1
s(s+ 1)(s2 + 4s+ 5)
(c) G(s) =
1
s(s+ 0,5)(s2 + 0,6s + 10)
(d) G(s) =
s+ 0,2
s2(s+ 3,6)
2. Mostre que o lugar geométrico das ráızes do sistema mostrado na figura 1 com
G(s) =
s2 + 6s+ 10
s2 + 2s+ 10
é formado por arcos de um ćırculo cujo centro é a origem e o raio é
√
10.
3. Trace o lugar geométrico das ráızes do sistema mostrado na figura 1 sendo
G(s) =
s+ 9
s(s2 + 4s+ 11)
.
Determine a localização dos polos cujo coeficiente de amortecimento é 0,5. Determine
o valor do ganho correspondente e a posição do terceiro polo.
4. Trace o lugar das ráızes do sistema mostrado na figura 2. Determine o intervalo de
valores do ganho K que corresponde à estabilidade.
5. Considere o sistema da figura 1 com
G(s) =
1
s(s2 + 4s+ 8)
.
Desenhe o lugar das ráızes do sistema. Determine a localização dos polos de malha
fechada do sistema para K = 2.
1
Figura 2: Sistema de controle
(a) (b)
Figura 3: Sistemas de fase não mı́nima
6. Trace o lugar das ráızes para os sistemas de fase não mı́nima mostrados nas figuras
3(a) e 3(b).
7. Considere o sistema mostrado na figura 4. Desenhe o lugar da ráızes do sistema.
Determine o valor deK para que o coeficiente de amortecimento ξ dos polos dominantes
de malha fechada seja 0,5. Determine a posição do terceiro polo.
Figura 4: Sistema de controle
8. Determine os valores de K, T1 e T2 do sistema mostrado na figura 5 para que os
polos dominantes de malha fechada tenham coeficiente de amortecimento ξ = 0,5 e
frequência natural não amortecida ωn = 3 rad/s.
Figura 5: Sistema de controle
9. Considere o sistema de controle mostrado na figura 6. Determine os parâmetros K e
T do controlador GC(s) de modo que os polos do sistema em malha fechada fiquem
localizados em s = −2± j2.
2
Figura 6: Sistema de controle
10. Considere o sistema mostrado na figura 7. Projete um compensador por avanço de fase
de modo que os polos dominantes do sistema em malha fechada fiquem localizados em
s = −2 ± j
√
3.
Figura 7: Sistema de controle
11. Considere o sistema mostrado na figura 8. Projete um compensador de modo que os
polos dominantes do sistema em malha fechada fiquem localizados em s = −1± j1.
Figura 8: Sistema de controle
12. Considerando o sistema mostrado na figura 9, projete um compensador cuja constante
de erro estático Kv seja 20 s
−1 sem modificação apreciável da localização original
(s = −2 ± j2
√
3) do par de polos complexos conjugados de malha fechada.
Figura 9: Sistema de controle
13. Considere o sistema de posicionamento angular mostrado na figura 10. Os polos do-
minantes de malha fechada estão localizados em s = −3,60 ± j4,80. O coeficiente de
3
amortecimento ξ dos polos dominantes de malha fechada é 0,6. A constante de erro
estático de velocidade Kv é 4,1 s
−1, o que significa que, para uma entrada rampa de
360°/s, o erro estático de acompanhamento da rampa é
ev =
θi
Kv
=
360/s
4,1s−1
= 87,8.
Deseja-se diminuir ev para um décimo do valor atual ou aumentar a valor da constante
de erro estático de velocidade Kv para 41 s
−1. Deseja-se também manter o coeficiente
de amortecimento ξ dos polos dominantes de malha fechada em 0,6. É permitida uma
pequena modificação na frequência natural não amortecida ωn dos polos dominantes de
malha fechada. Projete um compensador por atraso de fase para aumentar a constante
de erro estático de velocidade conforme desejado.
Figura 10: Sistema de controle
14. Considere o sistema de controle mostrado na figura 11. Projete um compensador de
modo a curva de resposta ao degrau apresente sobressinal igual ou inferior a 30% e
tempo de acomodação igual ou inferior a 3 s.
Figura 11: Sistema de controle
15. Considere o sistema de controle mostrado na figura 12. Projete um compensador de
modo que os polos dominantes de malha fechada estejam localizados em s = −2±j2
√
3
e a constante de erro estático de velocidade Kv seja 50 s
−1.
Figura 12: Sistema de controle
4
Figura 13: Sistema de controle
16. Considere o sistema de controle mostrado na figura 13. Projete um compensador de
modo a curva de resposta ao degrau apresente sobressinal igual ou inferior a 25% e
tempo de acomodação igual ou inferior a 5 s.
17. Considere o sistema de controle com realimentação de velocidade mostrado na figura
14. Determine os valores dos ganhos K e Kh de modo que sejam satisfeitas as seguintes
especificações:
Figura 14: Sistema de controle
• Coeficiente de amortecimento dos polos de malha fechada de 0,5.
• Tempo de acomodação ts ≤ 2 s.
• Constante de erro estático de velocidade Kv ≥ 50 s−1.
• 0 < Kh < 1.
18. Considere o sistema mostrado na figura 15. O sistema possui realimentação de velo-
cidade. Determine o valor do ganho K de modo que os polos dominantes de malha
fechada tenham um coeficiente de amortecimento igual a 0,5.
Figura 15: Sistema de controle
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19. Considere o sistema mostrado na figura 16. Construa o lugar das ráızes para 0 ≤
a < ∞. Determine o valor de a para que o coeficiente de amortecimento dos polos
dominantes de malha fechada seja 0,5.
Figura 16: Sistema de controle
20. Considere o sistema mostrado na figura 17. Desenhe o lugar das ráızes para 0 ≤ k < ∞.
Determine o valor de k para que o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes
de malha fechada seja 0,5. Determine a constante de erro estático de velocidade do
sistema para esse valor de k.
Figura 17: Sistema de controle
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